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Full text of "Traité d'analyse"

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TRAITÉ 

D ANALYSE 


8548  P.VRl:?.    —    IMPRIMERIE    DE   GVLTHIER-VILL  VR? , 

Quai  des  Augustins,  55. 


TRAITÉ 


D'ANALYSE 


H.   LAURENT, 

EX.VMINATEIR    d'aDMISSION    A    l'kCOLE    POLYTF.CIINIOI'E. 


Le  calcul  ilo  Leibniz,  la  mené  dans  des 
païs  jasqu  ici  incunnus;  et  il  y  a  fait  des 
découTertes  qui  font  I  étonnement  des  pins 
habiles  uiathcmaticiens  de  I  Europe. 

De  l'Hospital,   Calcul  des 
infiniment  petits. 


TOME  I. 

CALCUL  DIFFÉRENTIEL, 

APPLIC.VTIONS  ANALYTIQUES  ET  GÉOMÉTRIQUES. 


DEPARTMENT  OF  MATIICMATICS 
UNIVERSITY  OF  TORONTO 


PARIS, 

GAUTHIER- VILLARS,  LMPRLMEUR-LIBRAFRE 

DL     BUREAU    DES    LONGITUDES,    DE    l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE. 
Quai  des  .\ii[;ustins,  55. 

1885 

(Tous  droits  réserrés.) 


300 

t.l 


A  M.  MOUTARD, 

MON    BEVU-l'ÈUE. 


Hommage  de  reconnaissance  et  d'affection, 
n.  Laurent. 


PRÉFACE. 


Le  Traité  d'Analyse  que  je  publie  aujourdhui  est  destiné 
aux  personnes  qui,  n'ayant  pas  le  moyen  de  consulter  un 
grand  nombre  d'Ouvrages,  ont  le  désir  d'acquérir  des  con- 
naissances étendues  en  Mathématiques.  Il  contient,  outre  le 
développement  des  matières  exigées  des  candidats  à  la  licence, 
le  résumé  des  principaux  résultats  acquis  à  la  Science. 

Je  n'ai  pas  la  prétention  dé  croire  que  la  lecture  d'un  ou- 
vrage unique  puisse  remplacer  l'étude  laborieuse  des  Mé- 
moires des  grands  maîtres  de  la  Science;  mais  enfin  il  est 
souvent  difficile  de  se  procurer  ces  Mémoires,  et  je  pense 
que  l'on  ne  m'en  voudra  pas,  si  j'ai  essayé  de  faire  connaître 
une  partie  des  trésors  qu'ils  renferment. 

LeP'  Volume  contient  une  théorie  élémentaire  des  séries, 
le  Calcul  diflerentiel  et  ses  applications  analytiques. 

Les  principes  de  ce  calcul  y  sont  exposés,  je  crois,  avec 
toute  la  rigueur  qu'on  est  en  droit  d'exiger.  Je  suis  parvenu 
à  ce  résultat  en  prenant  pour  Ijasc  du  Calcul  différentiel  le 
fameux  théorème  de  RoUe,  tel  qu'il  a  été  énoncé  par  M.  O. 
Bonnet  et  la  formule  de  Taylor  qui  en  découle  immédiate- 
ment. 

Les  applications  sont  relatives  à  la  théorie  des  formes,  à 
l'élimination  et  à  la  recherche  des  maxima.  Bien  que  la 
théorie  des  formes  ne  soit  pas  exigée  des  candidats  à  la  ii- 


VIII  PUÉFACE. 

ccnco,  elle  pourra  être  lue  avec  lïuil  par  eux  et  èlrc  considé- 
rée comme  un  bon  exercice  sur  le  chan<i;enicnUlc  variables, 
.l'ai  donné  sur  l'éliminalion  des  développements  qui  Irou- 
veronl  leur  application  plus  tard,  et  je  me  suis  permis  d'ex- 
poser mes  propres  rechercbes  sur  ce  sujet,  parce  quelles 
i(>llenl,  je  crois,  un  jour  nouveau  sur  celle  théorie  restée  un 
peu  obscure  jusqu'ici,  et  qu'elles  ont  d'ailleurs  été  entreprises 
précisément  en  vue  de  cet  Ouvrage. 

Le  IP  Volume  contiendra  des  applications  géométriques 
des  théories  exposées  dans  le  premier,  à  savoir  la  théorie  des 
tangentes  et  des  plans  tangents,  des  enveloppes,  de  la  cour- 
bure, et  du  contact  en  général.  La  théorie  des  lignes  tracées 
sur  les  surfaces  est  renvoyée  au  Calcul  intégral,  où  elle  sera 
traitée  plus  à  fond  que  dans  la  plupart  des  autres  Traités 
d'Analyse.  Les  derniers  Chapitres  de  ce  A  ohime  sont  consa- 
crés à  une  théorie  sommaire  des  points-  singuliers  et  des 
asymptotes;  l'étude  plus  approfondie  de  cette  question  sera 
faite  après  les  théories  de  Cauchy  sur  les  fonctions  des  va- 
riables imaginaires,  en  prenant  pour  guide  les  travaux  récents 
de  MM.  Halphen,  Nother,  etc. 

Le  IIl"  Volume  traite  du  calcul  des  intégrales  indéfi- 
nies et  définies,  des  intégrales  des  différentielles  à  plusieurs 
variables  cl  des  intégrales  multiples. 

On  voudra  bien  remarquer  conibien  je  me  suis  efforcé  d'être 
rigoureux  dans  cette  partie  du  Calcul  intégral,  avec  quelle  cir- 
conspection j'ai  fait  usage'  des  règles  de  la  différentiation 
sous  le  signe  f  et  des  lois  de  la  continuité. 

Les  applications  analytiques  sont  relatives  à  la  théorie  gé- 
nérale des  l'onctions  et  de  leurs  développements  en  séries; 
elles  résument  une  des  plus  belles  parties  de  l'œuvre  de  Cau- 
chy et  de  ses  disciples.  J'ai  essayé  de  restituer  à  cet  illustre 
géomètre  une  part  que  l'on  a  essayé  de  lui  ravir  dans  ces 
derniers  temps.  En  particulier,  j'ai  exposé  une  méthode  qui 


I' HÉ  FACE.  IX 

lui  est  due  pour  le  développenienl  des  fonctions  en  séries 
Irigonométriques,  fondée  sur  le  calcul  des  résidus,  qui  est 
tout  aussi  rigoureuse  que  celle  de  iJirielilet  et  (jui  entre  hicn 
plus  profondément  au  cœur  de  la  question. 

Un  Chapitre  est  consacré  à  l'interpolation  des  fonctions  nu- 
mériques; on  V  trouve  une  théorie  très  développée  des  fonc- 
tions eulériennes,  le  calcul  des  dérivées  à  indices  quelconques 
et  les  éléments  du  calcul  inverse  des  intégrales  définies,  le 
développement  en  fractions  continues  et  la  théorie  des  fonc- 
tions de  Legendre,  qui  sera  d'ailleurs  reprise  à  un  autre  point 
de  vue  dans  le  ^  olume  suivant. 

Le  Volume  se  termine  par  l'étude  des  fonctions  algébriques 
ou,  si  l'on  veut,  des  courbes  algébriques;  on  y  trouvera  la 
théorie  des  points  singuliers,  dont  j'ai  parlé  plus  haut,  et 
celle  de  la  transformation  des  courbes  planes. 

Le  IV*'  Volume  est  consacré  aux  équations  diflercntielles 
ordinaires,  il  contient  deux  démonstrations  rigoureuses  de  ce 
principe  :  que  tout  système  d'équations  différentielles  ordi- 
naires admet  une  intégrale.  La  discussion  approfondie  de  ces 
démonstrations  conduit,  d'après  Cauchy,  à  une  théorie  com- 
plète des  solutions  singulières.  Avant  de  parler  des  méthodes 
connues  d'intégration,  j'ai  pensé  qu'il  serait  bon  d'exposer  la 
théorie  des  fonctions  elliptiques  et  abéliennes,  qui  inter- 
viennent de  plus  en  plus  dans  la  théorie  des  équations  diffé- 
rentielles. La  théorie  des  fonctions  elliptiques  est  exposée 
d'après  les  méthodes  de  Cauchv,  celle  des  fonctions  abéliennes 
en  suivant  de  très  près  le  fameux  Mémoire  de  Ricmann  et  en 
faisant  usage  de  son  plan  multiple,  sans  toutefois  faire  inter- 
venir le  principe  de  Dirichlet.  Parmi  les  applications  de  la 
théorie  des  fonctions  elliptiques,  on  voudra  bien  remarquer 
une  exposition  assez  simple  des  propriétés  des  cubiques  planes 
et  des  biquadratiques  gauches;  enfin  une  belle  démonstration 
du  théorème  de  Poncelet  sur  les  polygones  inscrits  et  circon- 


X  PRÉFACE. 

scrlls  aux  coniques  due  à  M.  Ilermile.  Le  Volume  se  termine 
par  la  recherche  des  maxima  des  intégrales  simples. 

Le  \  "^  Volume  renferme  la  théorie  des  équations  aux  déri- 
vées partielles,  la  théorie  des  lignes  tracées  sur  les  surfaces  et 
des  coordonnées  curvilignes,  la  théorie  des  complexes,  enfin 
quelques  mots  sur  la  variation  des  intégrales  multiples.  La 
théorie  des  équations  du  premier  ordre  et  des  équations  aux 
différentielles  totales  y  est  exposée  en  détail  et  avec  rigueur; 
mais  la  théorie  des  équations  à  plusieurs  inconnues  et  des 
ordres  supérieurs,  sur  laquelle  on  ne  connaît  que  fort  peu  de 
chose,  laisse  à  désirer  sous  ce  point  de  vue;  ainsi  j'ai  sou- 
vent différentié,  sous  le  signe  /,  des  expressions  qu'il  n'était 
pas  permis  de  traiter  de  cette  façon;  j'ai  aussi  admis,  comme 
un  poslulatum,  le  principe  de  Dirichlet.  Il  m'a  semblé  que 
les  démonstrations  que  l'on  a  essayé  de  donner  de  ce  principe 
étaient  trop  compliquées  et  pas  tout  à  fart  rigoureuses.  Les 
applications  géométriques  roulent  sur  la  théorie  des  lignes 
de  courbure,  des  lignes  asymplotiques,  des  lignes  géodésiques 
et,  en  général,  des  lignes  que  l'on  peut  tracer  sur  une  surface. 
La  théorie  des  coordonnées  curvilignes  et  des  surfaces  ortho- 
gonales y  est  exposée  avec  détail  ainsi  que  la  théorie  des 
complexes. 

Le  VP  et  dernier  Volume  "contient  quelques  théories 
détachées  qui  trouveraient  difficilement  leur  place  dans  le 
corps  même  de  l'Ouvrage  et  dont  il  serait  trop  long  de  faire 
l'énumération. 

A  la  fin  de  presque  tous  les  Chapitres,  j'ai  eu  soin  de  pla- 
cer des  exercices  ou  des  notes,  pour  la  plupart  du  temps  ex- 
traites des  œuvres  des  maîtres  de  la  Science  et  destinés  à 
éclairer  ou  à  compléter  les  matières  exposées  dans  le  texte. 

Dans  cet  Ouvrage,  on  trouvera  peu  de  figures,  peu  de  dé- 
veloppements relatifs  à  la  Géométrie  pure  ;  c'est  avant  tout  un 
Traité  d'Analvse  et,  si  Ion  v  rencontre  de  la  Géométrie,  c'est 


PRÉFACE.  XI 

([u'ellr  vient  compléter  et  éliicidtT  I  Anaivse.  D'ailleurs  la 
Géométrie  a  des  méthodes  qui  lui  sont  propres,  et  elle  doit 
être  étudiée  dans  des  Traités  spéciaux.  On  comprendra  donc 
pourquoi  je  me  suis  si  peu  étendu  sur  Thomograpliie  et  sur 
les  autres  méthodes  de  transformation  des  figures;  le  dévelop- 
pement de  ces  belles  théories  doit  surtout  faire  loLjet  des 
Traités  de  Géométrie  pure. 

Enfin,  pour  faire  com[)rendre  dans  quel  esprit  est  écrit  ce 
Traité  d'Analyse,  qu'il  suffise  de  dire  que  l'auteur  est  un 
ardent  disciple  de  Cauch_y,  de  ce  géomètre  incomparable  dont 
Abel  disait  qu'il  avait  puisé  toutes  ses  connaissances  dans  ses 
écrits.  «  Un  tel  aveu,  dit  O.  Terquem,  est  le  meilleur  des 
panégyriques.  » 

Je  dois  remercier,  en  terminant,  mon  excellent  ami  M.  E. 
Lucas,  professeur  de  Mathématiques  spéciales  au  lycée  Saint- 
Louis,  qui  a  bien  voulu  me  prêter  son  précieux  et  bienveil- 
lant concours  pour  la  correction  des  épreuves. 


TRAITÉ 


D'ANALYSE 


CALCUL  DIFFERENTIEL. 

APPLICATIONS   ANALYTIQUES    ET    GÉOMÉTllIQUES, 


CHAPITRE  I. 

LNTHODUCTION. 

^  I.  —  Des  fonctions. 

Autrefois  on  appeWil  fonc l io/is  d' une  quantiLc  les  diverses 
puissances  de  celle  quantité,  puis  on  a  étendu  le  mot  de 
fonction  à  toutes  les  expressions  analytiques  que  l'on  peut 
former  avec  cette  quantité;  voici  la  définition  plus  précise 
qui  semble  adoptée  aujourd'hui  et  que  nous  adopterons  dans 
ce  qui  va  suivre  : 

Deux  quantités  sont  fonctions  l'une  de  l  autre  quand, 
l'une  d'elles  restant  constante,  l'autre  reste  constante 
aussi. 

Celle   définition  comprend  celle  de  la  constante  :  c'est   l.i 
un  inconvénient  de  peu  d'importance,  car  il  sera  toujours  facile 
L.  —  Traite  d'Analyse,  I.  i 


)  CIIAIMTUK     1. 

(le  prcciscr  ilaiis  cliafjiio  cas  parlictiller;  il  est,  (.railloiirs,  lo 
liliis  souvent  utile  de  considérer  le  cas  où  la  ("onction  devient 
une  constante. 

l  ne  (juaiitité  /  sera  dite  fonction  de  plusieurs  autres 
./•,  ),  r-.  ...  quand,  celles-ci  l'estant  constantes,  restcracon- 
slantc  aussi;  on  voit  donc  que,  si/est  fonction  dc.r,  ),:;,  ..., 
elle  sera  lonclion  de  chacune  de  ces  variables  en  particulier, 
prise  isoK'nient,  les  autres  restant  constantes. 

De  là  résulte  que  notre  définition  du  mot  fonction  coni- 
prond  celle  des  fonctions  a/i((l\tiquc.s  (jue  l'on  considérait 
autrefois  et  celle  de  toutes  les  autres  fonctions,  telles  ([ueles 
fonctions  empiriques  dont  la  forme  n'est  donnée  que  par  des 
phénomènes  naturels. 

J'    II.  —   Continuité  des  fonctions. 

Nous  dirons  qu'une  foncliony(  j:')  est  continue  pour.r  =  « 
quand,  étant  donnée  une  quantité  positive  quelconque  s,  aussi 
petite  que  l'on  voudra  du  reste,  il  existera  une  quantité  posi- 
tive H  telle  que,  h  étant  moindre  en  valeur  absolue  que  II, 
fi^a^rh)  ait  une  valeur  unique  et  bien  déterminée,  et  que 
Ton  ait 

val.  abs.  [y\<i       Ai      j\a)\    :'^i, 

quelle  que  soit  d'ailleurs  la  valeur  attribuée  à  h. 

Une  fonction,  sjx  par  exemple,  peut  avoir  pour  chaque 
valeur  de  x  plusieurs  valeurs  et  cependant  être  continue,  s'il 
est  possible  de  séparer  ces  valeurs  de  telle  sorte  ([ue  Taccrois- 
sement  h  donné  à  x  entraîne  toujours  sans  andjiyuïté  un 
accroissement,  et  un  seul,  bien  déterminé  pour  la  fonction. 

Théorème  I.  —Si  une  fonction  f{x)  est  continue  pour 
toutes  les  valeurs  de  x  comprises  entre  a  et  b,  si  de  plus 
f{a)  etf(b)  sont  de  signes  contraires,  il  existera  une  valeur 
a  de  X,  comprise  entre  a  et  6,  telle  que  Con  ait  f(%)  =.  o. 

Pour  le  démontrer,  désignons  par/2  un  nombre  entier  quel- 


l.NT  KO  DICTION.  6 

1  I  ^  —  '^'^  r  r  I 

coïKjiic   |)lus   i;r.iml   <[iio   r,   posons  = /i  et  njrinons  la 

suite 

/i  a  ).  fi  a       /i  1,  /(  a       -xli  ^ /(«    -  ii    -  i  h).  J'iO). 

Si  1  un  (Jl's  lorincs  de  celle  suile  élait  nul,  le  llu'orènic 
serait  dcmonlré;  si  aucun  d'eux  n'est  nul,  il  en  existera  deux 
conséculifs  au  moins  ([ui  seront  de  signes  contraires,  puis(}uc 
le  premier  et  le  dernier  sont  de  signes  contraires;  appelons 

ces  termes /(</,  )  et/(^,),  posons  — ^  =^h\  et  considé- 
rons la  nouvelle  suile 

/(«,),    J\ai    -hi),      ....    /{ai  —  n—  i/ii},    fibi); 

si  aucun  des   ternn-s  de   cette  suite  n'est  nul,  auquel  cas  le 
lliéorème  seraitdéinontré,  il  existera  deux  tenues  conséculifs 

/{ii>)  clfihj)  de  signes  contraires;  posant-^ —  =  Ao,on 

considérera  la  no u\ elle  suite 

/{a.,},    7(  «/-//,! /{a2-~/^~i/i2),    J\b.) 

En  conlinuanl  ainsi,  on  formera  deux  séries  de  nombres 
a^  cit ,  0-2,  ...  1  ffm-  ...  vlO,  Oi,  0-2,  ....  0,n,  •  •  • .  Ics  premiers 
croissants,  les  seconds  décroissants,  ou  plutôt  tels  que 

a     «1     «2     .•■•     b}_:  bi>  b-2     ■  ■  ■■ 

En  général,  J\ciin)  et/( •'>'/«)  sont  de   signes  contraires  et 

h-n 
Ki)  b„i  —  a,n^-      „„,    ; 


or  les  nombres  a,u  vont  en  croissant  sans  dépasser  b  :  ils  ont 
donc  une  limite  a.  Les  nombres  b,n  ont  de  même  une  limite  ,3  ; 
or,  en  vertu  de  (i),  b,n  —  ci,a  tend  vers  zéro  quand  m  aug- 
mente indéfiniment  :  donc 

V\mb,n  —  liina,„  =  o     ou     a  -  -  'i. 

Ceci  posé,  considéi'ons/(a);  «,„  et  b,n  dilTérant  de  y.  d'aussi 
peu  que  l'on  veut,  on  pourra  prendre  en  valeur  absolue 

f(  X ,)  —J\a„i  )  <  --,    /( ^)  —  A b,n )  <■=■: 


4  CIIAIMIUK     I. 

or,  zéro  clanl  compris  vn[vc  J\a„,)  cl/(^,„),  on  aura  alors,  cf 

fortiori, 

/(^)  —  o<t     ou    /(a)<s. 

Mais  une  ([uanlilr  fixe  /(a)  (jni  poiil  rlrcM'ciidiu'  iiu)iiulie  (|ii(' 
£,  quelque  pelil  qu'il  soit,  esl  nulle  :  ilonc,  elc.    c.  q.  y.  r>. 
On  conclut  de  là  ccL  autre  ihéorènu^  : 

Tui':oui:ME  II.  —  Une  fonction  J {x)  continue  entre  les 
limites  a  et  b  ne  peut  passer  de  la  valeur  /(a)  à  la  valeur 
J\h)  sans  passer  par  toutes  les  valeurs  i/ttermédiaires. 

Supposons  en  c^cl  /(a)  <<  [J<-<C/(^)!  si  Ton  considère  la 
roncliony'(x) —  [ji.,  celle  fonclion  sera  évldemmenl  conlinue 
pour  loutes  les  valeurs  de  .r  comprises  enlre  a  et  b.  Donc, 
/(a)  —  [X  étant  négatif,  f{b)  —  [jl  positif,  /(x)  —  [j.  passera 
par  zéro  pour  une  valeur  de  x  coni|)rise  enlre  a  et  />,  ouf(^x) 
deviendra  égal  à  u.  c.   q.   f.   n, 

La  réciproque  de  ce  théorcnie  n'est  pas  vraie  ;  une  fonc- 
tion qui  ne  saurait  passer  de  la  valeur  y(«)  à  la  valeury(6) 
sans  passer  par  loules  les  valeurs  Intermédiaires  n'est  j)as  pour 

cela  conlinue  rsin-?  par  exemple,  ne  peut  passer  de  — i   à 

+  I  sans  passer  par  loutes  les  valeurs  inlermédiaii'cs,  et  ce- 
pendant c(,'lle  fonclion  est  discontinue  pour  ^'  =  o  ;  et  non  pas 
parce  (|u'elle  est  indéterminée  j)our  x  =  o,  car,  comme  elle 
n'est  pas  définie  pour  cette  valeur  de  x,  on  peut  lui  assigner 
pour  :r  =  o  la  valeur  zéro,  et  considérer  une  fonction  y"(j?) 

égale  à  sin  -  >  excepté  pour  x  =  o,  et  égale  à  zéro  pour  :r  =^  o. 

Une  pareille  foncliony'(.r)  n'est  pas  continue,  parce  que/(A), 
queUpic  petit  que  soit  A,  ne  peut  pas  rester  moindre  qu'une 
(pianlilé  arbitraire  s.  TouUîfois  on  pciil  dire   que  : 

TnÉonliME  III.  —  Si  une  fonction  /(x)  croissante  (ou 
décroissante)  quand  x  varie  de  a  à  b  ne  peut  pas  passer 
de  f{a)  à  f(b)  sans  passer  par  toutes  les  valeurs  intermé- 
diaires, elle  est  continue  dans  cet  intervalle, pourvu  qu'elle 
ait  une  valeur  déterminée  pour  chaque  valeur  de  x. 


INT  HO  DICTION.  5 

En  circt,  soit  a<^c<^b\  je  dis  <jiic  l'on  peut  choisir  II 
assez  petit  pour  que,  h  étant  moindre  en  valeur  absolue  que 
II,  ou  ait  en  valeur  absolue 

(.)  J\c-     h)-f{c)<t, 

t  étant  une  rpiantilé  donnée  quelconcpic.  En  effet,  si  l'on  ne 
pouvait  pas  satisfaire  à  cette  inégalité  [)Our  une  certaine  valeur 
donnée  de  s,  c'est  que  /(.?")  ne  pourrait  pas  passer  par  les 
valeurs  comprises  entre  y (c)  ety"(c)-|-£,  car  f{jc),  étant 
croissant  avec  x^  ne  pourrait  pas  passer  par  ces  valeurs  pour 
x<^c\\'\  pour  x'^c;  puisque, /(c  -|-  h)  étant  plus  grand  que 
f{c)  -r-  t  ou  égal  à  /{c)  -j-  £,  pour  des  valeurs  de  x  plus 
grandes  que  c  -^  h  ,  J\x)  sera  encore  plus  grand  :  donc  on 
devra  pouvoir  satisfaire  à  (i)  ety"(x)sera  continu. 

Ainsi,  par  exemple,  si  a^o,  ^  variant  de  o  à  co  ,  x' croît, 
et,  comme  on  peut  toujours  prendre  x"^  =  |j.,  u  étant  positif, 
on  peut  en  conclure  que  j;"est  continu  pour  les  valeurs  posi- 
tives de  X,  car  x"  a  d'ailleurs  une  valeur  déterminée  pour 
chaque  valeur  de  x. 

Remarque.  —  Si  f{x)  est  conliini pour  toutes  les  valeurs 
de  X  voisines  de  c,  la  limite  de  j\c  -f-  h)  quand  h  tendra 
vers  zéro,  ou  de  f{x)  quand  x  tendra  vers  c,  seraf{c).  En 
effet, /(:r)  étant  continu  pour  j:  =  r, /(c+ A) — /(c)  peut 
être  rendu  moindre  que  s;  donc- 

lim[/(c-A)-/(c)]  =  o     ou     liin/(c-i-/0=/(c). 

Ceci  permet  de  démontrer  très  simplement  que  la  somme 
ou  le  produit  de  plusieurs  fonctions  continues  est  continu, 
que  le  quotient  ou  la  différence  de  deux  fonctions  continues 
est  continu,  que  si  f{u,  v)  est  fonction  continue  de  a  et  de  v^ 
u  et  v  étant  fonctions  continues  de  x,f  est  aussi  fonction  con- 
tinue de  X. 

Démontrons  seulement  cette  dernière  proposition,  qui  ré- 
sume les  autres  : 

Changeons  x  cnx  -H  A,  a  deviendra  u  4-  y-  «'t  ^'  deviendra 


G  ciiArnm:   i. 

,.  _|_[i;  a  cl  i^  loiulionl  \crs  y.rvo,  d'a\)VÎ-s  noire  iriiiar(HU". 
pour  // =  o;  mais,  /  élanl  conliini  par  raj)i)orl  à  //  li  r, 
/•^,/  _)_  3-,  (H-  1^)  tlifi'i'rcra  1res  pou  (\r  /{(/,  r  H-  P),  lequel  dll- 
lèro  aussi  1res  peu  clc/(f/,  r)  :  donc  f{i/  -I-  a,  r  +  [3)  a  pour 
liniile  f{it,v)  quand  a  et  ^i  tendent  vers  zéro,  c'est-à-dire 
quand  A  tend  vers  zéro.  Cela  revicnl  à  dire  (pic  /(//,»)  esl 
continu  par  rapport  à  ,r. 

J'ai  développé  ces  démonsUalions  dans  mon  Tnuli'  <V y\l- 
îièbre,  mais  je  crois  devoir  les  reproduire  dans  celle  liilrodne- 
lion,  (jui  est  faite  pour  combler  les  lacunes  qui  existenl 
i;ént'ralemenl  dans  les  Traités  d'Algèbre,  rédigés  conformé- 
ment aux  programmes  officiels. 


yi  III.  —  Continuité  des  fonctions  imaginaires  ('). 

Nous  appellerons,  avec  Caucliv,  fonction  (F une  variable 
imaginaire  X  ^y\l  —  ^  loule  expression  di'  la  forme 


Xm-Yv/  — 


où  X  et  Y  sont  fonctions  de  .r  et  r.  Plus  lard  nous  restrein- 
drons la  généralilé  de  celte  définition  :  nous  dirons  que  la 
fonction  X  H-^v/ —  i  est  continue  si  X  cl  \  sont  des  fonc- 
lions  continues  de  x  et  de  r^  11  en  résulte  que,  si 
/(xH-ry' —  \)  est  fonclion  continue  de  x -\- r  si — i,  on 
devra  pouvoir  prendre  H  et  R  assez  pelils  pour  que,  h  et  /. 
étant  moindres  en  valeur  absolue  que  11  cl  K,  on  ait 

inn.l  1  /■(  ./•-.   A-  7H   A  f-~^)  -/(^•--..-'V~^)]<  ^> 


(')  Je  préviens  le  lecteur  que,  pour  moi,  \  —i  n'est  pas  une  quantité  qui 
élevée  au  carré  donne  —  i,  el  je  ne  conviens  pas  de  faire  usage  de  ce  signe 
\r^i  en  vertu  de  lu  généralité  de  r.4/^'r^/e.  Plusieurs  théories  ^/'cs  rigou- 
reuses des  imaginaires  ont  élé  données  par  Caucliy.  On  peut,  par  exemple, 
considérer  les  égalités  entre  imaginaires  comme  des  congruences  relatives 
au  module  i-  H-  i.  (Voir  mon  Algèbre.) 


IN  rUODICTION.  7 

ciir  celle  inégnlilr  re\  iciil   à 

ino(l[\{./'       //.  .r-HÂ-)  ~\(T,y) 

or,  X  cl  ^    élanl   coiiliiuies,  les   (lifTcrcnccs    qui    soiil    enlic 

les  croclicls  peuvcnl  èlre  rendues  moindres  que  -  :  donc   le 

modulodc  leur  somme  sera  moindre  que  s.  La  réciproque  est 
évidente,  car  le  module  d'une  imaginaire  ne  peut  être  très 
petit  que  si  chacune  de  ses  parties  est  très  petite. 

11  est  clair  aussi  que,  si  une  fonction  est  continue^  son   ai 
gument  et  son  module  sont  continus,  et  vice  versa. 

J  IV.    -  Sur  la  représentation  géométrique  des  imaginaires. 

Une  imaginaire  .r+j>'\  —  i  ou  x-\-}-i  peut  être  repré- 
sentée par  le  point  qui,  par  lapport  à  deux  axes  rectangulaires, 
fixes,  a  pour  coordonnées  x  clj-;  clvice  versa,  tout  point  de 
coordonnées  x,y  peut  servir  à  représenter  géomélriquemenl, 
riniaginaire  :r +j)'\  —  i.  Caucliy  appelle  l'imaginaire 

Vafjixe  du  point  (x,  y). 

Quand  nous  dirons  que  le  point  .2" +j' y —  i  décrit  une 
courbe  C,  il  faudra  entendre  par  là  que  le  point  (.z',j')  qui  a 
pour  affixe  rimaginaire  x  -\-y  \j —  i  décrit  celte  courbe. 

Posons 

X'-yJ —  1  -: /•  (cosO     -  y'       isinO) 

ou  bien,  ce  qui  rexicntau  même, 

a7:-;/'CosO,    y -- r  •s\\\^\ . 

r  et  0  seront  le  module  et  l'ai'gument  <\^x  -\- y  y/ —  i  ;  ce  seront 
aussi  les  coordonnées  polaires  du  point  (x,  ^)');  /'et  6  pour- 
rontcommexetr  servir  à  représenter riniaginairejc-|- j'y/ —  i . 
Ainsi  une  imaginaire  pourra  être  représentée  par  une  droite 


s  CIlAl'ITUE     I. 

("gale  à  son  niodulo,  faisant  avec  un  axe  fixe  un  angle  égal 
à  son  argument.  Lavanlage  de  ce  mode  de  représentation 
résulte  du  théorème  suivant: 

La  sonunr  de  plusieurs  imai^iiiaires  est  représentée  par 
la  résultante  (les  droites  qui  représentent  ces  imaginaires. 

En  effet,  soient 

•^-^J\/— ''     ar'-i-jV— i>     x" -.- y"  \/ —  \ ,     ... 
des  imaginaires; 

{x-^x'-^  x"-^...')-^{y-\-y-\-y"~  ...)v/^ 

leur  somme;  x^y  sont  les  projections  sur  les  axes  de  coor- 
données de  la  droite  /•  qui  représente  x-\-y\/ — i,  ...; 
donc  X -^  x' -^  x' -^ .  .  .  est  la  somme  des  projections  des 
droites  qui  représentent  les  imaginaires  en  question  sur  Taxe 
des  X  :  c'est  la  projection  de  leur  résultante  sur  cet  axe; 
y  +y' -\-y' -\-.  .  .  serait  la  projection  de  la  même  résultante 
sur  l'axe  des  7',  ce  qui  démontre  le  théorème. 

Corollaire.  —  Le  module  d'une  somme  est  moindre  que 
la  somme  des  modules  de  ses  parties. 


j  y.   —   Notions  sur  les  infiniment  petits.   —    Nouvelle  définition 

de  la  continuité. 

Nous  appellerons  (^wd^nùlé  in finiment petite  on  inji/ii/nent 
petit  toute  quantité  variable  a^^ant  pour  limite  zéro. 

Nous  appellerons  quantité  infinie  toute  quantité  variable 
que  l'on  pourra  prendre  plus  grande  que  toute  quantité 
donnée. 

Nous  avons  souligné  à  dessein  le  mot  variable.  Il  n'y  a  pas 
de  quantité  fixe  infinie  ou  infiniment  petite;  zéro  n'est  pas 
infiniment  petit,  parce  que  zéro  est  fixe. 

On  Tait  usage  des  mots  que  nous  venons  de  définir  pour 


INTUODLCTION.  9 

abréger  le  langage  et  pour  siin[)lirier  eerlaines  lociilions.  Par 
exemple  : 

l"    On    (lil   que  -  est   iiilini    puur  j:  =  o  ou  cpiand  .r  Icml 

vers  zéro  :  c'est  une  manière  abrégée  d'énoncer  ce  lait,  f[ue  - 
croît  au  delà  de  toute  limite  et  peut  être  pris  plus  grand  fpi'une 
quanlilé»donnée(]uelconf|ue  quand  .r  s'approche  de  zéro  sulfi- 

samment.  On  dit  aussi  que  -  est  infiniment  grand  quand  x 
est  infiniment  petit. 

2"  On  ilira  que  .f-,  .r''.  .  .  .  sont  infiniment  petits  en  même 
temps  ([ue  .r,  au  lieu  de  dire  que  x-,  x',  .  .  .  ont  pour  limile 
zéro  quand  x  a  lui-même  pour  limite  zéro. 

3'  Il  est  absurde  de  dire  que  deux  droites  parallèles  se 
rencontrent  à  l'infini  :  deux  droites  parallèles  ne  se  rencon- 
trent pas  du  tout.  De  pareilles  locutions  échappent  parfois, je 
dirai  même  sont  employées  assez  volontiers  pour  abréger  le 
langage;  nous  les  emploierons  le  plus  tard  possible  et  seule- 
ment quand  le  lecteur  sera  ("aniiliarisé  avec  la  notion  infini- 
tésimale. Voici  maintenant  à  quel  propos  on  peut  dire  que 
deux  parallèles  se  rencontrent  à  linfini. 

Je  suppose  que  D  soit  une  droite  fixe;  si  autour  d'un 
point  A  pris  en  dehors  de  D  on  fait  tourner  une  droite  D'  de 
manière  à  lui  faire  faire  avec  D  un  angle  a  de  plus  en  plus 
petit,  le  point  d'intersection  de  D  et  D'  s'éloignera  indéfini- 
ment du  point  A;  sa  distance  au  point  A  est  donc  infime 
quand  Van^ile  a  est  infiniment  petit. 

On  dit  alors  que  les  deux  droites  devenues  parallèles  se 
rencontrent  à  Vinfini. 

En  acceptant  les  définitions  que  nous  venons  de  d(jnner, 
on  peut  dire  qu'une  fonction  continue  est  une  lonctioii  qui 
prend  toujours  un  accroissement  infiniment  petit  quand  on 
donne  à  sa  variable  un  accroissement  infiniment  petit  quel- 
conque. 

Cette  nouvelle  définition  a  seulement  sur  celle  que  nous 
avons  donnée  plus  haut  l'avantage  de  la  concision;  mais  d  ne 
(aut  pas  oublier,  pour  l'exactitude,  de  dire  que  l'accroisse- 


I()  CM  API  THE    I.     —     IMKOmrriON. 

mcnl  (le  la  variable  csL  un  iiiliniincnl  pclil  (|iielc»)nquc  :  ce 
(iiii  vont  dire  que  raccroisscment  de  la  lonetion  tend  vers 
zéro,  de  rjurhjnr  nuinièrc  que  Ton  lasse  tendre  vers  zéro 
raccroissemenl  correspondanl  de  la  ^ariable. 

Ces  définilions  conviennent  aux  quantités  imai;inaires 
eoniine  aux  quanlilés  réelles;  disons  seulement  qu'nne  (juan- 
lilé  imaj;inaire  est  inlinie  quand  son  module  est  infini  et 
(iirelle  esi  infiniment  pelile  quand  son  module  est  infiniment 
|ielil. 

Rappelons,  en  terminant  celle  Introduction,  un  principe 
sur  lequel  nous  avons  fn'quemmenl  l'occasion  de  nous 
appuver. 

Lorscjirane  rj  un  utile  eafiablc  croît,  sans  dépasser  une 
tjuantité  fixe,  elle  a  une  limite  égale  ou  inférieure  à  celte 
quantité  yixe. 

Quand  une  quantité  vari(/ble  décroît,  sans  de^'cnir  infé- 
rieure à  une  quantité  fixe,  elle  a  une.  limite  égale  ou 
supérieure  et  cette  quctntité  fixe. 


THÉORIE    GÉNÉRALE     DES     SÉRIES. 


CHAPITRE  11. 

TIIÉORII^  Or'XKRALE  DES  SÉRIES. 


J  1.  —  Définitions. 

On  appelle  série  une  siiilo  illimilé*^  fie  termes  qui  se  (or- 
menl  cl  se  suivent  daprès  une  loi  (l('termin''e.  ()ii  appelle 
encore  les  séries  suites  infinies. 

Une  série  est  convergente  quand  l,i  soinnic  de  ses  //  pre- 
jniers  ternies  tend  vers  une  limite  déterminée,  lorsque  n 
augmente  indéfiniment,  en  suivant  du  reste  une  loi  quel- 
conque; cette  limite  est  ce  que  Ton  appelle  la  valeui-  de  l;i 
série  ou  la  somme  de  ses  termes. 

Une  série  qui  n'est  pas  convergente  est  appelée  di\ergenle . 
La  série 

(  ao  —  2]  )  --  (  Xj  —  ao  )  —  (  22  —  2j  j  -  -  (  'J-i  —  '^;  ;  —  ...--(  a..,_i  —  a,.,  )  — 

dans  laquelle  a„  désigtie  un  nombre  qui  a  pour  limite  zéro, 
lorsque   n   augmente   indéfiniment,   est   convergente,   car  la 
somme  de  ses  n  premiers  termes  est  7-0  —  a„.  et  cette  quan- 
tité a  pour  limite  a,,  pour  u  z=  zc  . 
Au  contraire,  la  série 

-^  I  —  I  -    I  —  1  -  -  I  —  ...       1     -  I  -    ... 

est  divergente,  car  la  somme  de  ses  n  premiers  termes  est 
alternativement  zéro  et  i  ;  elle  ne  tend  par  conséquent  pas 
vers  une  limite  déterminée  lorsque  n  croît  d'une  manière 
quelconque. 

On  comprend  difficilement  comment  dillustres  analvsles 
ont  pu  écrire  des  formules  telles  que 

(A;  ^1  _,_:_,_,__...  =  1 


\?.  en  API  TUE    II. 

(Leibmtz,  Lettre  à  Christian  Wolff.  —  Euler,  liistitu- 
tiones  Calculi  diffcrentialis  et  integralis,  Pars  poslerior, 
Cap.  I,  etc.). 

Une   srric    divergente  ne  saurait  représenter -•  En  efTet, 

(pielle  idée  peut-on  se  faire  d'une  somme  composée  d'un 
nond)re  illimité  de  parties?  En  toute  rigueur,  on  n'a  pas 
même  le  droit  <  lé  e  rire 

(i)         ao  =  (ao  —  a,)~(ai  —  ao)^-  .  ..  H-(a„  —  a„+,)—  .  .  . 

lorsque  a„  tend  vers  zéro,  c'est-à-dire  lorsque  la  série  est 
convergente.  On  le  fait  cependant,  mais  seulement  en  vertu 
d'une  convention  qui  consiste  à  séparer  une  série  conver- 
gente de  la  limite  vers  laquelle  tend  la  somme  de  ses  termes 
par  le  signe  =.  Ainsi  la  formule  (  i  )  est  une  manière  abrégée 
d'écrire 

ai,  =  lim[(ao—  aj)-^- . .  .  —  (a„  —  'Xn^i  'J     P'-'ur  /i  =  x  . 

La  formule  (A)  est  donc  absurde,  puisque  la  limite  de  la 
somme  de  ses  n  premiers  termes  n'existe  pas  :  cette  limite 

n'est  donc  pas  égale  à  -• 


i  II.  —  Théorèmes  sur  la  convergence. 

TnÉoniiME  I.  —  Pour  qu'une  sé)-ie  soit  convergente,  it 
faut  que  ses  termes  diminuent  indéfiniment  jusqu'à  zéro. 

En  effet,  soit  la  série 

»o  —  "i  —  l'i  ~-  «3  —  • .  •  -^  ««  - 

Soit,  en  général,  s,i  la  somme  des  /*  premiers  termes;  on  a 

(  I  )  5„-ui  —  S,i  =   Un. 

Si  l'on  suppose  la  série  proposée  convergente  et  si  l'on  désigne 
sa  valeur  {)ar  5,  on  aura 

lim.ç,,^,  =  -s 
I  i  m  Su      =  s  ; 


TIlfiORIE    GÉNÉRALE    DES     SÉRIES.  l3 

donc 

liin5„H_,  —  liiii5„  —  \'\m{s,i^\  —  *«)  =  o. 

Donc,  en  vcrlii  de  (  i  ), 


iiin  u,,  ^=  o. 


Remarque  1.  —  La  dénionslralion  que  nous  venons  d'cm- 
plover,  comme  du  reste  toules  celles  que  nous  emploierons 
dans  lexposilion  de  ces  principes,  est  basée  sur  le  calcul  des 
limites;  elle  précise  le  sens  que  nous  devons  attribuera  la 
locution  diminuer  indéfiniment.  Quand  nous  disons  que  Un 
doit  diminuer  indéfiniment,  nous  devons  entendre  par  là  que 
cette  quantité,  réelle  ou  imaginaire;,  doit  avoir  zéro  pour 
limite,  rien  de  plus  :  ainsi  u,i  peut  tendre  comme  on  veut 
vers  zéro  ;  il  n'est  nullement  nécessaire,  par  exemple,  que 
l'on  ait 

Un  ^  •  "rt-i-l  1     Uii^i  1-- .... 

Remarque  II.  — ■  On  aurait  également  pu  écrire  les  équa- 
tions suivantes  : 

liiii5„^y,  :^  s. 

liiiis,,,       =  s; 
d'où,  retranchant  la  deuxième  de  la  première, 

liai  Un  -  ■  Un^l  —  «rt-H2  -     •  •  .  —  Un^p-i  =  O  . 

ce  qui  conduit  à  ce  résultat  : 

Puur  qii  une  série  soil  convergente,  il  faut  que  lu  somme 
des  p  termes  qui  suivent  le  n'^"^"  ait  pour  limite  zéro 
quand  n  augmente  indéfiniment,  quel  que  soit  du  reste  p. 

Remarque  III.  —  Il  existe  des  séries  dans  lesquelles  u„ 
peut  tendre  vers  zéro  sans  que  la  série  à  laquelle  appartient 
ce  terme  soit  convergente;  l)ar  exemple,  considérons  la  série 
suivante,  appelée  série  harmonique  : 

'        '        '        '  '  ^      _ 


I  1  CII.V  IMTUi:     II. 

II  est  lacilo  do  s'assiiror  (|uo  celle  série  est  divcrj^ente,  car,  si 
Ton  prciul  //  Icrincs  opiès  le  //"""",  la  somme 


esl  plus  grande  «luo  — répelé  //  lois,  c'esl-à-dire  (iiie--  Si 
tlonc  t)ii  ;;roii[)e  les  lennes  de  la  série  liariii()iii(|iie  ainsi  (jii  il 
suit  : 

i.  a  ,1 


I  I 

Il  -    I         II    -  \>. 


on  voit  (|iie  la  somme  de  ses  in  premiers  lermes  est  plus 
i;rande  (pie  -  répélé  autant  de  lois  que  Ton  \  eul.  En  prenant  n 
sulïisanunent  i;rand,  la  somme  de  ces  m  premiers  lermes 
croît  donc  au  delà  de  toute  limite;  donc  la  série  est  diver- 
gente, c.  Q.  F.  D. 

Il  arrive  souvent  que  l'on  rend  une  série  convergente  par 
un  simj)le  changement  des  signes  de  quelques-uns  de  ses 
lermes.  Ainsi  la  série 

III  I  I        , 

wi        3         î  II  "'    Il  -,-  i 

est  convergenle.  En  général  : 

Théoiièaie  n.  —  Si  dans  une  série  les  termes  sont,  à  par- 
tir (le  l'un  d'eux,  indéjiniinent  décroissants  jiistju' à  zéro 
et  alternativement  positifs  et  négatifs,  cette  série  est  con- 
vergente. 

En  efTet,  considérons  la  série 

Ml  -r-  «2  ■       •  •  •  Il  II  ''«  +  1  -  -    ll/t-h-l ...    :    -  11,1^/,.—  Un+p+i  m  .  .  .  , 

dans  laquelle  les  termes  sont  indéfiniment  décroissants  et 
altcrnalivement  positifs  et  négatifs  à  partir  de  u,i. 

Appelons,  en  général,  S„i  la  somme  des  /n  premiers  termes 
de  la  série.  Si  nous  remarquons  que  les  lermes  \ont  con- 
stamment en  diminuanl,  les  (jiianlilés 

"'/  ''/J+l)       U,iJ--2  «,iH_3,        •  •  -,       Uii-hiii  —  l-l'n<r1i>  +  \ 


TIIÉORIK     (if;.Nf- KAI.K     DES    SÉIUES.  |5 

seront  loulcs  posili\cs,  cl,  par  ci)ii>L'([uent, 

(  I  )  ^ii-^l  -'^  «3/1-1-3  ■   -  ^/l-f-5  ■  ^    •  •  •       -  ^«-t-2/>t-l  •  •  •  ^ 

les  quantités  —  ««+i -r //«+-,  .-..  —  t',i+2p  \-"„-i.jp-,  ••• 
seront  toutes  né<jati\es,  et,  par  suite, 

(  "i)  ^n-i-î  ^  S/j-i-i  ^    S/j+G  ]>  .  .  .  ^  ^H+2i>  ,      •  ■  •  • 

Or 

Uonc  S«^2/>  est  plus  grand  que  S/,^_oy,_,,  et,  à  cause  de  la 
suite  d'inégalités  (i),  plus  grand  que  S„^|.  Ainsi  donc  une 
somme  quelconque  comprise  dans  la  suite  S„^2,  S,/+^,  5«+(j 
est  plus  grande  que  S«^,  ;  il  en  résulte  (|ue  ces  sommes, 
allant  constamment  en  décroissant  et  restant  supérieures  à 
S„^i,   (|ui  est  (i\e,  ont  une  limite  S.  Or  on  a 

Faisons  croître /y  intléiinuncnl  ;  le  premier  jiicuiLre  de  cette 
égalité  a  pour  limite  S,  car  au^-2p+\  ^  pour  limite  zéro; 
donc  S„^2p+\  a  pour  limite  S  également;  donc,  de  quelque 
manière  que  croisse  l'entier  w^,  S„i  a  une  limite,  ce  qui  revient 
à  dire  ([ue  la  série  proposée  est  convergente. 

CoioLlaire.  —  On  \oit  que,  la  valeur  de  la  série  étant 
comprise  entre  S,,  et  S„^i,  l'erreur  commise  en  prenant  S 
pour  \aleur  de  la  série   est  moindre   en  \aleiir  absolue  qu<; 

1  nÉOKÈME  IIJ.  —  Quand  une  série  à  termes  positifs  <i 
ses  termes  respeetivemeiit  plus  petits  que  ceux  cV une  autre 
série  également  à  termes  positifs,  et  de  plus  convergente, 
la  première  série  est  aussi  convergente. 

Soient,  en  eflet, 

(  I  )  s  =^  Uq  —  Ui  —  U-2  -^  .  ■ .  -T-  u,i--  . . . 

la  série  convergente  donnée  (on  représente  ordinairement 
une   série  convergente  en  séparant  la  somme   d'un  certain 


l(')  CIIAIMTRK    II. 

nt)inl)re  do  termes  ilc  su  valeur  par  le  siyne  :=  el  en  snppri- 
inanl  le  mot  Uni)  et 

(  ■>.  )  i'o  -~  ï'i  -(-  (S  -+-•••  -^-  t'/j  -t-  ••  • 

Taiilie  sérii^  Soient  s„  la  somme  des  n  premiers  termes  de  la 
série  (i),  /«  la  somme  des  ii  j)remiers  de  la  série  (2);  comme 
l'o  <  ''0?  ^'i  <  '/i <'//  <  ifin  on  a  évidemmenl 

'il    -^  ^n  » 

donc,  a  fortiori, 

ta  <  S. 

Or,  n  croissant,  tn  croît,  mais  t,i  reste  constamment  inférieur 
à  .v;  donc,  en  vertu  d'un  principe  énoncé  page  10,  t,,  a  une 
limite;  donc  la  série  (2)  est  convergente.  c.  q.  f.  d. 

Tutouii.ME  1\  .  —  Une  série  à  ternies  positifs  et  négatifs 
est  convergente  lorsque  la  série  des  valeurs  absolues  de  ses 
termes  est  convergente. 

Eu  efTel,  considérons  à  part  les  séries  des  termes  positifs 
et  des  termes  négatifs  pris  dans  l'ordre  dans  lequel  ils  se 
succèdent  dans  la  série  proposée. 

Soient 
(  I  )  a^  -~  a^  —  a-i  ~r  .  .  .  -^  ai  ~-  . .  . 

la  série  des  termes  positifs  et 

(2)  h^  —  hy-~  ...  ~hu-\- ■  ■■ 

celle  des  termes  négatifs  pris  chacun  en  valeur  absolue. 

Soient  Xi  la  somme  des- i  premiers  termes  de  la  série  (i), 
Jk^^  somme  des  /.-  premiers  termes  de  la  série  (2),  et  s,i  la 
somme  des  n  premiers  termes  de  la  série  proposée.  Nous 
pouvons  toujours  supposer  que  «o,  a^,  .  .  .  .^cii  soient  les  termes 
positifs  de  s,i,  et  60,  bi,  . .  . ,  b^  les  termes  négatifs;  alors  on 
a,  en  appelant  s\^  la  somme  des  n  premiers  termes  de  la  série 
proposée  rendus  positif», 

(3)  s„=Xi—y,., 

(  4  )  Sn=  Xi  —yi, . 


THÉORIE    GÉNÉRALE     DES     SÉRIES.  Ij 

L'éfjualion  (3)  mon  Ire  que  a'^^  est  plus  yraiid  que  X/ct  quc^'^. 
ilonc,  (f  fortiori,  la  liiiille  de  s\^,  qui  par  livpolliùse  existe, 
est  supérieure  à  Xi  el  à  vj^.  Or  Xi  etjA-  sont  des  nombres  crois- 
sant avec  /  et  Â",  mais  constamment  inférieurs  à  la  limite 
de  Sn\  donc  ils  ont  une  limite  chacun,  donc  les  séries  (i)  et 
(2)  sont  convergentes.  L'équation  (4)  montre  que  s,i  a  une 
limite  égale  à  la  dili'érence  des  limites  de  .r,  et  j';;-,  c'est-à-dire 
que  la  série  proposée  est  con\ergente  et  a  une  valeur  égale  à 
la  dillcrence  des  Naleurs  des  séries  de  ses  termes  posilils  et 
de  ses  termes  négatifs. 

TnÉoui^ME  \ .  —  Quand  une  série  ne  perd  pas  sa.  conver- 
gence lorsque  l'on  rend  tous  ses  ternies  positifs,  on  peut, 
sans  altérer  sa  valeur,  intei^'ertir  l'ordre  de  ses  ternies. 

En  elTet,  considérons  d'abord  une  série  convergente  à 
termes  positifs  : 

(1)  s  =   Uq—  Ul-^   U-x-v-  .  .  .  -r-  U„l-T-  .  .  .  . 

Intervertissons  1  ordre  de  ses  termes,  et  soit 

(a)  fo-r- t^i— . .  .  ~  t'« 

la  nouvelle  série  obtenue  après  ce  changement.  Soient  s\^  la 
somme  des  n  premiers  termes  de  la  série  (2),  Sm  la  somme 
des  ni  premiers  termes  de  la  série  proposée;  on  pourra  tou- 
jours choisir  ni  de  telle  sorte  que  tous  les  termes  de  s'^  soient 
contenus  dans  les  m  [)remiers  termes  de  la  série  (  i  ).  On  aura 

alors 

s'u'Lsm     et     s'n<^\\ms„i  ou  <  *. 

Nous  voyons  par  là  : 

i"  Que  la  série  (2)  est  convergente,  puisque  i-)^  ci^oît  avec  n 
sans  dépasser  s; 

2°  Que  la  valeur  5'=  limi'^^  de  la  série  (2)  ne  saurait  sur- 
passer s.  Or  on  démontrerait  de  la  même  manière  que  la 
valeurs  de  la  série  (i)  ne  saurait  surpasser  i';  donc  on  doit  avoir- 

s  =  s' , 

donc  la  série  (1)  n*a  pas  changé  de  valeur.  c.  q.  f.  d. 

L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  ^ 


i8  ciivi'iTin:   II. 

Supposons  aclucllcmcnl  la  série 

(l)  s  =   Uo-r-  Ui--  Uî^  .  ..  -^  II.:—     .. 

à  termes  quelconques. 
Soient 

(3)  ao -+-«1 -f- a2 -f- . .. -!-a,--T- . . . 

la  série  de  ses  termes  positifs  jnis  dans  le  même  ordre  que 
dans  la  série  (  i  ), 

(4)  bo  —  bi-\-...-^b/,-}-... 

la  série  de  ses  termes  négatifs  égalejnenl  pris  dans  Tordre  où 
ils  se  trouvent  dans  l'équation  (  i  ).  Supjiosons  que  la  série  (i) 
conserve  sa  convergence  quand  on  rend  ses  termes  positifs. 
Les  séries  (3)  et  (4)  sont  convergentes,  cl,  si  jc  elr  désignent 
les  valeurs  respectives  de  ces  séries,  on  a 

(5)  s  =  .r  —  v. 

Cela  pose,  changeons  Tordre  des  termes  de  la  sjrie  (i);  la 
série  de  ses  termes  positifs  sera  encore  la  série  (3),  à  Tordre 
des  termes  près.  Or  cette  série  est  à  termes  positifs;  donc 
elle  conserve  sa  valeur.  Même  observation  pour  la  série  des 
termes  négatifs  et  pour  la  série  des  valeurs  absolues  des  termes 
de  la  série  (i  V  11  en  résulte,  d'après  le  théorème  I\  ,  que  la 
valeur  de  la  série  (  i  )  transformée  est  encore  x  — j' ;  donc  la 
série  (i)  ne  change  pas  de  valeur  quand  oij  change  Tordre  de 
ses  termes.  c.  q.  r.  u. 

Remarque.  —  Toute  cette  démonstration  repose  sur  Téga- 
lité  (5);  donc,  lorsque  x  ou  )•  n'existeront  pas,  c'est-à-dire 
quand,  dans  la  série  proposée,  les  termes  positifs  et  négatifs 
ne  formeront  pas  des  séries  convergentes,  la  démonstration 
précédente  tombera  en  défaut.  11  est  facile,  du  reste,  de  donner 
un  exemple  dans  lequel  on  voit  une  série  changer  de  valeur 
(juand  on  change  Tordre  de  ses  termes. 

Considérons,  par  exemple,  la  série  convergente 

.L  _  1  _  .'  _  ^  -i- i  4-        ^1  — _L_dr.... 
'  '  ^  1        VI        0        4    '    5       *  ■  '        /t  "^  «  -H  1 


THÉORIE    GÉNÉRALE    DES    SÉRIES. 


'9 


Remarquons  que  la  série  des  valeurs  absolues  de  ses  lerines 
esl  identi(|ue  avec  la  série  liarnionif[ue  qui  est  diveriicntc. 

En    changeant    sinipleuient    Tordre   des    lerines,    on    a    la 
nouvelle  série 

,   .         _  1  _  1  _  1  _  '  _  '    ^ l f L 

2       4-^       tî       8'"'2n  —  I       4  «  —  2        :\n~  '"' 

Je  dis  que  la  valeur  de  cette  série  esl  la  moitié  de  la  valeur 
de  la  série  (i).  En  efTet,  soit 

.,    .  I        I        I        I        I  I  I  I 


■i.        4        3        G        8       '  '2/1  —  I        4  '<  —  2       4/1 

La  valeur  de  la  nouvelle  série  est  la  limite  dc/(/i)  pour  /?  :=  x  ; 
or  on  peut  écrire 


/<«)=■-■ 


ou  encore 


/(")  =  ;( 


I        I 

I                I 

""  6  ~  8  ^ 

4  'i  "~  2       4  " 

I         I 

'  \ 

2            3 

2  /<  —  I            '2  /l  / 

Pour /7  =  ce  ,  la  quantité  entre  crochets  tend  vers  la  valeur  de 
la  série  (  i)  :  ainsi  la  limite  de/(/i)  ou  la  valeur  de  la  série  (2) 
est  la  moitié  de  la  valeur  de  la  série  (i);  il  est  donc  bien 
prouvé  que  l'on  n'a  pas  toujours  le  droit  de  changer  l'ordre 
des  termes  d'une  série. 

Jusqu'ici  nous  n'avons  guère  parlé  que  de  séries  à  termes 
réels;  mais  on  l'ait  un  fréquent  usage  en  Analyse  de  séries  à 
termes  imaginaires. 

Une  série  à  termes  imaginaires  peut  se  mettre  sous  la 
forme 

,  i   (  f^,  —  f  0  V^  —  I  )  —  (  «1  -i-  1^1  \/  —  1  ) 

Celle  série  sera  convergente  si  les  deux  séries 
(2)  Uti  -r-  Ui  -{-  U2  -i-  ■  ■ .  —  u„  -;-..., 

(3  )  Vo—  Vl   -■-  Vi  -7-  .  .  .  —  Va  —  .  .  .  , 

formées  des  parties  réelles  et  des  coefficients  de  ^ —  i  dans 
tous  ses  termes,  sont  toutes  deux  convergentes. 


20  t:  n  V  r  n  II  E   1 1 . 

En  cfTet,  soient  5„  la  somnu^  des  n  premiers  termes  de  la 
série  (  i  ),  a-/,  elT,,  les  sommes  des  n  premiers  termes  des  séries 
(a)  et  (3);  on  a 

Sa  =  <^n  -^'n  /— ^• 

En  j-iassanl  aux  limites  et  en  désignant  par  7  et  t  les  valeurs 
des  séries  (2)  et  (4),  on  voit  (]ue 

1  i  m  s,-,  ^    7  —  T  v^  —  1  ; 

donc  la  série  (i)  est  convergente.  c.  q.  r.  n. 

Rf.marque.  —  Il  est  clair  que,  si  l'une  des  séries  (2)  ou  (3) 
eût  été  divergente,  la  série  (  i  )  l'eût  été  pareillement. 

ThéokLmeM.  —  Dans  une  série  à  termes  imaginaires, 
si  la  série  des  modules  des  différents  termes  est  com'er- 
i^ente,  cette  série  est  elle-même  convergente  et  l'on  peut, 
.'■.ans  altérer  sa  convergence,  intervertir  V ordre  des  termes. 

En  effet,  considérons  la  série  (i).  Les  séries  de  ses  termes 
réels  et  des  coefficients  de  \ —  1  sont  convergentes  indépen- 
damment des  signes  de  leurs  termes,  car  ceux-ci  sont  i-espec- 
livcment  plus  petits  que  ceux  de  la  série  des  modules  qui  est 
à  termes  positifs.  On  peut  donc  changer  l'ordre  des  termes 
(le  ces  séries  sans  en  altérer  la  valeur,  ce  qui  revient  à  dire 
(jue  Ion  peut  changer  l'ordre  des  termes  de  la  série  proposée 
elle-même.  c.   q.    f.   d. 

Une  série  qui  ne  perd  pas  sa  convergence  quand  on  réduit 
-es  termes  à  leurs  modules,  et  dont  on  peut  altérer  l'ordre 
lies  termes  sans  changer  sa  valeur,  est  dite  absolument  con- 
vergente. 

J  III.  —  Régies  de  convergence. 

On  connaît  un  grand  nombre  de  règles  permettant  de 
leconnaître  si  une  série  donnée  est  convergente  ;  mais  un  petit 
nombre  de  caractères  suffisent  dans  la  [ilupart  des  cas,  et 
nous  allons  les  faire  connaître. 


THÉORIE    GÉNÉRALE    DES    SÉRIES.  9.1 

Théorème  I.  —  Toute  progression  géométrique  diMiL  lu 
raison  est  un  nombre  réelou  imaginaire  de  module  moindre 
que  I  est  une  série  convergente. 

En  cfTcl,  une  telle  progression  peut  se  mettre  sous  la  forme 

( I )  a     -  a.r  —  ax-  —  ...  -  -  a  j""       .... 


Or,  cpiel  que  soit  x^  la  somme  des  n  —  i  premiers  termes  est 


égale  à 


Si  le  module  de  x  est  moindre  que  i,  j:""*"'   tend  vers  zéro, 
et  la  somme  des  n  premiers  termes  tend  vers  la  limite  finie 

pour/?  =  GO  .  La  série  (i)  est  donc  convergente,  ce  qu'il 

fallait  démontrer,  et  l'on  a 


^=  a  -r-  ax  —  ax-  -;-...  -f-  ax"  -- 


Si  Ton  remplace  x  par  ^  en  supposant  mod  -  <^  i ,  on  a 


^=  a  —  a 

a  —  z 


et,  en  faisant  a  =  -■> 


I        ;:        z- 
a       a-       a* 


cette  formule,  qui  nous  sera  utile  plus  tard,  a  lieu  pour  toutes 
les  valeurs  de  z  et  de  a,  telles  que  rtiodc  <r  mod  a. 

TuÉontME  II.   —  Si,  dans  une  série  à  termes  positifs 
( I )  uy~  u-i-'. . .  —  U;,  -i-  u„+^  ---..., 

le  rapport -^^  d^ un   terme   au  précédent    tend  vers    une 

limite  inférieure  à  l'unité  ou  reste  constamment  inférieur 
à  un  nombre  'xflxe  moindre  que  i,  cette  série  est  com'er- 
gente. 

Observons  tout  d'abord  que,  la  limite  de -^ étantmoindrc 


22  CHAPITRE     II. 

(|iie  ruiilli',  -—  Iniiin.  |)()ur  dos  valeurs  sulfisanimciil  j;ranc]es 
de  II,  par  dillérerde  sa  liniile  de  moins  que  celle  liniile  ne 
difTère  de  limité  et,  par  siiile,    ""^'  finira  par  rcsler  moindre 

lin 

qu'un  nombre  a  fixe,  moindre  lui-même  que  l'unité;  ainsi 
nous  n'avons  besoin  de  démontrer  le  lliéorcme  (pic  pour  le 
cas  où  Ton  a,  pour  ti  suffisamment  j^rand, 

Un 

de  là  on  lire 

lln+\  <  2e<„, 
et  de  même 

lln+1'  ^  ïW/i+1,       lln+3     ,  ^"«+2;       •  ■  •  • 

On  lire  de  ces  formules 

La  série  considérée  a  donc  ses  termes  respeclivemcnl  moindres 
que  les  termes  de  la  progression  géomélrique 

a  Un  -f-  ^2  Un  -f-  a'  Un  --..., 

dont  la  raison  a  est  moindre  que  i  et  qui,  par  suite,  est  con- 
vergente; la  série  proposée  elle-même  est  donc  convergente. 

Corollaire.  —  Si  dans  une  série  à  termes  quelconques  la 
limite  du  rapport  d'un  terme  au  précédent  a  un  module 
moindre  que  V unité,  ou  si  le  rapport  d'un  terme  au  pré- 
cédent conserve  un  module  moindre  quun  nomO/e  y.Jixe 
moindre  que  i ,  cette  série  est  convergente. 

Car  la  série  ("orméc  des  modules  de  ses  termes  est  conver- 
gente, en  vertu  du  théorème  précédent  (p.  21). 

Remarqi  e  I.  —  Si  le  rapport  — ^^  tendait  ve/s  une  limite 

Un 

supérieure  à  l'unité  ou  restait,  à  partir  d'un  certain  terme, 
supérieur  à  l'unité,  la  série  serait  divergente ,  car  les 
/.ermes  iraient  en  augmentant. 


T  il  1 1)  u  1 1:   (i  f-  N  i;  it  \  1. 1:    u  !•:  s    s  k  u  1 1;  s .  23 

UrMARQur,  II.  —    Si  la  liniilc —^^' rlail  l'iiiiilt;, —^^' n'étant 

pas  constamment  snprriciir  à  i,  on  ne  pourrait  [)liis  rien  affir- 
mor  relativemcnlàla  convergence  de  la  série,  et  ilfaiidrait  avoir 
recours  à  d'autres  caractères  pour  dt'cider  si  la  série  proposée 
est  convergente  ou  divergente. 

Remarque  III.  —  Il  est  facile  d'évaluer  une  limite  de  l'erreur 
commise  quand,  pour  calculer  la  valeur  de  la  série  (i),  on  se 
hornc  à  faire  la  somme  des /^  premiers  termes,  I^  effet,  cette 
erreur  est 

or  i/,i+\  <C  "•'■ff/i,  f'ii-2<C  '^■'  ff/i d'après  ce  que  l'on  a  vu  : 

donc  l'erreur  est  moindre  que  la  valeur  de  la  progression 

a  u,i  --  a2 11,1  -^  2^  Un  --  .  .  • 
OU  que 


Théorème  III.  —  Si  Von  a  deux  séries  à  termes  positifs, 
l'une  convergente 

(i)  s  =  cio  -^  ai  -^  a.2  -^  .  . .    -  a„  -r-  a„+i  -^  . . . 

et  l'autre 

(■>.)  fjt)~  bi  —  .  .  .  -.-b,t  —  b„^i  -•- 

telle  que  le  rapport  cV un  terme  précédent  -j^  soit  con- 
stamment inférieur  au  rapport  correspondant  — ^^  dans  la 
première,  cette  dernière  est  convergente. 

En  effet,  la  série  (i)  étant  convergente,  la  suivante  le  sera 

aussi  (  '  )  : 

,        bo  bo  b(,  ^0 

^0 "i «1-1 a^---  . . . a,i  ". (iii-\-i  -;-.... 

«J  «il  «0  «0 

(')  Si  l'on  (•[)rouvait  quelques  doutes  à  cet  éganl,  ils  seraient  levés  par  le 
théorème  II  du  paragraidic  suivant,  llicorème  (jui  pourrait  trouver  sa  place 
ici. 


24  CIIAPITUK    IT. 

Celle  série  peul  s't'crire  ainsi  : 

Ci\  h        b   —  -^  b   —  —    •  -^b     ^"     ""~^  ...  —    • 

"~^     '^  c^^,     '       "«1^0         •••     '      "«„_,    a„_2  «2 

Mais  la  série  (2)  peut  se  mettre  sous  la  l'orme 

bi         .    bi   bi                           b„      b„^j          bx    , 
bo-^Oo-j bo-,     -. ...  -  -  b„ -         ...  —  -!    

or  celle  série  a,  en  vertu  de  notre  hypothèse,  ses  termes  res- 
pectivement moindres  que  ceux  de  la  série  (3),  qui  est  con- 
vergente; donc  la  série  (2)  est  elle-même  convergente. 

c.   Q.   F.   n. 
Il  est  facile  de  déduire  de  là  le  théorème  précédenl. 

Ïhéouème  IV.  —  La  série 

^^'  i/'    '    i'^    '    V^ n'^  "^  (n-f-  i/^-    ■    ■■■ 

est  convergente  ou  divergente  selon  que  kest  plus  grand 
ou  plus  petit  que  i . 

En  effet,  supposons  d'abord  A'  plus  grand  que  i  ;  la  série 
précédente  peut  s'écrire,  en  groupant  les  termes  (ce  qui 
n'altère  pas  la  convergence  ou  la  divergence  de  la  série,  puis- 
qu'elle a  ses  termes  positifs),  de  la  manière  suivante  : 

\  i''      2/'  '  V3^      4^7   '  ■•* 

Si  l'on  suppose  /<\>  i,  le  terme  général  de  la  nouvelle  série 
est  moindre  que -^.répété  1"  fois,  c'est-à-dire  moindre  que 
— -, — -:  les  termes  de  cette  série  sont  donc  moindres  que  ceux 
de  la  progression  géométrique  décroissante 


■4- 


elle  est  par  conséquent  convergente. 


THÉORIE    GÉNÉRALE    DES    SÉRIES.  2.j 

Si  au  contraire  /«•  <<  i,  alors  la  série  (2)  a  ses  Icrines  plus 
grands  respectivement  que  ceux  de  la  série  harmonique;  elle 
est  donc  divergente  dans  ce  cas. 

Dans  la  série  (i),  le  rapport  d'un  terme  au  précédent  est 
de  la  forme 

I  I 


{n  -T-  !/••  *  /;''•■       (  I 


/i 


si   A"  est  plus    grand  ([ue    i,   cette  quantité   est  évidemment 

moindre  que  y  On   peut  donc  énoncer  le  théorème  sui- 

I  H — 
n 

vaut  (')  : 

THKORÈME^  .  —  Si  dans  une  série  le  rapport  d'un  terme 
au  précédent,   ayant  pour  limite  V unité,  peut  se  mettre 

sous  la  forme  — —^i  et  si  ny.  tend  vers  une  limite  k  plus 

grande  que  i,  cette  série  sera  convergente. 

Les  règles  de  convergence  que  nous  venons  de  donner  suf- 
fîsentdanslaplupartdescas  ;  nous  donnerons  dans  les  exercices 
quelques  règles  nouvelles,  en  laissant  au  lecteur  le  soin  de  les 
démontrer. 

Applications.  —   1°  Cherchons  si  la  série 

3  5     „  «-  ^  I 

i-T-  -X X-  -^  .. .- j:"-'  -•-... 

3  10  «--i-i 

est  convergente.  On  a  ici,  pour  l'expression  du  rapport  d'un 
terme  au  précédent, 

(n  -4-1)^  —  1  n"-  -"  I 
( yi  -+-  I  )2  -^  I  n-  —  I 

pour  /i  =  ce  ,  la  limite  de  cette  expression  est  x.  Donc  la 
série  est  convergente  si  mod^c  <<  i ,  divergente  si  modj?  >  i  ; 
enfin,  si  modj:  =  i,  elle  est  encore  divergente,  parce  que  les 

(')  Raabe  et  Duhamel  l'ont  trouve  à  peu  près  en  même  temps. 


9.G  cir.vpiTiu:   ii. 

modules  dos  termes  oui  pour  liuiiic  i  et  par  suilc  ne  tendent 

|>as  vers  /.éro. 

2"  Cherchons  si  h\  sérl/' 

II  I 

3>      '     6 Il-         Il 

est  convergente.  Le  rapport  d'un  terme  au  prreédenl  a  pour 

expression  générale 

Cette  expression  peut  s'écrire 


expression  générale >  dont  la    limite   est  i 

^  ^  (/i-r-    1;- (^/i-4-   1; 


.         "  — '^  / 

V.n  multipliant—-^ par  /?,  on  obtient  une  quantité  dont  la 

^  II-  —-  Il  '^  ' 

limite,  pour  n  ^^  go  ,  est  2.  Donc  la  série  est  convergente. 

IV.   —  Des  calculs  que  l'on  peut  effectuer  sur  les  séries. 

ThûgrIcme  I.    —   Si   Von   considère    les    séries    conver- 
ge nt  es 

A   :  -  «0  -i-  «1  -^  •  •  •    -+-  «//  "••■■, 

C  —  c  -•-  Cl  -i- ...  -h  r„  -!-...  , 


la  série  cirant  pour  ternie  général 

Un  T=  a.,1  ZJZ  0,1  ZzZ  C,i  7  7... 

est  convergente  et  a  pour' valeur  A  Hz  B  ±:  C  d= 
Ku  elTet.  on  a 


V",,,.     v"„.^y",,^y 

■^"■ll  ^^,\  ^^n  •«»■ 


Si  Ton  suppose  que  n  augmente  indéfiniment,  on  voit 
que  y  u  di  une  limite  ('gale  à  ±  A  rh  B  dr  C  ±  .  .  .  ,  ce  qui 
démontre  le  tln'orème  énoncé. 


Tllf:ORIE    GÉNl'UALE    DES     SftniES.  O.- 

Théorème  II.   —   Si  la  série 

s   r-    U^   -1-    »,  .-    .  .  .    ^   »„   _.  .  . 

est  com'ergente  et  a  pour  valeur  s, 

a  «0  -'--  (^  "i  -i-  •  • .  '-a  u,i  -^  . . . 
sera,  convergente  et  aura  pour  valeur  as. 
En  cfTcl, 

Donc,  si  n  augmente  indéfiniment,  2_,  {mi)  a  une  limite 
égale  il  a  lim  7    u  ou  à  as.  c.   o.   f.   d. 

Théorî:me  III.    —   Si  la  série 

s  —  «0  -'■-  "1  -'-  u-z  ~.-  . . .  -h  Un  -T-  .   . 

est  convergente  et  a  tous  ses  ternies  positifs,  si  de  plus 
ao,  fl,,  ..  . ,  a,i,  . .  .  sont  des  nombres  positifs  qui  ne  crois- 
sent pas  au  delà  de  toute  limite, 

a(,  Ko  -.-  «1  Ui  -i-  «2  "2  -:    •  •  •        «sr,,  Un  —  ... 

sera  convergente. 

En  cfTel,  en  désignant  par  A  un  nombre  plus  grand  que 
<7|,  «2,  . . . ,  ci,i,  . .  . ,  cette  série  a  ses  termes  respectivement 
plus  petits  que  ceux  de  la  série  convergente 

A  5  =  A  «0  -^  A  «1  ~   .  .  .  -r-  A  K/i  -i- . .  . , 

qui  est  aussi  à  termes  positiis. 

Abel  a  démontré  que  le  théorème  précédent  était  encore 
vrai  pour  une  série  convergente  quelconque  si  les  nombres  a^^, 
<7,,  ...,«2»  •••  allaient  constamment  en  décroissant;  en  elTet, 
dans  cette  hypothèse,  en  posant 

(  I  )  «0  -^  «1  -^  •  • .  —  ««  =  s,„ 

(2)  ao"o  -^  «1  Mi  -Î-. .  .--  «««,j  =  t,t, 

on  a  les  relations  suivantes  : 

U<i  =  «oj       ''l  =  •Si  —  ^o,       •  •  •  ,       Un  ^=  Sn  —  S/t-  j ,       .  .  .  , 


28  CM  AI' nui;  ii. 

cl  par  const'qiiont.  on  poitiinl  ces  valeurs  dans  l\'(|nalion  (;>), 

tn  =  OoSt)  -r-  cil  (Sj ^o  ^     •-...-!-  tt,,  {s,,--  S„-i), 

ce  que  l'on  peut  écrire  ainsi  : 

(3)  /,,  =(«0  —  «l)5o      '(Ol  — «2)5l  -^...    f-rt,,s,.,. 

Dans  cette  égalité,  les  coefficients  de  .s,,,  .f,,  ...  sont  tous 
positifs,  car  a^,  rt,, ..  .  vont  en  décroissant;  mais,  si  0  désigne 
une  moyenne  entre  les  quantités  5o,  s^,  .  .  .  ,  s,i,  on  aura 

^,  —  0[(r7o  -  «i)  — («1  — «2)--.  ..  -H-a/»]  =  «oO. 

Or,  71  augmentant  indéfiniment,  H  conserve  une  valeur  finie; 
donc  //^  conserve  une  valeur  finie.  Supposons  alors  .Çq,  s'i,  •  •  •  , 
Sn,  •  •  •  positifs  (s'il  n'en  était  pas  ainsi,  on  augmenterait 
convenablement  u^)',  t„  croît,  en  vertu  de  l'équation  (3), 
avec  /?,  sans  devenir  infini  :  il  a  donc  une  limite;  par  suite, 
la  sériera)  est  convergente.  c.  q.   f.  n. 

TnÉ0Tii:Mr-  IV.  —  Si  les  séries 

(  I  )  s  —  Uo  -  -  «i  --  «2    -  ...  —  u,t 

(2)  t  =  Vo—Vi  —  v-x-^- . . .     -v,i-~... 

sont  absolument  com-er^^entes,  c'est-à-dire  si  la  série  des 
modules  de  leurs  termes  est  rDnverfiente  (p.  20),  la  série 
dont  le  terme  général  est 

est  convergente  et  a  pour  valeur  st. 

1"  Supposons  d'abord  les  séries  (  i  )  et  (2)  à  termes  posi- 
tifs; nous  aurons 

(3)  j  —^0     ^-^.         ^^0 

(  1-  K„(t'i  -î-  Vi  -!-...   -t-  Vn)- 

Considérons  maintenant  le  produit  V    //    >     v.  Le  terme 
de  ce  produit   dans  lequel  la  somme   des  indices  est  la  plus 


THÉORIE    GÉNÉRALE    DES    SÉRIES.  29 

i;raiulc  csl  1  m .  Si  donc  im  csl  moindre  que  n  ~{-  i ,  ou  si  m 
esl  le  plus  j^iand  entier  contenu  dans  —  — ,  tous  les   termes 

de     >     «    >     e  se  trouvent  compris  dans    >    iv.  On  a  donc 

2"  ^  v'"  v'" 

Or,  en  vertu  de  régalitc  (3), 

>      w  <i     ^      «     >      V. 

Mais,  si  Ton  suppose  (pie  ni  et  n  augmentent  indéfinimenl, 
7    «    >    e  et  >     U7     e  tendront  tous  deux,  vers  st.  Alors 

^    4\',  (pu  reste  compris  constamment  entre  ces  deux  pro- 

duits,  tendra  aussi  vers  la  limite  st.  Le  tli(}or(jme  qui  nous 
occupe  est  donc  démontré  pour  le  cas  où  les  séries  (i)  et  (2) 
sont  à  termes  positifs. 

2°  Supposons  que  les  séries  (  i  ),(2)  à  termes  réels  ne  perdent 
pas  leur  convergence  quand  on  rend  leurs  termes  positifs. 
Considérons  d'abord  les  termes  des  séries  (  i)  el  (2)  en  valeur 

absolue.  Tout  ce  qui  dans  l'égalité  (3)  suit    7    (v  a  pour  li- 

mite  ZL-ro,  car    >//><'  et    ^    w  ont  même  limite,  d  ajîres 

ce  (jue  nous  venons  de  voir  tout  à  l'heure.  Il  en  sera  encore 
de  même  «yb/'^/ori  quand  on  aura  rendu  aux  termes  des  séries 
(  I  )  et  (2)  leurs  signes  respectifs.  Par  conséquent,  si  dans 
l'égalité  (3)  nous  supposons  que  n  augmente  indéfiniment, 
il  vient,  en  passant  aux  limites, 

>•   v" 

st  =  Jim   >     ir, 

ce  qui  démontre  que  le  théorème  est  encore  applicable  dans 
le  cas  où  les  séries  ne  perdent  pas  leur  convergence  quand 
on  rend  leurs  termes  positils. 


3o  cn.vrnitE   ii. 

3°  Considérons  enfin  le  cas  où  les  séries  (i)  et  (2)  seraient  à 
termes  imaginaires.  Nous  supposerons  les  séries  des  modules 
de  leurs  termes  convergentes,  et  nous  poserons  en  général 

u„  =  p,i  (cos  T-n  -i-  \/—  I  sin  a„), 
Vn  =  qn  (<^os;3„  -f-  V  --  i  sin^,,')- 

Alors,  en  vertu  de  ce  que  nous  avons  démontré  dans  le  pre- 
mier cas,  la  différence 

>      ^,  X      q—^     pq  =^piqn  —Pl{qn-i  —  qn)—--  ■ 

-+-/>« {qi~-qi  —  ---  -^ qn) 

aura  pour  limite  z '-ro  ;  il   en  sera  de  même  a  forliori  de  la 
quantité 

/),(cosai  ~  v'—  I  sin  a,)^„(cos  a,j  -i-  </—  1  sina„) 

—  (/-ocos  a2-^  V''—  I  sin  a,)  [^„_,  (cos  a„_i -r-  /—  i  sina„_i) 

~  q,i(cosx,t  -f-  /—  I  sina„)] 

qui  n'est  autre  chose  que   ^^i  r-   i- //^  (t^/,_,  +  T//) -f- —  L'é- 
galité  (3),    en   passant    aux  limites,   lournira    donc    encore 

st=y     tv,  et  le  théorème  est  encore  ^  rai  dans  ce  dernier 

cas. 

V.  --  Sur  un  théorème  de  Cauchy. 

Presque  tous  les  théorèiiies  que  nous  avons  établis  direc- 
tement sur  les  séries  sont  la  conséquence  immédiate  du 
théorème  suivant  de  Cauchv  : 

Pour  qiï  une  série  soit  cornez-ge/itc,  il  faut  et  il  suffit  que 
la  somme  des  p  termes  qui  suivent  le  n'^'"^  tende  vers  zéro 
quand  n  et  p  augmentent  indéfiniment,  quelle  que  soit  la 
manière  dont  on  fait  croître  ces  deux  nombres. 

Toute  la  démonstration  que  nous  allons  faire  repose  sur  le 


THÉORIE    GÉNÉRA  LE    DES    SÉRIES.  3l 

sens  que  l'on  alliibue  àccs  mois  «  quelle (juc  soil  la  manière 
dont  on  fait  eroîlre  n  et  />  »  ;  nous  allons  l'expliquer.  Soil 

une  série;  nous  a\oiis  déjà  prouvé  que,  si  l'on  appelle  s,i  la 
somme  des  n  premiers  lermes,  s„j^p — ■  s,i  lend  vers  zéro, 
quel  que  soil/>,  quand  n  augmenle  indéfiniment  si  la  série 
est  convergente;  ce  qu'il  faut  prouver,  c'est  que  : 

S'il  est  possible  de  trouver  des  nombres  n  et />  tels  que,  v 
étant  su[)érieur  ou  égal  à  /^  —  supérieur  ou  égal  à  /y,  on  ail. 
quels  que  soient  d'ailleurs  v  cl  —, 


£  étant  une  quantité  donnée  fixe,  aussi  pelile  que  l'on  voudra, 
la  série  est  convergente. 

La  formule  (i)  revient  à  celle-ci 


S.,+r.--S.^=r   Os, 

(•désignant  une  quantité  de  module  moindre  que  i.  Sup- 
posons £<^i;7:peut  être  pris  assez  gi-and  pour  que,  quel 
que  soil  -',  on  ail  de  même 

0' désignant  une  quantité  de  module  moindre  que  i ,  t:''  pcul 
èlre  pris  assez  grand  pour  que 

et  ainsi  de  suite.  Ajoutons  ces  formules,  nous  aurons 

La  différence  entre  iv  et  la  somme  5,^_^.__^  .  d  un  nombre 
consécutif  de  termes  de  la  série  aussi  grand  que  Ton  veut  es! 
donc  représentée  |)ar  une  série  convergente  0;  -4-  ^)' t- -r- .  .  .  , 
puiscpie  les  modules  de  ses  lermes  sont  moindres  que  les 
lermes  de  la  progression  £  -4-  s-  4-  •  .  • ,  qni  est  convergente. 
Cela  revient  à  dire  que,  en  faisant  croître  l'indice  n  d'une 
certaine  façon,  la  somme  s,t  lend  vers  une  limite  fixe  s.  Je 


0  2  CHAPITRE     II. 

(lis  que,  de  quelque  manière  (juc  croisse  cet  indice,  la  limite 
sera  toujours  la  même.  En  eflct,  supposons  n  et  n'  assez 
grands;  mod(5„-  —  5„),  par  hypothèse,  peut  être  rendu  moindre 
(|uc  £;  en  d'autres  termes,  on  peut  poser 

or  s,t  a  une  limite  s  cl  Ton  peut  j)0ser  en  même  temps 

Sn—  s  -^Wt, 
0'  ayant  un  module  moindre  que  i  ;  donc 

s,i'  diffère  donc  de  s  d'aussi  près  que  Ton  veut  :  donc  enfin  la 
série  proposée  est  convergente. 

VI.  —  Séries  uniformément  convergentes. 
Une  série 

dont  les  difféx'ents  termes  sont  fonctions  de  x.,  )',  z,  .  .  .  est 
dite  uniformément  convergente  entre  des  limites  données  de 
ces  variables,  s'il  est  possible  de  prendre  n  assez  grand, 
mais  fixe,  de  telle  sorte  que,  quelles  que  soient  les  valeurs 
données  à  JC ,  y  ^  z-,  .  .  .  entre  les  limites  en  question^  on  ait 
toujours,  quel  que  soit  /), 

i  =  .N 

mod    /    Ui  <  £, 

i—'S+p 

z   étant  une  quantité  fixe   quelconque    et  N   désignant  une 
quantité  égale  ou  supérieure  à  n. 
La  série 

est  unilormémcnt  convergente  pour  les  valeurs  de  x  dont  le 
/nodule  est  inférieur  à  a<^i  ;  car,  pour  rendre 


THÉO  un:  génékali:   ues   séiuks.  33 

il  sulfil  de  prendre 

mod 


I  — X 

On  salisfail  à  celle  foriutde  en  prenant 

a«-t-'  Io';(t  —  aï) 

<;  î     ou     n  ~  \  <  i » 

I  — a  \u'^% 

ee  qui  délcrinine  pour  n  une  valeur  indépendante  de  x. 
Au  contraire,  la  série 

x{e-^—  2e---^)-f-  x{ïe--^  —  le-"^-^ )  -t-  . . . 

^  xi^nc  "-^  —  /t-f-ie"'-^"-^)--  . .. 

est  convergente  quel  que  soit  x,  puisque  la  somme  de  ses  ii 
premiers  termes  est  j:e~-^  —  (/i  +  i)j:e~'"+'^-^,(|ui,pour/i  =  x, 
a  pour  limite  xe~^  \  mais  elle  n'est  pas  uniformément  conver- 
gente pour  les  valeurs  de  x  voisines  de  zéro,  puisque,  pour 
satisfaire  à  la  formule 

xe-'  —  in-^x  )jre-«-+-')-^<  -, 
il  iaudiait  prendre 

X 

et  (jue  les  valeurs  de  n  susceptibles  de  satisfaire  à  cette 
inégalité  dépendent  de  x  et  croissent  quand  x  tend  vers  zéro. 

VII.  —  Théorème  d'Abel. 

Théorème  I.  —  Soient  '.p,(x),  'jj.^ix),  .  .  .,  q„{x),  .  .  .  des 
Jonctions  continues  de  x,  pour  toutes  les  valeu/s  de  celte 
variable  contenues  dans  une  aire  A.  Supposons  fjue,  pjour 
ces  valeurs  de  x,  la  série 

(\)  F<>j=  'fii'j')—  'f2C^)"  ...  —  o„Cx)—  . .. 

soit  uniformément  con<^ergente  ;  la  valeur\\x)de  la  série 
sera  continue  pour  toutes  les  valeurs  de  x  en  questio/i. 

En  effet,  posons 

Çi(-r)  -^ '^,{x) -i- . . . -i-  'f„_i(jr)  =  •i(x), 
z,„(x)~  'i„+i(^)  —  .  ..  =  R(x); 
L.  —   Traite  d'Anatjse,  l.  3 


o-i  cil  Al' nui:    II. 

on  aura 

et,  en  donnant  à  a*  un  accroissement//,  tel  que  le  poliil  .r  -f  // 
soit,  coniiiic  .r.  à  rinli'ricur  do  l'aire  d(>  A, 

I\.r  -i-  /i)=  'l^.r  -i-  /i  )-.-  l\{.r  -~-  h). 

De  ces  formules,  on  lire 

V{x-h  /i)  —  V{t)  =  'l{^x-^  /i)  —  'l(x)-h  R{T-^  h)  —  R{x): 

or,  la  série  (i)  étant  uniforinément  convergente,  on  peut,  (juel 
que  soit  :r,  satisfaire  à  la  formule 

niod  U(.r)<  z 

au  moven  d'une  même  valeur  de  n  ;  on  aura  donc  aussi  pour 

cette  valeur 

modK(.r-i-/i)<£ 
et,  par  suite, 

(2)  mod[R(^^-/0  — R(J")]<2^- 

n  avant  été  ainsi  choisi,  on  pourra,  puisque  'y , ,  '^o, ....  'i„_, 
sont  des  fonctions  continues  en  nombre  limité  et  que,  par 
suite,  leur  somme  '}(-ï^)  est  continue,  satisfaire   à  la  Ibrmule 

(3)  mod['l{x-^h)  —  'l(x)]<i, 

pour  toutes  les  valeurs  de  h  dont  le  module  sera  inférieur  à 
une  quantité  II.  En  observant  que  le  module  d'une  somme 
est  moindre  que  la  somme  des  modules  de  ses  parties  et  en 
ajoutant  (2)  et  (3),  on  voit  que  l'on  aura,  pour  toutes  les 
valeurs  de  h  suffisamment  voisines  de  zéro, 

mod[4'(a:-h  h)  —  •\>{x)-\-  R{x -~  h)  —  R{x)]<.'it 
ou 

mod[F(3r-4-A)  — F(^)]<3£; 

or  3c  est,  comme  t,  une  quantité  aussi  ])etite  que  l'on  veut; 
donc  la  valeur  F(x)  de  la  série  (i)  est  continue. 

THÉor.i;ME  II.  —  Toute  série  ordonnée  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  x,  telle  rjue 

(1)  a^-r  aix -\- aiX--\r- ...-{- anOc"-k- ...  ^ 


TIlfiOHIE     (Jfi.Nfill  ALK    1)  K  S     SlïlUKS.  35 

d(ins  laquelle  </„,  </(,  a-^,  .  .  .  su/tt  indépendanls  de  x^  est 
uniformément  eonvevgente  pour  tous  les  points  inté- 
rieurs à  un  e.erele  déerit  de  l'origine  comme  centre  ;  elle 
est  di\'ergente  pour  t<jus  les  j>oiiits  extérieurs. 

Ce  cercle,  donl  le  ravon  j)eut  èlre  nul  ou  infini, a  été  appelé 
par  Cauch}'  le  cercle  de  com'ergence  de  la  série;  son  rayon 
est  le  rayon  de  convergence. 

Pour  démontrer  ce  théorème,  désignons  par  po,  pi,  c^,  ..., 
p,,,  ...  les  modules  de  «o?  «^i  >  (^i-,  •  •  •  ?  f^m  •  ■  •  etparrle  module 
de  x;  supposons  que,  le  module  de  x  ayant  une  valeur  11,  la 
série  (i)  soit  convergente  :  je  dis  qu'elle  sera  encore  conver- 
gente pour  tout  module  r  de  x,  tel  que  /'^K. 

En  elFet,  la  série 

r         r-  /•« 

'  ~  ÏÏ  ~  1(2        ■  ■  ■    '  R^  ^  ■  •  •  ' 

progression  géométrique  dont  la  raison  -r-  est  moindre  que  i, 

est  une  série  convergente,  qui  ne  perd  pas  sa  convergence 
quand  on  multiplie  ses  termes  par  po,  pi  R,  poR-,  .  .  .,  nombres 
qui  ne  croissent  pas  indéfiniment,  puisque  ces  quantités  sont 
les  modules  des  termes  de  la  série  (i),  convergente  par  hy- 
pothèse pour  une  certaine  valeur  de  /•,  dont  le  module  est 
R.  La  série 

(2)  Po  -h  pi  /•  -I-  p2  ^-  -f-  .  •  •  -+-  Pn  r"  —  .  .  . 

est  donc  convergente;  or  c'est  la  série  des  modules  des 
termes  de  (i)  pour  /-^R;  cette  série  (i)  est  donc  elle-même 
convergente  j)our  /"^R. 

On  démontrerait  de  même  que,  si  la  série  (i)  était  diver- 
gente pour  une  valeur  R  du  module  /■  de  x,  elle  serait 
encore  divergente  pour  r^R.  Si  donc  on  donne  à  x  des 
modules  croissants,  il  arrivera  un  moment  où  la  série  cessera 
d'être  convergente;  tous  les  points  intérieurs  au  cercle  du 
ravon  R  décrit  de  l'origine  comme  centre  rendront  la  série 
convergf.'utc  ;  tous  les  points  extérieurs  la  rendront  diver- 
gente, c.  Q.  F.  D. 


3(3  miviMTin:   u. 

Je  dis  mainlenant  que  la  série  est  uniformément  conver- 
<;cnte  à  rinléricur  du  cercle  de  convergence  ou,  plus  cxacte- 
uicnl,  à  rinléricur  d'un  cercle  de  rayon  R  moindre  que  le 
raxon  de  convergence  d'une  (juanlilé  fixe  ).,  aussi  pcllle  que 
l'on  voudra  du  reste. 

En  effet,  on  a 


•fi  +- 1 
M 


K"         U''+^' 


M  désignant  la  plus  grande  des  quantités  p„R",  p,/+i  11"+' ,  .  .  . , 
qui  est  finie  d'après  ce  que  nous  avons  déjà  observé.  Cette 
lormule  donne  successivement 


-!'■ 


^^'.V^              r 

'-ÏÏ 

-m(^-'-  \" 

1 

^'\      K      ) 

/'"-'■ 

-H 


On  aura  donc 
si  l'on  prend 


La  valeur  de  n  que  Ion  déduit  de  là  est  indépendante  de 
x;  donc  la  série  est  bien  uniformément  convergente. 

C.   Q.    F.    D. 

Théouème  d'Abel.  —  Toute  série  ordonnée  sin\-((nl  les 
puissances  croissantes  de  x  représente  une  fonction  con- 
tinue de  X  à  V intérieur  de  son  cercle  de  con^'crgence. 

Une  pareille  série  est,  en  effet,  uniformément  convergente 
à  l'intérieur  de  son  cercle  de  convergence. 

Exemples.  —  i"  La  série 

l  -r-  X  -r-  X-  :-  .  .  .     -  x"         .  .  . 

a  pour  ravon  de  convergence  i  ;  elle  représente  une  fonction 


Tiii:(»uii:   (if;  NÉ  II  Al.  F    i)i:s   sf;uiES.  87 

conlimic  niiand    mo(J^'<^  1,  cl  en  cdoL  elle  csl  éiralo  à 

a"  La  série 


I 


i.A.i. 


(|  ne  non  s  ('•[Il  (lierons  plus  loin,  est  converj^enle  quel  rjnc  soil  r, 

car  le  rapport  du  in  -—  i)'""'  terme  an  précédciil  esl->  ipii 

lend  vers /.('ro  fpiiind  /?  croît  indérminient;  le  ravon  de  eonvei- 
l^encc    est  iiilini  cl   la    fonction   représentée   par   la   série   csl 
toujours  continue. 
3  '  La  série 

I  -—  ^  -     I . '2 .r-  -     ...        {  .1.'}.  .  .  n T"       .... 

toujours  diveri;enie,  excepté  pour  .r  =  o,  a  un  rayon  de  con- 
vergence nul;  elle  ne  représente  rien. 

VIII.  —  Théorème  général  sur  les  séries. 

On  sait  que  deux  polynômes  entiers  en  x,  égaux  quel  que 
soit  X,  ont  leurs  coelTicients  égaux;  on  peut  généraliser  ce 
théorème  comme  il  suit  : 

Théorème.  —  Si  Von  o  pour  toutes  les  valeurs  de  x  dont 
le  module  est  moindre  quhine  quantité  finie,  ou  même  seu- 
lement pour  les  valeurs  réelles  de  x  moindres  quune 
quantité  finie, 

(\)  tto-^  UiT  -^  a^T-  -^  ...  —a,iT"  -^  ...  =  bo-\-  biT  -^  ...-^  b„T"-^..., 

«0?  f^i»  •  •  •  •  ^U5  ^^1-  •  •  •  désignant  des  quantités  indépen- 
dantes de  X,  on  aura 

ao=b^,     «,  =  6,,      ....     a„  =  b„ 

En  effet,  si  l'on  fait  x  =  o  dans  la  formule  (i),  on 
trouve  Go  =  ^0  j  supprimant  de  part  et  d'autre  «0  et  60,  qui 
sont  égaux,  et  divisant  par  x,  on  a 

Oi  -:-  a^x  -^  ajT--^  . .  .  =  b,  —  b,T  -^  bsX---  .... 


38  CIIAIMIKE     II. 

Celle  forniule  a  lieu  pour  les  mêmes  valeurs  de  x  que  (i), 
excepté  peul-èlre  pour  x  =  o;  mais,  en  verlu  du  ihéorème 
d'Abel,  les  deux  membres  sont  roncli'ons  continues  de  x; 
pour  .r  =  o,  elles  convergent  vers  les  limites  a,  et  &,.  Donc, 
comme  ces  deux  membres  restent  toujours  égaux,  leurs 
iimiles  r/,  et  />i  sont  égales.  Suppriuiaut  ^/,  et  bi  de  part  et 
d'autre  et  divisant  par  .r,  on  a 

d'où  l'on  conclura  encore  r/j  =  Z>o,  et  ainsi  de  suite. 


IX.   —  Développement  d'une  fonction  rationnelle  en  série. 


Commençons  par  cherclier  le  développement  d'une  expres- 
sion de  la  forme ?  m  désiijnant  un  entier  positif  et  a 

et  .c  des  quantités  quelconques.  Si  le  module  de  x  est  plus 
grand  que  celui  de  a,  on  a 


T       _   I         a        «-  a 

X  —  a       X        X-        x^       '  ' 


n-i-l 


En  effet,  le  second  membre  de  cette  formule  est  une  pro- 
gression  géométrique    décroissante   dont   le    premier    tenue 

est  -  et  la  raison  -;  la  limite  de  la  somme  de  ses  termes  est 


bien 


ou 


I 

X 


Cela  posé,  je  dis  que  l'on  a 


(x  —  a)-'"  = ! H —  -+- 


(x  —  a) 

m(m  -^  i). .  .(m  —  n  —  i )     a" 


I  .  2 .  3  .  .  .  /i 


en  d'autres  termes,  la  formule  du  binôme  s'applique  encore 
au  cas  où  l'exposant  est  négatif,  pourvu  que  le  module  de  a 
soit  moindre  que    celui  de    x.    l^^ur  démontrer   cette  for- 


Tiif;()Rii:   (■fiNftUAi.i:   des   série?.  89 

mule  (a),  nous  allous  M^-rificr  que,  si  elle  a  lieu  pour  une 
valeur  de  m,  elle  aura  encore  lieu  pour  la  valeur  supérieure 
d'une  unité,  et,  comme  elle  a  lieu  pour  ni  :=  i ,  elle  sera  géné- 
rale. 

D'abord,  je  dis  que  le  dernier  membre  de  la  formule  (2) 
est  une  série  convergente.  En  effet,  l'expression  du  rapport 
diiii  terme  au  précédent  est 


I   a 

X 


(^-;: 


]intir  n  =  y-  .  cette  ouantité  tend  vers  -  •  Si  donc  mod  -  <<  i 

11  X  X 

ou  si  mod  a  <  modx,  la  série  sera  convergente.  Nous  suppo- 
serons donc  mod<'/<<'iiodx;en  multipliant  le  dernier  membre 
de  la  formule  (2)  par  x  —  a,  il  devient 


x"i-  i 


/m  \      a  \m(ni  —  i)        ml     a- 


Vm(m--\) . . .(  m -^  n  —  il  m(  m-\-i). . .(  m -^  n — 2)] 

'    L                1 . 2 . 3 .  . .  rt  1 . 2 ...  /i  —  I              J 

ou 

I            m  —  in  (  m  —  i  )  ni     a- 


x"'-i  I         X'"--  l.i. 

{m  —  \)ni . .  .{ni-^  n  —  2 ) 


I  .  2  .  3  .  .  .  /i  J7'«    «-i 

(^ette  quantité,  par  livpollièse,  est  é"ale   à  ——•,  la 

1  '    i  .1  '  o  { X  ^  a  j'"-' 

formule  (2)  est  donc  démonti'ée. 

La  formule  du  binôme  a  donc  encore    lieu  pour  les 
valeurs  entières  et  négatives  de  l'exposant. 

Cela  posé,  considérons  une  fonction  rationnelle  de  x\  on 
pourra  la  décomposi  r  en  un  polynôme  entier  E(j;)  et  en  une 

suite  de  fractions  simples  de  la  forme '- Si  donc  modj; 

i  (^x  —  «/" 

est  supérieur  à  chacune  des  quantités  mod  a,  les  fractions 

A 

; se   développeront  en    série  suivant  les    puissances 

{x  —  a)'"  ^  *  ^ 

de  -  et  la  ionction  rationnelle  se  développera  elle-même  de 


4o  ClI.Vl'ITli  i:     M. 

celle  façon,  mais  le  développcmenL  conlicnrJra   des  Icrmcs 
enlicrs  en  .r  si  le  polynôme  E(j")  n'est  pas  nul. 

Si  le  module  de  x  n'est  pas  supérieur  au  module  de  toutes 
les  quantités  r/.  on  observera  cpie,  si  mod  ,r  <<  modr/.  on  aura 


1         _    (  — i)"' 
(X  —  <7/"  ~(  a  —  x)'> 


/    i         »?      T  ni  (/;?-!)    .r-  \ 

\a"'        1   a'"-'  77Ûl       rt'-'-^-      •••y 


et  alors  le  développement  de  la  fonction  rationnelle  aura  lieu 
en  une  double  série  ordonnée  suivant  les  puissances  de  x 
et  de  -• 

X 

Enfin,  si  le  module  de  x  est  moindre  que  celui  de  toutes 
les  quantités  a,  il  est  clair  que  la  fonction  rationnelle  sera 
développable  suivant  les  puissances  croissantes  de  x  seule- 
ment. 

X.  —  Séries  récurrentes. 

On  appelle  séries  réca/re/if es  des  séries  ordonnées  suivant 
les  puissances  d'une  même  variable  et  telles  qu'il  existe,  à 
partir  d'un  certain  moment,  une  même  relation  linéaire  enlre 
les  coefficients  des  divers  termes  consécutifs  de  la  série;  cette 
relation,  ou  plutôt  les  coefficients  de  cette  relation,  forment 
ce  que  l'on  appelle  Yéchelle  de  relation  de  la  série. 

Théorème.  —  Le  développement  cV une  fraction  ration- 
nelle est  récurrent. 

En  effet,  supposons  le  développement  effectué  suivant  les 
puissances  croissantes  de  la  variable;  le  théorème,  s'il  est 
vrai  dans  ce  cas,  le  sera  encore  dans  le  cas  où  le  développe- 
ment aurait  lieu  suivant  les  puissances  décroissantes,  cai"  un 
développement  qui  a  lieu  suivant  les  puissances  décroissantes 
de  la  variable  x  peut  être  censé  avoir  lieu  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  la  variable  -• 

X 

Considérons    la    fraction    rationnelle "t^^ — >  dans    laquelle 


TiitoRii:   G(^:Nf;u Ai.K   df.s   sf-Kii:s.  4' 

f(x)  olF(x)  désignonl  des  polvnùmcs  ciilicrs  en  x;  suppo- 
sons que  y{-x)  n'ait  pas  de  racines  nulles  :  cela  ne  nuit  en  rien 

à  la  îrénéralilé,  car  '^-^  peul  se  mettre  sous  la  forme  suivante  : 

E{x)  désignant  un    polvnùinc  entier,  si  F(^)  contient  .r  en 
liicleur;  alors  'f(j")  est  de  degré  supérieur  à/,  (j")  et  ne  con- 
tiendra plus  jr  en  lacleur. 
Soient  donc 

/(t)  —  p^  -^piT  -  .  .  .^-p^^i.r'.>-\ 

et 

V{x) 
les/>,  les  q  et  les  a  désignant  des  constantes.  Si  x  est  assez 
petit,  la  série  (i),  d'après  ce  que  l'on  a  vu.  sera  convergente 
et  l'un  pourra  obtenir  r/o,  ''/)  ■  •  •  •  soit  par  la  nu'  lliode  des  cocl- 
(icients  indéterminés,  soit  par  la  division,  dont  les  règles  ont 
été  précisément  établies  par  la  méthode  des  coefllcienls  indé- 
terminés. 

Nous  emploierons  la  méthode  des  coefficients  indéterminés 
et,  chassant  le  dénominateur  dans  (i),  puis  remplaçant  F(x) 
clf(x)  par  leurs  expressions,  nous  aurons 

Effectuons  le  produit  indiqué  et  égalons  de  part  et  d'autre 
les  coefficients  de  x",  x,  .r-,  :c%  ....  nous  aurons 

p»     =  qo(ti) 

P\       =  q^ax  —  7i«o. 

Pt       =q(>o.i  —  qitti--  q^a^. 


4-2  riiAiMTiti:   II. 

Ces  formules  délermiiicnl  successivemciil  r/(,,  a, ,  c/j,  . . .  ;  la 
formule  (3)  est  IV'clicUo  de  rclalion.  On  voit  cjuc,  si  /^  >  |J.  —  i , 
cette  formule  est  une  rclalion  linéaire  et  hoinogcnc  entre  les 
coefficients  de  ji.  +  i  termes  consccntifs  de  la  série. 

Réciproquement,  si  la  rclalion  (3)  a  lien   entre  les  termes 

de  la  série 

a  t)  -  o  i  X  -{- . .  .  -^  a„  X"  — . .  . . 

supposée   convergente,  celle-ci  est  le  dé\eloppemcnl  d'une 
fonction  rationnelle.  En  effet,  l'équation  (3)  peut  s'écrire 

on  a  de  même 

a»  .c"-i  X"— l'- 


Eu ajoutant  toutes  ces  formules,  on  a 


a„  X"  =  o 

n  — 1  «- U. 


ou 


V/«        x"-^  x"-^J  ^  ^«-' 


-J^(a„j;«-i-rt„    i.r«- 


on  en  conclut 


P  et  Q  désignant  deux  fonctions  rationnelles  de  x.  Donc  : 

Théorème  II.  —  Toute  série  réciirrenle  est  le  développe- 
ment d'une  fonction  rationnelle  de  x. 


TllfORlK    r,  È  M- Il  A  L  K     DES     SflRIKS.  .'|3 

XI.  —  Théorème  d'Eisenstein. 

Soient  ciij  des  entiers;  posons 

Xo  =  «00  -^  «01-^ -i-  «02-^"  --•  •  --^  oq<^^^, 

et  supposons  que  Tinconnue  )■  de  réqualion 

(  I)  y" \,n  -- j'«-' X,„_,  -^. .  .--jX, _  X,  =.  o 

soit  développable  en  série  de  la  forme 

il)  1-  =  6io—  6iix—  ^12^-  — .  .  .-f-  bu-r'  —  . . .  ; 

on  aura 

;  y-  =  620—  biix  —  622-r-  -^. . .  —  biiXi-^. . ., 
<2)  -  j^  =  630  —  631-^-^  632-z'-— ■••-^63,J",-4-..., 

d'ailleurs 

62/  =  ^10^1/  -  ^11  61/-1  — . ..—  bi,bi„, 

\  bu  =  61062,  —  6,1  62/-,  — . . .—  6|,  620, 
(3)  

/   bji=  b^^bj^u  ...   -6j/6y_io, 

Les  valeurs  (2)  de^,jK".  •  •  •  étant  portées  dans  l'équation  (i), 
celle-ei  doit  être  satisfaite  identiquement.  Ainsi,  quel  que 
soit  .r, 

(«/«o-^^/Hi-^  — •  •  •  •(  l>„,o^  b„iiX  -^. . .  ) 

-^  (cim-iO-^  <^m~ll^-^  ■  ■  ■  l(^'«-10-^  b„,-iiX-^  .  ..)-;-.,, 

-^  «00-1-  aoix-^. .  .=  o; 
on  doit  donc  avoir 

(«/;io  6„îj-^  «//j-1  b„iQ)^^. . .  -  «m  =  o, 


(4) 


(5) 


(Cl  ml)  b,n'^-^  .  .  .  -f-  Ct„ii^b,n(i  )  -t-  .  .  .  -i-  «o|J.  =  f'- 
(   («wo6m[l-vl  — . .  .-T-a,„[i6„,i  )  -   . .  .-^  o  =  o, 


/l'i  CIlAlMTIli:     II. 

Fjivciiii  (l(^S('f|nntions  (3\  A^,serii  ronclion  de  />,«,  />,,,  ... 
A,/  cl  no  conlicndra  pas  A,  -^.i,  ^i  /^.i,  .  .  .  :  donc  ^a/scra  fonc- 
tion des  iiicnics  quanlilcs  el  ne  contiendra  pas  non  plus  Ai,/4-i , 

/'i,'+2 

Les    ;jL     équations  ('i)    pourront    donc    servir   à    calculer 

/>w  f>\-2 />i[j..  Je  suppose  que  ces  nombres  soient  ration- 
nels, ainsi  (pu;  A,o,  que  Ton  peut  calculer  directement  :  c'est 
la  valeur  de  j'  pour  x  =  o. 

La  première  équation  (5)  fournira  ^iii+i  5  le  coefficient  de 
celle  quantité  ne  pourra  provenir  que  des  termes 

(6)  f />iO'^  III. [J.>1  ~  -  flin-\0^'iii     \.\l.+  \  -^  •  •  • -- ^^lO^I.IJ.  *  !• 

Oi\  en  n'écrivant  dans  Ai,u.+  i'  ^^j7u.+  m  •  •  •  T"C  les  termes  con- 
tenant /j,^,j_^f,  on  a,  en  vertu  de  (3), 

En  poil.int  CCS  valeurs  dans  (6),  on  voit  que  celte  expres- 
sion sera  de  la  forme 

1'  désignant  un  polvnome  entier  en  Z>io  ù  coefficients  entiers 
et  indépendant  du  nomljre  >x.  II  résulte  delà  que  b^,^l^^  sera  de 
la  forme 

'-'i.;j.-i-i  "  .-; ! 

on  aura  de  même 

'>l.;A^-3=■  : p 


/désignant  une  l'onction  entière  à  coefficients  entiers.  Les 
seuls  facteurs  premios  qui  pourront  entrer  en  dénominateur 
dans  bw  où  /i\>'J.,  sont  faciles  à  déterminer.  P  est  un  poly- 
nôme en  A,o  du  degré  m;  en  multipliant  donc  par  la  puis- 
sance m"™"  du  dénominateur  de  ^,0;  on  pourra  mettre  Ai,u.+  j 
sous  la  forme 

T(bn,  />,o,  . . .,  ^iij.  I 

^i,a+i  =  r. 


TMÈOUIi:     (JfiNÉRAI.E     UES     SÉHIKS.  '|5 

Il  (Jcsigiianl  un  enlier  et  F  une  lonclion  eiillère  à  cocffieienls 
entiers,  ^j  ,,,^2  sera  de  la  forme 


Ot 


Supposons  ^,0,  6(3,  .  .  .  réduits  à  leur  plus  simple  expres- 
sion; les  seuls  facteurs  premiers  qui  entrent  dans  le  déno- 
minateur de  6|,[A-|-i  seront  ceux  qui  entrent  dans  les  dénomi- 
nateurs de  6|o,  6|:i.  .  .  .  (que  nous  supposerons  réduits  à  leur 
plus  sim{)le  expression)  et  dans  R,  il  en  sera  de  même  de  b^  04.0, 
^i,a-f-3-  On  a  donc  le  théorème  suivant  : 

Si  Von  considère  une  série 

by^-^  hyX  -~-  b-iT-  -^  .  .  .-T-  bnX"  -^  .  .  . . 

dans  laquelle  b^J>^,h„,  ...  sont  des  fractions  réduites  à  leur 
/dus  simple  expression,  elle  ne  pourra  pas  être  le  dévelop- 
pement d'une  raciney  d'une  équation  algébrique  en  x  et  y 
à  coefficients  entiers  si  les  dénominateurs  de  60,  61,  6„,  ... 
ne  contiennent  pas  un  nombre  limité  de  facteurs  premiers. 

Ce  beau  théorème  mettra  en  évidence  le  caractère  trans- 
cendant d  une   foule   de  (unclions. 

XII.  —  Développements  en  série  de  c",  sin^-  et  cos/-. 

Cherchons  la  limite  de  (  1  -1-  —  j     ([uand  m  croît  indélîni- 

nient  en  passant  par  des  valeurs  entières;  la  connaissance  de 
celte  limite  nous  sera  utile  dans  un  très  grand  nombre  de  cir- 
constances. On  a 


T        ni  (m  —  j  )  T- 
ni  1 . 2         ni- 

m(  m  —  I  )  ...  I  tn  —  /i  -!-  r  )  x" 
i.i..'i. .  .n  m' 

OU 

/  /      ^  V"  —    ■  ^     (       I  \  ■■^- 

,   ,    )  V  ^  '^i/     "'"^i^V        m]   i.x'^'" 

\        V  '"■  J  \  "'/  \  '"     J    \.i..i...n 


4G  CM  AI' nui:   n. 

or   on  sait  que,   a,     ^i,     y,    .  .  .    étant   positifs,    et    tels  que 

a  +  [i  +  Y  +  .  .  .  <  I ,  on  a 

(i_a)(i  — p)(i-Y)  ...  <  i-(a+[3  +  Y  +  ...); 
on  peut  donc  écrire 

(I  —  a)(i  —  P)...  =  i— G(a-l-p-4-...), 

8  désignant  un  nombre  compris  entre  o  et  i .  Prenons  a  =  —  ? 
°  ^  //( 

rj  "i.  3 

j  z=  — ,  V  ^  —  ,  ,  .  . .   nous  aurons 
'  m     '         //i 


0,,_,    étant   un  nombre  compris  entre  o  et  i  ;  la  lormulc  (i) 
s'écrira  alors 


m  I  I         1 . 2         "  I .  '2 . 3 .  . .  /?? 

-I I  +  -  OoH-.-.H ^ 0„_i-i-...H . 

■2  «i  L  '  1 . 2 .  3 .  . .  /i  I .  -jt . . .  /n  —  2  J 

La  suite  écrite   sur  la  première   ligne  tend  vers  la  valeur 
de  la  série  convergente 


X- 
I  1,2 


^     '  '  ■     '^  I  .  2 . 3 .  .  .  /i 


quand  m  augmente  indéfiniment.  La  suite  écrite  entre  crochets 
il  un  module  inférieur  à  la  valeur  de  la  série  convergente 


/•         ;•- 

I  H h   ■ 

1  1.2 


où  /■  est  le  module  de  x\  d'ailleurs  -^ —  tend  vers  zéro.  On  a 

2  m 

donc 


en  particulier. 


liiu     I  H =  e, 

m. 


Tiif:()Rii:   (;f:  NÉ  11  ALI'    i)i;s   stiiiKs. 
en  appelant  c  la  \aleiir  de  la  série  coiivcrycnlc 


47 


\  .i.Z. . .  Il    '  ■  ■  •  ' 

t|iic  l'on  Irouxc  éf;alc'  à  2,  7  1  S28  1  8284  K)o4j.  .  •  . 

Je  dis  que  (  i  -• \     a  eneore  pour  limite  e  quand  m  croîl 

en  passant  par  des  valeurs  quelconques.  En  effet,  soient  it 
(i  n  +  I  deux  entiers  comprenant  m  supposé  positif  ;  on  a 


/         i\''+'^   /  I 

I  4--       :;■    I-. — 

On  peut  écrire  celte  lormulc  ainsi 


,7:^/ 


les  membres  extrêmes  ont  pour  limite  e  (piand  ni  =  ce  •  donc 

I  1  H 1     a  aussi  pom-  liniilc  e. 

Enfin,  en  appelant    /n  un    nombre  négatif,  il  est   facile  de 

vou-quela  limite  de  (  i  -1 1     est  encore   e  quand    m   croîl 

indéfiniment.  En  effet,  posons  m  =  —  n,  nous  aurons 


lim 


li,u(.-i-       ^.li.n     -^) 


lim  (  1  -) )    =  lim  (  1 


On  a,  en  supposant  x  réel, 


or  rien  n'empêche  de  poser  '—  =  -;   a   croîtra   indéfinimenl 
a\ec  m  cl   l'on  aura 


=  ,i,„[(,^i/]'=... 


/|8  CIIAPirilK     M. 

Ainsi  on  a,  cm  vcrtude  (2), 


(3) 


e^  =  \-, i 

I        \.  .1 


1  .  V. .  i .  .  .  /i 


Supposons     niainlenant   x     imaginaire     cl    reniplarons-lc 
par  X  H-J'v  —  '  '  ^"  aura,  en  vertu  de  (2), 


V~^ 


•  \J —  r         \x -^y  \/ —  I  )" 


(4)lim(  I 


Calculons  le  premier  membre;  chereiionsdabord  son  module 


liiii  iiioil     I  -\ I     =  mil 


=  liiii  (  I 


itnx  M-  j-  -4-  y- 


ni /  in- 


>  /«.r+  '  '+J'- 


■ini.r  -^  .r-  -!-  y-  ,  .«i. 


,  ,    .                 >./nx~>r-  J--;-  l'- 
on, en  desiiinanL  -. = —  par  a, 


2";  '  +  -I'  +.1  ■ 


Cherchons  maintenant  son  ari^ument;  l'argument  de 

.r    -  y  sj—  1 


est  compris  entre  son  sinus  et  sa  tangente,  c'est-à-dire  entre 


m 


y 


\    \         mj         m- 


et 


l'argument  de  \  \ 
compris  entre 


■jv/- 


1    i  m   l'ois    plus  grand,   sera 


v/^.'-^^j'-^"^ 


et 


TIIÉOUIK     (JÉ.NÈRAI.E     D  K  S     SÉIUKS.  4q 

qui  lenclcnl  Ions  deux  vers  r  pour  m  :=  oo  .  On  a  doiu; 
liiii(i-T-   — — )     =  e-^(co.S7-+-y/— I  sinj), 

c'est-à-diro.  eu  verlu  de  (/\), 

-ri  I •      \  x  —  y<J—\        {-r—ys/ — i)' 

•^  -^  "^  I  1.2 

en  jDartlculicr,  si  Ton  prend  x  =  o, 

I .  r\' — I         T-        r^J — I 

cosj  -^  \J —  I  sinj'  =  I  -^•- ^—       ■  •         ■ 


I  1.2  1.2.3  '  ' 

et,  en  égalant  les  parties  réelles  et  les  coefficients  de  \l — i, 

y-  r'*  •)'"' 


\..).        1 .2.3.  î        1.2.3.4.6.5 


y        > 


I  1.2.3  1.2.0.1.3 

Ces  formules,  toujours  convergentes,  donnent  les  développe- 
ments de  cos  K  et  sinj'  en  série. 


XIII.    —    Généralisation   de    la    fonction    exponentielle 
et   des   fonctions    circulaires. 

La  fonction  définie  par  la  série  toujours  convergente 
X         T^  .r" 


(I) 


1  . 2 . 3 .  . .  y< 


est  égale  à  e-^  quand  x  est  réel;  il  est  tout  naturel  de  la 
représenter  par  le  symbole  e^  quand  x  est  imaginaire  :  c'est 
ce   que   nous   ferons;   nous  aurons   alors,    en    changeant  x 

en  X  +J\/—  I , 

I  1.2 

L.  —  Traite  d'Analyse,  I.  4 


5o  cn.vi'iTiti:   ii. 

si  l'on  compare  colle  formule  avec  la  formule  (3)  du  para- 
graphe précédent,  on  \oiL  (jue 

(2)  e^-^y^-^  =  e^{cosy -i- \/ —  isinj); 

de  celle  formule  on  peut  déduire  loutes   les  propriétés  des 
exponentielles  :  ainsi,  par  exemple,  on  a 

(>x+Y\-i  ex'-t-y'^'-i  =  e-^(cosjK -^ /— 1  sinj')e-*^'(cos_7''-!- / — i  sin_y') 
_  e-^-^^'  cos{y  -i-/'  -4-  / —  I  sinjK  -i-J>''), 

c'est-à-dire,  quels  que  soient  z  et  :;', 
On  aurait  de  même 


e~  ',  e~  =  <?-^-  ,     (  e') 


m  —  pinz 


Les  ibrmules  démontrées  au  paragraphe  précédent,  pour 
le  cas  où  X  est  réel, 

(2)  cos:r  =  i ■-. —-——..., 

^      '  1.2  I  . 2 . i . 4 

(3)  i\nx  =  X 


1.2.3        1.2.3.4.5       ' ' ' ' 

et  qui  sont  toujours  convergentes,  peuvent  également  servir 
à  définir  cos.r  et  sinjc  quand  x  est  imaginaire.  Multi- 
plions (3)  par^/ —  I  et  ajoutons  avec  (2)  :  nous  aurons 

/ .  jrj — f  ./■"-         .r^\^ — r 

co%x -\-^-r^  \  sxnx  =  1-. h. . .  , 

1  1.2  1.2.3 

c'est-à-dire,  en  vertu  de  (  i  ), 

co«:r-t-y/ —  i  sin  J-  =  e-^*-'. 

En  changeant  x  en  —  a:,  on  a 

cosa:  —  y/ —  I  sina:  =  e~^'-^\ 
d  où  l'on  lire 

cos:ï' =  ,      sinx  =   ^        • 


TiiKnini:   <;^;.\(^;it Ai.K   des   séries.  5i 

fornuiles  in)porlanles  et  (|ii*il  laut  iclenir.  Ces  rormulcs 
pourraient  servir  de  cléfinilioii  aux.  fonctions  cos.r  et  sinj7, 
«|uel  que  soit  x;  il  est  lacile  d'en  déduire  la  Ibrmule 
d'addition  des  arcs  :  ainsi 

f>  ./■-t->U— I g-'.r4->)v-i 

cos(x  -i-  y  }=  '■ 


g—x\—l   ^y\—l  g— jv— 1 


■2\/ I  •>./ —  I 

=  co«u:  cosj'  —  siii  u-  ^Iny. 

On  démontrerait  de  même  les  lormules 

sin(^  -^y)  =  sin  j;  cos^  -i-  sin^j'  cos.r, 
sin-j"  --  cos-^  =  I, 

<jui  se  trou\ent  établies  même  pour  les  valeurs  imaginaires 
de  X  et  >-. 

La  fonction  a-^',  peu  usitée,  se  définira  par  le  iiiONcn  de 
léquation 

La  fonction  tangx  se  définira  par  cette  autre  formule 

sin.r 
tanir^  =  ; 


cota:,  cosécj?  se  définiront  au  moyen  des  relations 
I  ,1,1 

COtX  =    )        COSCC  J7  =    —. )        SCCX  =    • 

tans-^  sinx  cos^ 


XIV.  —  Origine  purement  analytique  des  sinus  et  des  cosinus. 

Comme  plus   haut,  prenons   pour  définition   de  la    (onc- 
tion e-^  la  formule  suivante,  vraie  pour  les  valeurs  réelles  de  x, 


52 

c 

11 A  r  I  ï  u  i; 

1. 

alors  on  auri 

i 

c> 

I 

1 .1 

,  r" 

on  en  dédiiirail  par  mulliplicalion 

T -^  y  [  r"         .r"-'      T 

1  L«  1       (  «  —  I  )!   I . 


e 

ou 


J'' 


(_  «  —  -2  ):  •>. . 


c-r  ey  =  I  -f- 


T  -^  y 


I  r       "     , 

X" x"-^  y 

/i\l  I  -^ 


;>('/?  —  \) 


■h- 


OU 


.r-i-j)- 


Cr-^  Y)" 


OU  enfin 


Zrt  fonction  c^,  définie  comme  on  vient  de  lé  dire,  i°  e.sY 
continue  en  vertu  du  théorème  d'Abel;  i"  elle  jouit  de  ht 
jivopriété 

(  \)  e"^ ey  =  e-'^^y , 

et  en  général  de  toutes  les  propriétés  de  la  fonction  expo- 
nentielle réelle  que  Von  peut  en  déduire. 

Avec  la  fonction  e-^'  on  peut  former  les  fonctions  composées 


e^H-  e- 

2 


(>.r\\ 


Nous  connaissons  les  deux  dernières;  si  elles  nous  étaient 
inconnues,  on  pourrait  les  appeler  sinx  et  cosx;  sinx  et  cos.r 
sont  ainsi  définis  d'une  façon  purement  analytique  :  les  deux 
premières  fonctions  sont  ce  que  l'on  appelle  le  cosinus  cl 
le  sinus  lirperbolirjues  de  x.  Nous  poserons  donc 


(3>  cosx  = 


e^  -r-  e-' 


siiiliJ"= y 

■i. 

>      ûnx  =  ; —  


TIlf;OUIE     t;  EN  É  RALE    DES    SÉRIES.  53 

on  en  déduit  iniinédiatement 


'        •       ,/- 


cos  lu-  =  cos  j:-/ —  I,      sin  11  J^  =  -— =  sin.ry' —  i, 

cos  h  j'  -f-  ?in  h  J"  =  e-*", 
COSJ7  -r-\  —  I  sinjc  =  e-*'^"', 
•^'    .  ^'* 

cos  h  vC  =   I    -: ; r^ — 7  -     •  •  •  , 

■X  \  .i.i.  \ 

sin  ha~  =  j'-:-— 7--^7-^..., 
3  1        j  I 

X-         x* 

■2  !         ',  ! 

x^        .r* 

smx  =  j-  —  —  —  —  — 

3  1         3  I 

Des  fornuilcs  (3)  on  tire,  comme  on  l'a  déjà  vu. 

cos-o^  -T-  sin^j;  =  i, 
cos(j?  -i-j')  =  cosj:^  cosy  —  sin  j;  sinj', 
sin(x -4-j)' )  =  sin  j"  cosj'  -f- sin^  cosx. 

Des  formules  (2)  on  déduirait  de  même 

cos-h  jr*  —  sin-h^  :=  i, 
cosh(jr  -^y)  =  cosh^-  cosh^  h-  sinh:r  sinli  j»', 
sinh(j-  -i-j)  =  sinh  j"  cosli  jj-  —  sinh>'  cosh  j", 

et  ces  nouvelles  fonctions  sont  continues  par  rapport  à  x. 

sinj;"  sinlij"  ,  i-       •  ^    1  1 

et  i —  sont  les    tanircnles  ordinaires  et  Inperho- 

cos^        coshj"  ° 

liques  de  x;  les  inverses  du  sinus,  du  cosinus,  de  la  tangente 

sont  ce  que  l'on  appelle  la  coséca/ite,  la  sécante  et  la  cotan- 

gente. 

La  formule 

.7--  X* 

COS  a-  =  1 T7  —  •  •  •  ! 

i  .  2  4  1 

lorsque  x  est  réel,  peut  se  mettre  sous  la  forme 

x^-  Q-r- 

(i)  COSJ:  =  I : 7r~-y 

l.J.       ï.l.i.l 


;)4  ciiAiMTiir.   11. 

0  désignant  un  nombre  iiilV-iiciii-  à   i   puisque,  en  posanL 


COSJ^  =  1 ; 

0. 


l'erreur  est  moiiidro  crue  — "  .,     •  mais  eela  suppose  les  termes 
'       1 .  "2 .  j .  î  ^  * 

de  la  série  décroissants  à  partir  de  — '- — ^ — ;  il  suffit  pourrcm- 

'  I  .  '2  .  j .  I  ^ 

])lir  celte  condition  que  .r  soit  inférieur  ou  égal  à  2;  or,  pour 
X  =  2,  la  formule  (4)  donne 

co?  .r  =  I  —  a  --  0  —  » 

•A 

QO%x  est  donc  négatif  pour  a?  =  2  ;  pour  x  =  o,  il  est  positif  : 
donc,  entre  o  et  2,  l'équation  cosa:'^o  a  une  racine  au 
moins.  Soit  -  la  plus  petite  racine  positive  de  cos.r  =  0;  on 
aura 

cos-  =  cos —  —  =  o. 

2  2 

On   a  ensuite,  en  vertu  de  la  relation  cos-^  +  sin-^r  =  i, 


sin  —  ==ni,      sin( i^i^zi: 


jnais,  de  ;r  =  o  à  .2:  =  -7  cosj7  reste  positif;  sin^,  d'abord 
positif,  ne  saurait  passer  par  zéro,  puisque  sin-.r  +  cos-.r  =  i , 
et  par  suite  ne  saurait  changer  de  signe  :  donc 


sin  — 
2 


Il  est  facile  de  prouver  que  sin^  et   cos.r  ont  pour  pé- 
riode :^7:,  c'est-à-dire  que 

cos(2-  -i-  .r)  =  cos.r,     sin(27:  -1-  a")  =  sinr. 
On  a  en  effet 

Q.o%{x  -î-j)')  =  ç.o%x  cosjj'  —  sinr  sin/; 

donc,  faisant  r  =- ) 


(---.) 


—  sin:r  ; 


Tllf:OUIi:     CfiNfMlALE    DES    SÉUIES. 

on  aurait  d'iiiK*  fac^on  analogue 


sin  I  3"  -i 


donc,  en  changeant  x  en  x 


cos(a?-i-  -)  =  —  sin  (  a-  H 1  =  —  cos.r, 

«in(a-  H-  t:)  =  —  sin.r ; 
cliangcanL  x  en  x  4-  -,  on  a 

COS(a-  -{-  2  7T)  =  cosa7, 
sin(a"-t-  27:)  =  sina". 

Le  nombre  ti  reste  à  calculer;  on  verra  plus  loin  comment 
on  peut  le  développer  en  série. 

Nous  retrouvons  ainsi  toute  la  Trigonométrie,  en  la  généra- 
lisant, et  nous  voyons,  ce  qui  est  important,  que  les  fonctions 
circulaires  ont  une  origine  purement  analytique  qui  rend 
leur  théorie  indépendante  du  postulatum  d'Euclide  et  des 
aitlres  posta  ferler  de  la  Géométrie. 

XV.  —  Des  logarithmes  en  général. 

Toute  imaginaire  peut  être  mise  sous  la  forme 

/•(cosO  -\-\^^ —  I  sinOj, 

;•  désignant  le  module  et  ()  l'argument;  maiscosO  -h  \' —  i  sinf| 
est  égal  à  e'^^~^  :  donc  toute  imaginaire  peut  se  mettre  aussi 
sous  la  forme 

et  même  sous  la  forme 

e'"''  e  ou     e 

On  voit  donc  qu'il  existe  un  nombre  ii  =  log/'  -h  H  y—  i  tel 
que    e"    soit    un    nombre    donné,    /-(cosO+y  — isinOj:    ce 


.56  ciiAi'iruE  II. 

nombre  it  est  ce  que  nous  appellerons  le  logarithme  de 

/-(cosO  -i-/ —  I  sinO). 

Ainsi  le  logarithme  d'une  imagiiudre  est  l'imaginaire 
(jii' il  faut  prendre  pour  exposant  de  e  pour  reproduire 
l  im  a  g  in  a  i/  e  do  n  n  ée . 

Le  logarithme  de  l'imayinaire  ;"(cos0  4-\  — isinO)  étant 
iog/'  -h  0  y/ —  I ,  on  peut  dire  que  : 

Le  logarithme  d'une  imaginaire  est  égal  au  loga- 
rithme de  son  module,  augmenté  de  son  argument  mul- 
lijdié  par  ^/ —  i . 

Ce  logarithme  a  donc  une  infinité  de  valeurs,  puisque 
Targument  est  lui-même  susceptible  d'une  infinité  de  valeurs. 

Par  exemple,  le  logarithme  de  la  quantité  réelle  et  positive 
/•,  dont  l'argument  est  2 A-,  sera 

log/--f-  2 A-/ —  », 
logr  désignant  le  logarithme  ordinaire  de  r. 

log  I  =  ik-\/ —  I,     log —  1  =(-i/i  .4-  i)-/ —  1 , 
I   o-i/ZT"—  4/^—1  _  ^^3— 

Quel  que  soit  «,  on  définit  a^  par  l'équation 

il  est  clair  alors  que  l'on  a 
a^  :  ay  =  a^-y, 

On  n'a  pas  éprouvé  jusqu'ici  le  besoin  de  définir  les  loga- 
rithmes imaginaires  dans  une  autre  base  que  e. 

Il  va  sans  dire  que  Ton  a,  comme  dans  le  cas  où  x  et  >' sont 

réels,  M.%f 

logj-  -;-  log)-  =  ^(^?.( ']^-^y), 

X 

\i)''x  —  \o''y  =  log-, 

y 


("cs  forimilrs  dt-coulanl  de 

e^  ey  =  e-^+r. 


-»7 


XVI.  —  Fonctions  circulaires  et  hyperboliques  inverses. 

Les  fondions  inverses   de  sinx,  sinli.r,  cos^,  coshj:*,  ... 

sontdésignéespararcsin  j",  arcsinh  j",  arc  cosjc,  arccosliT, 

Ces  fonctions  inverses  peuvent  toutes  s'exprimer  au  nioven 
des  logarithmes;  par  exemple,  si  Ton  fait 


arc  sin.r  =  ii. 


on  en  lire 


ou 


♦■t,  par  suite, 


X  =  sin  u 


f>n  \  -1  g—"  *  —  1 


2  ( 


lu  (/-l   .,  pU  V  — 1 


ue"*-'  X 


I  —  I  =  o, 
e"*  -'  =  jr  v^  ^—  I  zr  \J  \  —  x- 


=     , log  (j-  /  —  I  —  /  «  —  •''•-)  ) 

/  —  I 


ce  qui  peut  encore  s  écrire 


f 

log  (j"=v/:ï-2—  i)  -^  - 


A-f-i 


On  trouve  ainsi  les  formules  suivantes  : 

4A--I-I 


arc  sin.r  = 


v/-' 


\o<i{x~s/x^  —  x)- 


=  -7=log(j-=i=  v/j:2— l), 


arc  tans;  x  = 


2V  —  i         I  —  J'y^i        2v^  —  1 
arc  sin  h  j-  =  log  {x  ±^  ]  -i-x-), 

arc  cos hx  =  log  ( x r±  / -^^  —  0> 

i  1  — -  X 

arc  tan" Il X  =  -  Ioît  • 

■X  i  —  X 


lO; 


I  —  IX  y/ 


c  il  A I'  I  r  u  r.   II. 


XVII.  —  Digression  sur  la  nature  des  exponentielles. 

Le  ihéorcmed'Eisenslein,  démontré  page  43,  montre  que e^, 
sin.r,  cosj:'ne  peuvent  être  racines  d'une  équation  algébrique 
de  la  forme  f{x,y)  =  o,f  désignant  un  polynôme  à  coefli- 
cients  entiers  :  ce  sont  donc  bien  des  fonctions  transcendantes 
et  il  en  esl  alors  de  même  des  fonctions  tangx,  arcsina", 
sinlij",  ...,  car  les  fondions  e-^',  sin.r,  cos.r,  développées 
suivant  les  puissances  de  a:,  se  composent  de  termes  dont 
les  coefficients  sont  des  fractions  irréductibles  qui  contien- 
nent en  dénominateur  une  infinité  de  nombres  premiers. 

Une  faudrait  pas  conclure  de  là  que  e^  ne  peut  pas  être  un 
nombre  rationnel  pour  des  valeurs  j^articulièi-es  de  x.  Nous 
verrons  plus  tard  que  e^,  quand  x  est  entier,  et  que  t,  t.-  ne 
sauraient  être  conimensurables  ;  pour  le  moment,  bornons- 
nous  à  démontrer  l'incommensurabilité  de  e.  Ou  a 

I  1 

e  =1  — 


1  1 .  •). .  3 . . .  //( 

si  e  était  commensurable,  on  pourrait  le  supposer  égal  à  une 


P 
entre  eux;  on  en  conclurait 


fraction  -  ayant  ses  deux  termes  p,   q  entiers   et   premiers 


^=1-1-1-. 


q  I  "  '        1  .2.3 ...  <7 

et,  en  multipliant  par  1.2...^, 

I.2.3(ff—  I  )/?=!. 2.3... g-i    ...-4-H i-  , r  -r- .  .  . , 

ce  qui  peut  s'écrire 

<7-M     •    {q-r-\){^q^'X) 

E  désignant    un   entier;   or  je  vais  prouver    que    le   second 
membre  de  cette  formule  est  moindre  (juo  i.  Cette  formule 


r  1 1 1:  OUI  i;   c,  i:  n  (■.  ii  a  i.  i;    d  i;  s   s  f:  u  1 1:  s .  69 

sera  donc  absurde  el  e  ne  poiiii'a  pas   aUcclci"  la  forme   -  : 
il  sera  donc  ineoinniensinaljlc.  On  a  en  ellii 


-4-  .  .  .  < 


7-M        (r/~-l)(q--%)       '"  "(7-^1)        (7—1)-        (7--1)' 

OU 

I 

<    -.  C.Q.  F.  n. 

On  prouve  d'une  façon  analogue  que  e  ne  peut  elrc  racine 
d'une  équation  du  second  degré  à  coefficienls  entiers. 


XVIII.        Quelques  théorèmes  concernant  les  séries  doubles. 

On  appelle  sc/'ies  doubles  une  suite  iudé(inie  de  ternies 
que  l'on  peut  supj^oser  rangés  de  la  façon  suivante. 

A  chacune  de  ces  quantités  attribuons  deux  indices,  en 
sorte  que  l'une  quelconque  d'entre  elles  puisse  être  repré- 
sentée par  Uij  :  on  pourra  alors  regarder  i  et  y  comme  deux 
coordonnées  et  l'on  supposera  la  quantité  Uij  écrite  sur  le 
point  du  plan  a\anf  ]iour  coordonnées  les  nombres  entiers 
i  et  y. 

Une  série  douille 

"00  "+"  "01  ~^  "02  -f-  .  ■  •  -!-  Uon  -+--.. 
-f-  î/io-"    "II —  "12  —  ...  —  "i„—  •■  . 


(O 


est  dite  convergente  lorsque,  avant  décrit  un  contour  quel- 
conque coupant  l'axe  des  ir  et  l'axe  des  y,  la  somme  des 
termes  de  la  série  contenue  à  l'intérieur  de  ce  contour  tend 
vers  une  limite  déterminée  toujours  la  même,  quelle  que 
soit  la  manière  dont  le  contour  se  déforme,  lorsque  ce  con- 
tour s'éloigne  indéfiniment  de  l'origine.  Cette  limite  est  la 
valeur  de  la  si'rie. 


Go  ciiAi'iTiii:    II. 

Théorkme  I.  —  Pou/-  (juc  1(1  srfie  (i)  soi/  com'crgontr^ 
il  faut  que  u,j  tende  vers  zéro  quand  i  et  j  croissent  indé- 
finiment. 

Thûouème  II.  —  Si  une  série  double  à  ternies  positifs 
est  convergente,  toute  série  à  termes  égaux  ou  plus  petits 
respectivement  et  positif  s  est  comergente  aussi. 

Ïhéouème  III.  —  Si  a/j  désigne  le  module  de  Uij  et  si  la 
série  dont  le  terme  général  est  aij  est  convergente,  celle 
dont  le  terme  général  est  u/j  est  convergente  aussi. 

Théorème  W .  —  L  ne  série  double  à  termes  positifs  ne 
change  pas  de  valeur  quand  on  intervertit  V ordre  de  ses 
termes. 

Théouème  y.  —  //  en  est  de  même  pour  une  série  quel- 
conque, lorsque  la  série  des  modules  de  ses  te/mes  est  con- 
vergente. 

Théokème  VI.  —  La  série  double  dont  le  terme  général 
est  x'^y",  X  et  y  désignant  des  nombres  moindres  que  i, 
ou  dont   le   module  est  moindre  que  i,  est  convergente. 

En  effel,  si  Ton  fait  la  somme  des  termes  contenus  dans  un 
rectangle  contenant  m  termes  dans  une  rangée  horizontale 
et  ji  termes  dans  une  rangée  verticale,  on  trouve 

I  y  yn—l  j^ni  yx'"  yn  —  \x"^ 

I  —  X  1  —  X         '  '  '    '     l  —  X  I  —  X  I  —  X         '  '  I  —  X 

OU 

[  r«  a"«  yi>x"' 

(t  —  x){i—y)      ^i—x)(^i  —  y)~^i  —  x)(^i  —  y)~^{^i—y){i—xf 

quand  mai  n  croissent  indéfiniment, cette  somme  se  réduit  à 

Si  X  et  y  sont  positifs,  la  somme  en  question  a 

\  —  X  i  — y  ^  1  '  T 

toujours  même  limite,  quel  que  soit  le  contour  dans  lequel 


THÉORIE     G  É.NÉHALK     DES    SÉRIES.  6l 

on  emprisonne  les  tenues  de  la  série;  donc  la  liniiic  osi  l.i 
iiièinc  quand  x  et  )'  sont  imaginaires. 

TiiÉoiit.MK  A  II.  —  Si  la  somme  des  termes  d'une  série 
double  tend  vers  une  limite  déterminée,  les  termes  pris 
dans  la  somme  étant  contenus  dans  un  contour  c  qui 
uraiidit  indéjiniment  en  tout  sens,  en  sui^-ant  une  lot 
déterminée^  la  série  sera  con^'ergente  pourvu  qu'elle  soi/ 
à  termes  positifs. 

En  cllet,  la  somme  des  termes  contenus  dans  un  contour 
r'  diflérent  de  c  peut  toujours  être  supposéiî  contenue  dans  un 
contour  c  suffisamment  grand.  Soient  5  la  somme  des  termes 
relatifs  au  contour  c,  s'  la  somme  des  termes  relatifs  au  con- 
tour c'  :  on  aura  s'  <^  s;  or  5,  par  hypothèse,  a  une  limite  S  : 
donc  s'  <^S  ;  donc  s'  croissant  avec  c'  a  une  limite  S'  ^  S  ;  on 
verrait  de  même  que  S  ^S';  donc  S  =  S'.  c.  q.  v.  n. 

Il  résulte  des  théories  précédentes  que,  pour  évaluer  la 
valeur  d'une  série  double  telle  que  (i),  on  peut  la  consi- 
dérer comme  la  limite  de  la  somme  des  termes  contenus 
dans  un  rectangle  dont  la  hauteur  serait  infinie  et  dont  la 
base  irait  en  croissant  indéfiniment,  ou  dont  la  base  serait 
d'abord  infinie  et  dont  la  hauteur  irait  en  croissant  indéfini- 
ment (en  appelant  base  la  dimension  horizontale  et  hau- 
teur  la  dimension  ^erticale).  Ainsi  la  valeur  de  la  série  (i) 
supposée  convergente  peut  s'écrire  à  volonté 


«  ^  0  /i  =  0  II  —  a 

Il  —  X  III  =  x  m  =  rt 

2ii  ""'0 -^  ^  "'"I  '-'  2u  "'"- 


02  CIIAIMlllK     II. 


XIX.  —  Application  destinée  à  faire  comprendre  l'utilité  de  la 
théorie  des  séries  doubles. 


En  évaluant  la  srrie  double  converi;ente 


I  .'2  1.2.3  '      *  Al! 


(0 


'■---  Y\ 


< 


fini  a'"" 

"v"  " "^  "Trr 


<le  deux,  manières,  on  trouve  l'identité 

/  (e'^'  —  I  )  H-  le'^'  —  I  j  -+-...  -h  ie^"  —  i  )  --. .  ' 
(a)  1  a  r  a^  i  a" 

f  = 1 r-1-...H H 

^      .  1  —  a         I .  -2   I  —  a-  I .  -2 ...  /t  I  —  a" 

Pourquoi  la  série  (i)  esl-elle  convergente?  Poia(|uoi  la 
formule  (2)  a-t-elle  lieu?  Son  premier  membre  est-il  conver- 
gent? Voici  la  réponse  à  ces  questions  : 

i"  Le  second  membre  de  (2)  est  convergent,  parce  que  le 
rapport  d'un  terme  au  précédent  a  pour  limite  zéro;  2"  la 
série  double  (2)  est  convergente,  parce  que  la  série  formée 
par  les  modules  de  ses  termes  est  convergente;  et,  en  effet, 
les  termes  réduits  à  leurs  modules  forment  une  série  conver- 
gente, puisqu'on  peut  trouver  une  limite  à  la  somme  des 
termes  compris  dans  des  contours  rectangulaires;  3"  la  série 
(1)  étant  convergente,  on  peut  la  sommer  en  prenant  les 
termes  compris  dans  des  rectangles  de  bases  infinies,  ce  qui 
fournit  le  premier  membre  de  (2). 


iiifiduii;   (;f:.M- itALi:    i)i:s   séuiks.  (jo 


EXERCICES    ET   NOTES. 

1.  La  série  «/o -H  »i -+-... -i- «/j-f- .. .   est  convergente  lorsque    lu 

limite  de  (modK")"  est  moindre  que  i  quand  «  croît  indéfiniment, 
ou  quand  cette  quantité  reste  constamment  moindre  qu'une  quantité 
finie  moindre  que  i.  (Voir  une  démonstration  de  ce  théorème 
<;ii.  XIII,  §  V.) 

:2.    Supposons  que,  dans  la  série  «o-f-  i<i  ^-. .  .-r-  «<«,  on  ait 
11,,^,         n'  ~  A  «'-1  -f-  B /j'-s-i-  .  .  . 


ti/i  II'-  -T-  an'-^-\-  bn'—--\-.  .  . 

^i  la  première  des  quantités  A  —  a,  \>  —  b,  ...  qui  ne  s  annule  pas 
est  positive,  la  série  est  divergente;  la  série  est  convergente  ou  diver- 
gente suivant  que  A  —  a -\-  \  est  négatif  ou  positif.  (G.\tSS.) 

3.  La  série  u^,  -f-  i<i  -h  ...—«<«—..  .  est  convergente  ou  divcrgenle 
suivant  que  l'on  a 

loc  — 


uni  -j >  ou 

lojr/t 


i.   La  série 


•j»  log'2        3  logj       '  nlogft 

est  divergente. 

a.  Si  /\:,  /•],  r.i,  .  . .    sont    des    nombres    indéfiniment    décroissants 
et  0  un  arc  qui  ne  soit  pas  multiple  de  t,  les  séries 

'"o  -'-  'i  LOS  0  -H  r-i  cos  26  —  ...  --  /■„  cos  /i  0  -^ . . .  , 
ri  sinO  ~  r-y  sin-^O  --...-)-  /•„  sinn6  — .  .  . 

sont  convergentes.  (  Bjorling.) 

0.  a,  b,  c,  .  .  .  désignant  les  nombres  premiers  impairs,  on  a 

1  —  X       ^  I  —  j"t  "^  j^  1  —  x"''        ^  I  —  x"^'-' 

^x-^  x-^  -î-  x''  -^  o-'S  -  - (  Catalan.  ) 

7.  Si  m  est  entier  et  positif,  on  a 

rni>        mi'imi'  -1)        in/'{i/ii' — m /ni' — •>.)  _ 

*         17"  "^  i/'i/'  ~~      II'.  Il',  il'  -r-  . . .  — 


64  CHAPITIIK     II. 

Quand  m  n'est  pas  entier,  le  premier  membre  est  une  série  dont  on 
demande  les  conditions  de  convergence. 

8.  Etudier  les  conditions  de  convergence  de  la  série 

m  /m  ni -i  )     ,        /)t{ni  —  i)(/n — ■!}     , 

i  -, x  —  — jc-  -. ~- .r-*  -h  . . .  . 

1  I . -2  \  .i.  i 

9.  Calculer  à  près  la  valeur  de  la  série 

lO'    ' 

III  I      , 

10.  On  a 
III  I  _ 


I 

1 .1 
I                I 

I 

2.3 

I 

■î-4 

I 

1.2.3            2.3. 

3.4.5 

Généraliser. 

10.  La  série 

I 

I 

/l  (  /i  -f-  I  ) 


\/i.2        v/'a.S  \/n f^ii-T-  I  ) 

est-elle  convergente? 


11.   La  séiie  double 


III 
2-  2.3    '    '2.4 

III 
3.2         3-         3.4 

III 
4T^,  ""  4^  "^  4^ 


n(  n  -7-  i  ){ii  -T--1}  4 


dont  le  terme  "éiiéral  est  >  est  diverîrente. 

'^  m .  n  ° 

12.   La  série  duiible  dont  le  Irrnie  i^iWiéral  est  —  est  convergente 

m"  ^ 

sa  valeur  est  égale  à  -(  son  premier  terme  étant  —  |  • 


TllfiORIE     DES     DÉRIVÉES.  65 


CHAPITRE  m. 


THEORIE   DES  DERIVEES. 


I.  —   Définition  de   la   dérivée. 

Quand  une  ioncùon  J\x)  est  conlinuc,  raccioissemenl  (jik; 
prend  celle  fonciion  J'(^x-hh)^f(j')  est  infininienl  petit 
avec  raccroissement  corresj)ondant  h  de  sa  variable,  cl  en 
général,  comme  nous  le  \errons,  la  limite  du  rapport  de  ces 
dcu\  accroissements  infininienl  petits  est  fini.  On  lui  donne 
le  nom  de  ch'rivée  de  la  fonction  f{x). 

Ainsi  la  <r/e/-iVee  d'une  foncllony*(x)  est  la  llniilc  du  rapport 
de  l'accroissement  (jue  })rend  la  fonction  à  raccroissement 
correspondant  de  la  variable  quand  ce  dernier  tend  vers  zéro. 

La  dérivée  d'une  lonction  de  x,  fi-^)-,  6st  en  général  une 
autre  lonction  de  x,  que  l'on  désigne  pas  f'{x).  Quand  une 
lonction  de  x  est  représentée  par  une  seule  lettre  i',  sa  dé- 
rivée est  représentée  par  j)'. 

Il  est  difficile,  peut-être  impossible,  de  prou\er  ([ue  toute 
fonction  continue  admet  une  dérivée;  quoi  qu'il  en  soit, 
nous  adme'. Irons  dans  ce  qui  va  suivre  que  les  fonctions  sur 
lesquelles  nous  raisonnerons  ont  des  dérivées.  Nous  prou- 
verons d'ailleurs,  en  montrant  comment  on  peut  les  calculer, 
que  la  plupart  des  fonctions  cjue  Ton  rencontre  en  Analvse  ont 
des  dérivées.  En  résumé,  s1/"(j:)  désigne  une  l'onction,  /"'(x) 
sa  dérivée,  on  a  par  définition 

f  {X)  =  lini  ^ j^ , 

pour  It  =  o. 

[..  —  Traité  d'Analyse,  I.  5 


CG  CM  A  ri  r  m:   m. 

De  là  oïl  ilv'iliiil 

z  désignant  une  cjnanlitL'  qui  lencl  \er.s  zéro  avec  //,  on 
(i)  ./(-^"^    11)'   f(x)  ^  Jif\x)— hi, 

lorniule  Iréqncninicnl  eiii|)lo\éo. 

S'il  n'est  pas  prouvé  que  loiilc  lontlion  conliinie  a  une 
dérivée,  il  rsl  bien  clair,  au  contraire,  que  toute  fonction 
(|ui  admet  nnc;  dérivée  finie  est  continue  :  c'est  ce  que  montre 
la  formule  (  i)  ;  on  voit  en  elFet  que,  si  l'on  v  suppose  A  infi- 
niment petit,  y(j:" -r //) — fi-^)  est  inliiiliiicnl  petit.  Ainsi, 
(piand  une  fonction  a  une  dérivée  finie,  à  un  accroissement 
infiniment  petit  quelconque  de  la  variable  correspond  un 
accroissement  infiniment  petit  de  la  fonction,  ce  qui  veut 
dire  que  cette  fonction  est  continue. 

Le  mot  dérivée  et  la  notation  que  nous  avons  adojitée  pour 
représenter  la  dérivée  sont  de  Lagrange,  mais,  au  fond,  l'idée 
de  dérivée  remonte  à  Leibnllz  et  à  Newton.  Nous  ferons  bientôt 
connaître  la  notation  de  Leibnltz.  La  notation  de  Newton  n'est 
[)lus  emplovée  aujourd  Lui  ;  il  représentait  la  dérivée  de  r  re- 
lative à  X  par  V-  Caucliv  a  sou\ent  emplo\é  la  notation  Dj-J'. 

II.  —  Dérivée  d'une  somme,  d'une  différence,  d'un  produit, 
d'un  quotient. 

DÉUIVÉE    n'tAE  SOMME    ALG LBIllQUE.    —    SoicHt    1/ .   T,   (V,    .  .  . 

f/es  fonctions  de  x;  a,  b,  c,  .  .  .    des  consta/iles;  si  u' ,  i'', 
u',  .  ,  .  tlésignenl  les  dérivées  de  a,  r,  tv,  .  .  . ,  la  dérivée  de 

y  =  au  —  Z>r  -7-  c^\•  -r-.  . . 

sera 

y  =  au'  —  b\''  -^  cw'  — .  .  . . 

En  effet,  appelons  Ax  (A  désignant  non  plus  une  quantité, 


Tllf:()RIE     I)i;s     IjfMlIVfiES.  67 

mais  bien  les  mois  accroissrincnl  de)  un  accroissement  infi- 
nimenl  petit  donné  à  x^  et  soient  Aw,  Ar,  ....  A)'  les  accroisse- 
ments que  prennent  alors  «,  c,  <v.  ...,)■;  on  aura,  en  chan- 
geant, clans  régalilé  V  =  au  -i-  ^c  -i-  civ,  x  en  x  -j-  Ax, 

j>-  -  -  \y  ;-  a  (  M  -  -  Ah  j  -r-  6 (  i'  -     Al'  )  -     .    .  : 

d'où.  j)ar  soustraction, 

Aj'  =  or  Af/     ^  Ar      .  .  . 


et 


Av  Ah        ,  Al' 

-1-  =  a :-  b  — 

A.r  A.7-  A.r 


or,  pour  Aj:  =  o,  les  limites  de  7^  j    -  >  •  •  •  sontpar  dclinition 

les  dérivées  1'',  ii\  c' On  a  donc,  en  passant  aux  limites. 

y    ^  au'  -  -  b\-        CKv        ....  c.   y.   F.    D. 

Corollaire  I.  —  La  dérivée  d'une  somme  u  -r-  c  -r-  iv  -i-  .  .  . 
est  la  somme  u  -r  r'-t-(v'  — .  .  .  des  dérivées  de  ses  parties. 

Corollaire  //.  L/(    dérivée  d'une    différence   u  —  i- 

est  la  différence  u' —  v'  des  dérivées  de  ses  termes. 

Le  raisonnement  fait  ])lus  haut  supposele  nombre  des  ("oik-- 

lions  u,  V,  iV.  .  .  .  limité,  car  on  s'est  appuxé  sur  ce  que   la 

I  ••       11  ^"         /    ^''  ,•,1,1 

lunile  de  la  somme  a u ...  était  ej^ale  a  la  somme 

\j[-  A./"  ^ 

des  limites  de  ses  parties,  ce  qui  n'est  vrai  que  si  le  nombre 

des  parties  est  limité  ;  on  a  erra  (pie  : 

La    dérivée    d' une  série  ne   s'obtient  pas   toujours  en 
prenant  la  dérivée  fie  chaque   terme. 

Déi'.ivék   d'v^    puoDi  it.  —  Con-)idt'rons  un  produit 

y  -^  artr.  .  . 

de  pUisieurs  fonctions  u,  v, ...  avantpour  dérivées//',  v' .,  w' , 

Si  l'on  change  j~  en  x  —  Ax,  //,  v.  ....  y  prendront  des  ac- 
croissements A//.  Ar A)    et  se  changeront  en  u-^^u, 

(),_!_  ^ç et  l'on  aura 

y      \y       {u       \u){v      Af).  ... 


A» 

Ar 

o 

—  viv       . 

.  .  -     —  uw  ~  . . 

Ijr 

A.r 

Ix 

68  ciiAi'iiin:   m. 

et,  par  soustraction, 

A^-  =  (u     -  A»)(r  -;-  At'}.  . .  —  iniv.  .  . 
on.  en  dcveloppaiil, 

A)- =  Ai/ru-      . .  .       Acf/c      ...       Ih 

Q  désignant  des  termes  contenant  au  nionis  deux  des  (acteurs 
A//.  Al" On  en   tire 

Ar 

A//      Ar  .  1  •      ■ .        1         I  •    •     '  '       '  1 

or  ^ —  7  —  5  •  •  •  uni  pour  liniiles  les  ucn\ees  (/  .  i' dmic 

A.r     Aj^-  ' 

—  lenti  vers  zéro  a\ec  A.r  et  I  on  a.  en  passant  au\  limites, 
A.r  ' 

j'  =  li  fit' -  . .  .       l' f/ti'       ...      .... 

En  divisant  par  r  =  in'^v .  .  . ,  on  a 
v'        u'        t-'        tr' 

)'  Il  V  w 

tbrmule  plus  facdc  à  retenir. 

Ladi'mvedunproduilc^l,  coimnc  l'un  r<ut,  Id  .soinnic 
des  dérivées  de  chaque  favleitr  mu Ui plié  pur  le  produiL 
des  autres. 

La  démonstration  suppose,  bien  entendu,  les  ("acteurs  du 
produit  en  nonilire  (ini. 

Application.  —  La  dérivée  de  «"',  m  désignant  un  entier, 

seia  la  somme  de  m  produits,  tels  que  u'.u"'~^  ou  niu' u"'~* . 

La  dérivée  de  x  est  i.  car  sa  dérivée  est,  en  appelant  A  un 

accroissement  doniK'  à  //.  Iiiii  j  ou    i  :    il   en  résulte   <pie    la 

dérivée  de  x"'  est  mx"^~^ . 

Ladérivée  dune  constanleestzéro,  carl'accroissementd'une 
constante  est  nul;  son  accroissement  divisé  par  A  est  encore 
nul.  et  la  limite  de  ce  quotient  est,  par  suite,  zéro;  il  résulte 
de  là  (pie.  a  désignant   une  constante  et  //  une  (onction,   la 


T  II  fin  m  K    DES     DÉ:!  I  \  f-F.S.  69 

tlrrlvéc  de  au  csl  an\  ce  qui  s'accorde  avec  ce  que  l'im  ;i  vu 
jtliis  liant. 

Dnitivr.E  i>'u>'  oiOTiK.NT.  —  Soil  ^  =  -  le  riiiotif-nl  de  deti\ 
loiiclions  //.  e  qui  oui  des  dérivées  //.  e' ;  soil  A./-  un  aeerois- 
scnient  donné  à  la  variable  x,  et  Af.  A//,  A\'  les  accroissc- 
iiiriil>  eoi  icspondaiils  de  )',  //,  e;  on  aura 

Ar         /  u  -  -  A//         //  \                    (•  lu     -  »  Ar 
- —  ^=  1 1  :  A./'        > 

A.r        \  r        At-  i-  /  A^ri  v        Ar  )i' 

r  •  .   .         I         t  '  A)'     Am     Av  ,  ,        , 

en  laisanl  tendre  A./-  vers  zéro,  -^1  —  >  —  lendeiil  \ers  f  ,  u  , 

\x    Ix    Aj" 

e',  et  la  formule  précédente  devient 

eu'  —  «i'' 


ainsi -— -  csl  la  dérivée  de  - 


Application.       -    La  dérivée  de  -  est -?  celle  de  — 

est 2^^  =  —  mx  '"   '  ;  donc  :  la  dérivée  de  x'"  pour  m 

entier  et  négatif  est  m  x"'   ' . 

III.  —  Dérivée  d'une  fonction  de  fonction. 

Si  j'  est  fonction  de  u,  que  11  soit  fonction  de  r.  ...  cl 
que  <v  soit  fonction  de  x,  on  dira  que  r  est  fonction  de 
fonction  de  x. 

Supposons  que  A)',  A;/.  Ar,  .  .  .  soient  les  accroissements 
que  prennent  r,  a,  r,  .  .  .  quand  x  croît  de  la  quantité  infini- 
ment petite  Ar;  on  a 

AjK  _  A>'  A  M  Ar 
\x    ■    Ah  Al'  \x 

Si  Ton  passe  aux  limites,  -=-  s  ra  la  dérivée  de  j'  prise  par 

'        .  ,      Ah  , 

rapport  a  a,   que  nous  représenterons    par    y^/,   —  sera   la 


70 


cil .VI' nui:   III. 


dérivée  ue  //  prise  par  ra|)pi»ii  à  \'  :   nous  1  appellerons  ;/,,  ; 

enfin  —  sera  e' .  On  a  donc 

lu;  ■'■ 

Applications.  —  i"  Soit  )'  :^  (.r-  —  i)-';_)''  sera  le  prodiiil 
dcj)45_,  par  la  d('ri\ée  de  .r- —  i  ou  3(.r-  —  i  )-  xx. 
■i"  On  a  é\  ideininent  r!  ^^  i  i  or  i'^.  =  j'p.rj.  ;  donc 

7x  -OTyi     ou    j.,.  r-  --  . 


IV.  —  Dérivées  de  quelques  fonctions  simples. 


Dérivée  de  log\r.  —    La  dérivée  de  log.r  est  la  limite  vers 
laquelle  tend,  ponr/;=  o, 

\os^iX'     h) — \o2,x        I   ,      /  /' \        ,      /         h\ 


hV' 


h 


lo- 


;;j 


A  /' 


r  la  limite  de  (  i        -  )    este  :  donc  la  dérivée  cherchée  est 


-j    este 


log  e'  ou 


Corollaire.  —  La  dérivée  de  logw,  u  étant  ("onction  de  .r, 
sera,  d'après  le  théorème  çles  fonctions  de  fonctions  démontré 

au  paragraphe  précédent,  — ;  celte  quantité  s'appelle  la  déri- 

vée  logarithmique  de  u. 

Dérivée  de  a-^.    —   Posons 


nous  aurons 


""^  "  log  a 

X   a  une   dérivée  par  rapport  à    )';  en    d'autres  termes. 


ly 


TiifioniK   DES   ni^nivfins,  yi 

.1  une  limilf  :  donc  ^-  a  une  liiniLc  aussi  et  y  a  une  Jciivcc. 

Xf 

En  prenant  alors  les  clérlv<'es  des  deux  iiicuihres  de  Téqua- 
lion  précédente,  on  a 

I       — , > 

y  in  lia 

y  :     )■  loi;  a  —-  «■'■  Ing  rt. 

Corollaire.  —  En  prenant  a  =  e,  on  a  y'  =^  e^  :  ainsi  la 
dérivée  de  e-^  est  e^,  celle  de  a'^  est  c"«'. 

DéiiiNKE  DR  x'".  —  Su[)posons  ./•  positil"  (./■'"  n'aurait  dail- 
Icui's  aucun  sens  si  m  était  imouiincnsurahle  çX  x  négatif); 
on  a 

et,  par  suite,  la  déii\ée  de  x'"  est  celle  de  c'"-^''^-^'  ou  t^'" ''«"'  — 
(ui  /nx'"    *,  comme  on  la  \u,  dans  le  cas  où  /n  est  entier. 
Si  X  est  négatif,  on  fera  .r  =  —  x' ]  alors 

X'"  =  (  — j.-')'«. 

La  dérivée  de  x"'  est  celle  de  (' —  i  )'"  x'"'  ou 

(— i)'« /njr''"-' I    -I)     ou     ni( —  ,  y«-i  j.-'/"-i     ou     mr"'-K 

Corollaire.   —  La  dérivée  de  //'"   est  /)///"'~*u\  celle  de 

'II—         '  I     —1        II     I      / —         !         i    ,   --  II' 

v  «  :^=  a'"  est  —  a'"     ?  celle  de  v'u  :=  ^/-  est  au  -  ou  — ,-. 

V.  —  Dérivées  des  fonctions  circulaires. 

Déruée  de  sinj:.  —  Lu  d(  ri\i'e  de  sin  x  est  la  limite, 
pour  h  =  o,  de 

«■\n(  jT  -{-  h  )  —  ëinx 

ou  de 


h 

, 

1    •    ^^ 
sin  - 

'            2 

.     h 

SOI   — 

h 

h 

h  ""'< 

'2 

ciiAPiTin:   III. 


Le  rapport  d  un  sinus  îi  son  arc,  (iiiand  cet  arc  -  Icnd  vers 

zéro,  a  pour  limite   lunih'-;  la  lmiil<;  de  roxprcssioii    j^n'-ci'- 
dentc  est  donc  cos.r  :  ainsi  la  dcrivcc  de  sin.r  est  cosx. 

Dérivée  de  cosx.  —  On  a  cosjr  =  sin  f  -  —  x  )  et  par  suite, 
en  vertu  du  théorème  des  fonctions  de  fonctions,  la  dérivée 
de  cosx  sera  la  dérivée  de  sin  (  -  ■ —  .r  )  prise  par  rapport  à 
^  —  :r  ou  cos  (  -  —  jt),  multipliée  parla  dérivée  de  -  —  x  ou 
—  1  ;la  dérivée  cliercliée  est  donc  —  cos  (  -  —  .r  )  ou  —  sin.f . 


9. 


r  \  01 


On  peut  V  arriver  en  chcrcliant  la  limite  de 

-r  \  cos  (  .r  -  -  /i  )  —  co«  .r  1 . 
h 

Dérivée  de   tang\r.  —   C'est  la  dérivée  du  ([uotient 


ou 

cosa7cosa7  -{-  sina^sin.r 


ou 


cos^a.-                                cos- a: 
Dérivée  de  sécj".  —  C'est  celle  de ou —  ■:  • 

Dérivée  de  arcsin^.  —  Si  l'on  pose 

y  =  arc  sinj", 
on  a 

a;  =  sinj, 

et,  par  suite,  en  prenant  la  dérivée  des  deux  membres, 

i  =  cos7./; 
donc 

,1  r^  I  rh  r 


y  esl  de  même  signe  que  cos)';  il  n'y  aura  donc  aucun  doute 
sur  le  signe  à  adopter  dans  les  différents  cas. 

Dérivée  de  arccoso:.  —  On  a 

arc  COS  a*  -+-  arcsnio:  =  -  ; 


Tii(^:oRii:   OKS   i)f:i<ivf:ES.  73 

(Jonc 

(k'-rivre  arc  cosjr  ->-  cU'rivéc  arc  sin  j:  —  o. 

I 


La  dérivée  de  aiccos.r  est  tloiK" 


v'  I  —  •' 
Df.uivéf.  de  arrlaii^/r.   —  Posons 

y  =  arclaniTJ',     fl'où     .r  —  tangj>'; 
en  prenant  les  d(''ri\ées  des  deux   membres,  on  a 
y'  .         ,  I  ' 

i  =      •  ou     V  —  cos-^'  —  


I  -    lang^j'         I  -     .r- 

Nous  avons  atlmis  (|iir  les  (h'rivées  de  arcsin.r,  arelanj^jr 

existaient;  on  peut  le  prouver  ainsi  :  en  posant  )'=  arcsinj:, 

1  '   ■    '      -^-^  r     • .      . 

on  a  J"  =  sin  )',  el,  sin  r  avani  une  tlenvee  ? -— a  une  liniile  . 

donc -^  a  une  limite  aussi,  fiui  est  l'inverse  de  la  première; 
A.r  ' 

car  à  tout    a(-eroissement    de  a:  correspond   un    et   un    seul 
accroissement  de  )',  et  r/Vv  reisd. 


VI.  —  Théorème  de  Rolle  T'). 

Lorsque  la  fonction  J{-r)  est  finie  et  continue  entre  les 
limites  ci  et  b  de  sa  variable,  et  rju^elle  a  une  cléri^'ée  f\x) 
toujours  uniciue  et  finie  clans  cet  intervalle,  cette  dérivée 
passe  par  zéro  pour  une  valeur  c  de  x  comprise  entre  a  et  b 
si  l'on  a  J\o)  =  o,  f{b)  =  o. 

En  ellet,  la  fonclion  y(.r  i  s'annulanl  pour  .r  =  o,  x  =  b, 
si  nous  supposons  a  <^  ^,  nous  pourrons  l'aire  trois  hypo- 
thèses :  1"  ou  bien  /{x)  reste  nul  :  alorsy'(j:")  =  o  et  le 
théorème  est  démontré;  2"  ou  bien  /{x)  cesse  d'être  nul 
quand  .r  croît  à  |)artir  de  a,  et  croît  avec  x;  mais,y(x)  deve- 
nant de  nouveau  nul  [lour  x  =  b,  A  laul  quey'(j:)  décroisse  : 


(' )  Ce  ihéorènie  a  clc  énonce  poui"  la  première  fois,  sous  celle  forme   pré- 
cise, pur  M.  (».  Bonnet,  mais  on  peut  en  faire  remonter  l'origine  à  l{olie. 


74  CM  Al' nui-     III. 

il  passe  (Iniic  par  un  iiiaxiMiiim  au  nioius  pour  iiiu'  \alcurc 
<.1c  x\  3"  on  l)iony(.r'),  cessant  de  snnnuler  pour  des  \aleiirs 
de  .r  supérieures  à  r/,  décroît  et  dcvienL  iK'gatir;  mais,  connue 
il  doit  San  nu  l(M'  pour  ./  />,  \\  laul  ipi  \\  jiasse  par  un  un  ni  muni 
au  moins,  pour  une  valeur  de  ,<•  comprise  enlie  c/  cl  h. 

Ainsi /ï. A- 1  doit  passer  par  un  maximum  ou  par  un  minimum 
pour  une  valeur  r  de  .r  lellc  cpie  (t<'^(:<^b.  Le  caractère 
cc^nimun  au   maximum   et  au    minimum  csl   (pic.  pour  //    1res 

petit, 

/'(; c  -     li)  —J\  c  )     et    _/■(  c  —  h)     -J\ c ) 

soient  de  mêmes  signes  :  ilonc 

/■(  c       h)—  /■(  c  )  /■(  r  —  /n  —  /■(  r  ) 

ot      ■ 


h  —h 

sont  de  sii;nes  contraires  ;  or,  ces  deux  expressions  avant  par 
liv|)Oliièse  la  même  limite  /'(r),  (pii  est  uni([ue  et  finie,  il 
huit  (pie  cette  limite  soil  /rvo  '.  donc 

/'(  c  )    =  o.  c.  0-  I'.   n- 

Coroll((iir  I.  -  -  Si  l'on  a  /{(()  ^^  0,  f{b)  =  o,  J\c)  =■  o, 
a<C,b<^c,  si  la  fonclitjii  /  et  sa  dérivée  sont  coiUinues 
quand  x  varie  de  a  à  c  cl  si J'"[.r)  existe  et  est  bien  déter- 
miné dans  cet  i/i/r/^allc,  on  aura 

J"Kd)  -o, 

d  désignant  un  nombre  co/zipris  entre  net  c;  de  même,  si 
L 'on  aj\ a)=zo,  /'( b)^=z  o ,  /'( c )  =  o ,  /( d)  =  o,  a  -</><< c -<  d, 
si  f{x),  /'[■%■),/" (x)  sont  finis  et  continus  entre  les  limites 
a  et  f/,  on  aura 

e  étant  compris  entre  a  et  c\  cl  ainsi  de  suite. 

En  ellet,  supposonsy"(r/)  =  o,J'{b)  =  o,  /"(c)  '-^  o;  en  ap[)e- 
lant  Cl  et  b'  des  quantités  con\eiial)leineiit  choisies  entre  a 
et  b  et  entre  b  et  c,  on  aura,  par  le  théorème  de  Holle, 

f(a')  =  o,    f\b')-^o, 
<;t  pur  suite,  encore,  en  vertu  du  théorème  de  Holle, 

J\c)  =  o, 


Tin-oiiii:   ni: s   nf-iu vfu:s.  -> 

<•'  dcsignant   iiii   iiumlnc  coiiiiJiis  ciilrc  r('  cl  A    on,  ce  f[iii  est 

la  mèiiic  chose,   ciilic  ff  cl  r,  clc 

c.    o.    K.    n. 

CoioUdirc  II.  Siipjxisons  <iii<',  /{j")  rcslaiil  cniilinii. 
(liiisi  (juc  SCS  II  /i/t'/nic/'cs  dcrn'ccs,  fjuaiid  r  imir  entre  ./"o 
et  \,  la  [n  -r  i/  ""'  dérivée  existe  et  reste  finie  et  bien  déter- 
minée. Soient  (ly,  (i.>.  ...,  ((„^i,  X  des  nondjies  eoin/nis 
en tre  ees  limites,  ;  une  moyenne  entreees  nonihres ;  on  ((uia , 
si  J\x)  s'iinnule  pour  x  =--  <i\,  (f-^ (f/i+t, 

J{x)  --={x  —  a,){x  —  ai)...(j---a,t^i)  -^'.^         '^  _^      • 
Em  cHet,  posons 
(  I  )  f(x)  —  {x~ai)...{x~  a,;+i  )  0 1  ./■  )  : 

la  l'onclion  de  c 

J\z)  —  (z  —  ai)(z--a.,\...(z  —  «„+,  )  e(.r  ) 

s'annulera  pour  c  =--  a^,  a-, <'it-^\  et  z^=  x\  donc  sa  déri- 
vée {n -T  i'""')  s'annulera  pour  une  valeur  ç  de  ^  comprise 
entre  la  plus  grande  et  la  plus  pclilc  des  ([uanlilés  <7,,  a.;,,  ■  ■  ■  ■ 
<fn+\  ^t  -^j  01"  celle  dérivée  esL 

y«+i(  -)  --  I  .'A.3. . .  (  «  -^  I  )  0(x) 
On  a  donc 

y/(  M  ,  î  )  —  I  .■>.  .5  .  .  .  (  /<     -  1  I  H(  ,r  )  —  o, 

d'où 


0(a:) 


i  .j. .  ù  .  .  .  \  /t       II 


Porlant  celle  valeur  de  &(x)  dans  la  l'ornuilc  (  i  ),  on  a  préci- 
sément la  formule  qu'il  fallait  établir. 


VII.  —  Formule  de  Taylor. 

Nous  allons  mamlcnanl  dahlir  une  lormide  (piic>t,on  peut 
le  dire,  la  pierre  londamenlale  sur  laquelle  est  édifié  tout  le 
Calcul  difiérentiel  et  intégral  5  cette  Ibrmule,  qui  porte  le  nom 


-6  CIIAIMTUI:    III. 

de  formule  (le  Tavlor,  a  élr  rohjcl  i\c  travaux  nonihroiix; 
elle  a  ('le  succcssivcnienl  porrocllonnc'C  par  dilluslros  t;éo- 
mètres,  tels  que  crAleiiil)erl,  t^agrani;e.  ('ancliv. 

La  déinonslralion  que  nous  allons  en  donner  csl  duc  en 
prineipe  à  M.  Ilommersham-Cox  ;  elle  a  été  simpliliée  pai- 
M.  Rouché,  qui  a  combiné  la  dénionslralion  de  M.  Hoin- 
inershani-Cox  avec  une  dénionslralion  antérieure  de  Gaucliv  ; 
enfin  le  théorème  de  RoUe,  tel  que  l'a  exposé  M.  Ronnel,  est 
venu  apporter  à  la  déinonslralion  de  M.  Rouché  une  perfection 
telle  (ju'il  est  peu  prol)al)lo  que  Ton  arrive  à  rien  de  plus 
net  el  de   plus  précis  dans  la  su  île. 

Lorsque  la  lonclion  /\.r)  est  entière  el  de  degré  n  —  i ,  on  a 

f^x      h)=/{.r)-h/'{x)--^-/"{x)-^... 

/"-'  (  X  I. 


l  .1.  i  .  .  .  Ul  \  )' 

Il  est  naturel  de  poser,  quand  /'est  quelconque, 

/(.r  —  h)  =  f(x)    ^hfix)  -....-■ r^ ,f"-^{^  )    - 1^ 

el  de  chercher  une  expression   simple  de  R  qui   salislasse  à 
celte  éf[ualion.  R  existe,  car  R  n'est  autre  chose  que 

//"-i 
fix-^-k)   -J\x)  —  hf\x) /"   '(3-;; 

il  faut  toutefois  que,  f\x),  ....  /"    '  Kx)  existent. 

-Nous  supposerons  que,  x  variant  de  jc  à  J"  -h  A,  la  lonclion 
/(;)  ait  des  dérivées  /'(-)•  ••••  ./"(^''  "*^"^  supposerons 
seulement  que  f"{x)  existe  entre  les  limites  eu  question  : 
alors  /"-'(c),  /"-(^),  ...,/'{z-),  /\z)  seront  continus. 
Posant,  ce  qui  est  permis,  R  =  PA',  i  désignant  un  entier 
positif,  nous  aurons 

(i)Ax-^h)-/{x)-h/\x)--...-  ^_^['"~'^^_^^/-K-r)Vh'=^o. 

Faisons  alors 

X  -T-  h  —  \,    A  =  X  —  X, 


THÉORIE    DES    DÉIIIVÉKS. 

nous  pourrons  c-crirc,  au  lieu  de  (  i  ), 

\—.r 


I 
(  \       .ri"-' 


1.1 ...  {n  —  I  ) 
Maintenant  considérons  la  fonction  de  c 


\  —  r 

Jy\)—J(Z) -~/'iZ) 


/«-'  {T)  —  P  (  X  —  j:)'  —  o. 


I 

(\     -  z\"    ' 
i  .1 . . .  {  n  —  1 


/""i(^(  — l'i  \—zy, 


dans  la(|uelle  P  dcsif^ne  toujours  la  l'onction  de  x  et  /t  ou 
de  w  et  X  dt'linie  par  léqualion  (2);  cette  l'onction  de  ;  s'an- 
nule pour  :;  =  X;  é\ideninicnt  elle  s'annule  aussi,  en  vertu 
de  (2),  pour:;  ::^x.  Comme  elle  a  une  dérivée,  puisquey*"  '(;) 
a  une  dérivée,  par  li\  pothèse,  quand  z  varie  de  ^  à  x  -j-  A  1=  X, 
cette  dérivée  s'annulera  pour  une  valeur  de  z  comprise  entre 
X  cl  x-rfi\  or  cette  dérivée  est,  comme  il  est  facile  de 
s'en  assurer, 

/"i  z)  —  Pi(\  —  z)'-K 


1 . 2 .  j  .  .  .  (  /< 


En  désignant  par  x-\-h/i,  0  étant  compris  entre  o  et   1 ,  la 
valeur  de  r  pour  laquelle  celte  dérivée  s'annule,  on  aura 


1 . 2 .  3  . . .  (  «  —  i  ) 
CM  remarquant  «jue  \  ^=  x  -\-  /i  ;  on  tire  de  là 
(1-0  )"-'k"'f"(r  -^  Oh  ) 


P  = 


t.  I  .2.3.  . . .  (  /t I  ) 


et,   en   [)ortant  cette  \aleur  de  P  dans  la  lornnile  (i  ),  on  a 
finalement 

- r, f'Ux-T-OU). 

t .  I  .  -2 .  j .  .  .  (  /i    -  I  ;  •'  ' 


-s  nnvpirnK    m. 

Celle  formule  a  été  (Irnumlrt'e  pour  la  pi'cmière  fois  sous 
celle  forme  ])ar  iNIM.  SchliMuilcli  el  Roclie.  Le  dcruier  lermc 
esl  ce  (lue  l'on  a|i|)cll('  le  reste  ;  si  1  On  lail  i  -^  i  e!  i  -^  //.ou 
a  les  deux  formules  sul\aules,  donl  la  première  est  due  à 
Cauchv;  la  seconde,  qui  esl  la  plus  ulile,  esl  duc  à  Lagrange  : 

(/C.r-f^)..:/(;r)-;-A/(.r) -:-■■■-■-  ,  ,^   /^"  „'       ,  ,./^'-' (■^) 

/'"(i— 0)"-i     .  ^, 


'  I  '    \ 


(0 


I .  i ...(//- 1  )  ■ 

ft.r'-h)  —  f(.r)hf'{.r)      ... /'"'(.r) 

//" 


1 .  •>. .  3 .  .  .  /i  ' 


VIIî.       Quelques  théorèmes  déduits  de  la  formule  de  Taylor 

La  formule  de  Tavlor,  comme  nous  le  verrons,  esl  fonda- 
nienlale  en  Analyse;  nous  allons  d'abord  en  déduire  le  lliéo- 
rème  de  Ilolle.  Si  l'on  fait,  dans  celte  formule, 

fi-T-r-h)  =  f(.r)    -  fif'(.r)^:.-  —f\.r)^- .  .  . '''- /"(./■--O/n. 

•'  /      .'  ^  .  1  .'^"^  i  .'lS.  .  .ri- 

Zt  =z  i  ^  elle  <l('\  icnl 

(  1  )  /(  .r  -;-  /O  =  /(  -r  )  -^-  /i/\  r  -  -  0  A  i . 

Sous  celle  forme,  elle  esl  frécpieminenl  employée;  elle 
iiioiilre  bien  cpic,  si/(.r  +  A)  el  f(.-ï')  sont  nuls,  /"'(x  +  OA) 
est  nul;  donc,  quand  une  fonction  s'annule  pour  deux  yalcurs 
de  sa  variable,  en  restant  continue  dans  rinlervalle  compris, 
sa  dérivée  s'annule  puin-  la  yaleia- intermédiaire  x  -+-  OA. 

Mais  celle  remarque  ne  constitue  évidemment  j)as  une 
démonstration  du  lliéorème  de  Rolle  ou  plulolde  M.  ().  Bon- 
net, sur  lequel  nous  nous  sommes  appuvé  pour  établir  le 
lliéorème  de  Taylor  :  elle  a  pour  biil  seulemenl  de  montrer 
CHIC  la  formule  (i)  est  l'expression  même,  sous  une  lormc 
condensée,  du  théorème  de  M.  O.  Bonnet. 


TU  KO  un:   i)i;s   i»f:iii  vfiKS.  -() 

THKOiikMn.  —  Si  une  function  couliiuic  reste  ennsldiile 
cuire  les  liiniles  .r,,  el  X  de  sa  varinhle.  sa  dérivée  est  mille  ; 
réeiprixjuenieni ,  si  lu  <léri\'ée  (ruiie  loiielioii  reste  nulle 
cuire  les  li mites  .i\^et  \,  eettefniietioii  reste  emista ii te  da ns 
V intervalle  en  (jiieslion. 

Si,  cil  cllcl,  mic  (oiiclion  esl  consliinlc,  .sa  (k'ii\('c,  comiiie 
l'on  sait,  esl  mille  ;  il  rcslc  à  (Icmoiitrcr  la  rr(i|>r()(|ii('.  Soifiil 
donc  X  cl  ./•  -     Il  lieux  \aleiirs  eompriscs  enlic  .r„  cl  \;  on 

aura 

J\  x  -    h)  -^  --  /(  ./•  )  -^  -  hf\  X-     0  h  ') . 

Or,  /'{x)  clanl  mil  ([iiaïul  .r  varie  tic  .r^  à  X,  /'(.?■  J-  OA) 
sera  nul,  car  a'-]~^h  esl  compris  entre  j:  cl  .?■  +  A  et,  par 
sui-le,  enlre  ^o  et  X.  On  aura  donc 

f(x--~h)^-f(x). 
La  lonmile    Iroiiv/'e   a\aiil   lieu,  (juels  que   soieni    ./•  el  //, 
pourvu  cpie  x  cl  .r  -t-  //  soicnl  compris  entre  J'o  et  -\ ,  ''  ';>>'' 
en  conclure  cpie  /(.f-),  dans  cet  intervalle,  rcslc  coiislanl. 

c.    Q.    y.    D. 

On  déduit  de  là  cet  autre  lliéorcme,  li'cs  important  : 

Théoiîème.  —  Deux  fo/iclio/is  z>(.r),  'ii{x),  ayant  même 
dérivée  et  reslantconlinues,  ne peiivenl{tant  qu'elles  resteni 
continues)  dijférer  V une  de  l'autre  que  par  une  constante. 

En  clTel,  si  1  on  a 

^\x)       'y(jr)-.  o, 

la  fonclion  '■p(./")  —  '}('^0'  'J<"'f  '''  dériNcc  est  '■^'(.r)    -  ^' [x) 
ou  zéro,  esl  constanle  :  ainsi 

^{_X  )  —  '^{■i')  —  COIlSt. 

ou 

ç(x)  --^  <t'(-7")  -^-  COIlSt  ., 

cl  il  résulte  de  là  que,  si  Ton  connaît  une  solution  '-i(.^)  de 
l'équalion 

y^v{x), 

loulcs  les  autres  seront  de  la  forme 

y  =  '^{-r }    ;    coii-l. 


8o  riiAiMTin:   m. 

TjiÉouivME.  —  L  ne  fonction  est  croissn/ile  ou  décrois- 
sitnte  pour  une  valeur  jr  de  sa  variable,  suivant  que  pour 
celte  valeur  sa  dé/ii'ée  est  j/osi  fisc  ou  né^iitise. 

En  cirot,  la  fonmilc 

m o 1 1 Irc  c| Il e  1  c  s i •; n c  cl e  /"(./•  ~r  It )  ~ ,/ ( .r ")  e s l  c c  1  u i  cl c  /"' Çr  -^hli) 
quand  A  csl  posilif";  si  donc  on  ohscrve  ([u'une  ("onclion  /"(a*) 
est  croissanle  cjtiand,  pour  des  \aleurs  de  h  snlfisammcnt 
pclilcs,  on  a 

/{•^-ii)—A^)>o, 

celle  inéi;aliu'  conlinuant  à  ètie  salislalle  pour  des  valeurs 
de  /i  moindres,  on  voit  que/(x)  sera  croissant  si  /'{.r  -+-  OA) 
est  j)osilif;  mais  /''{ .r  +  Hh)  est  peu  différent  de/'(x);  donc, 
si/'(x)  est  positil",  il  en  sera  de  nirrnc  de /'(./•  -h  0  A),  et  J\.r) 
sei'a  croissant. 

On  verrait  de  même  que  f{x)  est  décroissant  pour  les 
valeurs  de  x  qui  rendent /'(.r)  négatif. 

La  di'monslralion  ])rrcédenlc  suj)pose y''(.r)  continu,  mais 
elle  démontre  que,  dans  ce  cas,  si  /'(j:')  ==  o,  la  l'onction  est 
croissante  ou  décroissante  suivant  quey'(c  -\- x),  t  étant  très 
petit  (î=  OA),  est  posiliCou  négatil". 

Le  théorème  précédent  est  encore  vrai  quand /'(.r)  est  dis- 
continu, mais  on  ne  peut  plus  allirmer  que,  s\/'(x)  =  o,  /(x) 
sera  croissant  ou  décroissant  suivant  que/'(.r  +  s)  sera  positif 
ou  négatif.  A  oici  comment  on  peut  élahlir  le  théorème  C|uand 
/'(x)  est  discontinu  :  on.a 

£  étant  un  infiniment  petit;  cela  résulte  de  la  définition  même 
de  la  dérivée.  Si/'(^)  n'est  pas  nul,  on  peut  prendre  £  assez 
petit  pour  cpie  y'(j)  -t-  î  soit  de  même  signe  <jue  A {•'^)i  ^^ 
alors  on  voit  que/(x  +  //) — y\j:-)  a  le  signe  de /'(j")  pour 
des  valeurs  positives  de  h  :  ce  qui  démontre  le  théorème. 


THÉORIE     DES    DÉIUVÉES.  8 1 


IX.  —  Dérivée  d'une  fonction  composée. 

Si  II,  r,  «',  .  .  .  sont  des  fonctions  de  x,  toule  fonction 
telle  que  f{u,  i',  «v,  •.  .)  est  dite  une  fonction  composée 
de  X.  Clicrchons  la  dérivée  d'une  pareille  fonction. 

Donnons  à  x  raccroissement  Aj",  supposons  que  ii,  v,  w 
aient  des  dérivées;  ces  fonctions  prendront  des  accroisse- 
ments \u.  Ar,  A<T  et  la  dérivée  de /sera  la  limite  de 

A/         fin       lu,  ('    -Ac,  w  -^  \w)  —  f{u,i\w) 

Or  on  peut  écrire  celte  formule 

-^  =  —  [/(  u  —  \it,  V  -\-  Al',  w  -'-  A(f  )  — /(  u,  i>  -1-  Ar,  ii'  -4-  A(P  )  | 

(  I  )  ■'         —  T—  r  A  ",  *'  +  At»,  (v  -;-  Alt'  )  —  /Y  u,  r,  it^  -f-  Aii'  )  1 
A,/'  •         ■  '  ' 

Comme  /(-ï^)  désigne  une  fonction  possédant  une  dérivée, 
on  a (p.  78) 

ou 

Si  l'on  suppose  h  =  A.r,  on  aura 

f(x  +  Aj7)  —/(a-)  =  Ajr/'(.r  -^  OA,r\ 

0  désignant  un  nombre  compris  entre  o  et  i.  Remplaçons  dans 
cette  formule  x  par  u  el  f(x)  par /(u,  r  +  Ar,  (V'-f-A(v); 
nous  aurons 

f{u  -f-  \u,  r  -+-  Ai>,  IV  —  Air)  — ./'(«/,  i'  -i-  Al',  w  -1-  Ait-) 
=  lu/'u  («  -i-  f)A?/,  v  -+-  Al',  tt-  -f-  Amp'), 

pourvu  que,  laissant  t>el  w  constants, /( m,  r,  (v)  ail  une  dé- 
rivée/'„  relative  à  u.  On  aurait  de  même,  en  appelant  8'  et  h" 
L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  6 


8.Î  cil  Al' 11  m:   111. 

des  nombres  compris  ciitre  o  et  i, 

/(  u,  V  -r  Al-.  \v  -     Atv  )  -  - /(  u.  w  (V  -      Atr  ) 
A4-/;.(  u,  r        O'Ai-,  \v        An), 
/(»,  r.  U'        Air  ) — /■(  u.  r,  i»'  )  r:  Ah'/[,,(  u,  r,  iv        0"Aii'), 

y^  et /'!,.  désignant  les  (Jérivées  de  /'relatives  à  t'  et  iv  ([iie  l'on 
suppose  exister.  La  lormnlc  (  i)  devient  alois 

-^  :=  —  /■',  (/<-()  At/,  i'  -,    Ar.  Il'  -     Air  i 

—    —/"'(M.  p-T    ')'Ar,  11-    Aip) 
A,/-  •'  '  ^  ^ 

/  ,,,(  U,  i\  ir  -     1)  Ad'  t. 

Ax  ' 

Si  donc /'„,/[,,  /"^  sont  continus  par  rajjporl  à  u,  c,  tr, 
on  aura,  en  laisant  Ax  =  o, 

A/" 
lim  -^-  ou  dt'rivce  do/—  ^^'/",,  («/,  r,  a-j-    \>'f[,{ii,  v,  w)--  iw'/^^,  (">''•  "^)- 
Aar  ■  ' 

(7est  dans  cette  Ibrmule  que  consiste  le  théorème  des  l'onc- 
lions  composées.  On  en  conclut  que  la  dérivée  cV  une  Jonc- 
tion composée  est  égale  à  la  somme  des  résultats  obtenus 
en  multipliant  les  dérivées  de  cette  fonction,  relatives  à 
iliaque  fonction  composante,  par  la  dérivée  de  cette 
fonction  composante. 

Application.  —  Clierchons  la  dérivée  de  //'',  u  et  v  dési- 
i^nant  des  ionctions  de  x.  Cette  fonction  est  composée  de  u 
et  V  :  la  dérivée  relative  à  u  est  vu^~^,  celle  relative  à  v  est 
u^logu;  la  dérivée  cherchée  est  donc 

rw''-'  u'  -     n^  lop;  uv'. 
En  particulier,  la  dérivée  de  x^  est 

j:j-^-^  -;    x^  logx  —  x^'{  1  -     lugx ). 
La  dérivée  de  x^-^'^  est 

^xx^^'i-i  -    .v'-^>  logarCi  -,-  loç^x)x-^. 
La  dérivée  de  x^"^^  est 

lo? j:  ar'"S-r-'  .;    ,fJ^*x-i  \(jcrx  ---  ua:'"S-^-'  \o"x. 


m  KO  II  II-    i)i:s  Df:  un  fins.  83 

X.    -  Sur  quelques  fonctions  dont  on  peut  calculer  la  dérivée 
d'ordre  n  en  fonction  du  nombre  n. 

\a\  (lc'iiv('e/i''"'*'cle x^'cstm  [m —  i  ) .  .  .  (///  —  n  ~  i  )x"^'", 
(flic  lie  n''  est  a''{\o^a)",  celle  de  c"-'  est  (i"c"'',  celle  de 
,                  (  r  .■>....  /t  —  1  )  ,       , 

'«'n-^'  ^'^^  7;^ (—  ^)"      • 

La  dérivée /<'""^def^-;-  v  —  n'-r-...esl  w'"^  +  v'"'> — tv'"^  + 

Voici  mainleuaiit  une  l'oniiule  due  à  Leibnilz  cl  qui  permet 

de   lornitM-   la    dérivée  /?"""^  d'un    piuduil   :  >i  l'un    difréniilie 

\-:=a\-  plusieurs  lois  de  suile,  on  trouve 


y    =  UV  —  iu  , 

y"  =  liv"  —  •i.u'v—  u"v, 

y'"  —  iiv'"--  3  11^"-^-  3  «'V- 

'-  u"\\ 

ce  ipii  laiL  soupromier  la  Ibrniule  générale 

{  I  ^  y  "  —  UV  "  --  C,',  u  V  "-'  -  -  C,;  u"v'"--  -r  . . .--  u'">  r, 

C,',,  C,-^, .  .  .  désignant  les  nombres  de  combinaisons  de  //  objets 
j)ris  I  à  1 ,  2  à  2, .  .  .  ;  en  sorte  que  l'on  a,  svndjoliquement, 

j"  =  (  u-  -Vf, 

les  exposants  de  u  et  r  devant  être  cliangés  en  indices  de  déri- 
vations après  le  développement  de  (w -f- i^")"  par  la  lormule 
du  binùme.  Pour  démontrer  cette  lormule,  il  sulfit  de  prou- 
\cr  que^  si  elle  a  lieu  pour  la  dérivée  /i'""^,  elle  a  encore  lieu 
pour  la  dérivée  (/i  +  j^i""e.  (;ar  elle  est  vraie  pour  les  trois 
premières  dérivées,  comme  on  le  vérifie  directement. 

Admettant  la  lormule  (i),  si  nous  prenons  la  dérivée  des 
deux  mendjres,  nous  trouvons 

y.n^v.  _  «t;  rt-Hi)  _  c,',  u  i"''  —  C2  «"  t"'   "   r 

H-      u  p'"'  -T-  GA  «"  V  "-"    r- . . .  ; 

or,  par  la  tliéorie  des  combinaisons,  on  a 

TM  -i_  I  —  ri         r  1  -^  T' ! C- 


84  ciiAriTRE  m. 

donc 

ce  qui  démontre  la  formule  de  Leibnilz. 

Ladérivée  /?' ""^dc?/('<rest,  svmboliquemcnl,(«  +  ^'^  wy"\ 
et  celle  formule  se  déduit  de  celle  de  Leihnitz  comme  le  déve- 
loppement de  (a-h  b  -{-  c)"  se  déduit  de  (a  -\-  b)",  .... 

La  dérivée  /j' ""^  de  -  se  calcule  comme  celle  d'un  produit 
//  -.  auand  on  sait  trouver  les  dérivées  de  -,  et  nous  vcr- 
rons  tout  à  Tlieure  comment  on  peut  paribis  trouver  la 
dérivée  n""^"  de  -. 


X.  —  Dérivée  /i"'"""  d'une  fonction  de  fonction. 

Considérons  une  fonction  de  fonction  ^  =  es («)  de  j:,  «  dé- 
sij^nanl  une  fonction  de  x,  et  proposons-nous  de  calculer  la 
dérivée  /i''''"'^  de  'f  ('0'  ^"*^  nous  appellerons  z-"'K  On  a 

Z'  =  Ci'  {u)u, 

Z"  —  o"  (  J<  )  k'-  —  Ci'  (  î/  )  if", 

z'"  =  'J"{  Il  )  «'3  -i-  Ci"  (  i<  )  3  if'  i<"  +  Ci'  (,  i<  )  »'", 

et  il  est  évident  que  l'on  a 

(  I)    ^''  =  A;,  ci'"(»)—  A„_,ci«-'(;  «/)--...  —  Aï '/(^O  —  -^  !?'("). 

Al,  A2,  ....  A,,  désignant  des  quantités  qui  ne  dépendent 
que  de  la  fonction  u  et  de  ses  dérivées.  Pour  déterminer  ces 
coefGcienls,  on  peut  supposer  que  l'on  donne  à  la  fonc- 
tion o  des  formes  particulières;  en  faisant  successivement 
'^(^f  )  1=  M,  ?/-,  ?/%  .  .  . ,  ?/«,  on  a 

«"'     =Ai, 

(m!)(«)  =  A,2«      -f-Ao.a.i. 

(a3)<n)  =  A,  3  f<2     —  A2.3.9.  «-^  A33.2.1, 


(a")<"    =  Ai««"-'-t- A2/l(/l  —  ljf<"-2-t-  ..  .  -t-  A„/l(/t  —  1;..  .'2.  I, 


TIlÉOnii:     DES    DÉRIVl^ES. 

SI  l'on  pose  alors  A,  = ^' ■.,  on  oblient 

u'"'  =B,, 

(«î)'"'   =2B,K    -^  B,, 

(«syn)  =3B,f/î-i-3B2«^  Bj, 

(  M"  1  «'  =  -  B.  f/"  -; B..  /<"-<   -  . . .  —  B„ . 

Pour  résoudre  ces  équations,  écrivons-les  ainsi 

iu'"^=  B,, 
(«îy«)=B2— CîB,f/, 
(«')'«'  :^  B3  —  Ci  B,  M  —  C,^  Bi  «2. 


(2) 


(  H')'"' =  R/+ '^^'l^'-i  « -^- • --^^^/"'Bi '<'-', 


or  nous  avons 

c;-c;c^-c^::^-...-c<c?  =  o, 

G/  —  G/      Gy+,  -f-  G/   "Gy+2  —  •  •  '^^  G,  G/  =  o, 

l^our  le  prouver,  observons  que  lay"™*  formule  a  pour  premier 

membre 

i(  i  —  \). . .(  i  —  /   -  Il        i(i  —  1 1. .  .a  —  /  )  /  —  I 

1 . 2 .  i . . .  y  1 . 2 . . .  { y  -T- 1 1        I 

i(  i  —  \). . .( i  —/  —  I )  (  /  -f- 1 )(j  —  2 ') 

I  .  2 . .  .  (  y  -7-  '2  j  1.2 

ou  bien 

i(  i  —  i)..ji — ./— I  »  r         / — y        (/  —  /)(i — y  —  n  T. 

1 .2.3. .  .y  L  I  '"'^  J 

la  parlie  entre  crochets  est  (i  —  i/~-';  l'équation  en  question 
est  donc  bien  vérifiée.  Les  formules  (2),  multipliées  respec- 
tivement par  C,', C^-,  — C;',   ...,  et  ajoutées,  donnent 

alors 

-^  B,  =  (  «'•  j  "'  — ^  -  G/  (  «'■')'"'  -4-.  -^  c|  (  u'-'-)  ^  -  •  • .  ; 


80  cii A r I T n F   1 1 1 . 

il  rcslc  à  remplacer  A/  par ' — .  dans  (i);   mais  on    peiil 

*  '        1  .  V, ...  ; 

.     .      lî/ 

écrire  —sous  une  antre  lorme,  savoir 
u' 

le  signe  D'Jj'voulanl  dire  dérivée  d'ordre  n  par  rapport  à  //, 
et  l'indice  ?/ =  a  indiquant  que  l'on  doit  faire  a  r=  //  dans  If 
résultat.  On  a  donc 

et,  par  suite, 

I.2.r{...rt  \a  /a=„ 

,       i'"-^r~'("^     p;-./"   ^, Y'"'  _..... 

1  .  V. .  J  .  .  .  I  /(  I  t        "         \  X  /  1  =  1,         '  '  ' 

Telle  est  la  lormule  qui  donne  la  dérivée  d'une  lonclinn 
de  fonction. 

Si  l'on  fait,  ])ar  exemple,  //  =  e-^,  on  a 

o"( e^ )         .lu         \" 
D«o(e^)  =  e"^    "  '/    -  D    (  -  -  I  --.... 

I  .2.3.  .  .«  \  ■X.  /o.  =  ii 

Or 

et,  si  ?/  =  e'", 

rv  /  "        '\  '       i'    ■         ,  1    • 

Dm .1     =  —e'-^—C)  1 1  —  n' 

\'x  J         a' 

Pour  a  =  //,  on  a  sinqilcnient 

D'Y  -  —  I  )        =  i'—  C;(/--i)'^   CHf  — 2/  — ...: 
de  sorte  que 

pnxf'ii  (  px\  .  „  , 

U''c5(e-r)=  ^-i±^[«"-C,  (n_i)"--C,^(n_2)"  -  ...  | 

I  .  2 .  3  .  .  .  /i 

^  f ï L^[(„_,)''-'  — C,',_,fn  — 2)«-'^-...| 

i .  2 .  j . . .  (  /i  —  1  ; 

Cette  lormule  est  de  lierschel. 


i-l)x 


THf;OUIK     DES     1)1- RIVÉES.  87 


XI.        Dérivée  //' d'une  fonction  rationnelle. 

La  déi'ivt'C  //'""'■  iVuw  polMiôine  est  la  somme  des  dérivées 
^iimes^  que  l'oti  Sait  |)rendre,  de  chacun  de  ses  termes.  Pour 
prendre  la  dt-iisi'e  n'  '"''  d'une  fraction  rationnelle,  on  peut  la 

décomiiosor  en    (!lémenls   simples,   do   la   forme ou 

'  '  {a-  —  a)'" 

A(j7  —  «)"'",  dont  on  connaît  les  dérivées  /?"'"'''. 

Mais  on  peut  aussi  procéder  autrement.  Soit  une  fraction 

rationnelle  r=  -?  dans  laquelle  ti  et  v  désiirnenl  des  polv- 
nômes  entiers  en  .r  ;  on  aura 

Si  Ion  prend  />  fois  de  suite  les  dérivées  des  deux  membres, 
au  movcn  de  la  formule  de  Leihnilz,  on  aura 

si,  dans  cette  lormule,  on  fait/?  =:^  i .  i,'i.  ...,/),  on  obtiendia 
n  équations  du  premier  degré,  à  n  inconnues  )'',)'".  .  .  .,^'". 
que  l'on  pourra  résoudre  et  qui  feront  connaître  r"  sous  forme 
d'un  quotient  de  deux  déterminants. 

Un  artifice  analogue  permet  de  calculer  la  dérivée  n"'""^ 

d'une  expression  de  la  forme  '>'  =  4     -5  où  t' désigne  un  polv- 

nôme  entier.  En  effet,  on  en  tire 

et,  en  différenliani , 

v'y-    -  '^yj'  r  —  o 
ou 

V')-  -:-  2)''t'   —  O. 

En  différenliant  n  lois,  par  la  formule  de  Leihnilz,  puis  en 
faisant  n  =  1,  2,  ..../?,  on  a  des  équations  du  premier  degré 
pour  calculer  ;',  1" r". 


88  CHAPITRE    m. 

XII.  —  Formule  de  Maclaurin  et  ses  applications. 
Si,  dans  la  lornuilc  de  ra>lor, 


ou 


ou 


ù  l'on  a 


R  =  — ■  /"+'  {X  -■-  0 h) 


/j"-i 

I . 

1, 

...(«- 

-i) 

(l 

:  — 

-OV'/r 

w  +  l 

R  =  î /''+i(^-  e/i), 

\  .-i.i  .  .  .11    •' 

on  remplace  x  par  zéro  et  h  par  x,  on  obtient  la  formule  dite 
de  Maclaurin 

f{x)=f{o)+xf\o)---...+  _-^^/«(o)-R, 

R  =    =^ :  /«  +  '(  0^-), 

1.1..  An  — \)^         -       '^' 

>-«+l/'l fi 'ira 

R=   :^^ y- ^-l^fn  +  U^x). 

Cette  formule  peut  .servir  à  développer  quelques  fonctions  en 
série;  mais,  malheureusement,  la  discussion  du  reste,  qu'il 
est  nécessaire  de  laire,  est  très  difficile,  si  ce  n'est  pour  des 
fonctions  très  simples,  dont  le  développement  est  toujours 
plus  facile  à  obtenir  par  d'autres  moyens  qui  ont  l'avantaj^c 
de  démontrer  les  résultats  pour  les  valeurs  imaginaii'es  de  la 
variable.  Nous  allons  appliquer  la  formule  de  Maclaurin  aux 
fonctions  /(i  +  x),  e-^,  s\ï\x\  cos:r,  (i  +  xY,  mais  il  ne  faudra 
voir  dans  nos  résultats  que  des  exercices,  ou  [)hitùt  des  véri- 
fications de  la  formule  de  Tavlor,  et  non  de  véritables  dé- 
monstrations. 

Déveloi'Pi  ME>T  DE  c'',  siu.r,  cosx.  —  Si,  dans  la  formule 

/(.r)=/(o)^^^/'(o)-^...+  -j-^^^^/"(o) 


(,/i-M)- 


THÉORIE     DES     DÉ  RI  Vf:  n?.  89 

on  remplace  f{jc)   succcssivt'inent  piir   ('',   sin.r,  cosa",   on 
trouve 


I 


sina-  =i  X  — 


I  \  .->.  i  .1.6.  .  .  n         I  . -2 . 3 . . .  ( «  -f- 1 ) 

.r»  ,         rosOx.x-"-*-' 


cosa^  =  I  — 


.2.3        1 . 2 . 3 .  j .  5    '  1 . 2 . 3 .  .  .  (  2  /n-  I) 

1.2    '     I . •! . 3 . 4  \  .-i.i.  .  .'in 


Dans  cliacuiie  do  ces  formules,  le  dernier  lernie  ou,  si  Ton 
veut,  le  reste,  tend  vers  zéro  (juand /?  eroit  indéfiniment;  j)Our 
/?  ^  X  ,  on  a  alors  les  séries 


X  X-  X'' 

i  - — 


I  I .  Jt  i  .Ji..i.  .  .  H 

x'*  ,    x-" 


i  .x        1.2.3.4  2 ^' ■ 

X'i  .        x"-"^^ 

sina:  =  x 


I  .'2.3  '  (^'2/t       -  1  j!    "' 

Développemk-nt    de   (i-;-jr)'^.    —    Le   développement  de 
(i  +  JC^  est  déjà  plus  dilFieile  à  obtenir.  Si  Ton  l'ait 

dans  la  iormule 

/(^)=/(o)—-^/'<'o) --...- ^ /"(o) 

77^ 1 

1  .  2 .  î  .  .  .  /t 

comme  on  a 

f[x)~{\-\-  xy.  ..f"{x)  =  {i  —  xy-"a{a  —  i). .  .{a  —  n  —  i), 

il  en  résulte 

a  a(a-'\)     ,  a(a  —  i>...((7  —  n  —  i) 

(l-i-  Xy  =  1-. X X-—... -^: X" 

I  1.2  I  .  -2 .  3 .  .  .  /l 

7.7J-(-I(-,  0  ,« 

H ^ (I  —  0 j" )«-"-•  a( a  —  I). .  .(a  —  n). 

1 . 2 . 3 . . .  /i 

Nous  allons  prouver  que,  si  x  est  compris  entre  —  i  et  +  i, 
le  reste  tend  vers  zéro,  en  sorte  que,  pour  ces  valeurs,  on  aura 

a  a(a  —  1)    ^  a(a  —  \)...(a  —  n-^i) 

i  i  .u  r.2.3.../i 


90  c iiAiMTUi:   ni. 

Pour  les  anlros  valeurs  de  .r,  la  série  qui  fornio  le  second 
membre  esl  divergente;  il  n'y  a  donc  pas  lieu  de  discuter  pour 
ce  cas  la  forme  du  reste.  Ce  reste  peut  s'écrire,  au  signe  près, 


«(.-.)(. -^j. ..(.-.;-) 


.m  -■--  Oj")"   •(  "      -^  j 


—  0. 
T. 


Si  l'on  néglige  le  l'acItMii-  Uni  a.r(i     -O.r)""',  ]<•  produit  dr 
autres  facteurs  sera 

Si  X  esl  positif,  chaque  fadeur  entre  crochets  finit  par  deve- 
nir nolahlenient  tuoinchc  (pie  i  ;  si  .r  est  négatif,  il  eu  est  de 

même,  car,  en  changea  ni  ./en — x'  '- r-^  devient  — ^ r—j^ 

quantité  encore  uolal)lement  moindre  que   i.  J^e  reste  tend 
donc  bien  vers  zéro. 

Df.veloppement  de  log(i  -i-.r).  —  Si  Ion  suppose  x  com- 
pris entre  —  i  et  -^  i,  on  trouve,  en  appliquant  la  même  for- 
mule que  tout  à  riieure, 

.-r-         .T^         j"'< 
loîi:(i  -^  a* ;  =  .r ; — : ^        .... 


XIII.  —  Développement  de  arc  tang.r. 


IjCS  applications  que  nous  ferons  de  la  loriuule  de  Taylor 
au  développement  en  séries  sarrèleront  à  la  fonction 
arc  tang.r.  Les  applications  qui  précèdent  ont  été  faites  pour 
nous  conformer  à  un  usage  reçu;  celle  qui  va  suivre  a  pour 
but  de  faire  connaître  un  artifice  de  calcul.  Soit  y  =  tangx. 

On  a 

,,^     1     ^  __^ / I '—-A- 

l  -r-  X-  2  y/ I  \X  —  V^   -  1  X  -\-  / —  I  / 

si  l'on  différentie  n  ibis,  on  a 

yln-^l)  ._=    ^ii^  1.2.3.  ..n\    ^  ~ : '-^ 


TUrniilK     i)i;s    DfilMVKKS.  ()l 

Posons 


nous  aurons 
ou 

ou.  par  la  formuic  de  Muivrc. 

y  n^\'  —  (  __  \yi  ,1  \  •~\\\[  it         1  I-;  siii''->  '^t 

donc,  pour  .r    —  o,  c;  ittz  -, 

_)•  =  o,    y'-^i.     r"   -  o.    y'"—  —  \.'>.     i'"— o,    y"  ^  \  .i.'i.\,     ... 

et,  par  suilp,  en  appliquant  la  première  forme  de  la  formule 
de  jMaclaurin,   e!    en  appelant-!;  un   noml)rf'    mninfire  rpic  i, 

.T^  .7''-"     '  '1/ 

air  t;ini,'j'  -    x .  .  .   ' .r-"'  '  —  • 

3  'in  '-  \  -in       i 

Quand  x  est  compris  entre  — -i  et  -ri.  le  reste  tend 
manifestement  \ers  zéro;  quand  .r  est  plus  grand  que  i  en 
\alcur  absolue,  iln'va  |)as  lieu  défaire  une  discussion,  la  série; 
(pii  constitue  le  second  membre  étant  divergente;  on  a  donc, 
tant  (pie  .r  reste  compris  entre  — ■  i  et  -;-  i, 


arc  la  11^.^-  ;=  :r  — 


XIV.    —  De  la  formule  de  Taylor  considérée  comme  formule 
d'approximation. 

La  formule  de  Tavlor  n"a  jamais  servi  à  découvrir  un  nou- 
veau développement  en  série;  elle  est  impuissante  à  donner 
tous   ceux  qui  sont   déjà    connus,    mais  elle   a    une    grande 


Ç)2  Cn.VPITRF     m. 

Iniporlance  analytique,  comme  on  le  verra  clans  la  suite;  nous 
nous  bornerons  ici  à  montrer  comment  on  peut  l'utiliser 
dans  les  calculs  d'approximation. 

Supposons  que  Ton  veuille  résoudre  l'équation 

/(■r)=o. 

et  que  l'on  en  connaisse  une  solution  approchée  a.  En 
posant  X  ^=  a  -{-  /i,  on  aura 

/{a  —  h)  =  o 
ou  bien 

/  i  a  I  -  h/'{  a  I /"{  a  -î-  0  A  j  =  o. 

On  déduit  de  là 

-  _  /(a)   _  h  /ïa-f-O/Q 

Jin  prenant  h  ^  —  '—. — -■>  1  erreur  commise  est 

h  /"ia-^(ih) , 
i-        /<«)        ' 

on  pourra  l'évaluer  en  remplaçant  h  par  une  ^aleur  supé- 
rieure à  sa  véritable  valeur,  valeur  supérieure  que  l'on  connaît 
en  général,  car  on  a  le  plus  souvent  deux  \aleurs  apj)rocliéès 
de  jr,  et  ensuite  en  remplaçant /'(a  +  OA)  par  le  maximum 
de  /"(x)  quand  on  fait  varier  x  entre  les  deux  valeurs  de  la 
racine,  l'une  par  excès,  l'autre  par  défaut. 

Voici  une  autre  application  de  la  l'ormule  de  Tavlor.  Je 
suppose  que  l'on  ait  construit  une  Table  de  la  fonction /(x), 
une  Table  de  logarithmes  par  exemple,  donnant  les  valeurs 

de/(i),/(2),  ...,f[x),/(x-rri), Si,  X  étant  entier,  on  veut 

avoiry"(cr  +  h),  h  désignant  un  nombre  inférieur  à  i ,  on  pose 

/(T~h)—f(x)  _  h 

et  Ton  en  conclut 

f^_a•-r-h)  =  J\J')-^h[/{x^l)-/(x)\ 


TH^-OUIK    DES     DÉRIVÉES.  qS 

OU,  en  appelant  A  la  différence  tabulaire, 

on  commet  ainsi  une  erreur  f|irjl  est  facile  dévaluer. 
En  elTet,  on  a  exactement 

fix  --  h)—  f{x)~  hf'ix  -^  <)h), 
fix^  i)—/(x)=  A  =  f(x-^O'), 

0  cl  0'  étant  tous  deux,  conipris  entre  o  et  i. 
On  a  donc  posé 

fix  —  li)=f(x)-  h\  =/ix)-^  hf\x  -^  0' j, 

au  lieu  de 

fyx^  h)=  fi^x)-^  hfx-    Oh); 

par  suite,  l'erreur  est 

h[/'(x-,-lih)-fix-^fi')]. 

Application.  —  Supposons  qu'il  s'agisse  d'une  Table  de 
logarithmes,  l'erreur  commise  pour  calculer  \og[x  -{-  h), 
quand  on  se  donne  x,  est 


\o"eh  ( r—, ^,  ] 


ou 

h  lojre  ,„, 

0' —  hli  est  moindre  que  l'unité  :  donc  l'erreur  sera  moindre 

que 

h\o"e  \o"e 

X-  x^ 

Pour  un  nombre  de  cin(j  chiffres,  elle  n'atteint  pas  le 
dixième. 

Autre  application.  —  S'il  s'agit  d'une  Table  de  loga- 
rithmes-sinus, l'erreur  commise  dansle  calculdelogsin  (a:  H- A), 
l'unité  étant  l'arc  de  lo  secondes,  sera 

h  loge[cot(j:-i-  8/*;—  cot/i(x-i-  6'j] 


<i  I  (Il  M'  I  r  it  i:    1 1 1. 

ou 

//  lo-.'sin(0'  — 0/M 


i;us(j;  -r-  OA)cos(a.'  -i-  0'/ 

olle  csl  iiioiikIio  (jue 

lou  e 

(arc  lo  )-. 


cos*(a.'   -  lo  ) 

c'est-à-ilirc   toul    à    lait    iiéglij^cable    pour   des    arcs  iihuikIic- 
<|ue  88". 


EXERCICES  ET  NOTES. 

1.  Le  Icclcur  peut  prendre  une  ronclion  aii,il\  l  iijiii'  an  hasard  et 
«M  cliereher  la  dérivée.  Pour  contrôler  le  résultat,  il  ^ullii  de  donnei' 
a  cette  fonction  une  autre  forme;  en  cherchant  sa  dérivée  sous  ^a 
nouvelle  forme,  on  doit  trouver  des  résultats  identiiiues.  Par  exemple, 
<in  a 

->cos.f  —  />  *  « —  siii-  r — — 


I  -  -  x-         un U-}\1  --  ./•) 

:2.  Trouver  la  déi'ivée  de  logx,  la  dérivée  secoiuh,'  de  logloi;./',  la 
dérivée  Iruisiénie  de  log  loj;  logu:,  en  général  la  dérivée  /;"""'  di-  loj^  ,./■, 
en  désignant  lug  log.r  par  logo  j:,  log  logo-P  par  logs  jt,   .... 

3.   .Montrer  ijue   la   dérivée  de  i-"{X)  pour  ./•       //.  ou    F'('.r),  est    la 

,.     .        ,     V(.r)—F(n) 

liiiiilf  de •  pour  .r  —  a. 

x  —  «         * 

■i.   Truu\erla  /;""""  dt'riNée  de  arc  sin  .r. 
On  observe  que  la  première  dérivée  est 

(i — X-)    -      ou      (1  — ./•)    -Il         X)    '-\ 

en  appii(|uanl  la  régie  de  Leibnitz  à  ce  produit .  on  ;i  je  i('Miltat  cherche. 

li.  Trou\cr  la  /<"""=déri\éc  de  log(u;  -i-  y/i    -x-). 

(î.   Trouver  la   /i'""^"  rlérivée  de en  le  niellant  sous  les  deux 

I  —  x'- 

formes  (i  ~x)-^{\  -- ^rj-'et  \  [(i  —  x)-^  -.- {  i  -t-./-;-'  |;  i<leiililier  les 

lieux  résultats. 


Tiif:()ini;   i)i:s   i)i:it  i  v/;es.  (j.j 

7.    Driimiilror  ([ut;  l'i'iiualioii 

'  --  [-}  •'•  -     — Tl. — J  ■'- 77773 J  ^-^  —  •  •  -=  ". 

où  m  est  entier,  a  inules  ses  racines  réelles. 
S.    Si,  tians  tin  iiTlain  intersallc  un  a 

|i('Ul-(ill   i|ll('li|lli'rni<  fil   coiicllll'f 

J 

y.  Toutes  les  dérivées  de  e~jc*  sunl  nulles  pour  a:'  =  o;  en  conclure 
<|ue  celle  fonclioti  ne  peut  pas  être  développée  suivant  les  puissances 
iioissanles  de  x. 

10.  La  fonction a:2(e-^  —  e~-^ )  croil-elle  ou  décroil-elie  quand  j:  crnii 
à  partir  de  zéro? 

11.  Si  ion  diiléi  (iil  ic  //  lois  (le  suite  par  la  ré^le  de  J.eiLnilz  le« 
deux  membres  de  l'idiMil  il(''  suivante  a;'^-*-^  =^  x'^  x^ ,  on  trouve  la  l'oi- 
iiiule  suivante,  dite  hinôinc  de   Vaiiderinonde  : 

{a-\-  h  ){a-    h —  \).  .  .[a-b  —  ii —  i) 
-.-.nia  —  I  ) ...  1  a  —  n-i) 

-  Cla(a  --  i).  .  .(  a--n--j.)b 

-  C\a(a--i)   .     a  —  ii-T~3}bi/j  —  ii 


<j'j  désignant  le  iionihie  des  combinaisons  de  /n  objets  pris  ij  i. 
1:2.   On  a  idcntiqueiiicnt 

j-ii  +  h-i-c  .  +  ..-rl  ::^  X^  X^  .  .  .-T'. 

lui  ilidérentiant  ii  fois  de  suite  et  en  appliquant  la  règle  de  Leili- 
iiilz,  on  généralise  la  formule  précédente  de  Vandermonde. 

J3.  Appliquer  la  formule  de  Maclaurin  au  développement  de  l'arc 
siiix,  et  dire  entre  quelles  limites  ce  développement  représentera  la 
fonction  arc  sin  j-. 

.  ,     rx       \-  rr  •  '     •  sin  /?.r 

14.   Un  démontre  en    1  rigonometrie  que  cosnx, — -. sont  des 

sinj? 

fonclio  nsentières  de  cosj*  quand  le  nombre  n  est  entier;  on  propose 

dappliquer  la   formule  de   .Maclaurin  à  la  recherche  des  coefficients 

de  ces  polynômes. 


qG  ciiaimtuk   m. 

15.  Domonlior  l;i  fiuiniili^ 

r^        ,  ,  „    r,-\  ,     I  .'^.').  .  .  C9./J  I)     . 

D''-'(i  —  .r2)      *=(—!)"-> biii  (  narccosx). 

/i 

(J  VCOBI.) 

16.  — ; ; D"(.r2— i)      -  =  cos( /i  arccosj-).     (J.vcoBi.) 

1 .3.  .  .{in  -    i) 

17.  Dans  la  formule  de  Taylur. 

f{x-^h)  =  Ax)-~  hf{x)^-  . .  .^     __^l__/«(.r-  O/O, 

la  quantité  0  est  de  la  forme s,  î  désignant  une  quantiti'  infi- 

niment  petite  en  même  temps  que/j;  mais  cela  suppose  l'existence 
de  la  (rt—  i)"™«  dérivée  de  f.  En  supposant  l'existence  des  déri- 
vées suivantes  de  f.  on  propose  de  montrer  que  î  est  de  la  forme 
AA -- A^B  _j_  _  ;  \^  3  _  sont  des  fonctions  que  l'on  propose  de 
calculer.  (On  ne  demande  que  les  valeurs  des  premières  quantités  et 
non  leur  expression  générale.) 

IS.   On  a 

/,,r-/0  =  /(.r)-    /,/'(.r--  J), 

aux  teimes  du  troisième  ordre  prés  par  rapport  à  h. 


UIFFÉUENCES    DES    FONCTIONS     D  '  L  N  E     VAIIIABLE.  97 


CHAPITRE  IV. 

DIFFÉRENCES  DES  FONCTIONS  D'UNE  VARIABLE. 

I.  —  Différences  des  fonctions  d'une  seule  variable. 

Soit  f{x)  une  fonction  de  x.  Si  nous  donnons  à  x  l'ac- 
croissement Ax,  f{x)  prendra  l'accroissement  Lf,  égal  à 
f(x-'rAx)  —  /{x),  auquel  on  donne  le  nom  de  différence 
première  de  f{x).  Cette  différence  première  est  une  nouvelle 
fonction  de  x,  et,  si  l'on  y  change  x  en  x  —  Ax,  elle  subira 
un  accroissement  AA/(x),  que  Ton  représente  aussi  par 
A-/(x),  et  que  l'on  appelle  la  différence  seconde  de/(x).  La 
différence  AA-/(x)  de  A-(.r)  s'appelle  la  différence  troi- 
sième de/(x)  et  se  représente  par  A^y(x),  et  ainsi  de  suite. 

Cherchons,  par  exemple,  les  différences  successives  de  «-*  ; 
en  posant  Ax  =  h,  nous  aurons 

A2 a-r  ^  ( (2x+/i  _  a^jia''  —  i  )  —  a^(a''  —  i)^- 
et,  en  g«'néral, 

Les  différences  successives  des  autres  fonctions  sont  plus  difii- 
ciles  à  former.  Considérons  cependant  la  fonction  Ax'",  où  A 
est  une  constante;  nous  aurons 

^\x"'  —  A  [(x  —  h  )'"  ~  X"']; 

la  formule  du  binôme  donnera  le  résultat,  qui  d'ailleurs  n'a 
rien  d'intéressant.  Nous  ne  formerons  donc  pas  l'expression 
générale  de  ^"Ax"',  mais  nous  ferons  une  remarque  impor- 
tante au  sujet  de  cette  expression  cl,  ])lus  généralement,  an 
L.  —  Traite  d'Analyse,  1.  7 


9^  ciiAnrnK  iv. 

sujet  de  A"F(.r),  en  dcsignanl  par  F(.r)  un  polynùme  do 
degré  ni  en  x.  Posons 

¥{x)—  Ax"'-r  B:r"'->   -  .  .  .: 
nous  aurons 

AF(^)"  k{x  --  h)'"  -    \x'"'-  \i{x-    A)'"-'    -  B^'"-i  -r- 

Si  l'on  développe  chaque  parenthèse  par  la  formule  du  binôme, 
il  est  clair  que  l'on  trouve  un  polynôme  de  degré  m  —  i  et 
([ue  le  ternie  du  degré  le  plus  élevé  dans  ce  polynôme 
est  A/?i  .r'"~'  A;  donc 

\?{x)~--  Xmx'>i-^h-    

SITon  prend  la  dincrence  de  AF(.r),  ou  A-F(.r),  le  terme  de 
degré  le  plus  élevé  dans  le  résultat  s'obtiendra  en  multipliant 
le  terme  de  degré  le  plus  élevé  dans  AF(x")  par  m  —  i  et  A; 
on  aura  donc 

^^F{x)^-  Xm{/}i-i)x''i-^h^r- 

AïF(^)  —-  \m{m  —  i){m  —  i)x'n-^ h^  -r 


A'»F(^)^=  Am( m    -  i)(m  —  2).  .  .{m  —  n   -  ijj7'"-«/j«~  ... 

et,  en  particulier,  si  n    --  m, 

A'"F(x)^  \r?i{m       i). . .  3,2.  i  h"'. 

Ainsi  la  différence  /;i'  ""'  d'une  fonction  entière  de  degré  m  est 
égale  à  une  constante,  et,  par  suite,  les  différences  d'un  ordre 
plus  élevé  sont  nulles. 

Quoique  les  formules  suivantes  soient  peu  employées,  nous 
les  signalerons,  parce  qu'elles  peuvent  avoir  quelque  utilité, 

\uv      («       Aa)(i''-     Ai^) — ui>  =  u\v -- i> \u       lu  \ç, 

A(a   ^v)=^\u    :  Iv, 

u         u-      Ak         U         V  \u  —  Il  \v 


on  les  retrouvera  le  plus  souvent  quand  on  en  aura  besoin, 
sans  qu'il  soit  nécessaire  de  les  retenir. 


DIFFÉIIENCES     I)ES     FONCTIONS    D'uNE     YAUIAULE.  99 

Parfois  la  variable  x  peut  recevoir  des  accroissements 
//,  A',  A",  .  .  .  successifs  inégaux.  Pour  ne  citer  qu'un  exemple, 
considérons  la  l'onction  a'";  nous  aurons 

Aa^  =  a^^i^  —  a^  =  a^(a/'  —  i), 


II.  —  Formules  servant  à  calculer  A"/  en  fonction  de  f{x), 
J\x'T-  h),  f{x-'  •j.h),  ....  et  formules  inverses. 


Soit  une  fonction y(x)  quelconque.  Posons 

[\)  J\x)^-.f^,     f(x—h)^-/i,     f{x--ih)=/i,      ...,    /(x-^nh)  =  /n. 
Nous  aurons 

(2)  \f,=f,-f„      A/,.^^/,-/„      A/,=/,-y;,      ...; 

nous  obtiendrons  ensuite 

(3)  AVo-  Vi- Vu,      ^'A  =  V2- Vb      AV',  -  A/,-A/,,       ..., 

puis 

(\)  AVo -  AV'i -  AVo,       ••; 

si,  dans  Ç.\),  on  remplace  A/,  et  A/o  par  leurs  valeurs  (2), 
on  a 

et,  de  mèmC; 

AVi-/3-V.  +  /i. 

La  formule  (4),  à  l'aide  de  celle-ci,  devient 

^Vo=/3-3/2^    3/,-/„. 

Si   l'on  examine   attentivement   les   formules  donnant   A/^, 
A-/o,  A'/o,  on  ne  tardera  pas  à  soupçonner  la  formule 

(  5 )  A'Vo  -  f.n  -  C;„/,„_i  --  G;„.A„^o  -  . .  .    r  /o, 

où  G^",,,  G;)^,  .  .  .   représentent  les  coefficients  du  développe- 


iOO  CH  A  ri  TUE    IV. 

nieiU  de  (rt-h^)'".  Aclmelloiib  la  l'ornuilc  (5)  pour  toutes 
les  \aleurs  cnlières  de  m  inléi-ieures  à  une  certaine  limite,  et 
démontrons  qu'elle  subsiste  en  changeant  m  en  m  +  i .  Comme 
elle  a  lieu  pour  /;?  =  i ,  2,  3,  elle  sera  générale.  La  Ibrmule  (5), 
appliquée  à  la  fonction  f^{x)=f{x  -f-  A),  donne 

et,  en  soustrayant  (5)  de  cette  nouvelle  lormule,  on  a 

A'«/i  —  ^"'fo  =f'n+x  -(CL  --  !)/,„  ^(C;„  -  C;„ )/,„_!  -  . . .  =/o, 

c'est-à-dire,  en  vertu  des  formules  connues  qui  ont  lieu  entre 
les  quantités  C"^, 

cette  formule  n'est  autre  que  (5),  où  m  a  été  changé  cnm  -\-\. 
La  formule  (5)  est  donc  générale. 

Corollaire.  —  Il   est  bon  d'observer  que  la  formule  (5)» 
que  Ion  peut  écrire  symboliquement 

•^'"/  =  (/  — 0'". 

en  changeant  les  exposants  de  /  en  indices,  aurait  encore 
lieu  si  Ion  avait 

c'est-à-dire  si  les  accroissements  successifs  A,  li  ,  h''.  .  .  . 
donnés  à  x  étaient  inégaux.' 

On  peut  obtenir  une  formule  inverse;  en  eflct,  on  a,  par 
les  formules  (2), 

(6)  /i-/u-Vo,    /2=/,-A/,,      ... 
et,  par  les  formules  (3), 

(7)  A/,  :- A/,  -  A>/o,      A/5==AA-:-Aî/. 

Si,  dans  la  seconde  formule  (6),  on  remplace/,  et  1J\  par 
DEPARTMENT  OF  MA-ln./v\ATlCS 

IINIVERSITY  OF  TORONTO 


DIFFÉRENCES    DES     FONCTIONS     D'uNE    VARIABLL.  IOI 

leurs  valeurs,  tirées  de  la  première  formule  (6)  et  de  la 
première  formule  (^),  on  a 

/,  =/o~2A/„-f-A2/o. 

On  vérifie  sans  peine  que 

/3  =  /o  -  3  A/o  -+-  3  À  Vo  -  A  Vo, 

et  Ion  est  tenté  de  poser 

fm  =  /o  -  C •,  A/o  -  Cf„  A  Vo -  ...  -  A"'/»; 

on  vérifie  cette  formule  comme  la  formule  (,5),  en  observant 
que,  si  elle  est  vraie,  on  a  encore 

fm^x^A -  c)„ A/, -  cf„AVi-. . .  -A'"/i; 

d'où 

J,n^,  =/o-^  A/o  --  C;,  (  A/o  -  y-/o  )-^Cl  (  V-/o  ~  A  Vu  )  -  .  . . 

et,  en  vertu  des  propriétés  du  symbole  Cj'^, 

Jm-i-l  ^/o  -^  ^/ii  +  l  A/o  -r-  C„,  +  j  A-/|j-f-.  .  .  . 

On  a  donc,  symboliquement, 

pourvu  que,  après  avoir  développé  (i  +  A)'"  par  la  formule 
du  binôme,  on  ne  regarde  plus  A"  comme  une  quantité,  mais 
comme  un  symbole  de  difféi'entiation. 


III.  —  Examen  du  cas  où  la  différence  de  la  variable  tend 
vers  zéro. 

Considérons  une  fonction  /(x),  finie  et  continue,  ainsi 
que  ses  n  premières  dérivées,  quand  sa  variable  reste  com- 
prise entre  x  et  a:  ^  nh.  Supposons  en  outre  que  sa 
(/i  +  i^'ine  dérivée  soit  bien  déterminée  ou  que  sa  /i'"'™^ dérivée 
soit  continue.  On  aura,  en  posant  A.r  =  h, 


102  CHAPITRE    IV. 

Si  l'on  développe  chaque  terme  par  la  formule  de  ïaylor, 
on  a 


\"fix)=i      \f{x)-^n 


-/'(:r) --...«" 


h" 


-4-C;, 


-Ci(«-i) 


-C'(n-i)"   ; 

-0,1(71  —  2)''     I 


:/i«+'l{„. 


Dans  cette  formule,  Ro,  R).  ...  sont  de  la  forme  /"+'(X) 
mullipHé  par  un  facteur  numérique;  X  est  un  nombre  com- 
pris entre  x  ei  x  -{-  nh.  Par  exemple,  Rq  est  égal  à 


]i"+^f"^\x  —  ^nh). 


1.2.3. .  .(n-i-i) 
Cette  formule  s'écrit,  en  appelant  R  la  somme  Rq 


AV(^)  =  (A''a70)o/(:r)-^(A"ar>)o-/'(r) 


R, 


—  (A«a7")o   - 


h" 


f"{x)r  RA«+'. 


Dans  celte  formule,  (A'\r")o  représente  la  différence  /''''"''  de  J7" 
quand  on  suppose  j:  =  o  et  Ax  =  i,  ainsi  que  cela  résulte  de 
la  formule  (5)  du  paragraphe  précédent.  (A'x")o  seradonc  nul, 
comme  on  l'a  ^^l,  pour  i<.  n,  et  égal  à  i  .i.'5.  .  .n  A  r"  pour 
i=n  ou,  comme  A^  =  i,  à  i  .2  .3 .../?.  La  formule  précé- 
dente devient  alors 

si  l'on  divise  par  A",  on  a 

et.  quand  on  fait  tendre  h  vers  zéro,  on  voit  que,  sif"+*{x) 
existe,  ou  si  /"{x)  est  continu,  la  limite  de  ^^^  pour 
Aj?  =  o  est  f"{x). 


DIFFÉRENCES    DES    FONCTIONS    d'lNE     VAIlIAnLE.  I  o3 


IV.  —  Formules  d'interpolation  de  Newton  et  de  Lagrange. 

Interpoler,  c'est  trouver  une  fonction  qui  prenne  des  valeurs 
données  pour  des  valeurs  correspondantes  données  de  sa  va- 
riable. Le  problème  de  l'inlcrpolalion  est  donc  indéterminé. 
Lagrange  s'est  proposé  de  résoudre  le  problème  de  l'interpo- 
lation en  assujellissant  la  fonction  inlerpolatrice  àètre  entière 
et  de  degré  inférieur  d'une  unité  au  nombre  des  couples  de 
valeurs  simultanées  données  de  la  fonction  et  de  la  variable.  Sa 
formule,  donnée  dans  les  Eléments.,  est 

(■)  /(a:)=.'y  iM /(^  . 

^  X  —  Xi  F'(^/j' 

i-  1 

Xq,  Xi x„  sont  les  valeurs  données  de  la  variable,   et 

/(Xq),  ...,  f{Xn)  les  valeurs  correspondantes  données  de 
f{x)  ;  et  l'on  a 

F(X)  —  {X  —  X(i)(x  —  Xi)  . . .  {x  —  Xn)- 

On  peut  vérifier  la  formule  (i)  en  observant  que  :  i"  le  second 
membre  est  bien  de  degré  /?,  F(:r)  étant  un  polynôme  de 
degré  n  -h  i  divisible  par  (a:  —  :r,);  2"  si  Ton  fait  x  =  Xr^,  le 
second  membre,  qui  peut  s'écrire 

'y    (X—Xt,)  .  ..  (x  —  Xi^i)( X  —  Xj-^i)  ..  .(x  —  x„)      . 
.m^{Xi  —X^)  .  .  .  {Xi  —  Xi-i){^i  —  Xi+i)  ...{Xi—Xn)-^       '    ' 

devient  précisément  /{xx)',    d'ailleurs   la    formule  (i)  peut 

f(x) 
s'obtenir  en  décomposant  ^ — -  en  fractions  simples;  el  f(x) 

r  {x ) 

est  déterminé  en  se  donnant  seulement  J{xo),  /(x,).  . .  ., 

Il  est  facile  de  calculer  l'erreur  commise  quand,  à  une 
fonction  quelconque /(j:),  on  substitue  l'expression 

-•^  /(xj)     F(x) 

^à  ¥'{Xi)   X  —  Xi 


tO-J  CHAPITRE     IV. 

fournie  par  la  formule  de  Lagrange,  comme  si  elle  claÏL  cn- 
lière.  En  elTol,  la  quantité 

J^      I  ^}c\Xi)  X  —  Ti  '^      ' 

s'annule  pour  x  =^  x^^  x^.  .  .  . ,  .r„ ;  elle  est  donc  de  la  forme 

{x~X^\x  —  Xy)...^X—  Xn  )  -j    — -3  ,       _^        • 

X  désignant  une  movenne  entre  x^  x^.,  J^i,  .  .  . ,  Xn-  Or,  '-2(^) 
étant  la  somme  dc/(^')  et  d'une  fonction  entière  de  degré  n, 
sa  dérivée  n  -\-  i'  "*^  se  réduira  à/"+'(x)  ;  on  aura  donc  (p.  'jj) 

fixf)     F(»         ^,    ,         /«^MX) 


J^    '       ^dW(Xi)x—  Xi  ^■ 


¥\Xi)  X —  Xi  I  .'i-O.  .  .  (/l  -^  Ij 

Avant  Lagrange,  Newton  avait  fait  connaître  une  formule 
d'interpolation  fondée  sur  la  théorie  des  difFérençes,  mais  qui 
suppose  essentiellement  que  les  valeurs  données  de  la  variable 
soient  en  progression  arithmétique. 

Reprenons  la  formule  démontrée  au  §  II, 

(I)    /«-/0--A/0-   — ^-^   A-/o^  ^--^ AVo-.... 

Si  Ton  y  fait  /i  =  o,  i ,   2,   3,  ....  on  trouve 

/o  ^/o, 

A  =  /o  -  A/o, 

h  =  /o-r  -i-^f^--  A2/o, 


Donc  le   second  membre  de   (1)   se    réduit  de  lui-même   à 
/o>  J\i  ■■■•Jii  pour  /i  =  o,  I,  2,  ...,  n,  c'est-à-dire  j)our  les 
valeurs  de  la  variable,  x,  x  -.-  h,  x  -r  2  h,   . ..,  x  -\-  nh. 
Si  donc  on  pose 


X  -:-  nh  =  X,     n  =  - —  — 


DIFFÉRE>CES     DES     FONCTIONS    d'lNE     VAUIADLE.  I  o5 

la  rormulc  (i)  deviendra 

\  —  TX—.r—  h\  —  -^  —  5-  ^t  . ,  y-/     X 

-^    1. ^ JÂ — ^V(-)--... 

et  le  second  membre  de  celle  formule  deviendra  /{x)  pour 
X  =  X,  /{x  —  /i)  pour  \.  =  X  -i-  h,  /(x-T-^h)  pour 
X  =  J7  -t-  2/< ,  ....  Ce  second  membre,  limilé  à  n  --  i  pre- 
miers lermes,  sera  donc  une  lonclion  entière  de  X,de  degré  n, 
se  réduisant  à  des  valeurs  arbitraires  /"o, /i,  .  .  .,/«  pour  des 
valeurs  de  X  en  progression  arilhmélique.  Celle  formule  est 
celle  de  Newton.  Nous  allons  nous  y  arrêter.  Posons 

.,,.,       ,,     .        \    -xlf(x)        (X-x)(X-^x-h)\\f(cr) 

iA\)-jix)-— ^ — ^-. 


(■^) 


f{z)-f{x)- 


'  _  (X—  r)  ...(X  — -g  — n  — I  A)  A"/(.r) 

1  1  . 2 . 3 ...  «  /i" 

/  _  (\  —  x^...(\—x—nh)P 

'  "         1.2.3.". .(«—  i)A«-i         ' 

et  considérons  la  fonction  de  :; 

z-xSf  { z  —  xMz  —  T  -~h\  .  .  A  z  —  x~n—\  h)  1'^  f 

I        A        '  "  '  1 . 2 . 3 . . .  /i  A" 

(j  —  xMz  —  X  --  h)  .  .  .  ( z~  r—  n/i  )      P 
1 .2.3. .  .1  «   -  i)  A"-"* 

Celle  fonction  s'annule  pour  ^  =  X  et  pour  ^  :=  x,  x -f- /i, 
. . .,  X  -r  nh\  sa.  dérivée  [n  -r-  i)"""'  doit  donc  s'annuler  pour 
une  valeur  movenne  entre  X,  j:,  x-j-h,  .  .  .  ,  x  -r-  nJi.  Donc 

I.2.3...('«—  I)       P 

'    ^    '       i.2.3...(/i—  I)  A«+i         ' 

et,  par  suite, 

P  r=  A«+i/«(5). 


La  formule  (2)  donne  alors 


^        .,    ,       X  — .rAA>)  {\^.r^..A\  —  x  —  n  —  \h)\'^f{x) 

)  —  j{x)  — -, -. .  . ■■ — "t 

/3     ;  '       I  \    I  j  /j  1.2.3. ..rt  A'» 

_  (X-^)...(X— r-/^A) 

1.2.3...  ^«-^  g       -^       ^  ^' 


I06  CHAl'lTKK    IV. 

z  désignant  une  moyenne  entre  .T,x  -\-  /i X.  Si,  dans  celle 

formule  ainsi  complélée,  on  l'ail  h  =:  o,  en  tenant  compte  de 

la  relation  limy^  =  /"(^j-)^  on  retrouve  (ce  qui  devail  être)  la 

formule  de  tavlor 

f{X)-/{x)=   -    -    ^/(^)-4-...H-    ^^"^         ""^ /"^'(-). 

J"-    ■'     ^"^    ■'  ,       ^\    ^  I  .'2. .  .(rtH- i;-'        ^    • 

Présenlée  sous  la  forme  (3),  la  formule  de  Nevvlon  devient 
une  idenlilé,  et  convient  à  toutes  les  fonctions  continues  ad- 
mettant n  dérivées  continues  ou  une  (n  -h  i)*'"'*  dérivée  bien 
déterminée. 


V.  —  Formule  de  Newton  généralisée. 
Posons 

ai  —  Uq 

CI2  —  Cil 


puis 

(3)  /l^-Zii'-""»  =/(„,.  a„a,v 

Uo  —  do 


pin 


/(cca,  g,,  ai)—f(a-2,  a,,  ap)        .  . 

«3       -  «0 


Nous  aurons  évidemment 

(4)  /C«l)-^/(«o)  -■-(«!    —«0  )/(«!,    «0). 

(5)  /(a2)=/(«i)— («2  —  «l)/(«2,  «l)- 

Si  l'on  remplace  /(rt|)  par  sa  valeur  (4)  et  /(V/o,  «i)  pai" 
sa  valeur  (2),  on  aura 

/(«2)=/(«o)-^(ai  -«o)/(«i,«o) 

■^{a2—ai)[{ai  —  ao)/(a.,,  «i,  Oj)— /(«i,  «0)]. 


DIFFÉRENCES     DES    FONCTIONS    d'uNE     VARIAItLE  1 07 

c'esl-à-diie 

/(«2)  ^/(«u)     '-  («2—  ««)/(«!,  «0) 

-t-  («2—  «l)(«2     -  «o)/(«2,    «1,    «(>)• 


On  est  ainsi  conduil  à  soupçonner  la  formule 
(6) 


/(««)  =/(«o)  --  (««  —  «u)/(«l,«û) 

--  (rt„  — rti)(rt„  — au)/(a2,  a,,  «o) 


(jue  Ton  vérifie  d'ailleurs  sans  peine.  Posons 

i    /(^)=/(«j)---(^—«U  )/(«!,  «0) 

)  -4-(.r--aj)(j:  — «,)/(«2,«i,«o)--- •  . 


—  ï*  (x  —  Uo). .  .(x  —  a,i). 
La  fonclion  de  :; 

/(-)  — /(«o)  — (-  --  rto)/(«i,  «0)  — .  .  .—  P(-  —  «o)-  •  •(-  —  ««) 

s'annulera  :  i"  pour  z  =  .r,  en  verUi  de  la  formule  (7); 
2"  pour;=:«o,  <7,,  ...,  <7«_i,  en  vertu  de  la  formule  (6). 
Sa  (/?  -t-  i)"^"'*^  dérivée  sera  donc  nulle  pour  une  valeur  ç  de  ;, 
moyenne  entre  z-,  a^,,  «, Donc 

y«+i(î)_P.,..^.3...(rt  a-  i)  =  o. 

Tirant  P  de  là  pour  le  porter  dans  (7),  on  a 

/(•2^)=/(«o)  —  (^  —  «o )/(«!,  aQ)~... 

-^  {x  —  ao){x  —  ai)  ...  (x  —  a,i-i)  /{an,  ««-1, «0) 

(x    'ao)(x    -aj)  . .  .  (x-~a,i) 


,2.3  . .  .{n-\-  1) 


/«^•(;; 


Celle  formule  d'interpolation  est  due  à  Ampère.  A  la  forme 
près,  du  reste,  elle  ne  diffère  pas  de  la  formule  connue  de  La- 
grange. 

VI.  —  Autres  formules  d'interpolation. 

Soient y'o,/,,  ...,/„  les  valeurs  de  la  fonction  interpolatrice 
pour  les  valeurs  correspondantes  :Co>-^n  •••,  ^^  de  la  variable  :r. 


I08  CHAPITRE     IV. 

Brassinne  [Journaldc  Liouvillc,  i""  série,  l.  II)  a  fait  connaîlrc 
la  rorniulc  suivante  : 

A„/oF(x)(.r-.ro)-^--.\,/,F(.r)(:^-.r,)-«-^-... 


/(^) 


où  F(^)  désigne  le  produit  (x  —  Xo)  {x  —  Xf)  . . .  {x  —  x„), 
et  où  Ao,  A,,  A2,.  .  .  désignent  des  quantités  arbitraires.  On 
peut  l'écrire 

_  Aq/o (.r  —  -rp)-'  -+-  Ai/i  (a:  —  ar,  )-'  -4- ... 
•^*^^'~       Ao(^-.ro)-i-r- A,  (.r-.ro  )-'-!..". 

Voici  une  formule  trigonoiiiélrique  : 

_   -  sin(.r  —  xi)sin(x     ■  .To)  .  . .  s\n(x  —  .r„) 

-^  ^     '~''^    **   sin(.ro-    .ri)sin(a-o  —  x^)  .  .  .  s\n{xo  —  x„) 
sin(.r  —  .ro)sin(a^  —  .r?)  . .  .  sin(a:  —  x„) 


sin(a:'i  —  J"o)sin(j7i  —  ^"2)  •  •  •  sin(.ri  —  x,i) 

On  pourrait,  par  les  méthodes  suivies  plus  haut,  trouver 
une  limite  de  l'erreur  commise  en  appliquant  ces  lormules. 

Formule  d'interpolation  de  Cauchy. 

La  formule  d'interpolation  de  Cauchy  a  pour  but  de  faire 
connaître  une  fraction  rationnelle  dont  le  numérateur  soit  de 
degré /?2 ,  le  dénominateur  de  degré /î,  et  qui,  pourm  +  /i-f-  i 
valeurs  données  «o>  «^'^u-  •  •?  «/«+«  de  la  variable  .r,  prenne 
m  4-  /z  +  I  valeurs  données  également. 

Soity(j:)la  fonction 'cherchée.  Posons 

(f(x)=(x  —  ao){x~  ai).  .  .{x  —  a„), 

<\<{x)=  {x  —  an+i){x  —  Clfi+.y)  ■  ■  -{^  —  am+n)- 

La  fonction 


/(ao)/(ai)  ..  .f(a„)  , 


'\'{ao)<\>{ai)...  '\>{(i„) 

(i)  i  =  n 


:>(^) 


1 


1=0 


/(ao).../(a„)  i>(a>)  ^(x) 

i^(ao)  ..  .  •\'{a„)  f{ai)  (^  — a/)cp'(a,) 


DIIKÉRENCES  DKS  FONCTIONS  D  '  l' N  E  VAniABLE.     1 09 

s'aniiiilc  jtour  X  =  c(,i^i,  a„j^-2,  ...,  ««+«*;  de  plus,  son  dénomi- 
naloiir,  abslraclion  laile   du   lacleui"-r-^ ^ '-rz r>  cornmun 

/    •     '  '       1    >   'l'(^)  .        1      1 

au  iiuniLialeur,  est  précisément  eiral  a  -^^ — (>  en  vertu  de  la 

formule  de  Lagrange,  pour  j^  ■.=  a^,  cii,  ...,  «„;  donc,  enfin, 
cette  expression  (i)  se  réduit  ix  J\x)  pour  x  =  Oq,  a^,  ...,  a„ 
et  à  zéro  pour  x  ^=  ««+1,  ««-(-j,  —  f^f/i+m- 

Soient  N  le  numérateur,  D  le  dénominateur  de  l'expres- 
sion (i);  effectuons  dans  N  et  D  toutes  les  permutations  dont 
les  indices  o,  i ,  2,  3,  ...,/??  -h  «  sont  susceptibles  ;  soient  N, , 
No,  ...,  N|x  les  diverses  valeurs  de  N,  et  D,,  Do,  ...,  Dy,  celles 
de  D;  on  aura 

N, -:- N, --...-- N„ 

En  effet,  laisons,  par  exemple,  x  =^  a^  dans  l'expression  pré- 
cédente. Le  numérateur  se  réduira  au  produit  de /(ao)  pai* 
une  somme  de  termes  de  la  forme 

/(g,)  .../(a,,)  r_  _^.^  ^  ^  f(  ai)  .  .  ./(  a,,)  ^ 

<l{ai)  ...'l{a„) 'l>{ao)  '      °         <!^{ai) .  .  .<l{a„)' 

quant    au    dénominateur,    il  se  réduit,   pour  j"  =  rto,à  une 

somme  de  termes  de  la  même  forme,  puisque  l'expression  jy 

se  réduit  à  /(«o)  pour  x  =  «o,  si  N/  ne  se  réduit  pas  à  zéro. 


VII.  —  Expression  des  dérivées  en  fonction  des  différences 
et  vice  versa. 

Etant  d  )nné  'S  les  d'-rivées  d'une  fonction  f{x)^  on  peut 
calculer  A"/ par  la  formule  de  Tavlor.  Nous  avons  trouvé,  en 

chercliant  la  limite  de  —  • 

On  peut  écrire,  dans  cette   formule,  un  nombre  de   termes 


I  lO  CHAI'II  UE    lY. 

aussi  grand  que  l'on  voudra,  et  le  dernier  sera  d'une  forme 
particulière  à  la(|uelle  il  est  inutile  de  nous  arrêter.  Mais  on 
peut  se  proposer  la  question  inverse  :  connaissant 

f{x),     lj\x),     AV(-r),      ..., 

calculer  /''(.r),/"(.r), ....  Voici  comment  Lagranf^e  ariive 
au  résultat  par  une  induction  très  curieuse  :  posons  la  for- 
mule symbolique 

d'où,  supprimant  /"comme  s'il  était  un  véritable  facteur, 


et,  par  des  calculs  tout  aussi  peu  rigoureux, 

A_i=e/'i>,     AD  =  log(i-f- A). 

Appliquant  à  log(  i  +  A)  la  formule  de  Taylor,  on  a 

A-      A^ 
AD=^A-      -^    -      ... 

2  3 

et,  multipliant  par/, 

/il)/  ou  /ifU)  -^  A/-  \  AV-  -  è  ^V~-  ■■■■ 

(Quoique  ces  calculs  soient  tout  à  fait  dépourvus  de  sens,  le 
résultat  est  très  voisin  de  l'exaclitude.  Et,  en  eflc't,  nous 
avons  vu  que  l'on  avait 

X  —  .T  X  —  .r  \  —  .T  —  /i 

fa)  -/(x)  +  .^-  A/^.  -,-  — ^    A./- - . . , 

X  —  .r  X  — •  .r  —  h         X  —  .r  —  n  h  ^ 

I  2  "  '         n-i-  i        -^  ■" 

lirons  de  la  Iv — tt-   ' >  nous  aurons 

X  —  X 

l'aisant  alors  X  =  :r,  il  vient 

(g  hf'ix)  :--:   A/-   i  Ay-.  .  .±  i  A"/^.     '^Z\    ^"'■'(^>' 


DIFFÉIIENCES     DES     FONCTIONS    D    LNE     V.VUIADLi:.  III 

^  désign;iiil  un  nombre  compris  entre  :c  et  :c  -r  (/i  —  \)h.  On 
aurait  d'une  façon  analogue  le  développement  de  h-/"(x), 
mais  il  serait  plus  compliqué. 

Quand  on  interpole,  on  peut  faire  usage  de  la  formule  (i) 
pour  calculer  la  dérivée  de  la  fonction  interpolatrice;  mais, 
comme/"''" '(;)  est  inconnu,  il  est  difficile  de  faire  usage  du 
dernier  terme;  alors,  le  plus  souvent,  on  calcule  dans  le 
second  membre  un  nombre  de  termes  assez  grand  pour  cpic  les 
suivants  paraissent  négligeables.  Sans  doute,  ce  procédé  est 
inexact,  mais,  à  délaut  de  connaissances  précises  sur  la  nature 
de  la  fonction  empirique  que  l'on  étudie,  on  choisit  les  hypo- 
thèses les  plus  plausibles,  et  il  faut  dire  que  la  formule  (  i  ) 
fournit  généralement  des  résultats  pratiquement  suffisants, 
si  h  est  petit. 


VIII.  —  Application  du  calcul  des  différences  à  la  construction 
des  Tables  numériques. 

Je  suppose  que  l'on  veuille  dresser  une  table  des  diverses 
valeurs  de  la  fonction  x',  pour  des  valeurs  de  x  en  progression 
arilhmi'tique  dont  la  raison  soit  \x. 

On  peut  éviter  de  longs  calculs  comme  il  suit  :  on  observe 
(jue  X' x'  est  constant,  que  les  valeurs  de  ^^ x^  seront  con- 
nues dès  que  l'on  connaîtra  l'une  d'elles  ;  il  suffira,  en  effet,  d'y 
ajouter  (ou  d'en  retrancher)  successivement  la  différence 
constante  A''.^:'.  Ayant  formé  les  valeurs  de  à^x'',  il  suffira, 
pour  former  celles  de  A- j;'',  de  connaître  l'une  d'elles.  On  aura 

alors 

A-(x-r- Aj-j' =  A-j-'  -T- A-'x''.      ...; 

ayant  formé  les  valeurs  de  A-x*,  il  suffira  d"a\oir  une  des 
valeurs  de  A^'  pour  posséder  toutes  les  autres;  enfin ,  pour  avoir 
toutes  les  valeurs  de  x*,  il  suffira  d'en  posséder  une  seule. 
Vinsi,  par  de  simples  additions  ou  soustractions,  on  se  pro- 
curera toutes  les  valeurs  de  x',  connaissant  une  valeur  de  x 
et  les  valeurs  de  ses  différences. 


112  Cil  A  PI  THE     IV. 

Dans  le  Tableau  ci-dessous,  on  a  suppose  \x  =  i,  et  Ton  a 
formé,  au  moyen  de  la  méthode  exposée,  les  quatrièmes  puis- 
sances de  4j  5,  6.  On  a  calculé  directement  o*,  i^,  2'  et  3' 
que  Ton  a  inscrits  dans  la  colonne  intitulée  x''  ;  dans  la  colonne 
intitulée  A,  on  a  inscrit  Ao',  A  i  '.  A  9.*  :  dans  la  colonne  A-,  on 
a  inscrit  A'-o',  A- 1 '' ;  on  a  inscrit,  dans  la  suivante,  A''o'. 
Toutes  ces  différences  ont  été  calculées  au  inoven  des  quatre 
premières  valeurs  o,  i,  16,  81  de  x''.  Quant  à  A''o,  on  l'a 
calculé  directement;  il  est  éî^al  à  1.2.3.4- 


0 

0 

1 

M 

36 

24 

I 

I 

o 

5o 

60 

2 

16 

65 

1 10 

«4 

1 

3 

81 

175 

194 

108  - 

1 

4 

256 

369 

3o2 

5 

625 

671 

6 

I2()6 

La  Table  une  fois  préparée,  on  a  procédé  ainsi  qu'il  suit 


En  ajoutant  A^o'*  =  24  à  A'o^  =  36,  on  a  obtenu 

En  ajoutant  ce  nombre  à  5o  =  A^  1*,  on  a  obtenu 

En  ajoutant  ce  nombre  à  65  =  A3*,  on  a  obtenu 

Enfin,  en  ajoutant  ce  nombre  à  81  ^  3'»,  on  a  obtenu.. 
En  ajoutant  24  ^  Ao'  —  Ai'  l 'à  60  ^  A^  i*,  on  a  obtenu 


Aîo'*=^  60 
\-i'*=^  1 10 
A  4*^175 


Une  marche  analogue  aurait  permis  de  calculer  (  -i)*, 
(  —  2)'' ,  .  .  .  par  de  simples  additions  ou  soustractions. 

Cette  méthode  peut  êtreétenducà  des  fonctions  quelconques 
qui  ne  sont  pas  entières,  quand  les  différences  Ar  ne  sont  pas 
très  grandes  :  i"  parce  que  l'expérience  apprend  que,  le  plus 
souvent,  les  différences  premières,  secondes,...  vont  en 
décroissant   cl  peuvent,   au    bout  d'un   certain    temj)s,    être 


DIFFÉRENCES     DES     FONCTIONS     d'lNE     VARIABLE.  Il3 

considérées  comme  nulles,  au  point  de  vue  du  calcul  numé- 
rique; 2"  ou  bien  parce  que  l'on  a  des  procédés  pour  calculer 
directement  les  différences  d'un  certain  ordre. 

Dans  les  Tables  de  logarithmes,  par  exemple,  les  différences 
premières  restent  longtemps  constantes;  les  différences  se- 
condes sont  donc,  au  point  de  vue  numérique,  nulles,  c'est- 
à-dire  négligeables. 


IX.  —  Application  à  la  construction  des  Tahles  de  logarithmes. 

La  formule  de  Taylor  nous  a  permis  de  développer  la  fonc- 
tion log(  I  --  .c)  en  série  ;  on  a  trouvé  (p.  yo) 

T-         .r^         T* 

Io-(i-:-x)  =  J7 r^  r — r  -  •••; 

i.  i  1\ 

en  changeant  x  en  —  .c,  on  a 

,        ,  ,  T-         x"^         T* 

PV  /  2  3  4 

d'oïl,  par  soustraction, 

'        x'^        x' 


log  —         =  2     a:  —  ■        .      . 


Si  Ton  remplace  x  par   —        ,  on  trouve 


,       x—  I 
loîï      


[_■-  -.  ^' 1 

Laa^-i-  I        3{2x-i-  I  )'    '  '      J 


Cette  formule  suppose  que  Ton  a  affaire  à  des  logarilhmes 
népériens;  en  posant  alors 


log  vulge  =  M  =  .-^~-  , 
°        ^  losio 


on  a 

(' 


)  log(^-^l)-Iog^^2iM         -i—H-- 1 ^^...1, 

\^ix-T-i        3(2jr-T-  i  )^  J 

et,  cette  fois,  les  logarithmes  sont  pris  dans  la  base  lo.  Celle 
L.  —  Traité  d'Analyse.  g 


Il4  CIlAPITRi:     IV. 

formule  donne  donc  les  dinV'rences  tabulaires  au  moyen  d'une 
série  d'aulant  plus  convergente  que  x  est  plus  grand. 

De  la  formule  précédenle,  on  tire,  en  changeant  j?  en  j;  —  i, 

logar—  log(.r  — i)  =  aM  (      — — -^  -     -' -■-...), 

et,  par  souslraclion, 

log(x-M)-2log^-f-Iog(.r-i)^-4M  r  -'-—^-^-...j. 

Cette  formule  fait  connaître  les  difl'érences  secondes  :  elle  est 
encore  bien  plus  convergente  que  la  première.  Nous  montre- 
rons seulement  l'usage  que  l'on  peut  faire  de  la  formule  (i).  Il 
faut  d'abord  calculer  le  module.  Supposant  alors  M  =  i ,  pour 
commencer,  on  a 

(2)  lognép(rH-i)-lognc'pr  =  2^_^— '-^  -t-...)' 

et,  en  faisant  .r  =  i, 

l0g«Cp2:^-2Q-3-L--^-J-+...). 

Avant  calculé  lognépa  au  moyen  de  cette  formule,  on  en 
déduira  lognépS  en  triplant;  en  faisant .r  =  8  dans  la  formule 
(2),  on  en  déduira  lognépg;  puis,  en  faisant  ^  =  g,  on  aura 
lognépio  et  par  suite -NI.  Ce  calcul  une  fois  effectué,  avec 
une  exactitude  suffisante,  on  fera  successivement  .r  =  1000, 
X  =  looi ,  .  .  .  dans  la  formule  (i);  des  séries  très  convergentes 
fourniront  alors  les  diflerenees  tabulaires  d'où  l'on  déduira 
les  logarithmes  des  nombres,  car  on  sait  que  logiooo  =  3. 

Comme  on  a  calculé  directement  log2  et  logp,  on  pourra 
en  déduire  log4,<^,  16,  .  .  . ,  logS,  10,  20,  .  .  - ,  log3,9,  27,  .  .  . , 
log6,  12,.  .  .,  ce  qui  ibiiriiira  des  vérifications  de  temps  en 
temps. 


DIFFÉRENCES    DES    FONCTIONS     D    UNE    VAIUAItLE. 


X.  —  Construction  des  Tables  de  sinus. 

On  a  proposé  do  calculci'  directement  les  tables  de  loga- 
rithmes de  sinus  au  moyen  de  certains  développements  en 
série  dont  il  sera  question  plus  loin.  Mais  nous  pensons  que 
l'emploi  des  méthodes  plus  élémentaires  est  au  moins  aussi 
rapide. 

Pour  construire  une  table  de  sinus  et  cosinus  naturels,  on 
fait  usage  des  formules  de  Simpson,  démontrées  dans  les  élé- 
ments de  Trigonométrie,  etque  nous  transcrivons  de  nouveau  : 

[siii  (m  -^-  I  )  ^  sin  jnh  ]  —  [sin  mh  —  sin  (/«  —  i  )li\  rz^  —  xl,:  sin  mh, 

k  désignant  la    quantité    très   petite    i — cos/i  =  asin"'^  ^  A. 
Cette  formule,  en  y  faisant/*  =  Ax,  mJi  =;r,  peut  s'écrire 


A2  sin(ar  —  ù>.x) 


ik  s\a.x. 


On  a,  de  même, 


A^  cos(a"  —  \x)  =  —  Ttkcoix. 


Les  formules  de  Simpson  font  donc  connaître,  en  définitive, 
les  différences  secondes  des  fonctions  sin.r,  cos.r. 

Pour  dresser  une  table  de  sinus,  par  exemple,  on  formera 
un  tableau  analogue  à  celui  qui  est  figuré  ci-dessous   : 


Arcs. 

Sinus. 

A. 

A'. 

o 

0 

A  sino 

—  2  Â:  sin  A 

h 

sin/i 

A  siii/i 

—  2  A- sin  2  A 

ih 

sinaA 

A  si  n  2  /i 

3/i 

sin  3  A 

Dans  la  colonne  intitulée  Arcs,  on  inscrit  les  arcs 
o,  h  =  A.r,  o//  :=  aAx,  ...  :  dans  la  colonne  intitulée  Sinus, 
on  inscrit  o  et  sin  A  que  l'on  suppose  connu  ;  dans  la  colonne 


Il6  eu  API  TUE     IV. 

intilulée  A,  on  inscrit  Asiiio,  ou,  ce  qui  est  la  même  chose, 
la  valeur  de  sinh;  dans  la  colonne  intilulée  A-,  on  inscrit 
il'abord  —  aAsinA  =  A-  sino,  que  Ton  peut  calculer,  puisque 
l'on  connaît  2/."  et  sinA.  Connaissant  A  sino  et  A- sin o,  on  a, 
par  une  simple  addition  algébrique  ou  par  une  soustraction 
arithmétique,  A  sin//,  que  Ton  inscrit,  puis  sin  2//,  que  Ton 
obtient  en  ajoutant  sinA  avec  Asin//  que  Ton  vient  de  cal- 
culer; connaissant  sin  2  A,  on  calcule 

—  ik  sin  2  A    -  \-  sin  //, 

et  ainsi  de  suite. 

11  reste  à  montrer  comment  on  calcule  sin  //,  /r,  et  comment 
<»n  se  ménage  des  vérifications  :  sin  A  se  calcule  au  moyen  de 
la  série 

A3 

(i)  sinhr./i ---..., 

1.2.3 

et  A"  =  (  I  — •  cos  h)  au  moyen  de  la  suivante  : 

A2  /i* 


cos  h 

1.2        1.2.3.4 


/i'- 

Al 

1  .'2 

I 

A3 

.2.3. 

4 

h  — 

;• 

1 .2. 

1  "^ 

ces  séries  ont  été  données  page  49-  O"  pourra  calculer 
quelques  sinus,  soit  au  moyen  de  la  série  (i),  soit  au  moyen 
de  la  suivante  : 

sin  (a  —  h)  --    sin  a      i .  . .   1 

\  1.-2        1.2.3.4  / 

-T-  cos  a  (  h 
quand  on  connaîtra  sina  et  cosa. 


II.  —  Application  de  la  théorie  des  différences  à  la  résolution 
des  équations. 

On  peut  faire  usage  du  calcul  des  différences  pour  sub- 
stituer des  nombres  équidistants  à  la  place  de  j:  dans  la  fonc- 


DIFFÉRI-NOES    DES    FONCTIONS    D  '  l' N  E    \AniAni.K.  II7 

lion  /{'T')-  Si  la  fonction  f{x)  est  entière,  les  difTércnces 
(J'iin  ordre  égal  au  dcgri'-  de  f{x)  seront  constantes,  ainsi  que 
nous  l'avons  montré,  et  l'on  peut  en  profiter  pour  calculer 
plus  facilement  /(jc),/(j'  ^  h),  f{x  —  2//\  ...  qu'en  fai- 
sant un  calcul  direct.  Nous  avons  observé  que,  si  la  quantité 
Il  était  petite,  les  différences  d'un  ordre  plus  ou  moins  élevé 
devenaient  constantes,  numériquement,  même  pour  des 
fonctions  transcendantes.  Le  calcul  rapide  des  quantitésy(jr), 
f{x  --  // V  .  .  . ,  par  la  méthode  des  différences,  peut  alors  ré- 
véler, dans  un  certain  intervalle  tel  queyïj")  el/(x-hfi) 
soient  de  signes  contraires,  la  présence  d'une  racine  de 
J{x)  =  o. 

Il  y  a  plus  :  en  supposant  /(x)  elf(x  -:-  li)  de  signes  con- 
traires, et  en  appelant  ^  -^  s  la  valeur  de  la  racine,  de  telle 
sorte  que  /[X  -;-  s)  --'  o,  on  aura  à  peu  près 

-  _  _  h/(T) 
Cela  résulte  de  la  formule  de  JXewlon 

quand   on   v  fait  /(x)  =  o,  /o  =/(\r),  x  —  Xq  ^  £,  et  que 

l'on  néglige  les  termes  dépendant  de  A-,  A^ 

Quand  on  a  découvert  un  intervalle,  /i  =  A.r,  comprenant 
une  racine  de  /{x)  --=  o,  on  peut  diviser  de  nouveau  cet  inter- 
valle et  calculer  les  valeurs  de/(x),/{x—  h'),f(x-^  2//) , 

h'  désignant  une  nouvelle  différence   de  x  moindre   que  /i. 
Posons 

h  ■-.  Ax,     Il  =  Zx, 

fi^ar  ~\x)-   f{x)  -.  A/,         fix  -  Zx)  -  fyx)  =  0/, 

l/{x  -  A^)  - \/ix)  =  y-/,     o/ix  -  0^) -  o/(x)  =  52/, 


Nous  allons  montrer  comment  on  peut  calculer  of,  o-f.  .    .  en 
fonction  de  A/,  A-/ 


I  I  8  c  n  A  P  I  T  R  K   I V. 

La  formule  (rinlorpolation  de  Newton  donne 


AV-f- 

1 . 2 .  i .  ;x-*  -^ 

Donc 

Si  A-^  I,  ô^'/«  =  o;  siA>  2,  o^/î  =  o  et  o''n{n  —  |j.)==  o,  . .  . 
Pour  n  =  o,  on  tire  de  là 

5/==  -'^-  -^^     (2n  — -x--  I)--..., 

*^  Il  TOUS  ' 


Voici  des  fornudes  toutes  calculées,  pour  le  cas  où  tx  ^  10  : 

0/=  0,1  A/—  0,045  A2/^     0,0285  A^—  0,0206625  A*/^-  •  -, 
o-f=  0,01  A2/—  0,009  A^/-:-  0,0077-25  A^/— .  .  . ,    ' 
o^y  =  0,001  A^/—  o,ooi35  A'*  «<  -^.  . ., 
0^/=  0,0001  A*y —  .  .  . . 

Ces  formules  seront  en  général  suffisantes  pour  tous  les 
besoins  de  la  pratique. 


DIFFfiUEMIKLLKS    DES    FONCTIONS    DUNE    VARI.VHLE.        II9 


CHAPITRE  V. 

THÉORIE   DES   DIFFÉRENTIELLES   DES   FONCTIONS 
D'UNE   SEULE   VARIABLE. 


I.  —  Sur  les  divers  ordres  d'infiniment  petits. 

Nous  avons  appelé  iiifinimeul  pelil  toute  quantité  va- 
i-iable  ayant  pour  limite  zéro,  et  quantité  infinie  toute  quantité 
variable  susceptible  de  prendre  des  valeurs  aussi  grandes  que 
l'on  veut. 

Pour  la  commodité  du  langage,  nous  distinguerons  plu- 
sieurs espèces  d'infiniment  petits.  Une  variable  a  ayant  été 
jirise  pour  infiniment  petit  principal,  nous  appellerons  in- 
finiment peut  du  premier  ordre  toute  variable  (S  telle  que 

la  limite  de  -  soit  finie  et  différente  de  zéro  (luand  a  tend  vers 

zéro. 

3 
En  général,  si,  a  tendant  vers  zéro,  la  limite  de  —  est  finie 

et  différente  de  zéro,  on  dira  que  ^  est  d'ordre  n. 

En  appelant  donc  coune  quantité  finie  et  différente  de  zéro, 
et  |j  un  infiaimcnt  petit  d'ordre  /?,  on  aura 

lim-!-  =  w 

OU 

a" 
£  désignant  une   quantité    infiniment   petite;    il   en    résulte 

a^î  est  un  inlinnnent  petit  d  ordre   supérieur  a  /?,  car  — 


120  CnAPITRK    V. 

lend  vers  zéro.  Ainsi,  la  forme  générale  criin  infiniment  pclil 
d'ordre  n  est  coa" --  un  terme  d'ordre  supérieur  à  n. 

(^uand  on  parle  tlun  inlininicnt  petit  d'ordre  supérieur  à  n. 
on  ne  veut  pas  toujours  dire  que  l'ordre  de  eel  infiniment 
petit  soit  déterminé  et  puisse  être  évalué  numériquement; 
on  veut  dire  seulement  que  le  quotient  de  cet  infiniment  petit 
par  a"  est  nul  à  la  limite.  Cette  remarque  est  importante, 
car  il  V  a  des  infiniment  petits  auxquels  on  ne  peut  assigner 
aucun  ordre,  mais  que  Ion  peut  toutefois  considérer  comme 
étant  d'un  ordre  supérieur  à  d'autres  d'un  ordre  déterminé. 

Prenons,  par  exemple,  a  pour  infiniment  petit  du  premier 
ordre;  a  (Ioga)~'  ne  sera  d'aucun  ordre  :  en  effet,  nous  savons 

(losa)-»  ,  ...  11. 

que* — '~ —  ne  tend  vers  aucune  limite  quand  a  tend  vers  zéro, 

quelle  que  soit  la  valeur  attribuée  à  a,  et  cependant  a  (loga)"' 
est  d'ordre  supérieur  à  l'unité. 

La  considération  des  divers  ordres  d'infiniment  petits  est 
extrêmement  utile  en  Analyse;  elle  permet  de  simplifier  des 
calculs  qui  seraient  sans  cela  fort  longs.  Le  principe  sur 
lequel  reposent  ces  simplifications  peut  s'énoncer  comme  il 
suit  : 

Lorsque  Von  cherche  la  limile  du  rapport  de  deux  infi- 
niment petits,  on  peut,  sans  erreur  dans  le  résultat,  rem- 
placer ces  infiniment  petits  par  d^autrcs,  pourvu  que  la 
limite  du  rapport  de  ceux  que  Von  supprime  à  ceux  qu'on 
leur  substitue  soit  V unité. 

En   effet,  supposons  que  lim—  =  i,  lim  ^,  =  i .  Je  disque 


[\ 


En  effet, 


1^ 


lim-  =  lim  1  —  —  ■'^  )  =  lim—  lim  -;  lim  7- 


hm^. 
C.     Q.     F.    D. 

Mais  on  peut  énoncer  le  principe  précédent  sous  une  autre 
forme,  souvent  plus  utile  dans  lesj applications.  A  cet  effet, 
observons  deux  clioses  : 


DIFFÉRKNTIKLI.ES    DES     FONCTIONS     D    LNE     VAniABLE.        121 

I"  Si  1(1  liniile  du  rapport  -,  est  V unité,  a  différera  de  y.' 

d'une  quantité  injininwnt  petite  d'ordre  supérieur  par  rap- 
port à  a  et  ,3. 

En  cfTet,  la  limite  de  -  ('tant  i,  —  difTère  de  i  d'une  quan- 
lilé  Infinimenl  petite  3,   cl  l'on  a 


a 

-7  ~  ' 


d'où  ion  lire 


La  dillerencc  entre  a  et  a'  est  donc  a's,  quantité  d'ordre  supé- 
rieur à  a  ou  a',  puisque  le  rap|)ort  de  cette  quantité  à  a'  est  î, 
qui,  par  hypothèse,  tend  vers  zéro.  c.   q.   f.   d. 

2"  Si  la  différence  entre  deux  infiniment  petits  a  et  a' 
est  d'ordre  supérieur  par  rapporta  cliacun  d'eux,  la  limite 

du  rapport  -7  est  i . 

En  effet,  soit  o>  la  différence  entre  a  et  a';  on  aura 

a  —  a'  -^  w, 
d'où 

a  w 

a'  a 

Or,  10  étant  d'ordre  supérieur  à  a',  par  définition  Uni  -  =:  o. 
L'équation  précédente  devient  donc,  en  passant  aux  limites, 


c.    Q.    F.    D. 

Du  théorème  démontré  tout  à  l'heure  et  des  deux  remarques 
précédentes  découle  le  principe  suivant  : 

PniActPE  FONDAMENTAL.  —  On  n'altère  pas  la  limite  du 
rapport  de  deux  infiniment  petits,  en  négligeant  dans  l'ex- 
pression de  chacun  d'eux  des  infiniment  petits  d'ordre 
supérieur. 

En   effet,   cela   revient    à  remplacer  les    infiniment    petits 


122  en  A  PI  TRI-     V. 

par  d'autres  dont  la  limile   du  rapport    à  ccu\-ei   tend  vers 
l'unité. 

Afin  de  bien  faire  comprendre  le  sens  et  le  mode  d'applica- 
tion de  ce  théorème  rondamentai,  nous  en  ferons  usage  j)our 
trouver  la  limite  du  rapport 


sina? 
X  —  x^ 


pour  ^  =  0. 

Nous  remarquerons  à  cet  elFet  que,  sin  j:"  dillérant  de  x 

x"^ 
dune  quantité  moindre  que  -7-j  c'est-à-dire  du  troisième  ordre 

par  rapport  àx,  on  peut  remplacer  sin  x  par  x\  de  même,  au 
dénominateur,  on  peut  négliger  x-,  qui  est  du  second  ordre 

|)ar  rapport  à  x\  la  limite  à  trouver  est  alors  celle  de  - 
ou  1 . 

En  général,  si  l'on  veut  trouver  la  limite  du  rapport  de  deux 
polynômes  en  x  pour  jc=  o,  il  n'y  aura  besoin  que  de  consi- 
dérer les  termes  des  degrés  les  moins  élevés,  les  autres  ternies 
étant,  par  définition  même,  des  termes  d'ordre  supérieur,  et 
par  suite  négligeables. 

Vi  Analyse  infinitésimale  consiste  dans  l'application  des 
principes  que  nous  venons  d'établir  et  surtout  du  principe 
fondamental  que  nous  avons  énoncé  en  dernier  lieu. 


II.  —  Définition  des  différentielles. 

Soienty(x)  une  fonction  de  x  possédant  une  dérivéey"'(:r), 
et  \x  un  accroissement  infini  ment  petit  donné  à  sa  variable. 
On  a 

l.m- -^f{x) 

OU  bien,  en  appelant  £  une  quantité  infiniment  petite  avec  \x, 


DIFFÉRENTIEI-Li:  s    DES    FONCTIONS    D'lNE    Y\niAnLP.        123 

et,  en  chassant  le  dénoiiiiiialciir, 

ou  enfin 

^f{x)=/\x)\x-.E,, 

Eo   désignant  un  Inliiiiinent    petit   d'ordre    supérieur  à  Aj7, 

puisque   Eo  =  £  A.r,  et   que -^  =  s  a  pour  linille  zéro  par 

hypothèse.  En  général,  /'{./")  est  fini;  donc  f\x)^x  et 
Ay(x)  sont  des  infiniment  petits  du  premier  ordre  qui  ne 
difTcrent  entre  eux  que  par  un  Infiniment  petit  d'ordre  supé- 
rieur Eo. 

En  \erlu  de  notre  principe  londamental,  toutes  les  fols 
qu'il  s'agira  de  trouver  une  limite  de  rapport  dont  l'un  des 
termes  sera  A/(.r)  ou/'(j')  \x,  on  pourra  substituer  l'une 
de  ces  quantités  à  l'autre  sans  qu'il  en  résulte  d'erreur  dans 
le  résultat  final. 

Ordinairement  le  calcul  de  f'{x)  ^x  est  plus  simple  que 
celui  de  A/,  en  sorte  qu'il  est  avantageux  de  le  substituer  à 
celui  de  A/.  L'importance  de  celte  substitution  est  telle,  que 
l'on  a  éprouvé  le  besoin  de  donner  un  nom  à  cette  quantité 
J'{x)  A.r;  on  l'appelle  la  diJJ'érentielle  de/iJ"). 

Ainsi,  la  différentielle  d'une  Ibnetion  d'une  variable  est 
le  produit  de  la  dérivée  de  celte  fonction  par  l'accroissement 
arbitraire  de  sa  variable. 

Cette  définition  de  la  différentielle  ne  suppose  pas  l'ac- 
croissement de  la  variable  infiniment  petit;  ainsi  la  différen- 
tielle d'une  fonction  n'est  pas  nécessairement  infiniment 
|)elile,  bien  qu'il  y  ait  le  plus  souvent  intérêt  à  la  consi- 
dérer comme  telle.  On  représente  la  différentielle  de  la  fonc- 
tion y' [)ar  (lf\  ainsi  l'on  a 

df  =  f\x)^x. 

On  voit  donc  que  la  différentielle  df  diffère  en  général  de 
l'accroissement  A/,  mais  par  une  quantité  du  second  ordre. 
Si,  cep(ndanl,  on  avait  /'(j:)=r  \  ou /(jp)  =  j: -h  c,  la  for- 


124  CnAPITRr    V. 

mule  prccrdcntc  ilonnor;iil 

df      A.r  :  ^  A/. 

En  parliciilier,  si  l'on  prend  /(^)  =  ;r,  et,  par  suite, 
f'{x)=^  I,  la  formule  qui  définit  r//,  à  savoir  «(/'  =  /'(./')  Ajr, 
donnera 

Ainsi,  Vaccroissnmcnt  ou  la  différence  et  la  différen- 
tielle de  la  X'ariablc  indépendante  sont  égaux. 

La  formule 

df-flx, 

qui   sert  de  définition  à  la  différentielle  de/,  pourra  donc 

s'écrire 

df     f'dx. 
d'où  l'on  tire 

Ainsi,  la  dérivée  d' une  fonction  est  rigoureusement  le 
quotient  de  la  diff'érentielle  de  cette  fonction  par  la  diffé- 
rentielle de  sa  variable.  Nous  adopterons  le  plus  souvent 
la  notation  -^  pour  représenter  la  dérivée  de  /.  On    sentira 

plus  tard  toute  la  supériorité  de  cette  notation,  due  à  Leib- 
nitz,  sur  celle  de  Lagrange,  qui  est  celle  que  l'on  emploie 
dans  les  éléments  [voir,  à  cet  égard,  le  paragraphe  relatif  au 
changement  de  variable). 

La  différentielle  df  esl  une  fonction  de  x;  à  ce  titre,  elle 
possédera  elle-même  une  différentielle  (si  elle  a  une  dérivée); 
cette  différentielle,  d.df,  se  représente  par  d-f.  La  difTéren- 
tielle  de  d-f  se  représente  par  <:/y,  ...  ;  et  df,  d-f,  t/'/,  . . . 
sont  d'ilesles  différentielles  première,  seconde,  troisième,. . . 
de/.  Soit 

df  =  f'dx; 

pour  avoir  d.df  ou  d-f,  il  faudra  prendre  la  dérivée  de 
df  ou    de  f'dx,  et   multiplier  le  résultat  par  dx.  Or,  dx, 


DIIFÉUFNTIELLES     DES     FONCTIONS     d'dNE    VARIABLE.        125 

accroissoinciil  arbiliaire  \.v  de  x,  est  indi'pendanl  de  .r  ou, 
si  l'on  veut,  esl  coiislanl  quand  jc  varie  ;  la  dérivée  de  f'dx  esl 
done  /"(/^'  el  sa  diirérenlielle  /"<:/.r.  dx  ou /"t/j;-.  Ainsi 

Ci)  d^-f=J"dxK 

d'où  l'on  lire 

dx^       ''  ' 

ce  qui  nous  autorise  à  adopter  la  notation  -—^  pour  repré- 
senter la  dérivée  seconde  de/. 

Pour  avoir  d.d-f  ou  la  différentielle  troisième  d^f  de  J\  il 
faudra  différentier /"t/^-,  qui  est  égal  à  d-f;  pour  cela,  on 
en  prendra  la  dcr'i\vc,  /'" dx-,  et  on  la  multipliera  par  dx, 

ce  qui  donnera 

d^f  ==/'"(  x)dxK 

et  ainsi  de  suite.  En  général,  on  aura 

d"f^f'^\x)dx>^    ou  ^'^-/""(•^). 

ce  qui  nous  autorisera  dorénavant  à  employer  la  notation 
-T^  pour  représenter  la  «"^^""'  dérivée  de  /. 


III.  —  Remarques  au  sujet  de  la  formule  de  Taylor. 
Reprenons  la  formule  de  Taylor,  et  écrivons-la  ainsi  : 

(,)        f(^x~h)-f{x)=.hf\x)     -^^^J\x)~-...^r-^^^J"{x^^h). 

Elle  ne  suppose  pas  la  dérivée  /i''""^,  f"{^)i  continue  dans 
l'intervalle  qui  sépare  x  àe  x  -r-  h  ;  elle  suppose  simplement 
([ue  cette  dérivée  existe. 

Supposons  maintenant  que  /"(x)  soit  continu;  alors  on  a 

/«(.r     :-OA)=/«(r)-£, 

£  désignant  une  quantité  infiniment  petite  avec  li   ou  a  for- 


126  cil  A  IM  THE    V. 

tiori  a\cc  0/a;  on  pourra  donc  écrire  la  formule  (  i  )  ainsi  : 

E„,  I   dcsinnanl       — — <  c'csl-à-dirc  une  nnanLil(''  d'ordre  su- 
■^  '-  \ .? ..,n  ' 

périeur  à  /?  (juaiul  on  su[)pobe  //  inliiiinicnl  pclil.  I*^,,^.!,  telle 

est  la  forme  que  l'on  peut  donner  au  reste  dans  la  formule  de 

ïaylor,  quand  la  dernière  dérivée  employée  est  continue. 

Maintenant,  supposons  h  =  A.r;  nous  aurons 

/(.r--/0-/(x)  =  A/(r). 

La  formule  (2)  pourra  alors  s'écrire 


i.a  i,2.3...w 

Or  on  a,  par  définition, 

fXx)  \x  =/'  (x)  dx  =df, 

/"(x)  \x'-  =/"  {x)dx^^  d% 


f'^{x)  \x'>  =f'^{x)  dx"  =  d"f. 
La  formule  précédente  devient  alors 

(3)    ^f=d/^  J_#/+  __i^rfy^..,^^-_L_<,y^E„„, 

E„+i  désignant  un  infiniment  petit  d'ordre  supérieur  à^/î, 
quand  on  suppose  A^  =  dx  infiniment  petit  du  premier  ordre. 

Cette  formule  suppose  la  continuité  de  /"{x)  quandj  la 
variable  reste  comprise  entre  x  et  x  H-  dx. 

La  formule  de  Taylor  est  souvent  employée  sous  les 
formes  (2)  et  (3). 

IV.  —  Comparaison  des  différences  et  des  différentielles. 
Nous  avons  vu  que 

lim —  f"(^). 

\x"        '    ^    ' 


DIFFfiHKNTIF.I.LKS     DES    FONCTIONS    d'uNE     VAniAIU.E.        12- 


Oii  peul  écrire  celle  formule  ainsi  : 


e  désignant   une   (juanlilé    inlinimcnl  petite  avec  Aj:  =  dx\ 

d"J 
dx" 


d"  f 
Remplaçons  \x  par  dx  el  /"  par  son  égal      '^^  ;  nous  aurons 


dx"^  ~  iLcn  " 

ou  bien,   en  appelant  E„+(  l'infiniment  petit  d'ordre  supé- 
rieur à  n  qui  est  le  produit  tdx"^ 

A"/      f/«/      E„^,. 

Cette  formule  montre  que  la  différence  /l'ème  d'une  fonc- 
tion est  égale  à  sa  différentielle  n'^''"^,  à  un  inff.ninient  petit 
près  d'ordre  supérieur  au  n'^^^.  Les  quantités  d"f  et  A"/ 
sont  d'ordre  n\  elles  pourront  donc  se  substituer  l'une  à 
l'autre  dans  la  recherche  de  lu  limite  d'un  rapport.  On  a 
d'ailleurs 

hm     -■-.  =  I. 
d"J 


V.  ^  Remarques  sur  le  Calcul  différentiel.  —  Son  avantage 
sur  le  calcul  des  dérivées. 


La   difTérentiellc   d'une    ibnction    étant   le    produit    de  sa 
dérivée  par  la  différentielle  de  la  variable,  on  aura 

d.x'"  ^  mx'"-^  dx, 

dloi'x  =  -  dx\o":e, 

X  ° 

de^  =  e^  dx. 


11  est  bon  de  noter  les  formules 

I   d  {u~v  r-  iv )  —  du  ~  dv  —  dw , 
,    ,  '  d(iiviv)^=vwdii^uwdv-\-uvdw. 

,  u        V  dit  —  u  dv 

d-    =    r 


120  C  a  A  PITRE    V. 

Ces  formules  se  démonlrenl  en  observant  que,  si  Ton  divise 

par  dx^  les  quanlilés  -t-->  -t->  .  .  .  représenlenl  les  dérivées 

u,  V,  .  .  • ,  et  qu'alors  elles  expriment  les  règles  de  la  déri- 
vation des  sommes,  des  produits,  des  quotients. 
Ainsi,  par  exemple,  la  formule 

(lôrivôe  de  («ft'ir)  -~  vwu'  -r-  invv'  —  uv^v' 
s'écrit,  avec  la  notation  différentielle  iu^  T"  )  ' 

diuviv]  du  dv  div 

— — =  vw  -j-  -    uw  —, ;    inf  -f—j 

dx  dx  dx  dx 

et,  en  chassant  le  dénominateur  clx^  on  a  la  deuxième  formule. 
Notons  encore,  pour  la  discuter,  la  foi^mule 

du        du    dv   dw 
dx        dv  dw    dx 

qui  est  relative  à  la  dérivation  des  fonctions  de  fonctions. 
Au   fond,  elle   est  une   identité,   mais  on  pourrait  craindre 

du      .         .     ^  .       I      1 .  •    .       1  •  1  /    ' 

que  -7-  n  exprimât  point  Ja  dérivée  de   u  considère  comme 

l'onction  de  p,  parce  que  v  n'est  pas  variable  indépendante; 
mais,  quel  que  soit  le  choix  de  la  variable  indépendante,  il 
est  facile  de  constater  que  les  rapports  des  diverses  différen- 
tielles ne  sont  pas  altérés;  en  d'autres  termes  : 

Théouème.  —  Quand  on  prend  pour  variable  indépen- 
dante une  fonction  quelconque  de  V ancienne  variable,  les 
différentielles  des  fonctions  cjuelconques  de  l'ancienne 
variable' ne  changent  pas  de  valeur  si  l'une  quelconque 
d'entre  elles  conserve  une  valeur  fixe. 

En  effet,  appelons  dyU,  dyV  les  différentielles  de  u  et  v 
quand  j^  =  ^(•^)  ^st  pris  pour  variable  indépendante,  et  dxU^ 
dxV  les  différentielles  de  u  et  v  relatives  à  \x.  On  aura 

dj:U  =  u'j.  dx,     dx  V  =  i'u-  dx. 
Donc 

d,U  u',.  u\    v'r  u'y   _    u'y  dyV    _    dyU 

d.cV      ~       V_^~      Vy    Y'x     ~       Vy     ~       Vy    dy/     ^       dyV' 


DIFFÉRENTIELLES     DES    FONCTIONS    d'l'NE     VAniABLE.        129 

et  si  dj-'f'  =  t^^r-i'  =  (^J^,  on  obtiendra,  en  particulier,  en  fai- 
sant V  =  ./•. 

drii        dyU  ,  , 

— -, —    =    -     ,—     ou      (l(U   —   ClyU. 

dx  ax 

G.  Q.  F.  D. 

Ainsi,  il  n'v  a  pas  à  proprement  parler  de  variable  indé- 
pendante, el  df  se  trouve  être  une  quantité  <|ui  ne  dépend 
pas  du  clioix  de  la  variable  indépendante,  tandis  que  /'  varie 
suivant  que  x  ou  y  sont  variables  indépendantes;  c'est  là 
un  des  avantages  de  la  notation  difierentielle;  il  y  en  a 
beaucoup  d'autres. 

On  peut  d'ailleurs  donner  des  difTérentielles  une  défini- 
tion tout  à  fait  indépendante  du  choix  de  la  variable,  et  dire 
que  :  quand  des  quantités  u,  v,  (r,  ...,  x  varient  simultané- 
ment, leurs  différentielles  sont  des  quantités  finies  pro- 
portionnelles aux  accroissements  injiniment  petits  simul- 
tanés de  ces  quantités  u,  r,  (v,  — 

On  verra  plus  loin,  au  contraire,  que  le  choix  de  la  va- 
riable indépendante  influe  sur  la  valeur  des  différentielles 
d'ordre  supérieur  au  premier. 

A  tout  théorème  sur  les  dérivées  correspond  un  théorème 
sur  les  difTérentielles,  provenant  de  ce  que  la  dérivée  et  la 
différentielle  sont  égales  à  un  facteur  près,  qui  est  l'accrois- 
sement arbitraire  de  la  variable.  Ainsi  : 

Lorsqu'une  fonction  est  constante,  sa  différentielle  est 
nulle.  Lorsqu'une  fonction  a  sa  différentielle  nulle  et 
qu'elle  est  continue,  elle  est  constante  ;  etc — 


V.  —  Sur  un  mode  de  raisonnement  employé  dans  l'Analyse 
infinitésimale. 

Lorsque  l'on  cherche  à  établir  une  relation  entre  diverses 

différentielles,  on  peut  toujours  négliger  les  infiniment  petits 

d'ordre  supérieur  (et,  par  suite,  on  aura  toujours  des  équations 

homogènes  en  considérant  la  lettre  d  comme  une  quantité 

L.  —   Traité  d'Analyse,  I.  9 


loO  CHAIMinE     V. 

et  d-,  f/^,  .  .  .  comme  ses  puissances);  le  résullat  final  sera 
exact. 

Une  démonstration  est  nécessaire,  non  seulement  pour- 
établir  ce  lait,  mais  encore  pour  bien  en  faire  saisir  le  sens. 

Je  suppose  qu'ayant  cherché  à  établir  une  relation  entre 
des  ditrérentielles  on  soit  parvenu  au  résultat  suivant  : 

(i)  A  il\r  -■-  B  dr'-  ^,-  C  dz'^  =  o, 

où  A,  B,  C  désignent  des  quantités  indépendantes  de  <Ij'. 
Tous  les  ternies  étant  du  même  ordre,  par  suite  de  l'omission 
des  termes  d'ordre  supérieur  au  second,  ce  résultat  (i)  n'esl 
pas  établi  en  toute  rigueur;  cependant  je  dis  qu'il  est  exact; 
en  effet,  s'il  était  inexact,  il  suffirait  d'ajouter  l'ensemble  des 
termes  to  d'ordre  supérieur  au  second  que  l'on  a  négligés  et 
l'on  aurait  exactement 

A  d'-y  -^  B  dx-  -ï-  C  dz-  -^  co  =  o. 

Divisons  cette  formule  par  dx-,  nous  aurons 

Or,  quel  que  soit  dx,  on  a  -y~;  =  .'S  (  T"  )    =  ^  '  >  donc 

Ar"-+-B4-C^'2--5^  =(), 
dx- 

résultat  exact,  quelque  so'ildx',  mais,  pourr/x  =  o,  -j-r,  tend 
vers  zéro  et  l'on  a  exactement 

Af-^  Yi-^Cz"  =  o; 

ou  en  multipliant  par  d.r-,  que  nous  supposons  quelconque, 

A  d^y  -f-  B  f/.r2  -f-  B  <r/^2  =  o. 

Cette  formule  est  donc  exacte,  et  w  est  rigoureusement  nul. 

Ce  résultat  cessera  d'être  paradoxal,  si  l'on  se  rappelle 
que,  quels  que  soient  dx,  dy,  dz,  ...,  d-x,  d'-y,  d'-z,  ..., 
leurs  rapports  sont  déterminés  et  que  les  relations  entre 
dx^'dv,  ...,  devant  avoir  lieu  quelque  so'iidx,  les  termes  de 


DIFFÉRENTIELLES    DES    FONCTIONS     d'L'NE     V.VHIAULE.      i3i 

iiK-mc  degré  par  rapport  à  c/x,  ou  do  mrinc  ordre,  doivent 
être  nuls  séparément.  II  suffit  donc  d'écrire  les  ternies  d'ordre 
le  moins  élevé,  qui  sont  en  général  les  plus  faciles  à  calculer. 
Le  degré  d'un  terme  ou  son  ordre  est  indiqué  ])ar  le  nomhrc 
des  opérations  effectuées  avec  <:/,  quand  une  formule  ne  con- 
tient que  des  différentielles  et  pas  d'autres  infiniment  petits; 
il  faut  donc  que  les  formules  d'Analyse  infinitésimale  soient 
homogènes  en  r/,  comme  si  cette  caractéristique  était  une 
quantité  avant  pour  puissances  d-,  <:/-',  .... 

Un  exemple  va  nous  permettre  d'éclaircir  ces  considé- 
rations. 

PiiOBLiîME.  —  Lu  puits  cylindrique  est  plein  d'eau  ;  on 
paye  af  V  ex  tractiondu  premier  mètre  de  prof ondeur  d' eau, 
combien  pavera-t-on  V extraction  de  Veau  sur  x  mètres 
de  hauteur? 

Soit  dp  Taccroissement  du  prix  p  cherché  quand  la  pro- 
fondeur à  extraire  croît  de  dx  (je  devrais  dire  :  soit  \p  l'ac- 
croissement du  prix  quand  x  croît  de  dx  =  A.r;  je  néglige 
donc  la  différence  entre  \p  et  dp,  qui  est  d'ordre  supérieur 
à  dp).  Ce  prix  est  égal  à  la  hauteur  dx  enlevée,  multipliée 
par  la  hauteur  x  à  laquelle  elle  est  transportée,  et  par  un 
facteur  K  qui  représente  la  somme  que  l'on  paye  pour  élever 
le  poids  de  i"'  de  hauteur  d'eau  à  i'"de  hauteur,  soit  Kxdx. 
(Ici  encore,  je  commets  une  erreur;  la  hauteur  à  laquelle  on 
transporte  la  quantité  dx  n'est  pas  x-^  mais  le  prix  à  payer  est 
compris  entre  les  prix  qu'il  faudrait  payer  si  toute  l'épaisseur 
dx  était  à  la  distance  x  ou  à  la  distance  x  -\-  dx  de  l'ouver- 
ture du  puits  ;  ces  deux  prix  étant  K  x  dx  et  K(x  +  dx)  dx 
ne  diffèrent  que  par  le  terme  du  second  ordre  K  dx-  :  l'erreur 
commise  sur  Rx  dx  est  donc  d'ordre  supérieur  au  premier.) 
On  a  donc 
(a)  dp  =  Kxdx. 

Cette  formule  est  rigoureuse,  bien  que  notre  raisonne- 
ment en  apparence  ne  le  soit  pas.  D'après  ce  que  nous  avons 


|3'.>.  CHAPITRE    V. 

dit  tout  à  l'heure,  appelant  to  l'ensemble  des  termes  du  second 
ordre  négligés,  on  a 

dp  =  K.r  d.r  -i-  to     ou      -,  -  =  K  .r  -f-  ^-  • 
^  ax  ax 

Faisant  dx  =  o,  on  a  />'  =  Kjc;  puis,  multipliant  par  c/j:  sup- 
posé différent   de   zéro,  on  reproduit  la  formule  (a)  qui  esl 

exaote.  En  vertu  de  cette  formule />  et  —  ont  mêmes  dil- 

férentielles  dp  et  Ys.xdx\  elles  sont  donc  égales  à  une  con- 
stante près  c;  donc 

(  3  )  7)  rr  K  —  -^  c. 

On  déterminera  c  en  faisant  ^  =  i ,  alors  p  ^=  a  e\ 

Si  Ton  veut  déterminer  à  la  fois  R  et  c,  on  fera  x  =  o  et  l'on 
devra  avoir /?  =  o,  car  un  travail  nul  ne  doit  pas  être  payé, 
et  l'on  aura 

(  0  j  o  =  c. 

Les  formules  (Jj),  (y),  (o)  donnent 

K 

(7  =  —     et     /?  =  rt^-. 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  1 33 


CHAPITRE  YI. 

DÉRIVÉES.  DIFFÉRENCES  ET  DIFFÉRENTIELLES  DES  FONCTIONS 
DE   PLUSIEURS  VARIABLES. 


I.        Sur  le  calcul  des  expressions  symboliques. 

Oii  a  déjà  vu  que  l'on  pouvait  représenter  par  une  lettre 
un  symbole  d'opération.  Ainsi  l'opération  qui  a  pour  but  de 
prendre  la  dérivée  de  'C>  et  de  la  multiplier  par/t  sercpn'sente 
par  d-:>.  .  .  .  Quand  on  applique  deux,  trois  lois  de  suite 
ro[)éralion  <:/,  ou  l'indique  en  attachant  rex])Osant  2,  3,  .  .  . 
à  la  lettre  d.  Cette  règle  est  générale  ;  pour  donner  un  exemple 
de  cette  façon  de  procéder,  convenons  de  représenter  par  le 
symbole  P  l'opération  consistant  à  multiplier  par  j;  la  dérivée 
de  la  quantité  placée  après  le  signe  P;  nous  aurons 

'  ^    ^         dx 


par  exemple, 

Px"'  =  m.r"',     P^  X'"  =  m- T'" ,      ...,      P«j;'"  =  m"x"'. 

Un  symbole  P  est  distribulif  quand  on  a 

(I)  P(a-~b)=Pa-i-Pb. 

Vinsi,  en  représentant  j)ar  D  le  symbol-e  de  la  dérivation,  en 
sorte  que  Dz,  ^=  '■:>',  on  a 

D(a-+-6)=  D(a)-\-D{b), 
l{a-~b)  =  \a-hlb. 
d(a  ^r-  b)  =  da  -^  db  ; 

D.  A,  d  sont  des  symboles  distributifs. 


j34  chapitre    VI. 

Les  symboles  dislribulils  sonl  les  plus  iniporlanls  cl  nous 
allons  suivre  les  conséquences  de  la  formule  (i). 

i"  D'abord  on  a 

P(„^^,-^c)=  P(«4-i»)---rc  =  Va  +  Vb^Vc, 

et  (linsi  de  suite.  Donc,  en  général, 

(2)  P::a  =  ZP«. 

2"  Les  symboles  P-,   P',    ...    sonl    distrihiilifs;  on   les 
appelle  puissances  de  P. 

En  eflTet,  on  a 

\\a  -^  b  )^=  Va  -f-  1*6; 

donc 

P2(a  +  6)=  P(P«--PZ*)=P.Prt-nP.P^', 

c'est-à-dire 

P2(a-}-6)=  V-^a^V'-b. 

On  verrait  de  môme  que  P^,  P',  ...  sonl  dislribulils. 

3"  En  appelant  A  une  constante  numérique,  on  a 

\\\a  =  \.Va. 

En  effet,  si  A  est  entier,  on  a 

P.Âa  =  P((7-i-«-T-...-h^a)=  Pa-}-P«...=  APa. 

Si  A  est  de  la  forme —?  on  observera  que 
7  ' 


donc 


et,  par  suite, 


g?  -  =  Pa; 


P^  =  lPa, 
7        '7 


P^  =  ^P«. 


(^cllc  proposition  étant  vraie,  quels  que  soienty>et  </,  est  vraie 
pour  les  valeurs  incommensurables  de  A. 

4"  On  a 

P(o  — 6)=  Va  —  Vb, 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  l35 

car  on  en  déduiL 

P{a  —  ù)-{-  Vb  =  Va, 

ce  qui  est  exact,  et  de  celle-ci  on  déduit  la  précédente. 
5"   On  en  conclut 

r{.\arzBù±...  )  =  \VadzBPb±:.... 

On  appelle  somme  de  plusieurs  symboles  d'opérations 
P,  Q,  R,  et  l'on  représente  par  P  -{-  Q  +  R  le  symbole  0  dé- 
fini par  la  formule 

ea  =  Pa-i-Qa-T-  l\a. 

En  général,  le  symbole  0,  défini  par  la  formule 

ea  =z  APa  lir  BQa  nh  GRa, 

se  représente  par  AP  rb  BQ  in  CR;  de  sorte  que  l'on  a,  par 
définition, 

(  AP  -r-  BQ)«  =  AP«  —  BQ«. 

(i"  Lorsque  P,  Q,  R,  . . .  sont  distributifs,  AP  ii=  BQ  ±  CR 
l'est  également. 
En  effet  : 

^AP:^BQ  — CR)(a-T-^')=  AP(«-^  6;  d=  BQ(a  ^  6j  :^CR(rt  — /v  ) 
=  APa-+- AP6±BQa±BQ6±... 
=  (APzhBQ±CR)a-i-(AP±BQ±:GR)^*. 

On  appelle  produit  de  plusieurs  opérations  le  résultat 
obtenu  en  effectuant  successivement  ces  opérations.  Ainsi 
l'opération  0,  définie  par  l'équation 

Qa^-  PQR...f/. 

est  le  produit  des  opérations  P,  Q,  R, On  représente  cetle 

opération  par  le  symbole  PQR,  .  .  . ,  dans  lequel  il  faut  bien 
se  garder  d'intervertir  les  facteurs;  dans  la  suite,  pour  expri- 
mer que  deux  opérations  sont  équivalentes,  nous  les  sépare- 
rons par  ce  signe  =.  Ainsi  0  =  P  H-  Q  voudra  dire  que,  quel 
«lue  soit/,  on  a  0/=  (P  +  Q)/=:  P/+ Q/. 

Deux  symboles  P,  Q  sont  commutati/s  quand  on  a 

PQ/=QP/. 


|36  CHAPITRE    VI. 

'f  Si  P  e;  Q  sont  commuta  tifs,  on  peut  écrire  dans  un 
ordre  arbitraire  les  symboles  P  ef  Q  répétés  dans  un  ordre 
donné. 

Par  exemple,  considérons  l'opération 

. . .  PQ . . ,/; 

dans  laquelle  les  points  remplacent  les  lettres  P,  Q  écrites 
dans  un  oi'dre  quelconque.  Je  dis  que 

...PQ.../=^...  QP..../; 

les  deux  membres  ne  différant  que  par  les  opérations  écrites. 

En  effet,  on  a 

PQ.../=  QP..../; 

car  P  et  Q  sont  commutatifs  ;  répétant  sur  les  deux  membres 

de  cette  identité  les  mêmes  opérations,  on  obtient  des  résultats 

identiques  : 

...PQ.../  =  ...  QP.../; 

puisque  Ton  peut  intervertir  l'ordre  de  deux  opérations  con- 
sécutives quelconques,  on  peut  écrire  toutes  les  opérations 
dans  tel  ordre  que  l'on  veut.  La  même  démonstration  s'appli- 
querait au  théorème  suivant  : 

8""  ^Sf  P,Q,R,  .  .  .  sont  commutatifs,  deux  à  deux,  onpeut 
effectuer  ces  opérations  successives  dans  un  ordre  quel- 
conque. 

9°  Si  P  et  Q  sont  commutatifs,  il  en  est  de  même  de  P'e/ 

10°  SiV,  Q,R,  .  .  .  sont  distribut  ifs,  le  produit  PQR  .  .  . 
le  sera  aussi,  que  P,  Q.  R-,  .  .  .  soient  ou  non  commutatifs 
deux  à  deux. 

En  effet, 

R(a-^6)=  Rrt-   Rè. 

Mais,  Q  étant  distributif,  on  a 

QR(a  — èj  =  Q(Ra    -  R6)  =  QRa -^  QR6, 

puis 

PQRfa-f  bs=  P(QRa--QRè)  =  PQRa-^  PQR6. 

C.     Q.     F.     P. 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  187 

11°  La  puissance  m'"'"'^  du  symbole  (P  -i-  Q  H-  R)  sejorme 
absolument  comme  siV,  Q,  R  étaient  de  véritables  quan- 
tités. uJiiisi 

pourvu  que  P,  Q,  R,  ...  soient  commutalifs. 
En  effet,  on  a 

ii^  +  Q)^/=(i*-^Q)(P-Q)/ 

ou 

(P  ^  Q)2y=  (p  +  Q^(py+  gy^  ^  P(P/+  q/,  +  Q(P/--  Q/) 
=  P2/+PQ/--QP/-f-Qy 

car  PQ  =  QP,  par  liypolhèse.  Posons,  pour  simplifier, 
P  +  Q  =  0,  et  admettons  la  formule 

6"/=   •'"./'-*-  <-^',  1'"-'  <v'/-+-  G-,  P"--  Q-/H-  •  •  • 

comme  démontrée;  effectuons  sur  le  premier  membre  l'opé- 
ration 0  et  sur  le  second  les  deux,  opérations  successives  P 
et  Q,  puis  ajoutons  les  résultats;  nous  aurons,  en  observant 
(jue  P  et  Q  sont  commutatifs, 

H"  -'/=  P"-'/^-  C,' P«Q/-^  C;P''-'Qy— . . . 

■  _^p«Q/_^(:;^P«-.Q2/^_... 

ou,  en  vertu  des  propriétés  connues  du  svmbole  C,„, 
«"-'/=  P«-'/-C,:^,P«Q/^C^,,P«-»QV-.-- 

La  loi  étant  démontrée  pour  l'indice  n  l'est  donc  pour  l'in- 
dice n  ~-  i\  or  elle  est  établie  pour  les  indices  1,2;  donc  elle 
est  générale.  Soit  maintenant 

on  aura,  en  posant  Sff=  P/+  Q,A 

ev-  8'.'"'/-  C',0'-iR/-  . . .  -  -^0-^R' /■-  •  •  - 

i  •  1  • 

ou 


l38  CHAPITRE    VI. 

Cl,  remplaçant  S^  par  sa  valeur  ^^--VtttP^Qi^  /, 


c.   Q.    y.    n. 


Remarques  au  sujet  des  dérivées  des  fonctions  de  plusieurs 
variables. 

Considérons  une  fonction  de  plusieurs  variables  x,  y,  z, 
sa\o'\r  f[x,  y,  z).  Cette  fonction  devient  fonction  de  x  seul, 
quand,  laissant^)' et  :;  constants,  on  fait  varier  jc.  Ace  point  de 
vue,  elle  peut  être difïérentiée  une,  deux,  trois,  ...  fois,  et  nous 

,,  .    ,  df    d-^f    d^f  .,, 

représenterons  ses  dérivées  par  -j- -,  -y^^  y^>  —  L.liacune 

de  ces  fonctions,  -^-4'  par  exemple,  dépendra  en  général  de  .r, 

de  r  et  de  z\  si  on  laisse  ^  et  ;;  constants,  elle  sera  fonction 
de  r  et  l'on  pourra,  par  exemple,  en  prendre  la  dérivée  ^  fois 

de  suite.  On  écrira   le  résultat  ainsi    ,  ^  ;  ,.;   cette  fonction 

dépend  encore  en  général  de  x,  j)',  z.  On  peut  en  prendre 
la  dérivée   y  fois  de  suite  par  rapport  à  x  ;   on   aura  alors 

d'^+'^'-^'if  •     -.  f  •     1         •  .   <  -1 

-j  ^        •'     ;  puis  0  lois  de  suite  par  rapport  a  z,  ce  qui  clon- 

nera — s?  et  ainsi  de  suite.  Cette  notation  se  sim- 

dx^dy^dx'dz^ 

plifie  un  peu  en  ayant  égard  au  théorème  suivant  : 

Théorème.  —  Une  dérivée  ne  change  pas  de  valeur 
quand  on  intervertit  l'ordre  des  dérivations  relatives  à 
chaque  variable. 

Démontrons  d'abord  le  théorème  pour  le  cas  oii  l'on  n'inter- 
vertit que  l'ordre  de  deux  dérivations  successives.  Soit/(^,j) 
une  fonction  de  plusieurs  variables,  dans  laquelle  on  ne  met 
en  évidence  que  les  variables  x  et  jk-  Soit 

f       df  df  d\f  _  d\f 

f'^Tx'     J'-Ty'    J^'^dx^'    ■'''~W 

f  -  ±L     f  -  ^-L . 

•^*2~  dxdy'     -^^  "  dydx' 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  189 

il  s'agit  de  prouver  que  /,2  =  fn-  Si  h  et  le  sont  clcu\  valeurs 
infiniment  petites  de  même  ordre,  on  a,  par  la  formule  de 
Taylor, 

h- 

E.-,  désignant  un  terme  d'ordre  supérieur  au  seeond.  Dévelop- 
^Lmsf{x, y  +  k),  f^  {x, y  +  k),  J\^{x,  y  -{-  k)  suivant  les 
puissances  de  A;  nous  aurons,  en  appelant  toujours  E3,  E.', ,  ... 
des  termes  d'ordre  supérieur  au  second, 

if(^x^h,y-  k )=/{x,  y  )  -^  k-Mx,  ^- >  -^  —  ./22 ( ^,  y)  ^  E3 
I  ^hf,  (X,  y)  -^  h  kfn(T,  y)  -^  K 


En  commençant  par  écrire 

/{x  +  /i,y  -  A)  =  fix^k,  y)^kMoc  H-  h, y) 

puis  en  développant /(>  -|-  A,  )i, /o(j" -}-/<,  j),/22('^  -i-^'i  J,> 
suivant  les  puissances  de  h,  on  trouve 

A^r  -  h, y  -r-  k)  =  f{x,y)  -^  hf,  {x,y)^  tJJ''^^^'^'^  ""  ^' 

-^  l^f-2 i^,  y)  -+-  /<h  fnix,y)  +  e" 

-/•22(x,y)-^e 

-^  e. 
Si  Ton  compare  cette  formule  avec  (i),  on  a 

y,.,  /.//   =fn  kll  -r-  W, 

(o  désignant  un  ensemble  de  termes  d'ordre  supérieur  au  se- 
cond. Divisant  par  Iik.  on  a  alors 

El,  comme  j-rtend  vers  zéro  pour  //  =  o,  k  =  o,  il  reste 

fn  =/n, 
ce  qu'il  fallait  démontrer. 


I-jO  CHAPITRE    VI. 

Il  est  clair  que  ce  ihéorème  cesserait  d'être  exact,  si  luni' 
•les  dérivées  secondes  de  /(x,  ))  n'était  pas  continue,  la  for- 
mule de  Taylor,  sur  laquelle  nous  avons  fondé  noire  démon- 
stration, cessant  elle-même  d'avoir  lieu. 

En  suivant  une  mélliode  employée  en  Arithmétique  pour 
démontrer  que  la  valeur  dun  produit  ne  dépend  pas  de  l'ordre 
de  ses  factcui's,  on  prouvera  que,  ayant  le  droit  d'intervertir 
Tordre  de  deux  dérivations  successives,  on  peut  intervertir 
aussi  l'ordre  des  dérivations  d'une  façon  arbitraire. 

Cela  posé,  pour  représenter  une  dérivée  d'ordre  supérieur 
prise  relativement  à  plusieurs  variables,  on  pourra  se  borner  à 
indiquer  le  nombre  total  des  dérivations  relatives  à  chaque 
variable.  C'est  ainsi  que  l'on  écrira,  par  exemple, 

d\f  d\f 

d-xdydz  drdydzdx 

RT  ^     ^        d       d       d  .    '  • ,. 

EMAROVE.  —   Les  svmboles-T-7  -r-^  -r-  sont  commulatils 

dx    dy    dz 

et  distributifs.  On  adonné  le  nom  de  àéT\\ées  partielles  à  ces 
dérivées  prises  successivement  par  rapport  aux  diverses  va- 
riables en  laissant  les  autres  constantes,  pour  les  distinguer 
de  ce  que  l'on  appelle  une  dérivée  totale. 

Supposons  que,  àd^ns  f(^x^y,  z),  les  variables  j',  v,  z  ces- 
sent d'être  indépendantes,  et  que  >'et  z  soient  fonctions  de  jr; 
d'après  le  théorème  des  fonctions  composées,  la  dérivée  de/ 
relative  à  .r,  que  nous  appellerons  dérivée  totale  relative  à  x, 
sera  donnée  par  la  formule 

d£  _d/  ^l}i  ^i[f_d± 
dx        dy  dx        dz  dx 

Cette  dérivée,  d'après  nos  notations,  devrait  être  représentée 

df         ...  .  p    .        .  ,,       ,     .     . 

par  y-;  mais  il  y  aurait  contusion  si  1  on  écrivait 


df 

df        df  dy 

df  dz 

dx  ' 

dx        dy  dx 

dz  dx 

car  les  deux  -^figurant  ici  ne  sauraient  être  égaux  ;  on  a  pro- 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  141 

posé  plusieurs  moyens  d'obvier  à  cet  inconvénient.  L'un  d'eux 
consiste  à  envelopper  d'une  parenthèse  les  dérivées  partielles  ; 
l'autre,  qui  paraît  j)lus  généralement  répandu,  consiste  à 
changer  dans  les  dérivées  partielles  la  forme  du  d.  La  formule 
précédente  s'écrira  alors 

a  -'IL  ^ 'IL  1''  ^  '^/  'Il 
dx        Ox        Oy  dx        ôz  dx 

Il  importe  de  bien  voir  que  -j-  diffère  de  -p;  il  importe 
surtout  de  bien  voir  que  les  trois  dj  qui  figurent  dans  cette 

formule  sont  inégaux,  ce  qui  fait  des  svmboles  -r^  >  ^-»   ••• 

^         '  \-  -^  Oy      Ox 

des  quotients  dont  on  convient  de  ne  jamais  chasser  les  déno- 
minateurs; et  d'abord -5^  est  le  rapport  des  accroissements 
que  prennent  y"  et  x  quand  on  fait  croître  x  de  dx^  et  que  par 
suite  )    croît  de  dy  et  z  de  dz\  tandis  que  -p  est  le  rapport 

des  accroissements  infiniment  petits  de  f  et  de  :r,  quand, 
faisant  croître  x  de  ùx^  on  laisse  y  et  .3  invariables. 

Le  df  qui  entre   dans  -y-  est  l'accroissement  que   prend  J 

quand  x  croît  de  dx,  y  et:;  restant  inv^ariables ;  le  df  qui 

figure  dans  ~-  est  l'accroissement  que  prendy*quand,  x  cessant 

de  varier,  y  seul  croît,  et  de  dy\  ces  deux  df  sont  donc  iné- 
gaux en  général.  (Il  est  presque  inutile  d'ajouter  qu'il  s'agit 
d'accroissements  infînimentpetits  et  que  l'on  néglige  les  termes 
du  second  ordre.) 


III.  —  Formule  de  Taylor  généralisée. 

Si  l'on  considère  la  fonction  de  t 

o(f)  =f(x  —  ht,  y  -^  kt,  z  ~  It), 

cette  fonction  pourra  être  développée  par  la  formule  de  Mac- 
laurin.  Pour  effectuer  ce  développement,  formons  ses  déri- 
vées successives;  nous  aurons,  par  le  théorème  des  fonctions 


l42  CIIAIMTUE     VI. 

composées,    ol     en     laisaiil,    |)()ur    abréger,    ,r  -f-  ///  l—  h, 

y  4-  la  =  b,  z    h  It  =  c, 

ainsi  ropéralion -7- est  équivalente  à 

h---^/c-j--T-l  —  - 

oa         Oo         t)c 

On  aura  donc 

et  pour  /  =  o, 

I  ,  '^        ,  <'>        ,  '^\"  . 
'     ■  \    ()x  ()y  ôzj   •' 

Nous  aurons  donc,  en  substituant  cette  valeur  dans   bi  for- 
mule de  -Maclaurin 

fi                                                 /n  +  l 
o(t)=  'i(o)-t-  to'(o)-: o"(  o)-T-.  .  .-. (i«+l(0/), 

'  I . i  '  i .2. . .  n  -~  i   ' 

l'égalité  suivante  : 

J\x  -+-  ht, y  -h  ht,  z  ^-  li  ) 

i  .A.  .  .  /i  \    c/^  ây         OzJ  •' 

I  r  ,)  -i«4-i 

et,  si  Ton  lait  ^  =  1 , 

n 

f(x^h,y-^  A;  z  -:-  /)  =.  /(^,  j,  -)  -^^  (''':^  "^  '^^  "^•■■)'-^^ 

1 

Le  reste  est  écrit  sous  une  forme  abrégée  qui  se  comprend 
facilement  :  après  avoir  fait  l'opération 


\h i- A" 1-...  fix.y.z). 


/i  -T-  I  J  !  \     i)x  i)y 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  I  '|  ) 

on  remplace  x  par  x  -4-  0//,  >'  par  j-  -+-  0 A-,  et  z  par  z  -h  0/.  La 
formule  précédente  suppose  <f{t)  continue,  ainsi  que  ses  n  pre- 
mières dérivées,  cjuand  t  varie  de  o  à  i .  La  (/?  -}-  i  j''""  dérivée 
doit  être  bien  déterminée  :  ceci  revient  à  supposcry(x,  )',  z) 
finie  et  continue,  ainsi  que  ses  n  premières  dérivées,  quand 
les  variables  restent  comprises  entre  jc  cl  jr  -\-  h,  y  et  )'  +  /»■, 
:;  et  ^  -\-  l.  Les  (/?  +  i )'»'""  dérivées  doivent  exister  et  être  bien 
déterminées  ;  si  l'on  ne  sait  rien  sur  les  (/?  +  i  j'  '"'-^  dérivées, 
le  reste  affectera  la  l'orme  E„^,  d'un  infiniment  petit  d'ordre 
supérieur  à  n  par  rapport  à  A,  A",  /  su[)posés  de  même  ordre. 
On  remarquera  surtout  la  formule 

/■(  X  -^/i^r-^  A,z  —  l)=  J\  .r,y,  z  )  -i-  A/,  (  .r  ^  0  /t,  j>-  -^  0  /.-,  ,-  —  0  /  1, 

—  kfi  ( .r  +  0  A,  j  -^  0  A-,  c  —  0  /  ), 
-t-  lj\  {x  -~  Oh,  y  -w  0/.-.  ^  ^-  0  /  ), 

OÙ/,  (.r,  r,  z),  f^  {jc,y^  z),J'-:iix,  y,  ^)désignent,  pour  simpli- 
fier   '^^    '-^    '■'' 

IV.  —  Différences  des  fonctions  de  plusieurs  variables. 

Considérons  une  l'onction  de  plusieurs  variables  que  nous 
supposons,  pour  fixer  les   idées,  au   nombre   de  deux.   Soil 

cette  fonction  ;  si  l'on  donne  à  x  et  j-  des  accroissements 
simultanés  \x,  \y,  cette  fonction  varie  d'une  quantité  que 
Ton  appelle  la  différence  de  cette  fonction;  on  la  désif^nc 
par  If.  Nous  poserons 

./o  ^/{^,y), 


f,i  =  /(  x—n:^x,y-\-n\y)\ 
nous  aurons  alors 


l44  CHAPITRE    VI. 

A/est,  en  général,  fonction  de  x  et  r,  clTon  pose  AA/'=  A^/; 
A^/*  s'appelle  la  difft'vence  seconde  de  /,  et  l'on  a 

A  Vo  :-  A/,  -  A/o,      A2/,  =  A/,  -  A./',  ,      .  .  . , 

et  ainsi  de  suite;  les  formules  auxquelles  on  est  conduit  sont 
identiques  à  celles  que  l'on  rencontre  pour  le  cas  où  la  fonc- 
tion/ne  dépend  que  d'une  seule  variable,  et  il  est  inutile, 
d'après  ce  qui  précède,  de  donner  une  nouvelle  démonstra- 
tion des  formules 

A"/o  =/«  -  G,',/„-,  +  C,^/„_,  -  .  .  .  i/o, 
f„  =/,  -  C-   A/„  +  C,^  \\U  +  ...--  A"/.. 

Mais,  à  côté  de  ces  différences,  que  l'on  peut  appeler  com- 
plètes, viennent  se  placer  une  série  de  différences  auxquelles 
on  a  donné  le  nom  de  différences  partielles  et  dont  nous 
allons  dire  quelques  mots. 

Dans  la  fonction/,  on  peut  laisser  )'  constant  et  faire  seu- 
lement varier  x\  f  'a  alors,  par  rapport  à  cette  variable,  une 
série  de  différences  que  l'on  indique  par  un  indice;  ainsi  l'on 
pose 

^.r /(  a-,  7  )  =  /(  ^  -4-     A.r ,  r  )—f{x,y  ), 
Al/(^,7)=/(^--2A.r,7)-2/(.r-4-A^,r)H-/(^,r), 
■) 

on  a  de  même 

VA-^'J)  =/(^, j  --  V)  -/(^. J).    •  •  •  • 

Il  n'y  a  là  rien  de  nouveau,  car,  dans  cliacun  des  cas  où  l'on 
ne  fait  varier  que  x  ou  que  ^',  on  n'a  réellement  affaire  qu'à 
une  fonction  d'une  seule  variable;  on  dit  que  A^/,  A^/, . .  . 
sont  les  différences />«/'^ie//e5  de /relatives  kx. 

Les  signes  A^  et  A^  sont  conimulatifs  et  distribiitifs  : 
il  est  évident  qu'ils  sont  l'un  et  l'autre  distributifs,  et,  si  l'on 
fait  attention  que  A^A,/ est  égal  à 

-^x  [/(  3^,  >' ^- A j  ; -/(  .r ,  7  )  ] , 
ou  à 

/(^  ~  A^,7 -;- A7) —/(.?•-•- A^,7^^/(j:-,7 -f- Aji')-;-/(-^. 7)» 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VAUIABLES.  I  '|.> 

on  verra  sans  peine  que  la  syniélrie  de  ce  résultat  entraîne 
la  Ibrmule 

ce  qui  est  la  propriété  fondamentale  des  symboles  comniu- 
tatifs.  Posons,  [)Our  abréger, 

/(x,y)=foo,      ...,     f{x-^i\x,y-{-j  \y)=/ij,     ...; 

nous  aurons 

et,  en  prenant  [3  fois  de  suite  la  différence  relative  à  )', 

Si  l'on  désigne  par  Sj;  l'opération  qui  a  pour  but  d'ajouter  A  r 
à  la  première  variable  figurant  sous  le  signe  /,  et  par  S,- 
Topération  qui  a  pour  but  d'ajouter  Ay  à  la  seconde  variable, 
en  sorte  que 

on  pourra  écrire 

les  signes  Sj.-  et  Sj  étant  évidemment  commutatifs  et  distri- 
butifs,  on  aura 

^1-/oO  =  (  S.c I  )"/u() 

ou,  si  l'on  veut, 

A'.-(S^-i)«, 

et  par  suite,  en  général, 

a:,  a?.  .  . .  Al  =  (S^-iy(Sy-iy..  .{6^-  l)>. 

On  peut  résoudre  la  question  inverse  et  trouver  fij  en  fonc- 
tion des  différences  dey.  On  a  en  effet 

//o  =  (n-A^)'/oo, 
et  par  suite 

//,y  =  (l-^A,.)'(I^-Ayy/oo, 
et  en  général 

sis^. . . .  sf  =  (I -h  A^)'(n- A^y. . .  (.  -  A,y-. 

L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  lo 


l46  CHAPITRE    VI. 

Nous  ferons  observer  que  l'on  peut  déduire  de  là  une  formule 
d'interpolation  analogue  à  celle  de  Newton  et  que  l'on  pour- 
rait même  appeler  formule  de  Newton  généralisée  ;  cette 
formule  serait 

/(X,  Y  )  =j\x,y)-^..  .-i-  CLcif{x+i\x,y  +y  Aj)4-.  . ., 

X X 

dans  laquelle    il  faudrait  remplacer  a   par   '-— —  et    j3   par 


Enfin,  en  terminant,  nous  ferons  observer  que  la  limite  de 

A°.A^./oo  divisé  par  Aj^^Aj'^  est  la  dérivée  -—^:—y  On  pourrait 

démontrer  cette  proposition  directement  à  l'aide  du  théorème 
de  Taylor,  mais  on  peut  aussi  observer  que,  Ajc  et  \y  étant 
tout  à  fait  indépendants,  on  peut  les  faire  tendre  succes- 
sivement vers  zéro;  on  a  donc 

,.     A^-A^/"        d^A^/" 
nni  .';'■:  =    .    „  /  :;      pour      \x  =  o, 
A.r'^Aj-'^        âx'^\y?      ' 

et,  faisant  tendre  Ay  vers  zéro,  on  a  la  formule  qu'il  s'agis- 
sait d'établir.  Mais  cette  démonstration  est  peut-être  moins 
rigoureuse. 


Formules  d'interpolation  pour  les  fonctions  de  plusieurs 
variables. 


Nous  avons  observé,  au  paragraphe  précédent,  que  la  for- 
mule qui  donne  la  différence  d'une  fonction  de  plusieurs 
variables  en  fonction  de  ses  différences  peut  servir  à  géné- 
raliser la  formule  de  Newton.  La  formule  de  Lngrange  peut 
être  également  généralisée  comme  il  suit. 

Soit,  pour  fixer  les  idées,  /(^,  J')  une  fonction  de  deux 
variables  ;  la  formule  de  Lagrange  donne 

i  =  n+  \ 

y^  (X  —  Xj)...(x  —  3V-1  ){x  —  .r/4-1  ) .  .  . 

jÊmà  {^Xi  —  Xi).  .  .(Ji  —  ai-ij^Xi  —  J",4-i  I.  .  . 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  1^7 

X,,  x-ii  •••,  -C/j+i  tlésigiiant  des  valeurs  arljilraires  de  x\ 
cette  formule  approchée;  devient  exacte  si/ est  une  fonction 
entière  par  rapport  à  a:  de  degré  n  ;  or  on  a 

formule  exacte  si  /est  entier  et  de  degré  n  par  rapport  à  y. 
Si  l'on  combine  les  équations  (i)  et  (2),  on  trouve 


^    (y  — 71  )•  •  •  i.r ~yj-x)(y  — .ry+1  ) •  •  •  ^ 

(yj  —yo- ■  ■  iyj  —yj  Oiyj  —yj^i )•■•' 

el  Ton  voit  facilement  comment  on  pourrait  encore  généra- 
liser. Si  l'on  pose 

(x  —  xi){x  —  a-o) . . .  {X  —  Xn+i)  =  o{x), 
(y  -  r,  )(y  -y.  )...  ij  -yn^i  )  =  'Hy), 

on  peut  écrire  ainsi  qu'il  suit  la  formule  précédente  : 

ou 

fj-r^r^    ^  Y  y     .f{^i,y.i) 


':.{xvb{y)        À^^'ii\xi)^'{yj)  x  —  xi  y—y/ 

Les  deux  membres  de  cette  équation  sont  développables  sui- 
vant les  puissances  de  x  ei  y\  en  égalant  de  part  et  d'autre 

les  coeflicienls  de  —  ?  on  trouve 
xy 

Si/  est  de  degré  moindre  que  /i,  la  quantité  to  est  nulle. 

VI.  —  Différentielles  totales. 

On  appelle  différentielle  totale,   ou  simplement  diffé- 
rentielle d'une  fonction  de  plusieurs  variables,  la  somme  des 


l48  CHAPITRE    VI. 

produits  obtenus  en  multipliant  la  dérivée  de  la  fonction  par 
rapport  à  chaque  variable  par  un  accroissement  arbitraire 
donné  à  cette  variable. 

Soit,  par  exemple,  /{■(',  ^',  z)  une  fonction  de  trois  va- 
riables :r,^',  Z-;  la  différentielle  totale  de/,  que  l'on  représente 
par  ûÇ/",  sera  définie  par  l'équation 

Ajr,  A]',  A:;  désignant  trois  accroissements  arbitraires  et  in- 
dépendants donnés  à  x,y,  z  respectivement.  Si  l'on  prenait 
tour  à  toury=  x.,  f=r,  f  =  z,  la  formule  (i)  donnerait,  en 

observant  que  -r-  est  égal  a  i,  que  j-  est  égal  a  zéro,  etc., 

dx  =  \t,     dy  =  At,     dz  —  A:;, 

ce  qui  nous  autorise  à  écrire  l'équation  (i),  qui  sert  de  défini- 
tion à  df,  ainsi  : 

df  =  -f-  dx  4-  -f-  dy  -h  -f  dz. 
•^        ox  oy  '^^ 

Si,  comme  on  le  fait  toujours,  à  moins  de  prévenir  expressé- 
ment du  contraire,  on  suppose  les  accroissements  dx  =  Aa;, 
dy  =^  !:>.).,  ...  des  variables  de  même  ordre  infinitésimal, 
on  pourra  énoncer  le  théorème  suivant  ; 

Théorème  fondamental.  —  L'accroisse?nent  que  subit 
une  fonction  de  plusieurs  variables,  quand  on  donne  des 
accroissements  de  même  ordre  à  ses  variables,  est,  aux 
infiniment  petits  d^ ordre  supérieur  près,  égal  à  sa  diffé- 
rentielle, et  par  suite,  dans  une  limite  de  rapport,  l'ac- 
croissement d'une  Jonction  peut  être  remplacé  par  sa  dif- 
férentielle sans  changer  le  résultat. 

En  efi'ct,  si  l'on  désigne  par /(.r,j',  5)  une  fonction  de  x^ 
j',  ;;,  on  aura  par  la  formule  de  Taylor 

A/  ou  f{x  -^  \x,  y  4-  ^y,  z  -\-  \z)—f(x,  y,  z) 


FONCTIONS     DE     PLUSIEURS    VARIABLES.  l4<) 

Eo  désignant  un  infiniment  petil d'ordre  supérieur  au  premier. 
Celte  formule  peut  s'écrire 

\f -^  df-^r-  \ii, 

ce  qui  démontre  le  théorème. 

La  difierenlielle  df  d'une  fonction  de  plusieurs  variables 
fix,  )',  Z-)  est  une  fonction  de  x., y^  z\  elle  possède,  à  ce  titre, 
elle-même  une  différentielle  totale  que  l'on  désigne  par  d'-f\ 
cette  diflerentielle  d-J\  à  son  tour,  possède  une  différentielle 
totale  que  l'on  désigne  par  d^f,  et  ainsi  de  suite 

Calculons  la  dijj'érentielle  totale  seconde  d'-f  (\c  f;  on  a 


le  svmbole 


clf^fcU^%dy-^fch- 
dx  dy   -^        dz 

d  =  —  dx  -  -  —  dy  -T-  ^  dz, 

dx  ôy    ^        dz 


somme  des  symboles  -—dx,  -z-dv,  -—<:/:?,  est  commutatif  <"t 

"^  ôx        '  dy    "   '  ôz       ' 

distributif  comme  ceux-ci;  on  peut  donc  écrire 

r^)  d-/=(^^dx-^^^dy-^-dz)/, 

et  en  général 

Je  n'ai  pas  besoin  de  rappeler  que  l'équation  (2)  développée 
donnera 

di  f=^dx'--^i  -^  dx  dy  +  ^4{dy^- 
dx-  ôxOy  ''        dy^    '' 

-\-  2  - — —  dx  dz  -4-  2  — -^ —  dy  dz  -\-  — ^  dz-, 
ôx  ôz  ()y  dz    ^  dz- 

formule  que  Ion  peut  vérifier  directement  sans  faire  usage 
du  calcul  des  symboles,  et  dans  laquelle  il  ne  faut  pas  perdre 
de  vue  que  x,  r,  ;;  sont  des  variables  essentiellement  indé- 
pendantes, caractérisées  par  ce  fait  que  f/.2;:=  A:c,  dj-  ^  Av', ... 
sont,  chacun  en  particulier,  tout  à  fait  arbitraires  et  par 
suite  indépendants  des  variables  x,  y,  z  elles-mêmes. 

11  résulte  de  là  une  notation  très  commode  pour  écrire  la 


100  CIIAPITKi:     VI. 

formule  de  ïavlor;/(a-  +  dx,y  +  <:/)■,  ::  +  dz)  — J( x,r,  z) 
étant  représenté  par  A/",  on  a  symboliquement 

A/  =  --  dx  —  -  -  cl  y  ^  —dz 

•'         ôx  dy    -  itz 


l—  dx^  —dy  ^  — 

\  .-i  \dx  Oy  (iz 


^  I  /^    .  ô    ,  â 

I  .  2 . 3 ...  «  \f)x 

c'esl-à-dirc 


(  "T  dx  -r-  -j-dy  -7-   .-  dz]   /' 

\f)x  dy   -^        <)z       I  • 


^f=d/-^-d^-f-^...-  ' d"f~  I-,,.,, 

'^  1  1  .  1.3.  .  .  /l 

E,,^,  désignant  un  terme  d'ordre  supérieur  à  //. 

On  a  vu  que 

A«,A^./          à-^^f 
lim  — - — -^  =  -^, 

d'où  l'on  conclut  que  ^%M-  peut  être  substitué,  dans  les  li- 
mites  de  rapport,  à  »  '^  dx"  dj^  ;  mais  ce  théorème  a  beau- 
coup moins  d'importance  que  celui-ci  : 

TnÉoiiiiME.  —  Les  quantités  d"/ et  1"/ sont  égales,  à  des 
termes  près  d'ordre  supérieur  à  n. 

La  difTérence  et  la  différentielle  totale  d'une  fonction 
peuvent  donc  se  substituer  l'une  à  l'autre  dans  les  calculs  de 
limites  de  rapports.  Pour  le  prouver,  observons  que 

A"/  -/„  -  C]J„^,  -  C;,f„-.  -  ...  ; 

en  développant  chaque  terme  par  la  formule  de  Taylor,  mise 
sous  la  forme 

on  a 

'  •  1.2        •'  I  .  2 . 3  .  .  .  rt         "^ 

- c;,(n -  iw/—  c;,  ^"  —  '^'  dH— . . . 

•'  1.2 

•       ^din-iy^df-^Cl  ^-^^1^  d\f  -i - .  .  . 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  I  J I 

I.es  coefficlenls  de  dj ,  d-f^  .  .  .  sont  nuls,  celui  de  d"/  est 
('gala  lunité,  comme  on  l'a  vu  j)his  bauL  (p.  102);  on  a  donc 

^«+1  étant  un  infiniment  pelil  d'ordre  supérieur  à  n. 

C.     Q.     F.     T). 

VII   —  Calcul  des  différentielles  partielles. 

La  différentielle  totale  d'une  somme  est  égale  à  la  somme 
des  différentielles  totales  de  ses  parties  et,  plus  généralement, 
an  +  bi'  +  civ  -\-  .  .  .  ,  a,  b,  c  désignant  des  constantes,  a 
pour  différentielle  totale 

a  du  -=-  h  dv  ^—  c  dw  -^ . .  . . 

En  effet,  pour  prendre  la  différentielle  totale  de 

au  -^  bv  -^  civ  -^. . . , 

il  faudra  prendre  ses  dérivées  relatives  aux  vaiùablcs  indépen- 
dantes et  les  multiplier  par  les  différentielles  de  ces  variables, 
puis  ajouter.  Ainsi,  :c,v,  z.  .  .  .  désignant  les  variables  dont 
it,  i',  ...  sont  fonctions, 

fJ(au-^  bi'-^ .  . .  )    ,         f)(au-^bv-r-. .  .^   , 

dt  au^-  bv  ^ .  .  .)—  — — ■ dx —  dv  —  .  .  .. 

Ox  Oy 


OU 


d{ au  -\-  bv  —...)=(  a  -. b '-. ..  ]dx 

^      Ox  Ox  ' 


du        ,    dv 
b  -— 


-^i  a  —  -^b~-h...  \dy 


a(  au  -—  bv  -h  . . .  )  =  a  -—  dx  -~-  a  —  dy  -^  . . . 

'  dx  Oy    '' 

-^  b  -—  dx  ~-  b  -—  dv  —  .  ■  ■ 

dx  dy    -^ 

OU  enfin 

di^au  —  bv  ~  ...,)  =  a  du  -r-  b  dv  -r-  . . . . 

c.  0-   F.   D. 


l52  CHAPITRE    VI. 

De?  même,  on  a 

d{  fn'iv  . . .)  =  «"'  •  •  •  du-+-  J/(ï' . .  .  dv  -\-  . .  . , 

ou 

</(  uviv  .  . .  )  _  ^"        ^''        '^"'^ 
i/rir  ...  «  i^  n'     '    '    " 

en  cli'et,  on  a 

d(  uviv  )  =  —^-^ dx  -1-  -!^-T dy-^..., 

^  dx  oy 


I  au  dv  1   , 

d(  uvw  )  =      (  vw  ■  •  ■  -. — ;-  «"'  •  •  •  T":  "^  •  •  •  i^^-^' 


du  dv 

dy  dy 


dy 


I  UU      -  IIU.      ,  \ 

=  vw  . . .  \  -r-  dx  -+-  —  dy  -\- .  . .  I 


/du    -         du. 

\dx    ^       dy 


-h  mv  . . .     — -  rf.r  4-  -—  rfr  +  . . 
\du  dy 

c'est-à-dire 

d{u.VAv  . . .)  =  vw  . .  .  du  -i-  Uiv  . . .  f/r  -;-  uv  . .  .  d<.v 

On  verrait  de  même  que 

,  u       V  du  —  u  dv 
d—  —  ; 

V  v^ 

On  a  aussi 

d'^iu)  =  'j^'{u)du, 

do    ,         do    , 
doiu,  V)  —  — ^  du  -1-  --^  dv, 

'      '     '       du  dv 

en  effet, 

/  do  du        d'j  dv  \    , 

■^      '     '  ~        \àu  dx        dv  dx         "  '  ) 


\du  dy        dv  dy  / 


OU 

</ci(M,  v)  =  -rr-  du -\-  -^  dv. 


FONCTIONS    DE    PLUSIEURS    VARIABLES.  l53 

VIII.  —  Principes  fondamentaux  pour  l'application  du  Calcul 
différentiel. 

Lorsque  l'on  veut  établir  une  relation  quelconque  entre 
fies  diJU'érentiellcs,  on  peut  toujours  négliger,  vis-à-vis  des 
termes  d'ordre  le  moins  élevé,  les  termes  d'ordre  supé- 
rieur, pourvu  que  les  termes  conservés  ne  contiennent  pas 
d'aut/es  i/ijiniment petits  que  des  différentielles. 

En  effet,  supposons  que,  en  négligeant  des  infiniment  petits 
du  second  ordre,  on  soit  parvenu  à  des  formules  telles  que 

A  (la  -+-  B  dv  -T  C  dw  -!-  ...  =  o  ; 

celte  formule  étant  vraie  aux  termes  du  second  ordre  près,  la 
suivante  sera  rigoureuse  : 

A  du  -^  B  dr  "■-  C  d(v  -»-...  -l-  s  =  n, 


£  désignant  un  terme  du  second  ordre;  et  l'on  pourra  écrire, 
en  divisant  par  dx, 

.   du  di>  z    _ 

dx  dx       '  '  '       dx 

du,  dv,  ....  dx  étant  de  même  ordre,  soit 

,.     du  ,      ,.     dv  , 

nra-r-  =^  u  ,     hm—r-^=v,     .... 
dx  dx 

Quelques-unes  de  ces  limites  sont  arbitraires,  mais,  par  cela 
même,  on  peut  les  supposer  finies,  en  supposant,  par  exemple, 
que  l'on  assujettisse  momentanément  toutes  les  variables 
indépendantes  à  recevoir  des   accroissements   égaux  à   dx, 

tandis  que  -j-  tend  vers  zéro  :  si  bien  que,  pour  dx  =  o,  on  a 

A  ii'  -i-  B  v'  -i-  C  tp'  -4-  . . .  =  o, 
d'où 

A  u'  dx  -{-  B  v'  dx  —  G  w'  dx  --  .  .  .  =  o  ; 

mais  u! dx,  v' dx,  w' dx,  .  .  .  sont  rigoureusement  égauv  kdu. 
dv,  dw,  .  .  . ,  car  u'  est  égal  à  -7->  que  dx  soit  infiniment  petit 


154  cnAPiTRr:  Yi. 

ou  fini  :  011  a  donc 

\dit  -+-  B^.'   ;-  Cdiv  -i-  . . .  =  o. 

Celte  égalité  était  donc  rigoureuse. 

c.   o.   F.   n. 

Si  la  quantité  Q ,  +  ^2  +  fis  4-  •  •  •  +  ^m  +  ^  ("^t  (V ordre 
m-\-\^  Q,,  Qo,  ...,  Q,„  étant  respectivpmcnt  cVordro  1, 
2,  .  .  .  /;?,  et  t  d'ordre  m  +  \,  5iQ,,  Q^?  •  •  •  ''^  contiennent 
d'autres  infiniment  petits  que  des  différentielles  et  sont 
homogènes  par  rapport  à  la  lettre  d,  on  a 

o,  =  0,     02  =  0,     ...,     12,„  =  o. 

En  effet,  d'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  on  aura 
l>i  =  o  aux  termes  du  second  ordre  près,  et  par  suite  on  aura 
rigoureusement  Q,  =  o;  donc  on  aura  Qo  ^  o  ^"^  termes  du 
troisième  ordre  près,  et  par  suite  rigoureusement  Qo  =  O- 
En  continuant  ce  raisonnement,  on  voit  que  l'on  aura  sépa- 
rément 

Ces  principes  sont  fondamentaux  dans  les  applications 
analytiques  ou  géométriques  du  Calcul  différentiel. 


IX.  —  Remarques  au  sujet  des  différentielles  totales 
des  différents  ordres. 

Soient  X  et  y  deux  variables  indépendantes  ;   on   a   par 
définition 

quand  x  et  y  deviennent  fonctions  de  t,  la  relation  précé- 
dente a  encore  lieu,  en  vertu  du  théorème  des  fonctions  com- 
posées; seulement  df,  dx,  dy  n'ont  plus  le  même  sens.  Ceci 
s'explique  :  dans  les  deux  cas,  on  représente  par  c// l'accrois- 
sement que  prend  f  quand  x  ci  y  prennent  des  accroisse- 
ments dx^  dy^  et  la  seule  différence  est  que,  dans  l'un  des  cas, 


FONCTIONS    DE     PI.ISIEURS     VARIAULES.  100 

dx,  dy  sonl  indépendants  l'nn  de  l'autre,  et  que  dans  l'autre 

cas—  est  égal  à  -j»  les  dérivées  étant  prises  par  rapport  à  /; 

les  termes  du  second  ordre  sont,  bien  entendu,  négligés. 

Mais  d-fnc  reste  plus  le  même  quand  dx  et  dj-  sont  indé- 
pendants, ou  quand  ils  sont  liés  l'un  à  l'autre.  En  efTet,  dans 
le  cas  où  dx,  dj  sont  indépendants  l'un  et  l'autre,  ils  sonl 
arbitraires  et  considérés  comme  constants;  mais,  s'ils  sont 
lonctions  d'une  même  variable,  ils  doivent  subir  la  difTéren- 
liation  relative  à  celte  variable,  ainsi  l'on  a 

d-  f  =  — —  dx-  -^  2  — '- —  dx  dy  -^  --{  dy 
•'         Ox-  OxOy  -  dy-    ^ 

si  X  et  y  sont  indépendants,  et,   dans  le  cas  contraire, 

d-f=  — —  dx-  -4-  2  — = —  axay  -^  —^  dr-  - — —  d-x  -, — —  d-y; 
■'        i)x-  iJx'Jv  -^        (h"-    '  Ox  <)y      -^ 


si  X  était  variable  indépendante,  d-x  serait  nul,  et  le  terme 

'IL 

dx 


-j- d- X  disparaîtrait. 


X.  —  Des  fonctions  dont  la  différentielle  est  nulle. 

Lorsque  ladijfférentielle  totale  d' une  fonction  est  nulle, 
cette  fonction  est  constante,  et  cela  pour  tout  V intervcdle 
où  la  différentielle  reste  nulle,  pourvu  toutefois  que  la 
fonction  ne  soit  pas  discontinue. 

En  effet,  soit  /  une  fonction  des  variables  x,  y,  z,  ...  ;  si 
l'on  a  df  ^  o,  on  aura  aussi 

àf  ,     ^df  ,         Of  , 

-^  cte  -i-  -f-  dv  -^  -f-  a-  -r- . . .  =  o, 

dx  ôy    -^        Oz 

et,  dx,  dy,  dz,  .  .  .  étant  indépendants,  il  faudra   que  Ion 
ait 

/     ^  df  df  df 


l56  CHAPITRE    VI. 

or  la  dérivée  —-  est  prise  en  regardant  j'  et  z  comme  des  con- 
stantes; la  formule  -^  :  _  o  nous  montre  alors  que/est  indé- 
pendant de  X,  mais  il  peut  contenir  j^  et  z^  qui  y  sont  regardes 
comme  des  constantes;  l'équation 

dx 
a  donc  pour  conséquence 

y  =:  fonction  de  r.  z,  . . .  mais  non  de  x. 

)  f 
Mais,  quand  à  cette  formule  -j-    —  o  on  adjoint  les  autres  for- 
mules (i  ),  on  voit  que /est  indépendant  non  seulement  de  a\ 
mais  de  j',  z,    ...  ;   donc  /  n'est  pas  à   proprement  parler 
fonction  de  ses  variables  :  c'est  une  constante. 


1.  On  a 


EXERCICES  ET  NOTES. 


F  (x-y-j .r"'  =  ¥(m)x"', 


F  désignant  un  symbole  de  fonction  entière. 
2.  Former 


(?â^)'"^^-^^- 


On  supposera  (s(x)  quelconque;  on  verra  que  le  résultat  est  de  la 
forme  Ao'(x)-\-B'y{x)-\-...;  on  déterminera  ensuite  A,  B,  ...,  en 
faisant  '~'{x)  =  e«^  ou  o(x)  =  x,  :r-,  . . .,  x'". 

3.  Former 

4.  On  a 


dx 


(BooLP;,  Phil.  Transact.;  i844) 


FONCTIONS    DE    PLUSIEIRS    VARIABLES.  i  > 

r>.  W  et  *  dé-signant  des  fonctions  entières,  on  a 

(Bronwin,  Cambridge  and  Dublin  math.  Journal;  1848. 

().  Soit 

„  {     d     .        d  d\ 

on  a.  pour  une  fonction  homogène  u  de  degré  m, 

Vu-^mu,     P-u  =  m(m  —  1)?^,      .... 

7.  Considérons  une  fonction  /  de  n  variables  ari,  .r^,  . .  . ,  x,,;  sup- 
posons que  l'on  ait 

d"  ^  '/  =  d"/{  Aidxi  +  Aidxn-^-...-^  A„  dx„  ), 

c'est-à-dire  que  c?''+'/ soit  divisible  par  d"/;  démontrer  que  d"+^f. 
d"^^  f.  .  .  .  seront  aussi  divisibles  par  ûf"/. 

(Darboix,  Bulletin;  i88i.) 


i58 


CUAPirUK    VII. 


CHAPITRE  YII. 

DES  DÉTERMINANTS  FONCTIONNELS  ET  DES  FONCTIONS 
IMPLICITES. 


I.  —  Préliminaires. 


Considérons  le  déterminant 


e  = 


Si  l'on  désigne  par  ô  un  signe  de  différentiation  pris  en 
considérant  les  éléments  de  ce  déterminant  comme  des 
variables  indépendantes,  le  symbole 

dd 
da,j 

sera  le  coefficient  de  <7,y  dans  le  développement  du  détermi- 
nant 0,  de  sorte  que,  en  appelant  a/y  le  mineur  obtenu  en  sup- 
primant la  i""*-"  ligne  et  la  y'"™"  colonne,  on  aura 


(_,y>y 


ôe 


de  même 


(P6 


ÔClij' 

sera  le  coefficient  de  aijahi  dans  le  déve- 


loppement  de  0,  et  cette  dérivée  sera,  au  signe  près,  le  mi- 
neur de  0  obtenu  en  supprimant  la  r'"'"  et  la  /,"'°'=  ligne  et 

layitnie  gt  \^  /irme  colonnC. 

On  voit  ainsi  que  les   déterminants   mineurs   des  divers 
ordres  de  0  peuvent  être  représentés,  au  signe  près,  par  les 


DÉTEUMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  l5() 

dérivées  de  ce  même  déterminant  prises  par  rapport  à  ses 
éléments. 

Théorème  I.    —    On  a 


de 

an  -. 

dttji 

de 

-ai,-—-  -H 
Oaji 

de 

dajn 

1  o  si  i  \  j, 
\  e  SI  i=j; 

de 

de 

'-  a-ii 

(ki-ij 

de 

.  ..    :    Uni  ,           = 

da„j 

(    o   si   t   ;;■  y, 

(  e  si  i  —  J. 

Théoivè.me  II.    —   On  (I 

d-'-e  d'^e 


dccij  dai;i  doii  da^j 

En  effet,  le  premier  membre  représente  le  déterminant 
mineur  obtenu  en  effaçant  les  lignes  d'ordre  i  et  A'  et  les 
colonnes  d'ordre  y  et  /;  le  second  également,  et  cela  au  signe 
près.  Or,  en  échangeant  dans  0  les  colonnes  d'ordre  j  et  /,  ce 

déterminant  change  de  signe;  t ; — j  dans  ces  circonstances, 

»  °       '  daijdaki 


est  remplacé  par  -; ; — •  :  ces  deux  déterminants  sont  donc 

i  1        dan  da^j 


de  signes  contraires. 

TnÉORliME  III.    —  On  a 


()-  e  d^e 

ç~    =  0, 


dttij  da  i,j  dttij  dai  / 

car  0  contient  au  premier  degré  seulement  les  éléments  d'une 
même  ligne  ou  d'une  même  colonne;  ciijakj  ne  peut  donc 
entrer  dans  la  formation  de  0. 


II.  —  Déterminant  du  système  adjoint. 

Conservons  les  notations  précédentes,  et  posons 

de    _ 

avec  les  quantités  a/y  on  peut  former  un  nouveau  déterminant 


iGo 


CHAPITRE     VU. 


dont  les  élémenls  formcnl  le  sjslèinc  adjoint  du  système  des 
éléments  rt,y  de  0, 

Si  l'on  fait  le  produit  011,  ou 


^11 

«12       . 

^[ti 

«n 

«12        . 

•     «1« 

^21 

a.,,      . 

■        <^in 

«21 

«22       . 

•      a-îii 

a,a 

3/(2        • 

'       <^nn 

a,n 

«7,2        . 

•       Clnn 

(I) 


en  ayant  égard  à  la  formule 

(  o  si  t  ^  j. 

a/1  «y,  ~  a/2  «y2  -H  •  •  •  -H  ^/«  «;«  =  ^    •   • 

(  e  SI  i=j. 
on  trouve  pour  produit 

0    o     ...     o 
o     6     ...     o 


e 


=  e«; 


donc  0H  :=  0",  ou 


H  =  e«-'. 
Considérons  en  second  lieu  le  produit 


H 


o0 


^11  2^12 


rt/M       «/;2 

elFectuant  et  remplaçant  H  par  0"~',  on  a 


e«-i 


donc 


^11         -'21 

o       e 


(J9 
dan 


=  ai,e«-i; 


ce  que  l'on  savait  déjà.  Considérons  encore  le  produit 


rr-e 


Oaii  Oa-ii 


•M\ 

'■''12 

'■^n 

«22 

a,7i 

a/,2 

! 

O 

O 

<) 

O 

1 

0 

O 

«31 

«32 

«33        . 

■  •       (lin 

«/,! 

«rt2 

««3        • 

■  ■       Cliin 

DÉTERMINANTS   FONCTIONNELS   ET    FONCTIONS   IMPLICITKS.  l6l 

cflVcluant  et  remplaçant  II  par  0"~',  on  a 


0"-' 


(r-e 


Ociii  OUiî 


«12 

o 


ai  2     a22 


e«-2 


d'-e 


daii  dai2 


On  aurait  de  même 


02 


d^e 


dan  àaoiàttss 


«21        «22 


«21        «22 
«31        «32 


«13 


«33 


et  ainsi  de  suite. 

Ces  Ibrmules  en  contiennent  d'autres  plus  générales.  En 
efl'et,  si  nous  considérons  par  exemple  la  dernière,  et  si  nous 
plaçons  les  lignes  d'ordre  i,  k,  p  respectivement  au  premier, 
au  second,  au  troisième  rang,  les  colonnes  d'ordre  y,  /,  q  au 
premier,  au  second,  au  troisième  rang,  0  n'aura  pas  changé 
de  valeur,  et  si  l'on  applique  à  la  nouvelle  forme  de  B  la  for- 
mule précédente,  on  aura 


02 


r)3  0 


daij  da/ii  da^q 
on  aura  de  mémo 


«/y  «//       «^7 

«/.y     «A/     «/.T/ 
«yy     «/''     «/'7 


(«) 
et 


0.  -^®- 
daij  daki 


00 


«/•y      «// 
«/.y     «A7 

r)0      r)0 

r}0       ^0 

r;0 

-, =  «/ 

daij 

De  ces  formules  très  remarquables,  il  résulte  que,  si 
0^o,  tous  les  déterminants  mineurs  du  système  adjoint 
sont  nuls,  mais  a,/  n'est  pas  nul. 

Si,  dans  la  formule  («),  on  lait  /.-  =y,  «=  /,  on  a 


Traité  d'Analyse,  I. 


102 


CHAPITRE    Vil. 


III.  —  Digression  sur  les  déterminants  gauches. 


«11 

«  1  2 

(J[,i 

«.. 

«2  2 

■        Oi„ 

««1 

Oni       . 

■       fnn 

M.  Cayley  a  donné  le  nom  de  déterminants  gauches  au\ 
déterminants  de  la  l'orme 


e. 


dans  lesquels  on  a   aij=  —  aji,  an  =  o.  Les   déterminants 
gauches  jouissent  d'une  propriété  curieuse  : 

Tout  déterminant  gauche  de  degré  impair  est  nul,  cl 
tout  déterminant  gauche  de  degré  pair  est  un  carré 
parfcnt. 

Pour  le  démontrer,  nous  nous  appuierons  sur  la  Ibrmule 


(0 


d'-& 


08 


r)e 


r)ft 


^)8 


da„,ida,i-i^,i-i 


àcin,it  àa,i— 1^,1-1        da,i-\ji  da„^,i-i 


obtenue  ne  faisant  i^:^j^=n  elh:=  1=  n  — ■  i  dans  la  for- 
mule («)  du  paragraphe  précédent;  si  nous  admettons  que  le 
théorème  soit  démontré  pour  des  déterminants  de  degré 
moindre  que  /?,  il  est  facile  alors  de  voir  qu'il  a  lieu  pour  les 

à'-e  .        ^      . 

)  SI  n  est  pair. 


déterminants  d'ordre  n.  En  effet 


(Ja„„âan-i,n-i 
est  un  déterminant  gauche  d'ordre  pair  qui  est  un  carré, 

0(1,1 ,1 

est  un  déterminant  gauche  d'ordre  impair  qui  est  nul;  alors, 
en  observant  que 


^)e 


da,i- 


i,it 


la  formule  (i)  donne 


^««,«-1 


r)e 


donc  (:)  doit  être  un  carré  parfait. 


I)f;Ti:UMlNANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  1 63 

Si  le  ilélcrininaiil  gauclie  esl  de  degré  impair,  il  conlicnl  les 
Icrines  ^/,a,  (i>';i^  •  •  •  •>  ('ul  ^^  (loa^  (f^2f  •  •  •  '  ff'/./n  ^^i  se  délriii- 
scnt  parce  ([u'ils  sont  égaux  et  de  signes  contraires  s'ils  ne 
sont  pas  nuls. 

Il  reste  donc  à  vérifier  que,  pour  n  =  2,  le  déterminant  (-) 
est  un  carré  parfait,  parce  qu'il  le  sera  encore  pour/«  =  4» 

/l  :=  6,    ....    Or  on  a,   pour  /l  rrr  i , 


e  =  o; 


pour  n  =  2, 


pour  /?  =^  3, 


0 

«12 

1 

—    «12 

0 

1      ~ 

0 

«12 

«1 

-«12 

0 

«2 

-  «13       — 

«23 

0 

«12-; 


t>) 


pour 

n  =  4, 

0 

«12 

«13 

«14 

e^ 

--«12 

0 

«23 

«21 

—  «13       — 

«23 

0 

«34 

—  «n     — 

«24 

—  «34 

0 

et  air 

isi  de  suite 

(«13  «24  -i-  «14  «23  —  «12  «34  )^; 


Remarque.  —  Un  déterminant  gauche  de  degré  pair  et 
dont  tous  les  éléments  situés  d'un  même  coté  de  la  diagonale 
sont  égaux  à  l'unité  est  égal  à  i . 

La  racine  carrée  d'un  déterminant  gauche  de  degré  pair  est 
ce  que  l'on  a  appelé  un  pfaffien. 


IV.  —  Déterminant  d'un  système  de  fonctions. 


Xi 


Soient    u^,  11.2,  ...,  ««    des    fonctions    des     n    variables 
,  .  .  . ,  x„;  on  appelle  déterminant  de  ce  système  de 


()Ul 

Ùlll 

<)Ut 

ÔXi 

âx-2 

OXn 

dU2 

diio 

du. 

dxi 

dx. 

dXn 

àu,i 

OUn 

du,, 

dx. 

dx.2 

dXn 

164  cii.vrrTRE   vu. 

fonctions  [ou  jacobicn)  le  tlctcrnnnanl 


(t) 


dont  les  t'iéments  sont  leurs  dérivées,  et  on  le  représente  par 

la  notation 

d(  u,.  u,,  .  . . ,  u„) 

dont  rutililé  ne  tardera  pas  à  être  mise  en  lumière. 

Quand    ^/,,  //-^ H/i    sont    les    dérivées    d'une    même 

l'onction  it,  le  déterminant  fonctionnel  porte  le  nom  de 
hessien  de  la  fonction  11,  et  on  le  représente  souvent  au 
nioven  de  la  notation  II.//. 

Thf.oiu:\ie  de  M.  Bertrand.  —  Le  dêiernùiKinl  (T un 
système  de  fonctions  //|,  //o,  .  .  .,  11,1  pcir  rapport  aux  va- 
riables Xi,  x-iy  .  .  . ,  Xn  est  le  rapport  du  déterminant  du 
système  d'accroissements  que  prennent  ces  fonctions  au 
déterminant  du  système  correspondant  d'acc/'oissements 
infiniment  petits  des  variables. 

En  sorte  que  d  (X) ,  .  .  . ,  x,i)  peut  être  considéré  comme  un 
déterminant  de /i  systèmes  d'accroissements  arhitrairesdonnés 
aux  variables,  et  alors  d  (uf,  ....  u„)  est,  aux  termes  d'ordre 
supérieur  près,  le  déterniinant  du  système  d'accroissements 
correspondants  des  fonctions  //,,  .  .  . ,  u„. 

Pour  démontrer  ce  théorème,  désignons  par  f/|.r,.  d^x■2■,  ■.-, 
d\Xn  un  premier  système  d'accroissements  des  variables;  par 
d.,Xi,  d,x.,,  .  .  ..d-iXii  un  second  système,  etc.;  multiplions 
entre  eux  les  déterminants  (i)  et 


f/l  Xi 

d,  .r,      . 

.  .      f/i  or„ 

d,  Xi 

d,  x-i 

■       d,  Xn 

dnXx 

da  X,      . 

a,i  x,i 

DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    KT    FONCTIONS    IMPLICITES.  \C)~) 

rclt'iiK'iil  a|)|);irleiianL  à  la  /''""  lij^nc  et  à  la  y""""  colonne  du 
pruthiit  sera 

()ui    .  Ou,-    .  ,    du,-    , 

c'esl-à-dire  (ljUi\  le  produil  est  donc  le  délerminanl  du  sys- 
tème des  difr<'renlielles  ou  des  accroissements  des  Tondions; 
d'où  l'on  conclut  le  théorème  énoncé. 

Le  théorème  de  M.  Bcrlrand  a  un  ij;rand  nombre  de  corol- 
laires importants  qui  ont  été  démontrés  directement  par 
.Jacobi  ou  par  Caucliy.  Mais,  en  les  déduisant  du  théorème 
de  M.  Bertrand,  on  développe  plus  clairement  les  analogies 
des  déterminants  fonctionnels  avec  les  dérivées.  Voici,  par 
exemple,  comment  il  permet  de  généraliser  le  théorème  des 
fonctions  de  fonctions. 

Soient  u^,  i/-,,  ■  ■•  fin  des  fonctions  de  7',,  l'o,  .  .  .,j)'«,  et 
Vi,i'2,  .  .  ..Vu  des  l'onclions  de  x^^  x^^  .  .  .,  Xn\  on  pourra 
considérer  w, ,  //^j  •  •  •  i  ''«  comme  fonctions  composées  de  x ^ , 
x-i,  .  .  . ,  x,i,  et  il  est  clair  que  l'on  aura 

àiux,  Uj u„)  _  f)(  ui,  Uj, u„)  0(yi,y2,  ••  -,7") . 

d{xi,x,,...,x„)  ~~  0(ri,r.,,  .  ...y,,)  fJ(Xi,x2, x,,)' 

en  particulier,  si  Ion  a  «)  =  x^.  1(2  =  Xi,  ....  on  voit  que 

d(xi,T.2, ..  .,xn)  à(y\,.r-2,  — Vu)  ^  j 
<^C7i»72,  •••.7«)  0{xi,3r,,  ...,Xn)  ~    ' 

théorème  analogue  à  celui  qui  est  compris  dans  la  formule 

dx  dy  _ 
Ty  dx  "  '' 

et  qui  devient  évident  par  l'emploi  de  la  notation  dlfleren- 
tielle. 

On  peut  également  donner  une  généralisation  du  théorème 
des  fonctions  composées  ou  même  de  la  différentielle  totale. 

C.onsidérons,  en  effet,  n  fonctions  ?/i,  u<>,  .  .  .,  u,i  de  m  va- 
riables indépendantes  j"j,  Xo, r,„,  le  nombre  n  des  fonc- 


i66  en  API  T  RE  vil. 

lions  étant  suppose  moindre  que  le  nombre  ni  des  vaiMables; 
donnons  aux.  variables  n  systèmes  d'accroissements  infini- 
ment petits.  Soient  <:/(j:-,,Xo,  — :r„),  d{x.>iJC2,  —  ■r„j^.\  ),  ... 
les  déterminants  que  l'on  peut  former  avec  ces  systèmes 
d'accroissements;  soit  d(ui,  n^,  •  •  .,  ««)  le  déterminant  du 
système  d'accroissements  que  prennent  les  fonctions  dans  ces 
circonstances.  Comme  l'on  a 

,         du,-    j          dui    ,  du,-    , 

aui  =  -7 —  axi  -, axo  — . . .  -^  -r —  dx,,, 

quels  que  soient r/X)  ^dx>,  ...,dx,t,  la  quantité  r/(?/|,  1/2,  ...,u„) 
sera  une  somme  de  produits  de  déterminants  formés  avec  les 

accroissements  dx  et  avec  les  dérivées  — — ,  en  sorte  que 

dx/  1 

le  signe  7  se  rapportant  aux  indices  a,  |îi,  .  .  . ,  A. 

Si,  en  particulier,  x,,  jr^,  .  .  .  ,x„i  étaient  des  fonctions  de 
/i  variables  /|,  /o,  .  .  . ,  t,i,  on  aurait 

d{ui,U2, . . . ,Un)  _  "^  d(«i,  M2, u„)     d{x^ T\) 

d(ti,  t.2,  ...,t,i)     ~  ZdO{x^,xi^,  .  ..  ,x\)  d[t,,t2,  ...,(„)' 

théorème  analogue  à  celui  des  fonctions  composées. 

Remarque.  —  Si  l'on  avait  supposé  m<in,  on  aurait  eu 
d(u, ,  «o,  .  .  . ,  M„)  =  o  ;  nous  retrouverons  ce  résultat  sous  une 
autre  forme  :  il  exprime  que,  si  les  fonctions  ?/|.  ....  ii„  de 
ff^to,---,  t,i  peuvent  être  exprimées  au  moven  de  m  «<  n 
variables  Xi,  ...,Xm,  leur  déterminant  est  nul.  En  d'autres 
termes,  si  les  fonctions  «,,  .  .  .  ,u,i  ne  sont  pas  indépendantes, 
c'est-à-dire  peuvent  s'exprimer  les  unes  en  fonction  des 
autres,  leur  déterminant  sera  nul. 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  1 67 

V.  —  Reconnaître  si  des  fonctions  sont  indépendantes  les  unes 
des  autres. 

Quand  deux  ronclions  de  plusieurs  variables  lit  et  «o  ont 
leurs  dérivées  proportionnelles,  ou,  ce  qui  revient  au  même, 
satisfont  à  une  relation  de  la  l'orme 

dut  =  Adu-2, 

elles  dépendent  Tune  de  l'autre;  en  d'autres  termes,  a,  peut 
s'exprimer  en  fonction  de  112  seul;  et  en  effet,  dui  et  du^  sont 
nuls  en  même  temps  :  Ut  et  u-2  sont  donc  constants  en  même 
temps,  et  par  suite  sont  fonctions  1  un  de  l'autre;  la  réci- 
proque est  évidente. 

Si  l'on  considère  maintenant  un  nombre  quelconque  de 
fonctions  Ut,  u,,  •  •  •-  Un,  pour  que  ces  fonctions  ne  soient 
pas  distinctes^  c'est-à-dire  pour  qu'un  certain  nombre  d'entre 
elles  soient  fonctions  des  autres,  il  faut  et  il  suffit  qu'il  existe 
des  identités  de  la  forme 

A'i  dui  —  A2 du2  -T- . . .  —  /t/i dun  =  o. 

Il  est  bien  clair,  en  effet,  i"  que  toute  relation 

'^{ui,Uî, u„)  =  o 

différentiée  donnera  un  résultat  de  cette  forme;  2°  qu'une 
relation  de  celte  forme  ayant  lieu,  dut,  par  exemple,  sera 
nul  quand  du^-  •  •  • ,  dun  le  seront,  et  par  suite  «j  sera  con- 
stant quand  u-^,  •  .  • ,  i(,i  le  seront;  en  d'autres  termes,  iti  sera 
fonction  de  Wo,  .  .  . ,  Uu- 

Plus  généralement  :  La  condition  nécessaire  et  su/usante 
pour  quHl  existe  ni  relations  entre  des  fonctions  Ut,  Un,  •  •  • . 
Un,  c'est  qu'il  existe  ni  relations  linéaires  et  homogènes 
entre  les  différentielles  de  ces  fonctions. 

En  effet,  s'il  existe  m  relations  telles  que 

F,(hi,  «2, Un)  =  o,     ¥i  =  o,     F,„  =  o, 


l68  CItAPITRE    vu. 

on  aura,  cnlrc  dii^,  (iu^,  .  .  . ,  l«'s  m  relalions  linéaires  et  ho- 


niOiicncs 


-— -  dut  -. «»>  — 


-f-  - —  du,i  -  o, 


dF,„  (Jb',,,  à¥,„ 

- —  dui  —  -- —  du.2  -f- . . .  -h  - — 


du,,  =  o  ; 


réciproquement,   s'il   existe  ni   relations  linéaires   et  homo- 
gènes entre  du^.du^^  •  •  .,  du,,,  telles  que 


a\dit\-^  «0  dui 


a,i  du,i  —  o, 


/i  dit^  —  /o  f/»> 


.   —  /,;  dun 


«1,  ...,/,,  ...,/„  désignant  des  quantités  quelconques,  on 

pourra  de  ces  équations  tirer  du^^  diu,  .  .  . ,  du,n  en  fonctions 

linéaires  et  homogènes  de  du,,,^^,  .  .  . ,  du,,,  et  Ton  voit  que 

dui du,,,  seront  nuls  si  du„,^i,  .  .  . ,  du,,  le  sont;  donc 

//, ;/„,  seronteonstants  si  ;/,„^(,  .  .  .,?/„  le  sont;  donc  enfin 

Uj //,„  seront  fonctions  de  Um+i-,  •  •  ■  •  ihi- 

c.    <;>.    F.   D. 

Ce  raisonnement  suppose,  bien  entendu,  les  relations  ho- 
mogènes données,  telles  que  l'on  puisse  en  tirer  m  différen- 
tielles en  fonction  des  autres. 

On  peut  encore  reconnaître  s'il  existe  des  relations  entre 
des  fonctions  données,  au  moyen  des  théorèmes  suivants,  au 
Ibnd  identiques  au  précédent  : 

TnÉoRiiME  I.  —  La  condition  nécessaire  et  sufjisante 
pour  qu'entre  n  fonctions  w,,  u^,  .  .  . ,  u,,  des  variables  Xi, 
.ro,  .  .  . ,  x,i  il  existe  m  relalions  distinctes,  est  que  le  déter- 
minant 


d(u\.  Ui, 


u„) 


C){Xi,X2,   ..  .,T„) 


du\ 

àui 

Ôlll 

ÔXi 

âXy 

Ox,i 

duî 

diu 

àui 

ÔXi 

dX2 

Ox,i 

dicj, 

Oxi 

àu„ 
OXi 

Ox„ 

DfiTERMlNANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  169 

soit  identiquement  nul,  ainsi  que  tous  ses  mineurs jiisquW 
ecux  de  V ordre  m  —  i  inclusivement. 

\\n  efiV'l.  si  cnlro  //,.  u-^^  •■•,  ii„  il  existe  m  relations, 
m  de  ces  «[iiantités  resteront  constantes  quand  les  n  —  //? 
autres  seront  rentlues  constantes;  donc  m  des  équations 

diii  =  o,     du -2  —  o,     .  . .,     du,,  -  o 

seront  des  conséquences  des  /i  —  ?n  autres;  en  d'autres  termes, 
ces  n  équations  se  réduiront  à  n  — m  distinctes;  or  elles 
peuvent  s'écrire  * 

,'    àifi     ,  àui     ,  util     , 

—  dxt  -f-  - —  dxo  -T- . . .-.-  -, —  dx,i  =  o, 

'À/'j  OXi  '  UX,i 

Ou-,    ,  diii     ,  ôi(=,    , 

/     ^  ;  — -  dxx  -. — ; —  ar.>  --...-! '-  dx,i  =  o, 

(«)  \  Oxi        '        dXi        -  (Jxii  ' 


ôi(„  ()u„    ,  au-, 

- —  dxi  --  ^ —  dx=,  -•-...--  - —  dx,i  =  o  ; 
1    dxi  ox-,        '  ax„ 

pour  qu'elles  se  réduisent  à  /?  —  m  distinctes,  il  faut  que  le 
déterminant 

r)(  Ui,  11-2,  ....  u„) 


Ô{Xi,X.2,    .  .      ,    X„) 


D 


soit  nul,  ainsi  que  ses  mineurs  jusqu'à  l'ordre  m  —  i  inclusi- 
vement. Ainsi,  en  particulier,  s'il  n'existe  qu'une  relation 
entre  les  u,  on  devra  avoir  D  =  o  seulement. 

Réciproquement,  si  D  est  nul,  ainsi  que  les  mineurs  jusqu'à 
ceux  de  l'ordre  m  —  i  inclusivement,  les  équations  (a)  se 
réduiront  à  n  —  m  distinctes;  en  d'autres  termes,  ni  des 
équations  dus  --^  o,  du^_  =  o,  ...  seront  des  conséquences 
des  autres,  et  par  suite,  m  —  n  des  quantités  u  restant  con- 
stantes, les  m  autres  restent  constantes  aussi  et  sont  des  fonc- 
tions de  celles-ci.  c.   q.   f.   n. 

Théorème  II.  —  La  condition  nécessaire  et  suffisante 
pour  qu  entre  m  fonctions  de  n  variables,  m  étant  plus 
petit  que  n,  il  existe  une  relation  au  moins  entre  ces  fonc- 
tions, c'est  que  tous  les  déterminants  fonctionnels  de  ces 


cil  MM  TU  i:    VII. 


fonctions  par   rapport   à    ni  qi(clcon(iiics  des    variables 
soient  nuls. 

Soient,  en  oflot,  m  loiicllons  //,,  u-i,  ....  //,„  des  n  ^  •  /«  va- 
riables j",,  j"2i  •  ■  • .  -P«  î  on  devra  avoir  entre  les  dififérenlielles 
r///,,  r///o,  .  .  .  une  relation  telle  que 

Al  du\  —  Ao  <^/«2  — . . . -T-  A„j  du,n  ■=  o, 
ou 

I  Al ^  Ao — •'  -f-. .  .-r-  A,„  ,  —  )  dxi  -^  (  A I    —  -^. . .    dxy     . . .  —  o, 

\         <U-i  ^OX,  Ox,nj  \         <)X.2  j         -  ' 

quels  que  soient  dx^^^dx-^.-,  ...  :  done 

duy  du=,  .      du,,, 

^7)7  '^    -717  -r- . . .  —  A,„  -  _-  =  o, 


dui  ^        dUi  _^       ^  .      dii,n  _ 
'   ÔXn    '        '  fJx,i     '    ■  •  •    ■        '"  ()j-^^  ' 

comme  A,,  Ao,  ...   ne  sont  pas  tous  nuls,  il  faut  que  l'on 

ait 

d(ui,  Uo,  ....  u,„) 


<^(-2^x,  "î"3,  ■•-,•^1) 


o, 


quels  que  soient  les  indices  y.,  |i,  .  .  . ,  )w  Réciproquement, 
si  toutes  ces  relations  ont  lieu,  on  aura 

d{U\,  Uii   ....  11,11,  ^i>i-^-\j  2//î-t-2i    •      •'  ^n) 

1 =  o, 

Cl i^Xi,  Xo,    •  .  •  1  -^mi  •  •  •  ^n  ) 

'^m+i,  •  .  ..oc/i  désignant  des  constantes;  il  existera  donc  une 
relation  entre  lit,  Uo,  .  ■  .,  Un  et  des  constantes,  cest-à-dire 
entre  Uf,  11-2,  .  •  • ,  Um- 

c.    Q.    F.    D. 

VI,        Sur  un  théorème  de  Jacobi. 

Dans  son  Mémoire  Sar  les  dé  ter  nilnanls  fonctionnels,  déjà 
cité,  Jacobi  est  parvenu  à  mettre  sous  une  forme  remarquable 
le  déterminant  de  plusieurs  fonctions;  cette  forme  a  d'ailleurs 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  I7I 

éli'î  lUilisro  [)ar  lui  dans  une  circonstance  importantf.   \  oiri 
coniinenl  on  v  parvienl  : 

Soient  u^,  ii-, u„  n  (onclions  des  variables  Xi,x^,  ■••,  ^« 

indépendanles;  imaginons  que  l'on  ait  exprimé  Us  en  l'onc- 
tion de  ^1,  .ro,  .  .  . ,  .r„  ;  u-i  en  fonction  de  ;/,,  jTo,  x^-,  .  .  . ,  x,i\ 
//:,  en  fonction  de  Ut,ii2,  -^i:  •  •  • .  -^/i-,  etc.  ;  enfin  ii,i  en  fonc- 
tion de  Ui,U2,  .  .  .,  u,i_t,x„;  nous  représenterons  par  un  d 
les  dérivées  prises  dans  les  hypothèses  dont  nous  venons  de 
parler,  en  réservant  le  à  pour  représenter  les  dérivées  prises 
en  regardant  x,,  X2^  ■  ■  -  -,  x,t  comme  seules  variables  indépen- 
danles. 
On  a 

Oui        dui        ()Ui  _  duy  f)ui   _  dui 

Oxi  ~  dxi  '      ()xi        dx^  '  OXn        dx,i 


et  ensuite 


(Jxi        diii  <ixi 

()u.>        duj        dui  0U\ 

Ox-i        dxo    '    dui  0x2 


•  ••  étant  remplacés  par  leurs  valeurs  (i),  il 

dii-i  du\        i)Ui        dui        dui  du\ 

dui  dx-i       Oxy        dx-2        du  Y  dxi  ' 


i)iiz        du3       du3  dui        dii-K  f)u2 

Ox:i        dxi   '    du  y  dxi    '    duo  Ox^  ' 

i)ui         du,  1  A         'iu'>         du=>  ,  I  ,   .    , 

or  — -  =  -r— >  et  de  même  -— ^  =   7—5  car  ces  deux  dérivées 
Oxy         dxi  0x3         dx-i 

sont  prises  en  faisant  seulement  varier  JC3,  u^  ne  variant  pas 
et  par  suite  n'étant  pas  fonction  de  J73  ;  on  a  donc 

du-i       du^  dui  fJuy       du^       du3  du\        du^  du^ 

Oxi       dui  dxi  0x3       dx3       dui  dx3       duo  du3 


mais, 

ôui    Oui 
OXî  '  0x3 

vient 

(2) 

duz 

fJXi 

et  ensuite 

'^«3 

du 3  duj 

Oxi 

dui  f)Xi 

Il  résulte   de    là   que   le  déterminant   des    dérivées  — ^  >  ou 


172 


CHAPITRE    Vil. 


â(  II,,  «2,    .  .  .  ,  ll„) 


dii\ 

\l7 


J-.,) 


csl  le  produit  de  deux  autres  : 


1 

(IU\  clUi 

du  I  du ., 

(tX  II  (XJC  II 


dll_^ 

dxii 


c'est-à-dire,  en  efTecluant, 

t)(  f/i,  f<2!    •  •  •  •    Un  , 


()(j7i,a~2,   ...,  x,i)        dxi  dx^  dx-i 


I 

() 

o 

I 

o 

duv^ 

du% 

dui 

du. 

I 

du.. 

du., 

dui 

dUi 

dm 

dUy, 

du 

dx=, 

dxi 

dx 

VII.  —  Définition  des  fonctions  implicites. 

On  apj)elle  fonction  implicite  toute  fonction  définie  par 
une  ou  plusieurs  équations  non  résolues;  ainsi,  si  l'on  pose 

f{x,  y)  =  o, 

on  pourra  en  général  en  conclure  que  r  est  une  fonction  de  oc, 
si  celte  équation   admet  une  solution,  et  alors   y  sera  une 
fonction  implicite  de  x. 
Si  les  équations 

admettent  pour  différentes  valeurs  de  x  des  solutions  jKi? 
j'o?  •  •  • ,  J>'«5  ces  solutions  seront  en  général  des  fonctions  de  x 
dites  implicites. 


VIII.  —  Dérivées  et  différentielles  des  fonctions  implicites  définies 
par  une  seule  équation. 

Théorkme.  —  Soit  /{x.,  y)  une  fonction  continue  de  x  et 
de  y  pour  les  valeurs  de  ces  varictbles  voisines  de  Xq  cijKo» 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  IjS 

,  ,     .     ,        î)f  c        'H  /•       IJ  ' 

(iinsi  (lue  SCS  (hriK-ees  -j-  rm  Jx,  -j-  =^  j  ii  L  cquatioii 

f{x,y)  =  o, 

supposée  satis/aifr  pour  x  ^~- Xq,  y=—.r„,  cU finira  une 
fonction  y  implicilr  de  x.  r///i,  pour  x  --=■  Xq^  sera  continue 
et  aura  une  tlcri^'ée  bien  (léterniinée pourvu  quefi{xQ^  j'o) 
ne  soit  pas  nul. 

En  eflel,  soll  /."   mie  quantité   très  petite  et   positive;  on 
aura 

0  désignant  un  nombre  compris  entre  o  et  i,  et,  comme 
fi-^oyj'o)  est  nul  par  hvpothèse,  on  aura 

/(^o,  Jo  —  A-)  =  bfi{^^,yo  —  fJ^"), 
de   même 

fix^,yo  —  k)-.—  kfiixQ,yo  —  0'  k); 

si  k  est  assez  petit,  /^fx^,  j'o  4- 'iA)  et  /.(xq,  j'o  —  07.) 
seront  de  mêmes  signes  que  /■i{Xii^  j'o),  qui  n'est  pas  nul; 
donc,  en  vertu  des  deux  formules  précédentes,  /(xq^  Yq  -i-  k) 
elJ{xQ,yo  —  A)  seront  de  signes  contraires.  Mais  on  peut 
maintenant  prendre  h  assez  petit  pour  que  f{xo  -^  h,  y^  —  A) 
soit  de  même  signe  que/(^05j'o  —  A),  et  que/(xo-^/^,^î'o-^-A■) 
soit  de  même  signe  que/(^oi  >'o  -^  A);  alors/fa^o-r/ijj'o — A) 
et /(.ro -r- /^  Vo  —  A)  seront  de  signes  contraires,  et  il  y 
aura  une  valeur  A,,  comprise  entre  -r  k  et  —  A-,  telle  que 

f{xo  —  h,y»  —  kx)  =  o; 

donc,  à  un  accroissement  h  suffisamment  petit  h  de  x  cor- 
respondra un  accroissement  aussi  petit  que  l'on  voudra  deji'. 
Cela  posé,  en  admettant,  ce  qui  est  permis  maintenant,  que 
h  et  A"  soient  infiniment  petits,  on  aura 

f{xQ-^h,  y^,  —  k)  =  o, 

ou,  en  observant  que/(xo,jo)  =  o  en  vertu  de  la  formule 
de  Taylor, 

hfi{x^  -^  fi/i,  7o  —  OA)  —  k/i(xo  —  hh,yo  —  '>k,  =  o. 


174  cnAPiTRK  vn. 

On  lire  de  là 

k  _        /,(.r--^0/>.   r.-L-O^)^ 

faisant  tondre  h  et  k  vers  zéro,  si  /a  (-ï"!)?  J'o)  n'est  pas  nul. 
on  a 

ce  qui  démontre  le  théorème  énoneé. 

Remauquk.  —  On  aurait  pu  arriver  plus  directement  au 
résultat  précédent  si  Ton  avait  su  à  l'avance  que  r  avait  une 
dérivée;  il  suffisait  pour  cela  d'observer  que  l'équation 

a  lieu  identiquement  quand  y  y  est  remplacé  par  sa  valeur 
en  X  déduite  de  cette  équation  même  qui  sert  à  le  définir;  en 
différentiant  alors  cette  équation  identique  et  en  considérant /" 
comme  fonction  composée  de  jc  et  )',  on  a 

dx    '    dy  dx  ' 

d'où  l'on  tire 

(^  __¥  .¥^. 

dx  ôx  '  c)j'' 

ce  qui  s'accorde  avec  le  résultat  obtenu  tout  à  l'heure. 

JNous  n  avons  pas  a  examiner  ce  qui   arrive   quand  j-  ou 


fiipCo^VQ)  est  nul,  parce  q«e  -■-  ne  saurait  être  nul  qu'acci 


dentellement;  si  en  effet  ^  était  toujours  nul,/  ne  contien- 
drait pas  j',  el/=  o  ne  saurait  définir  une  fonction  de  y;  le 
cas  où  -^  =  o  doit  être  considéré  comme  un  cas  limite,  et  l'on 
peut  dire  que  j'  a  alors  une  dérivée  infinie. 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES. 


IX.  —  Dérivées  et  différentielies  des  fonctions  implicites  définies 
par  plusieurs  équations. 

Thûorème.  —  Soient '^{.r,yi,  ...,r,i),y[x,yf,  ...,y„). 

•!/(jr,),,  ...,  Vf,)  Il  fonctions  continues  de  .r,  ri,j'2, j„ 

dctns  le  i^oisinage  des  valeurs  particulières  des  variables 
X  =  jr",  y,  ^y\,  •  ■  -  J)'«  ='',)?  ainsi  que  leurs  dériiées  re- 
latives à  ces  variables;  les  équations  supposées  satisfaites 
pour  x  =  x\yi  ^ y\, 

(i)  cp=o,     7— o,      ....     Ç>  =  o, 

dé  finissent  des  fonctions  y  i,  y.2,  '■■-Jn  implicites,  mais  con- 
tinues de  Jr,  possédant  des  dérivées  bien  déterminées 
pour\u  que  Von  n\iit pas 

f)(  o.y 'il) 


^0'Î,J1,.---,7,1) 


Pour  démontrer  ce  théorème,  déjà  établi  dans  le  cas  d'une 
seule  équation,  nous  admettrons  qu'il  a  lieu  pour  n —  i  fonc- 
tions définies  par  n  —  i  équations,  et  nous  retendrons  au 
cas  où  l'on  considère  n  fonctions  définies  par  n  équations. 
Si  alors  des  n  —  i  dernières  équations  (i)  on  tirejKajJKa, ....  y„ 
l^our  les  porter  dans '^  =  o,'i  deviendra  une  fonction  continue 
(le  .r  possédant  une  dérivée,  puisque  l'on  a  admis  que 
)'2,  )'3,  ....  )■„  tirés  de  /î —  i  équations  étaient  fonctions 
continues  de  x^  et  pour  la  même  raison  de  >',  ;  de  plus,  ces 
fonctions  possèdent  des  dérivées. 

En  considérant  l'équation  cp  =  o  à  ce  point  de  vue,  la  fonc- 
tion 'ç  sera  fonction  composée  de  x  et  de^v,  et  l'on  en  dé- 
duira la  dérivée  de  y,  par  le  procédé  indiqué  au  paragraphe 
précédent,  c'est-à-dire  que  l'on  diirérentieraç>=r  o,  et  l'on  aura 

\dx)    ■    \OyJ   dx    "''' 
les  parenthèses  indiquant  qu'il  s'agit  de  dérivées  totales  prises 


1-6  cil  A  PI  tri:  VII. 

en  raisaiU  varier  j^'o,  ru,  ....  La  dérivée  -v-'  ne  pourrait  ces- 
ser d'cxislcr  que  .*^i  Ion  avait  (  j-^  )  ::=  o;  or  on  a 

< 

Wi)       f^J'i        Cr2àyi    '    Oy^Oyi Oy^  Oyi' 

mais  les  é(iiiations  y  i:rz  o,. . .,  '1/  :=  o  différentiées  par  rapporl 
à  j'i  donnent 


~  àfi    '    àyi  dyi 

àyn  àyi  ' 

dà     ,     d'\>   dy.2 

<^yn  Oyi  ' 

M-      •           ^  '^''2      àv:i 

1,  en  éliminant  -^ —  '   !     ? 
'Cl    (>/i 

■(9o\   _     d(o,y ^) 

donc  (— ^  )  ne  saurait  èlre  nul,  sans  (luoi  le  déterminant  fonc- 

tionnel   sui\ant  serait  nul,   ce  qui  est  contraire  à  nos  liypo- 
thèses. 

Quoi  qu'il  en  soit,  ce  déterminant  pourra  être  accidentel- 
lement nul,  et  ~  sera  alors  infini,  ou  indéterminé. 
dx 

L'existence  de  la  dérivée  étant  établie,  on  la  trouvera  comme 
il  suit  :  on  difTérentiera  les  équations  (i),  en  considérant 
o,  y,  .  .  .,  6  comme  des  fonctions  composées  de  x  identique- 
ment nulles,  et  alors  on  aura 


(2) 


di'^''-^,^/^^-- 

'^dx-^dy,-.. 

.    do     . 
..-.^^^dy,.-o. 

àyn 

-^  dx  —  —  dyi  ~  .  . 
\  dx              dyx    -^^ 

DÉTERMINANTS   FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  1 77 

on  en  déduil  les  valeurs  de  -^  >  -.— »  •••;  ainsi  l'on  a,  par 
exemple, 

(h'\  _  _  'K^,  y. '^  '  .   t)('v,/ <i) 

U-  ~~d(a-,,7,,...,7„)  '  d{yi,y.,  ....y,,)' 

En  dilTérenliant  encore  les  équations  (2),  on  introduirait 
les  quantités  d'-y^,  d-j-.j,  .  .  .,  d'-}',i  et  l'on  aurait  n  nouvelles 
équations  pour  déterminer  ces  différentielles  en  fonction  de 
dj  i,  d).2,  ■  ■■•  d^y,,',  etc. 


X.  —  Caractère  des  solutions  multiples. 
Considérons  un  système  d'équations 

entrer?  inconnues,  contenant  un  paramètre  variable  /;  suppo- 
sons ces  équations  satisfaites  pour  j",  =  ii,  Xo  =  ;_,,  .. .,  t  =t. 
Quand  on  changera  t  en  t  -i-  ot,  ;,,  ^o;  •  •  •  deviendront 
;,  -r-  oXi ,  ^2  +  ^-^12 >  •  '•■,  et  Ton  aura 

OU,  en  vertu  de  la  formule  de  Taylor, 

(2)  -^  0x1  -f-  ^  o.r2  -^  . .  .  -^  -f-  of  —  E/  =  o, 

£  désignant  des  termes  du  second  ordre.  Si  l'on  divise  par  5/ 
et  si  l'on  fait  ot  =  o,  ces  équations  fourniront  les  dérivées 
x\,  .r.,,  . . .  de  Xj,  .272,  •  •  •  relatives  à  t  pour  t^-:,  cl,  en  po- 
sant 


on  aura 


A  = 

à(ou 

?3 

.?«) 

àCu 

5   ?2 

,  .  .  .  , 

^.)^ 

I 

r    d\ 

^?< 

rJA 

ao. 

À 

«4 

,    d- 

'ÔÎt' 

Cela  n'aura  plus  lieu  si  A  =  o.  Supposons  donc  que  A  =  <» 
L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  12 


1^8  ciiAPiTUE  vu. 

sans  aulrc  condition;  en  mullipliant  (2)  par  — — ,  en  faisant 

/^ 

/  =  1 ,  2,3,  ...  cl  ajoutant  les  résultats,  on  a 

(3)         ^^iiiV'^-  /      o'^\^' 

1°  En  général,  le  coefficient  de  ot  est  différent  de  zéro; 
alors  0^  est  du  même  ordre  que  les  carrés  et  les  produits  de 
ox^,  Ôj:'2,  .  .  .;  l'équation  (3)  peut  rcm})lacer  l'une  des  équa- 
tions (2);  de  n  —  I  de  ces  équations  on  pourra  tirer  oj:".>, 
8x3,  ...,  oxn  en  fonction  de  oXf,  et,  en  portant  ces  valeurs 
dans  (3),  cette  équation,  en  négligeant  les  termes  du  troisième 
ordre,  fera  connaître  deux  petites  valeurs  de  ojr,,  en  fonction 
de  ht,  ou  plutôt  deux  valeurs  des  rapports  -^  pour  ot  :=  o; 

y  OC 

donc,  quand  on  aura  A  =  o,  deux  solutions  des  équations  (i) 
seront  venues  en  général  se  confondre  en  une  seule,  ou  en 
urie  solution  double  des  équations  (i). 

2°  Le  coefficient  de  ot  dans  (3)  pourra  être  nul;  tout  se 
passera  comme  auparavant,  à  cela  près  que  les  ox  seront  de 
l'ordre  de  ht. 

Maintenant,  si  A  est  nul  ainsi  que  ses  mineurs  du  premier 
ordre,  on  pourra  des  n  —  2  premières  équations  (2)  tirer 
0x3,  ox^,,  .  .  .  ,  ox,i  en  fonction  de  ox,  et  0x0,  en  les  consi- 
dérant comme  équations  du  premier  degré,  et  porter  leurs 
valeurs  dans  les  équations  obtenues  en  ajoutant  (2)  après  les 
avoir  multipliées  par  les  déterminants  mineurs  du  second  ordre 
de  A  qui  éliminent  les  ox.  Les  rapports 

ox,      o.r.,  oxi       0T.2 

^'  '^  ""  VT^'  Vrt 

seront  alors  racines  d'équations  que  l'on  pourra,  pour  de  très 
petites  valeurs  de  ot,  réduire  au  second  degré.  En  continuant 
le  raisonnement,  on  voit  que  A  =  o  est  l'indice  que  plusieurs 
solutions  sont  venues  se  confondre  :  il  y  a  solution  multiple. 
C'est  ce  qui  explique  pourquoi  la  méthode  des  fonctions 
implicites  tombe  en  défaut. 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  IJQ 

XI.  —  Sur  les  déterminants  des  fonctions  implicites. 
Considérons  les  équations 

/l  =  0,      /2=:0,         ...,       fn=0, 

entre  les  variables  j>', ,  jo?  •  •  •  j  fn  et  J"i,  JC^,  • .  • ,  j^^;  au  lieu  de 
calculer  séparément  les  j-^  >  on  peut  se  proposer  de  calculer  le 

déterminant 

'Hyi^y-i,  •••■,yn) 

d{Xi,  Xi,   ...,Xn) 

Pour  y  parvenir,  on  difTérentie  l'équation  /",=:  o  par  rap- 
port à  X,  et  l'on  a 

dxj    '    àyi  dxj        dy^  dxj       '  "  '    ()y^  ^xj  ' 

d'où  Ion  tire 

-,  iLi  —  'Vl  -^1  -^  Mi  ^  ^    ^  è£l  ^ . 

ùxj         dyi  ôxj    '    àyo  dxj     '  '  "   '    ^y^^  ^xj 

Celte  équation  et  les  analogues  montrent,  par  l'application 
de  la  règle  de  la  multiplication  des  déterminants,  que  l'on  a 

d{xu  X.2,  ...,  x„)        O(yi,yo,  ...,7„)  d{xi,  x,,  ...,  x,,)' 
d'où  l'on  tire 

d(Xi,x.,   ...,.?■„)  cl(jr,,.r2,   ...,Xn)  '  «^(ji,  J2,  •  • -,  Jn)' 

formule  analogue  à  celle  qui  fournit  la  dérivée  de  la  fonction 
y  définie  par  l'équation  unique 

/(J7,7)=0. 

XII.  —  Formule  de  Lagrange. 

Nous  allons  appliquer  les  considérations  précédentes  à  la 
démonstration  d'une  formule  célèbre  donnée  par  Lagrange. 


1 8o  c  II A  r  1 T  II  i:   vu. 

Celle  formule  a  pour  bul  de  fournir  les  cléments  du  calcul 
d'une  racine  de  l'équalion 

(D  z=x  +  t/{z), 

dans  laquelle  z  esl  l'inconnue.  Pour  trouver  la  racine  z-,  on 
peut  la  développer  par  la  formule  de  Taylor,  en  la  considé- 
rant comme  une  fonction  implicite  de  /.  On  a 

(^)  §  =  '/■(=)  s +/(=»^ 

celle  équalion  donne 

(3)  ''  -f^'^ 


dt         ^-tj\z) 

(Pz 
En  différentiant  encore  l'équation  (2),  on  inlroduirail  -t—^ 

que  Ton  pourrait  calculer;  mais  en  continuant  ainsi  il  paraît 
difficile  d'obtenir  la  loi  de  formation  des  dérivées  de  ^  ;  on 
obtient  une  formule  plus  élégante  en  introduisant  dans  la 
question,  comme  l'a  fait  Lagrange,  les  dérivées  de  z  relatives 
à  X.  En  difterenliant  (i)  par  rapport  hx,  on  a 

dz  dz 

ou 

dz  I 


dx         i-tf{z)' 
la  comparaison  de  cette  formule  avec  (3)  donne 
dz        dz     .     ^ 

(4)  dï-T.^^'-^^ 

de  sorte  que,  pour  différcntier  z  relativement  à  /,  on  peut  se 
borner  à  différcntier  par  rapport  à  ^  et  à  multiplier  le  résultat 
par /(;:).  Cette  formule  peut  se  généraliser  et  il  est  facile  de 
voir  que 

dil"^^"' dx\       dx\^'''diy 

ce  qui  se  vérifie  en  effectuant  les  différentiations  indiquées. 

On  a  en  effet 

,,   .dz  dz         ,    s  ^^- 


dt    dx        '         dx  dt 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS   ET    FONCTIONS   IMPLICITES.  l8l 

pour  la  valeur  de  chacun  des  deux  membres  de  la  l'ormule 
précédente.  En  appliquant  cette  remarque  à  l'équation  (4), 
on  a 

dl"-   ""  dl  Y^    KLr\        dx  Y^    '  dt  J 

dxY    ^    '  dx\ 
En  différentiant  de  nouveau,  on  a 

1^  -"diliy  ^•'\ix\  -  dx^ Y  ^"Kii \ 


d^ 

dfi 


et  enfin 

d't  z  d"-  '   r  .    ,    ,  <:/- 

(5) 


[/"(-)'£.] 


dt"   ~  dx'i-^ 
Pour  /  =  o,  cette  formule  devient 

La  formule  de  ïajlor  donne  alors 

bien  entendu,  celte  formule  doit  être  complétée  par  le  reste 

i.2...nd^^^   [^"^""'dt]' 

où  l'on  doit  remplacer  t  par  Of.  Quoi  qu'il  en  soit,  il  ne  sera 
pas  nécessaire  en  général  de  calculer  ce  reste,  et,  si  t  est  petit, 
on  pourra  faire  usage  des  termes  de  la  formule  (6),  sauf  à 
vérifier  que  l'équation  (i)  est  satisfaite. 

Si  l'on  appliquait  la  méthode  d'approximation  de  Newton 
à  l'équation  (i),  en  prenant  x  pour  première  valeur  approchée 

j  •  j  •  tf(-r) 

fie  ;::,oa  aurait  pour  terme  de  correction  — -—-r, >ou,  ensup- 

^  i  —  tj  {X)        '  t- 

posant  t  très  petit, 

t/(x)[i  -^  tf'ix)  -i-  r^/Hx)  -^ . . .], 


l82  CnAPITRE     VII. 

OU  enfin 

Employer  la  formule  de  Newton,  c'est  donc  employer  les 
deux  premiers  termes  de  la  formule  (G). 

La  formule  (6)  n'est  qu'un  cas  particulier  de  la  formule  de 
Lagrange,  qui  donne  le  développement  d'une  fonction  quel- 
conque n(:;)  de  la  racine. 

On  trouve  cette  formule  en  calculant  -j-  n(^);  on  a,  en 
ayant  égard  à  (4), 


dV^  dt 


et,  en  général. 

Pour  /  =:  o,  on  a 

j— -^  =  -, n  (x)f"(x)    ; 

la  formule  de  Maclaurin  donne  alors 

n(^)  =  n(^)  +  t[U'{x)fix)] ^  —  -j^  [n'(x)pix)]  +  .... 

Nous  retrouverons  ces  formules  plus  loin  en  leur  donnant 
une  précision  plus  grande.  Nous  n'en  ferons  pas  d'applica- 
tions en  ce  moment,  notre  but  ayant  été  de  donner  surtout 
un  bel  exemple  de  différentiatlon  des  fonctions  implicites. 


DÉTERMINANTS    FONCTIONNELS    ET    FONCTIONS    IMPLICITES.  1 83 


EXERCICES  ET  NOTES. 


1.  Si  l'on  pose 


Xi  =  COS'ii, 

T-2  =  sin'ii  cos'Jo, 

T3  =  siii'ii  sinoo  cos'j3, 

Xu  =  siii'ii  sin'^2  •  .  •  sin'^„_i  cos'i,,, 


d( Xi.x-î,  . .  .,x„) 
2.  Si  l'on  a 


=  sin'îç,,  sin"-i'f2  •  ■    s'm--^n-i  sin-f,,. 

(Jacobi.  ) 


«1  -t-  Ai  «2  -I-  Al 

X,  x^ 


an  —  A, 


ri,  —  A,  (I  ,  --  A 


««  -r-  A 2 


-^-   =   '7 


«1  —  A„  rto—  '•« 


a.,  -^  A„ 


d(a?i,a'2,  . . .  ,x„)  _  A  A 
àÇ/.i,  Àj À;,  )  ~     }-'    ' 

A  désignant  le  produit  des  diiïérences  que  l'on  peut  former  avec  les 
quantités  a.  A  le  produit  des  différences  que  Ton  peut  former  avec 
les  quantités  À,  et  P  le  produit  des  quantités  a,  -r-  ).y. 

3.  Si  l'on  pose 

a*  =  rtî  cos'I/ sinO,    j>' =  6î  siu'!/ sinO,     ^  =  cecosO, 

on  a 

dix,  V.  z } 


4.  Si  l'on  a 


Xi  X-2 

cixi         dx-i 


=  abct  sinO. 


X  n 
dXa 


d'^-'^Xn 


=  0, 


l84  CHAPITRE    VII. 

on  a  nécessairement,  entre  Xy,  .r.,.  .  .  .,.r„,  une  relation  do  In   forme 

OiTi  -h  cii-r-y-i-  . .  .-T-  aa^ii  =  o, 
<7i.  a.2,  . .  . ,  a,i  désignant  des  constantes. 

S.  Trouver  les  dérivées  des  fonctions  jkj,  j)'2,  ...  données  par  les 
formules 


y".  -^  r'I 


G.  Trouver  les  dérivées  de  j  cl  z  données  par  les  formules 

y-  -4-  zy  =  .r, 
x—j--^  ^  =  1. 


CHAPITRE  YIII. 

DES    FONCTIONS    DR    VARIABLES    IMAGINAIRES. 

LEURS   DÉUIVÉES    ET    LEURS    DIFFÉRENTIELLES. 

■^  I.  —  Définition  précise  d'une  fonction  de  variable  imaginaire. 

Soient  z=zx-{-y^  —  i  une  variable  imaginaire,  X  et  Y 
deux  fonctions  de  ûc  et  j'j  X+  Y  \J —  i  sera  une  fonction  de 
jr+  )'y/ —  I  ;  loulefois,  on  ne  considère  en  Analyse  que  les 
fondions  ayant  une  dérivée  bien  déterminée.  Cauchy  ap- 
pelait ces  fonctions  monogènes.  Pour  que  la  fonction 
X-f-Yy/ — I  admette  une  dérivée  bien  déterminée,  il  faut 
que  les  fonctions  X  et  Y  satisfassent  à  certaines  conditions 
que  nous  allons  chercher. 

La  dérivée  de  X+Y^ — i  est  la  limite  du  rapport  de 
l'accroissement  de  X  +  Y  ^/ —  i  à  raccroissement  correspon- 
dant dx  -\-.cIy  \l —  I  de  sa  variable,  quand  dx  et  dy  tendent 
vers  zéro.  La  dérivée  cherchée  peut  donc  se  mettre  sous  la 
forme 

,.     AX  +  AYv/^  ,  , 

lim pour     dx  =  o,     rtj'  =  o. 

dx  -i-  dy  \J —  I 

Si  l'on  néglige  des  termes  du  second  ordre,  on  trouve  pour 
celte  limite 


dx  -r-  dy  \J —  I 


d>X 
dx 


dx  -i. dy  -i-  i/—  I  (  -T-  dx  -\-  —-  dy  ] 


dx  -1-  dy  /— I 
Cette  dérivée  dépend  du  rapport  -j-  et  par  suite  elle  est  indé- 


i86  CHAPITRE  vin. 

terminée  en  général.  Pour  qu'elle  ne  soil  pas  inJélcrminéc, 
ou  pour  qu'elle  ne  dépende  plus  du  rapport  —■>  il  faut  et  il 
suffit  que 

OU  que  l'on  ait  à  la  fois  en  égalant  les  parlies  réelles  et  les 
coefficients  de  \l —  i 

r)\  _  ^  <)\  _      <)\ 

dx         ùy  dy  dx 

Telles  sont  les  relations  nécessaires  el  suffisantes  pour  que 
X  +  Yy  —  I  ait  une  dérivée;  dans  ce  cas,  d'ailleurs,  la 
dérivée  est  égale  à  l'une  quelconque  des  deux  expressions 

dx      I — àx        fdX      , —  d\\    I — 

dx        ^  dx  \  ôy  ùy  j 

plus  généralement  la  dérivée  est  égale  à 

f)X    ,         ÙX    .  , (èX    .         dX    , 

ôx  '^y  \àx  dy     "^ 


dx  +  dy  y/ —  I 

quel  que  soit  le  rapport-^-  On  peut  donc  supposer  j' et  x 
fonctions  de  t  et  dire  que  la  dérivée  est  égale  à 

d\    ,        â\    ,        I [dX    ,        dX 

dx  dy  -^         ^  \  dx  dy  -' 


x'  -h  y'  \J—  I 

x'  ç,\,  y  désignant  les  dérivées  de  x  et_/  relatives  à  /,  ce  que 
l'on  peut  écrire 

dt  ^  dt  ^~' 


x'  -\-y'  sr^\ 

^\\.  —  Calcul  de  quelques  dérivées. 

Les  règles  données  pour  prendre  les  dérivées  d'une  somme 
d'un  produit,  d'un  quotient  d'une  puissance,  d'une  fonction 


DES    FONCTIONS    DE    VARIABLES    IMAGINAIRES.  1 87 

de  ronclion,  quand  la  variable  est  réelle,  s'appliquent  au  cas 
où  la  variable  est  imaginaire;  les  dénionslralions  que  nous 
avons  données  ne  supposent  nullement  la  variable  réelle  :  elles 
suj)|)0scnt  seulement  que  les  dérivées  des  fonctions  sur  les- 
quelles on  raisonne  existent,  à  l'exception  de  la  dérivée 
cherchée. 

Nous  aurons  à  revenir  sur  la  dérivée  des  fonctions  com- 
posées et  sur  celle  des  fonctions  e^,  ûnx,  cos  j;  et  logx. 

On  a 

gx-t-;)v'^  _  ea:(co5^  -4-  ^ —  I  sin^), 

rf.^-^+.vv^ï  ^  [eJ-(cos7— v/^sinj)<^.r  — ("(— sinj^-/—  i  cosy)d}'\ 

=  e^^^y-^  {dx-r-  dy  y/^)  < 

I  1  .    dv 

on  a  donc,  quel  que  soit  -j-? 


dx  -r-  dy  \J —  1 

Donc  la  dérivée  de  e-^est  e^  lors  même  que  x  est  imaginaire. 
On  a 

/  I \      xdx-^ydv       xdy  —  vdx    , 

_  (  dx  -^  dy  y/^) (.r  —y  y/—  i  )  _  dx  -^  dy  y/—  i  . 
x'—y-  x^ysj — 1 

donc  ^    *"*"  "^"^-^  LZ'^est  indépendant  de  ^  et  a  pour  valeur 
dx  -^  dy  \J—  I  "-^ 


X  —  J'y/— I 
Pour  trouver  la  dérivée  de  cos  a:,  on  observe  que 

cos^  = ; 

2 

par  suite, 

dcosx       e-^""-^ — (.-.n-i     

=  y' —  I    =  —  Sin  J". 

dx  2 


l88  CHAPITIIE    VIII. 

On  trouverait  dune  façon  analogue  la  dérivée  de  sinx,  de 
lang.r,  ...  qui  sont  monogènes.  On  en  déduira  lacilcment 
celles  des  fonctions  inverses,  arcsin^,  arccosx,  .... 

Quoique  la  fonction  «■'"  soit  peu  usitée,  si  l'on  veut  en 
prendre  la  dérivée,  on  l'écrira  sous  la  forme  C'^ ^"8 '^  et  sa  dé- 
rivée sera  logae-^'''^''  ou  a^'loga. 

La  dérivée  de  .r'"  se  déduit  immédiatement  de  celle  de 
logj:,  comme  dans  le  cas  où  la  variable  x  est  réelle. 

Avant  de  chercher  la  dérivée  d'une  fonction  composée, 
nous  reprendrons  la  formule  de  Tajlor  et  nous  essayerons 
de  la  démonli-er  pour  le  cas  où  la  variable  est  imaginaire. 


JlII.  —  Formule  de  Taylor. 

La  formule  de  Taylor  s'applique  aux  fonctions  de  va- 
riables imaginaires,  lorsqu'on  les  suppose  monqgènes.  Soit 
X  +  Y \J — ■  I  une  fonction  monogène;  sa  dérivée 

d{x^y\/—\) 
étant  indépendante  du  rapport  -j-,  peut  cire  remplacée  par 

^(X  -+-  Y  v/~)  ,  dx  +  dy  v/~ 


dt  '  dt 

t  désignant  un  paramètre  quelconque,   dont   x  et  jk  seront 
des  fonctions   arbitraires;  si  l'on  prend  /  =  j?,  on  a   pour 

dérivée 

r)X        àX    I • 

—  -4-  —  V/—  '  • 
Ox        ux 

Il  est  facile  de  voir  que  cette  dérivée  est  encore  monogène: 
en  effet,  on  a  identiquement 


Ox  \  Ox  I        dy  \  Ox  J 
Oy  \  Ox  J  Ox\Ox/' 


DES    FONCTIONS    D  K     VAniAULES    IM  AG  IN  AI  U  E  S.  1  89 

ce    (lonl    on    s  assure    on   rcniplaranl — par  son  cfral -—  cl 
—  i)ar ;  il  résulle  de  ià   que   les  dérivées   successives 

<))■    1  (Kl-  » 

d'une  fond  ion    nionogène   sonl  toutes  uniques  et  bien   dé- 
terminées. 

Cela  posé,  observons  encore  que,  si  l'on  veut  prendre  la 
dérivée  de/(:?)  =  f(x  -hj'\/ —  i)  =  ^  +  ^  y/ —  '  par  rapport 
à  un  paramètre  t  dont  x  el  y  soient  fonctions,  on  aura 

(/t  ~  ITi  ^ 


d{x-^y^-i) 


cU 


dl  -J^"^  dt 

Cela  posé,  proposons-nous  de  développer  la  fonction  f{z) 
suivant  les  puissances  ascendantes  de  z.  Posons  z  =  rc^^~^ 
et 

/(^)  =  o(/-)  +  '^(/-)v/=T. 

Les  fonctions  o  et  'b  pouvant  d'ailleurs  contenir  0,  que  nous 
ne  mettons  pas  en  évidence  pour  ne  pas  compliquer  l'écriture, 
nous  aurons 


(>) 


|/(^)=ç(o)+r9'(o). 


\  .  j,.  i .  .  .n 


-."(Ir) 


•Ko)- 


'^'^^^-^•••^r^^TT/^"^:^-'-^ 


A  et  [JL  désignant  des  nombres  compris  entre  o  el  i.  Cette 
Ibrmule  suppose  seulement  l'existence  des  n  premières  déri- 
vées dey"(c)  pour  :;  =z  o  et  dans  le  voisinage  de  celte  valeur. 
Or,  on  a 

//(.-)=  cp  (^)^- v/=:T 'H'-)  =/ ('■^'^^'^) 


tp"(/-)-^V^—^ '}"('■)  —  f"(re'>'-^)e"^''-i 


IQO  nnAPITRE    VIII. 

portant  ces  valeurs  dans  (i),  on  a 
ce  qui  peut  s'écrire 


(3) 


•^  •  ^V/  1.2.3.  ..(/i  —  1)-^  ^     ' 

e-nW-i[on(^lr)^^P^'l"{lxr)]. 


i  .  >. .  3  .  .  .  n 


Cela  posé,  soit  R»  la  plus  grande  valeur  que  puisse  prendre 
le  module  de/"(;)  ou  de /"(^^^cV"  (ce  qui  est  la  même 
chose)  quand  le  module  de  :;  varie  de  o  à  r,  soit 

on  aura,  en  vertu  de  (2), 

donc 

cp«(r)  =  p  cos(a  -i-  nO), 

6''(/-)=  p  sin(a-4-  «0); 
donc 

et  par  suite  aussi 

'f«(Xr)5R„,     6''(|x/-)SR„, 
donc  enfin 

v/[s«(Xr)]2  +  [<>«(|xr)]2     ou     mod['^''(Xr)-^v/~6"([jL/-)]  <R„ /i, 

et  la  formule  (3)  peut  s'écrire 


-4-—— R„v/l£, 

I  I .2.0. . .« 

Rrt  désignant  le  module  maximum  de /''(:;)  quand  le  module 
de  la  variable  reste  inférieur  pu  égal  à  celui  de  ^  et  £  désignant 
une  imaginaire  dont  le  module  est  au  plus  égal  à  i. 


DES    FONCTIONS    DE    VARIABLES    IMAGINAIRES.  191 

Posons/(r)=  F(x  -+-  z)  cl  la  lormulc  (4^  donnera 

F{x  —  z)=  F{x)^  zF'{x)  —  ... 


-n-l 


-  F''-Hx)  H -, R„  /iE, 

i.2.3...(«  — I)  ^    ^         i.i.i...n      "^      ' 

R„  (Ic'signanl  le  module  maximum  de  F(^  +  ^)  quand  la 
variable  z  conserve  un  module  inférieur  à  celui  qu'elle  prend 
dans  la  formule  précédente,  ou,  si  l'on  veut, 

R„  désignant  le  module  maximum  de  F"  quand  la  va- 
riable z  reste  dans  un  cercle  décrit  du  point  x  comme 
centre  avec  le  module  de  z  pour  rayon. 

En  particulier,  on  a 

(•5)  Ffr-f- ^■)=  F(a-)-f-^Ri£\/2. 

Si  donc  F'(c)  est  nul  dans  un  cercle  décrit  du  point  x 
comme  centre  avec  un  rayon  quelconque,  R)  sera  nul  et 
F(^  +  z)  sera  égal  à  ¥{x),  ce  que  l'on  savait.  Mais,  récipro- 
quement, 

Si  la  dérivée  ^'(z)  d'une  fonction  est  nulle  à  V  intérieur 
d'un  cercle  décrit  du  point  x  comme  centre  avec  un  rayon 
/•,  la  fonction  ¥( z)  sera  constante  dans  ce  cercle. 

En  effet,  R,  sera  nul  et  la  formule  (5)  donnera 

il  résulte  de  là  que  deux  fonctions  monogènes  qui  ci  l'inté- 
rieur d'un  contour  donné  ont  la  même  dérivée  ne  peuvent 
différer  que  par  une  constante,  puisque  leur  différence  a 
sa  dérivée  toujours  nulle. 

La  formule  de  Taylor  une  fois  établie  et  réduite  à 
ses  deux  premiers  termes  permettra  de  retrouver  la  valeur 
de  la  dérivée  d'une  fonction  composée  dans  le  cas  où  la 
variable  est  imaginaire.  Il  n'v  a  rien  à  changer  à  la  démons- 
tration que  l'on  a  faite  en  supposant  la  variable  réelle,  et  il 


192  CnAPITKE    VIII. 

faul  loiijours  supposer  que  les  tlcnvécs  des  fondions  com- 
posantes sont  bien  délerniinées. 

Il  reste  à  examiner  les  dérivées  des  fonctions  implicites. 
Soit  z^=x-\-r\/ — I  et  ?/  =  X  +  Y^/ — 1  une  fonction  de 
z  définie  par  l'équation 

f{l(,    z)=  o. 

Cette  équation  équivaut  à  deux,  équations  telles  que 


(0 

où  Ton  a 

de  (1)  1  on  tire 


f 


I  ; 


mais, 
on  a 

donc 


ôx  '~~  d{x,  \)  '  d(X,Y)' 

dj^  -~â(x;y)'-  â(x,Yy 

si  la  fonction  y  est  monogène  par  rapport  à  it  et  à  c. 


dx 


f)cp 
ôX 


dx 


ày' 


ÔX  ôx        ' 


d{x,  Y)        àx  ()\        d\  ôx        dy  0.\ 
-  d{y,X)-  à{X,y)' 


d\   ày 


donc  enfin 


On  verrait  de  même  que 


dX 

dY 

dx  ~ 

~  'b' 

dX 
dy  - 

àY 

dx 

La  lonclion  X  +  \J —  i  \  est  donc  monogcne.  L'existence  de 
sa  dérivée  étant  établie,  on  la  trouvera  comme  dans  le  cas  où 
la  variable  est  réelle,  lorsque  l'on  sait  que  la  dérivée  existe. 


DKS    FONCTIONS    DE     VAUI.VBI,i;S     IMAGINAIIIES.  I  cj3 

>J  IV.  —  Différentielles  des  fonctions  de  variables  imaginaires. 

La  diflerenlielle  d'une  variable  imaginaire  sera  le  produit 
de  la  dérivée  de  celle  fonclion  par  raccroissemcnl  ou  diffé- 
renlicUe  de  sa  variable.  La  définition  de  la  dérivée  d'une 
fonclion  imaginaire  ayant  été  bien  précisée,  il  ne  peut  v 
av.iir  aucune  difficulté  pour  concevoir  la  notion  des  dérivées 
et  des  différentielles  des  différents  ordres  non  plus  que  la 
notion  de  différentielle  totale. 


!-•  —    Traite  d'Analyse,  I. 


CHAPITRE  IX. 

CHANGEMENT  DE  VARIABLES. 


I.  —  Changement  de  variable  dans  les  fonctions  d'une  seule  variable 
indépendante. 

Le  problème  appelé  cliangemeul  de  variable  a  pour  but, 
étant  donnée  une  expression  contenant  des  fondions,  leurs 
variables  et  leurs  dérivées,  de  calculer  la  même  expression  à 
l'aide  de  nouvelles  fonctions,  de  nouvelles  variables  et  des 
dérivées  de  ces  nouvelles  fonctions,  les  nouvelles  fonctions 
et  les  nouvelles  variables  étant  liées  aux  anciennes  par  le 
mo^en  dun  nombre  suffisant  d'équations  données. 

On  a  souvent  besoin  de  résoudre  ce  problème  en  Géométrie 
quand,  ayant  l'expression  dune  ligne  en  coordonnées  rectan- 
gulaires, par  exemple,  on  veut  en  obtenir  l'expression  dans 
un  autre  système  de  coordonnées  rectilignes  ou  polaires.  Mais 
le  Calcul  intégral  surtout  nous  fournira  de  nombreux  exem- 
ples de  cbangement  de  variable. 

Nous  considérerons  d'abord  le  cas  où  il  n'existe  qu'une  seule 
variable  indépendante.  Dans  ce  cas,  nous  allons  voir  que  Ion 
peut  calculer  les  dérivées  des  anciennes  fonctions  à  l'aide 
des  nouvelles,  sans  qu'il  soit  nécessaire  de  connaître  les  rela- 
tions qui  lient  les  fonctions  à  leurs  variables,  de  sorte  qu'il 
suffira  d'avoir  l'expression  des  anciennes  fonctions  et  des 
anciennes  variables  en  fonction  des  nouvelles. 

Pour  résoudre  la  question  qui  nous  occupe,  désignons 
j)ar  X  Tancienne  variable  et  par  r  l'ancienne  fonction  (ou 
l'une  des  anciennes  fonctions),  laissons  la  nouvelle  variable 
indéterminée,  afin  de  nous  réserver  la  faculté  de  la  clioisir  à 
la  fin  du  calcul,  et  désignons-la  par  /;  représentons  par  un  ù 


CHANGEMENT    DE     VARIAHLES.  IQ.) 

une  (lilTcrcnliellc  prise  en  regardant  /  comme  varialjle  indé- 
pendante, en  réservant  le  d  pour  le  cas  où  x  est  la  variable 
indépendante. 

Je  dis  que  l'on  aura 

'Il  =  '!L. 

dx       dx 

Cette  proposition  a  déjà  été  établie,  mais,  en  raison  de  son 
importance,  nous  la  démontrerons  de  nouveau. 
On  a 

dy  -    '  _    '  ,'  _    ' .    ' 

v'  clt 
Or^'^  ;  r^est  égal  à*-î— i-;  le  numérateur  et  le  dénominateur 

de  cette  fraction  sont  respectivement  égaux  à  dy  et  dx\  on 

a  donc  bien 

f^  =  ^. 
dx       dx 


(2) 

Mais  on  n'a  pas 


c?-  )•  _  fT-y 
dx'^        dx-  ' 


d-y       .     ,  ■ 

en  effet,  pour  calculer  -i-r;?  différentions  par  rapport  à  x  les 

deux  membres  de  (2);  la  dérivée  du  premier  membre  est 
égale  à-pj»  celle  du  second  s'obtiendra  en  prenant  sa  dé- 
rivée relative  à  /  et  en  la  multipliant  par  -j-,  et  cela  en  vertu 
du  théorème  des  fonctions  de  fonctions;  ainsi 


li  y  \  Ox  J 


(Py_  _      \0x]    dt_^ 
^    '  dx^  ~        01        dx  ' 

mais  on  a  (p.  69),  d'après  la  règle  de  la  différentiation  d'un 

quotient, 

/ 1)  )  •  ,        ()-y  dx  —  d-xôy 
\ôxj  ~  ôx^^  ' 

de  plus,  en  vertu  de  (2),  -j-  =  ,— ;  donc  (3)  devient 

d-y        d'-y  dx  —  d-  x  dy  dt 
dx"^  Ot  Ox-  dx 


196  chapitiik  IX. 

ou,  ri''duclions  faites, 

d-y^         (V-y  ().r  —  d-  T  r)j- 


(4) 


dx^  dx^ 


Pour  obtenir  ^-^>  on  difTérenticra  le  premier  membre  de 

dx^  ' 

cette  nouvelle  équation  par  rapport  à  j:;;  il  faudra  alors  diffé- 
rentier  aussi  le  second  par  rapport  à  x,  ou,  ce  qui  revient  au 

même,  par  rapporta  /,  en  multipliant  le  résultat  par  -j-  —  'j~> 

on  aura  ainsi 

^/  d-y  àx  —  d^xôy 


d^r  \  àx3  /    dt 

Ix^  ~  di  'ôx'' 

ou,  réduclions  faites, 

d^y        iPy  dx*  —  ù^y  rT-  x  dr^  —  3  ùx^  t)^  .r  f)^  ;>■  +  3  dr^  d"-  x"-  <)y  <)t_ 
'dx^  ^  dx^ôt  Ox' 

c'est-à-dire 

f/3  y        o^y  dx'^  —  d^y  d^  x  ôx  —  3  dx  (P  x  (T-y  -^  3  d"-  .r^  dy 
^^^       'dx^^^  '  dx^ 

d'*y  ... 

L'expression  de  -1-^  s'obtiendrait  en  diffcrcntiant  encore  par 

rapport  à  x,  et  ainsi  de  suite. 

Les  formules  (2),  (4),  (5)  résolvent  le  problème  que  nous 

dy     d^y  ^       1      1  '  r        i  •         1 

avions  en  vue,  car  -~-,  ——•,   •  •  •  sont  calcules  en  (onction  de 

dx,  Oy,  ô-x,  ô-y,  ...,  lesquels  s'exprimeront  en  fonction 
des  nouvelles  variables  quand  on  connaîtra  x  et  j'en  fonction 
de  ces  variables. 

Pour  bien  faire  comprendre  l'esprit  de  la  méthode,  nous 
l'appliquerons  à  un  exemple  :  supposons  que  l'on  ait 

(6)  x=u-^i-,    y=u  —  v, 

1.       1 ,  •        Il     ffv      d'^y       c      .•       1    '^"    .    I 
et  f[ue  1  on  désire  calculer-^  et  -r^  en  lonclion  de  —  et  de 

-— -:  on  déduira  de  (6) 

ôx  =  Ou  -t-  dv,     Oy  =  Ou  —  Ov, 
O'-x  =  0-u  -{-  0^  V,     O'^y  =  0-  u  —  0'^  v. 


CIIANGKMEXT     1)1-     VARIABLES.  1 97 

Los  formules  (2)  et  (4)  donneront 

dv        au  —  dv 


il) 


dx       du  -+-  dv 
d\y       {fPu  —  <r-v){du^dv)  —  {d'^u^()'^v){du  —  dv) 


d.r-  i^Ou-hOv)* 

on 

d\v  _  à^'  u  f)v  —  (T-  V  du 
^^'  17^  "       (^ôu  +  ôvf 

Jusqu'ici  la  variable  indépcndanle  /  est  restée  indétcrminre  ; 
si  l'on  veut  que  c  soit  variable  indépendante,  on  fera, 
dans(-)  et  (8),  d-p  ^  o,  et  l'on  aura  (il  ne  faut  pas  oublier  que 
la  variable  indépendante  est  celle  pour  laquelle  la  différen- 
tielle est  constante,  et  la  différentielle  seconde  nidle) 

dy        du  —  dv        f  du  \     /  du 


dx        du -h  dv       \dv  /  '  \dv 

d^y  d^udv  d'^u    (du 


dx-        (  du  -\-  dv  }•*        dv-  '  \dv 

Un    calculateur   non    prévenu    pourrait    déduire   des    for- 
mules (6) 

dx  =  du  -r-  dv, 
d-y  =  d-  u  —  d-v, 
et,  par  suite, 

dx^  ~  {du  -f-  dvf 

Cette  formule  est  parfaitement  exacte  et  la  suivante  aussi, 

d'^y  _  (d-u        \      /  du        \-       d-v 
dx-  ~  \d-v        /      \dv        /  dv- 

mais  elles  ne  nous  apprennent  rien,  et  l'on  ne  peut  pas  y 
faire  c^-V  =  o,  puisque  x  est  toujours  variable  indépendante, 
il  v  a  parfois  avantage  à  conserver,  dans  les  calculs,  des 
formides  où  la  variable  indépendante  reste  arbitraire  et  n'est 
pas  spécifiée;  ces  calculs  gagnent  en  élégance  et  en  symétrie, 
mais  il  y  a  alors  une  remarque  curieuse  à  faire,  c'est  que  les 
formules  ne  peuvent  pas  affecter  certaines  formes;  ainsi,  par 
exemple,  l'expression 

d-y  dx  -\-  d-  X  dy 
dx"^ 


198  CHAPITRE     I\. 

ne  peut  pas  exister  isolément  et  représenter,  quelle  que  soit 
la  variable  indépendante,  une  seule  et  même  quantité.  En 
effet,  si  l'on  suppose  x  variable  indépendante,  celte  expres- 
sion devient  — '.  '  =  -7^,:  si  l'on  change  alors  de  variable  et 
dx^  dx-  ° 

si  l'on  reprend  l'ancienne  variable  indépendante   arbitraire, 

d-r  dx  —  d-.r  dv  .  ^  ^.       -j       .• 

on  trouve  — = -7— ^ —  >  qui  ne  peut  pas  être  identique  avec 

l'expression  proposée;  celle-ci  ne  saurait  donc  exister  pour 
une  variable  indépendante  quelconque. 

De  là  un  moyen  de  vérifier  les  calculs,  analogue  à  celui 
que  fournit  la  loi  de  l'homogénéité  en  Géométrie;  on  voit  en 
effet  que,  si  aucune  variable  de  la  question  que  l'on  traite 
n'a  été  prise  pour  variable  indépendante,  les  formules  affec- 
teront une  forme  spéciale,  telle  que,  quand  on  y  fera  d'-x^ 
d^x,  ...  ^  o,  par  exemple,  on  devra  retomber  sur  ces  for- 
mules en  faisant  le  changement  de  variable  le  plus  général. 
Cherchons  encore  ce  que  devient  l'expression 

(9)  R  =  ^^. 

J 

dv 
que  l'on  rencontre  fréquemment  en  Géométrie,  et  où  j'  =  —■> 

Il  '^'^  ]  c    ■. 

y  =^  "T^'  l^^'^'^  on  V  lait 

(10)  j'  =  /-cosO,     v  =  /'sin6, 

et  que  l'on  prend  9  pour  variable  indépendante;  il  faut  alors 
supposer  d'-^  =  o. 

Pour  faire  le  changement  de  variable,  on  doit  d'abord 
exprimer^' et  j^' au  moyen  des  différentielles  dx,dy^d-x^ 
d-y  prises  par  rapport  à  une  variable  indépendante  quel- 
conque, qui  sera  plus  tard  B;  les  formules  (2)  et  (4)  donnent 

dy  „       d-  ^  '  dx  —  d-xdv 


y  = 


dx       "  dx^ 


et  nous  écrivons  le  d  en  italique  parce  qu'il  n'v  a  plus  de 
confusion  possible  :  R  devient  alors 

d^j  dx  —  d-  X  dy 


CHANGEMENT     DE    VARIABLES.  r  99 

Les  rormiiles  (lo)  donnent,  en  supposant  (/-O  =  o, 

dx  =  dr    cos  0  —  r  sin  0  ^/O, 

dy  =  dr    sin  0  -^  /■  cosO  c/0, 
d^x  =  rfV  cosÔ  —  2  drdO  sinO  —  /•  cosO  f/O^, 
f/2^-  =  f/2r  sinO  -t-  2  <^/-c^0  cosO  —  r  sinO  t/O^; 

et,  en  portant  ces  valeurs  dans  (i  i),  on  trouve 

(^/,.2_,.2f/02)J 


rdhdH  —  id/'d^i  —  r^d'P 


Nous  ferons  ee  calcul  d'une  manière  plus  simple  dans  la 
théorie  géométrique  de  la  courbure. 

II.  -    Du  changement  des  variables  indépendantes  dans  une  fonction 
de  plusieurs  variables. 

Le  problème  à  résoudre  est  celui-ci  : 

Etant  données  la  fonction  de  X\^  x^,  •  •  .,  x,/^ 

Il   =/(Xi,    J-o,    ....    X,i) 

et  une  suite  de  relations,  telles  que 

(i)  'i(\ri,j"2, r„;     Vi-,}'!, .)'«)  =  "- 

permettant  de  calculer  les  x  en  fonction  des  r,  ou  les  yen 
fonction  des  x,  relations  au  nombre  de  n,  on  pourra  con- 
sidérer u  comme  une  fonction  des  y  et  poser 

Il  =  F(j-,,     Vî,  ....  ^v„); 

on  propose  de  calculer  les  dérivées  de  u  relatives  aux  va- 
riables X,,  X-2T  •  ■  • ,  x,i  en  fonction  des  dérivées  de  u  rela- 
tives aux  variables  r, ,  r,,  ....  )■„. 

Nous  dénoterons  les  premières  dérivées  (relatives  àx, . . .  ,x„) 
avec  la  caractéristique  0',  nous  dénoterons  les  autres  (rela- 
tives à  >',  ,v.,,  .  . . ,  )',/)  avec  la  caractéristique  d;  celte  manière 
de  distinguer  les  deux  espèces  de  dérivées  est  tout  à  fait  néces- 


200  CIlAriTHK     I\. 

sairc  quand,  parmi  les  variables j-,  il  y  en  a  qui  figurent  dans 

.  ,  .        „  du         du 

là  suite  .r,,  .ro,  .  .  .,  .r,,,  et  nous  verrons  bientôt  que  -^  ^^  ~u. 

sont  en  général  distincts. 

Cela  posé,  on  peut  regarder  u  eomme  une  fonction  com- 
posée dejT/;  en  eiret,  «^F(j',,  Vo,  ...,)■„)  et  r,,jK27  •••jj^'// 
sont  fonctions  de  jr,,  Xo,  . . .,  x,i  et  en  particulier  de  xi;  si 
donc  on  différentie  a  comme  une  fonction  composée,  en  lais- 
sant les  X  constants,  à  l'exception  de  Xi,  on  aura 

au   _  du  dj'i         du  dj2  du  dy,i 

ôxi  ~  dvi  àxi        dVi  dx,        ■  ■  ■       c/j',i  ùxi 

Cette  formule  résout  la  question  pour  le  premier  ordre;  -r— 

est    calculé  en   fonction   de  -r- ■>  •••j  -i— ■>  c^^'  l^s   dérivées 

dyi  djn 

—-^>  -r^  1  '  ■  ■  se  déduisent  des  relations  (i). 
oxi    axi  ^  ' 

Il  y  a  parfois  avantage  à  procéder  différemment.  En  consi- 
dérant M  =  F(^,,  .  .  .^Xn)  comme  fonction  composée  dejK/, 

on  a 

du         du   dxi         du  dxi 
dy'i        àxi  dj'i        ÔX2  dji 

Si  l'on  faiti=  i ,  2,  3,  ...,/?,  on  a  /i  équations  du  pre- 

^        ,         du      du  ,,  ,1 

mier  degré  en  - — >  - — ,  •  •  -  que  l  on  pourra  résoudre  par  rap- 

port  à  ces  inconnues.  Cette  méthode  sera  avantageuse  quand 
les  X  seront  donnés  explicitement  en  fonction  des  )'.  La  pre- 
mière méthode,  au  contraire,  devra  être  préférée  quand  les 
y  seront  donnés  en  fonction  des  x. 

Je  passe  maintenant  au  calcul  des  dérivées  - — ; —  en  fonc- 

A  OXi  dXj 

tion  des  dérivées  -, — ; —  Reijrenons  la  formule  (2) 
dfidyj         J 

du  _  du    dfi  du    dy„ 

dxi  ~~  dyi  dxi    '    '  "   '    cly,i  dxi 

Chaque  terme  du  second  membre  peut  être  considéré  comme 
une  fonction  soit  simple,  soit  composée,  de  Xj  par  les  j';  en 
différentiant  alors  par  rapport  à  Xj  et  en  écrivant,  pour  plus 


cil  AN  GEMI' NT    DE     VARIABLES.  501 

de  clarlû,  dans  le  second  membre,  sur  une  même  ligne,  les 
dérivées  de  chaque  terme  de  (2),  nous  aurons 

')-//     _  (l-  H  f)yy  ùyx  d-  u       i)y\_  ()yn  _^  du     d'^ji 

Oxiôxj  ~  dyi   ôXi  ôjj        '"        (O'idjn     OxiOxj        dji  ()Xi()xj 

-f- 

d-u     dy,,  àyx  d-u  dvn  ày^        du^     O'-yn 

'    dy,i dyi  dzv  dx}       '"        dy%    Oxi  ôxj        dy,,  àXi ôxj 

Cette  formule  résout  la  question  pour  le  second  ordre,  et 

ri-  V  ■ 

les  dérivées  — '-^-^  se  déduiront  des  formules  (i).  On  pourrait 
ôXjOxk 

aussi  suivre  une  méthode  analogue  à  la  seconde,  que  nous 
avons  donnée  pour  le  premier  ordre.  Nous  ne  pousserons  pas 
plus  loin  celle  théorie  qui,  pour  les  ordres  suivants,  donne- 
rail  des  formules  de  plus  en  plus  compliquées.  Passons  aux 
applications. 

III.  —  Première  application  des  théories  précédentes. 
Les  fonctions  isotropes  de  Cauchy. 

Pour  bien  faire  comprendre  les  théories  exposées  au  para- 
graphe précédent,  nous  ne  saurions  mieux  faire  que  de  les 
appliquer  aune  théorie  développée  par  Cauchy  à  propos  de 
ses  travaux  sur  les  vibrations  de  l'éther  {Nouveaux  Exer- 
cices). 

Cauchy  appelle  fonction  isotrope  une  expression  qui  ne 
change  ni  de  forme  ni  de  valeur,  quand  on  fait  une  trans- 
formation de  coordonnées  en  passant  d'axes  rectangulaires  à 
d'autres  axes  également  rectangulaires,  sans  changer  d'on- 
gine.  Les  formules  de  transformation  en  question  sont 

S.r=  «;   -{-  br^  -^  c'i,     ;  =  ax  -.-a'y-+-  a"z. 
y  =  o'ï  -1-  b'r^  -i-  c"C,     r,  =  bx^  b'y-^  b"z, 
1  ;:  =  a"ç  -H  ^"r,  ~  c"Z,     ^  =  ex  -i-  c'y  -i-  c" z. 

Entre  les  neuf  cosinus  a,  b,  c;  a' ,  h' ,  c  ;  a" ,  b"^  c" ,  il  existe 
des  relations  bien  connues  dont  nous  ferons  usage,  mais  qu'il 
est  inutile  d'écrire. 


202  CHAPITRE     IX. 

Cela  posé,  considérons  l'expression 


^■= (S)'- (!'''- '■^'"' 


du\  2         /  du  \  '■ 


(]ue  Lamé  appelle  le  paranièti-e  diJJ'érenlicl  du  premier 
ordre  de  la  fonction  u  de  x,v,  z;  il  est  facile  de  \oir  que 
cette  fonction  est  isotrope.  Faisons,  en  eflet,  le  chanj^enient 
de  variable  (i),  nous  aurons 


du 

du  dl         du  dr,         du  dl 

— 

—     1.        ] .       !     _t_     1    • 

dx 

dl  dx         dr^  Ox         d^  dx' 

(2) 

mais  des  formules  (i),  résolues  par  rapport  à  ç,  /, ,  w,  on  tire 


donc 


dx 

=  rt, 

dx                dx 

1  du 
i  dx 

=  a 

du  ,  du  du 
dq              d-q               d^ 

]  du 

=  a' 

du  j,  du  ,  du 
d\            di]            d^ 

1   du 

=  a" 

du  ,,,  du  „  du 
-7f  -\-0    —  -\-c    --• 

d'r                        ,>rj                       d^ 

(3) 


En  élevant  ces  formules  au  carré,  en  les  ajoutant  et  en 
ayant  égard  aux  relations 

«--^  «'--7- «'- =  I,     ab -^  a' b' —  a"  b"  =  0,     ..., 
on  trouve 

[J:?)    ^\dj-)    ^\Tz)    ^l,^/    '^[d^rj    '^[dl)    ' 

la  fonction  U|  est  donc  isotrope. 
Considérons  encore  l'expression 

d- u        d- u        d- u 

-  ~  dx^  "^  dy^  ^  dz^  ' 

que  Lamé  a  rencontrée  souvent  dans  ses  recherches  de  Phy- 
sique mathématique  et  à  laquelle  il  a  donné  le  nom  de  para- 
mètre différenUel  du  second  ordre  de  la  fonction  //. 

Effectuons  le  même   changement  de   variable   que   tout  à 


CHANGEMENT     D  K     Y.vniABLKS.  203 

,,,  ,  rp  1  1'  I  o        1  r   '^"      '^"      '^"  1 

1  liciirc;  acelellet,  les  lorinulcs  (  J)  donnant  -r-'  t"'  t"  '  cal- 
'  '  ^    ^  ôx    oy     Oz 

(liions  — T'  et'   pour  cela,   dilTérenlions  la  première   de   ces 
Ox-  I  '  1 

formules  (3)  par  rapport  à  .r  ;  nous  aurons 


<) 
dx 


ou  bien,  en  remplaçant  ;r"'  y^'  y^  P^''  leurs  valeurs  a,  A,  r, 

<>•  H          ,  '^-  u       , ,  ()-  jt  d^u  ,      à-  H  i)-  Il  ,    d-  u 

=  a- h  b-  ——  —  c-  -^  -T-  2  uc  - — ■ — ~  1  ca  - — ^ — r- 1  ab 


Ox-  Ox-  Oy-  Oz-    '  OyOz  OzOx  OxOy 

Les  valeurs  de  — -,  -r— r  s'en  déduisent  en  accentuant  une 
oy^     dz^- 

fois  et  deux  fois  les  lettres  r/,  b,  c.  En  ajoutant  les  formules 

ainsi  obtenues  avec  celle-ci  et  en  ayant  égard  aux  relations 

a--r-  a--\-  a"-^  \^  ab  -\-  a' b' -{-  a!' b" ^  o,  .  .  . ,  on  trouve 

0-  u        0-  u        0-  Il  _  0-  Il        0-  u        à-  u 

et  la  fonction  Uo  est  isotrope  comme  U,. 

Cauchy  a  indiqué  le  moyen  de  former  toutes  les  fonctions 
isotropes;  nous  nous  bornerons  ici  à  en  signaler  quelques- 
unes,  ce  qui  constituera  toute  une  série  d'exercices  sur  le 
changement  de  variable. 

.r,  r,  :;  et  .r',  y',  z'  étant  les  coordonnées  de  deux  points 
de  l'espace,  les  fonctions  suivantes  sont  isotropes  : 

x^-^y'^-hz'-,     xx'-^yy'^zz'; 


,  Ou         ,  Ou         ,  Ou  Ou  du  Ou 

Ou   Ou        Ou  Ou        Ou  Ou         0-  u  0-  u  0"  u 


Ox  Ox'        Oy  Oy'        Oz  Oz'       Ox  Ox'        Oy  Oy'    '    Oz  Oz'  ' 

d'ailleurs,  en  examinant  avec  attention  ces  formules,  le  lecteur 
poun-a  bientôt  écrire  une  infinité  d'autres  fonctions  isotropes. 


30  4  t:ii.vriTiiE 


IV.  —  Changement  de  variable  dans  le  cas  où  l'on  change  à  la  fois 
les  fonctions  et  les  variables  indépendantes. 

Le  problème  du  cliangcmenl  de  variable  considéré  dans 
toute  sa  généralité  peut  s'énoncer  ainsi  : 

Etant  données  m  +  n  relations 

(')  /l  =  0,      /2=0,        ...,      /,„+„=  O. 

entre  m  fonctions  y t^  Vo,  ...^y,nde  n  variables  x,,  x.,,  ..., 
x„,  et  m  autres  /onctions  r, ,,  y,.,,  .  .  .,  r,m  de  n  nouvelles 
variables  ç,,  ;o,  ...,  ç„,  calculer  les  dérivées  des  r  par 
/apport  aux  x  en  fonction  des  dérivées  des  y,  prises  par 
rapport  aux  ^,  et  vice  versa. 

Ce  problème,  comme  on  va  le  voir,  peut  se  résoudre  sans 
qu'il  soit  nécessaire  de  connaître  les  relations  qui  lient  les 
)'  aux  X.  Au  fond,  il  coïncide  avec  un  problème  déjà  résolu, 
celui  qui  a  pour  but  de  faire  connaître  les  dérivées  d'une 
fonction  implicite.  En  effet,  les  équations  (i)  peuvent  être 
considérées  comme  définissant  m  +  n  fonctions  implicites  de 
J^i,  JCo,  .  .  .,  jc„,  savoir  ^,,  r,,  .  . .,  ;,,  et  j-,,  jio,  .  ..,j-,„,  les  r, 
étant  des  fonctions  des  ç  dont  on  peut  supposer  les  dérivées 
données.  Ce  que  l'on  veut,  ce  sont  les  dérivées  des  j-;  ce  sont 
les  seules  que  l'on  calculera;  il  faudra  éliminer  celles  des  \. 

Ainsi  comprise,  la  question  est  résolue  par  ce  qui  a  été  dit 
plus  haut;  on  différentiera  les  m  -\-  n  équations  (i)  par  rap- 
port à  .r,,  x-^,  .  .  .,  Xa  et'l'on  obtiendra,  en  particulier,  en 
difrérentiant/,=  o  par  rapport  à  Xj, 

On  aura  (m-^n)n  équations  pareilles  à  celle-ci,  donnant 
les  mn  quantités  j-^  et  les  n-  quantités  -f^;  ces  n-  quantités 
n  ont  pas  besoin  d'être  calculées  :  on  pourra  les  éliminer,  et 


CIlANGE.MtNT     I)i:     VA  m  A  BLE  S.  205 

l'on  aura  les  rcsullals  en  fonclion  des  dérivées  des  -j.-  et  des 
dérivées  partielles  des  y  dont  on  j)Ourra  éliminer  les  x  et  les  y 
au  moven  des  formules  (i). 

Si  Ton  difFérenlie  de  nouveau  les  équations  (2)  par  rapport 
à  X,,  x-i^  .  .  .,  .r«,  on  introduit  les  dérivées  secondes  des  r, 
par  rapport  aux  ç,  et  l'on  peut  calculer  les  dérivées  secondes 
des  ;  et  des  j'  par  rapport  aux  .r;  comme  on  n'a  pas  besoin 
des  dérivées  des  ^,  on  les  éliminera  pour  ne  calculer  que  celles 
des^',  et  ainsi  de  suite. 

Le  changement  de  variables,  dans  le  cas  général,  conduit 
à  des  calculs  parfois  inextricables;  il  convient  de  n'en  user 
que  lorsque  l'on  y  est  contraint.  Nous  allons  nous  borner  à 
traiter  deux  exemples  très  simples  pour  faire  bien  saisir  l'es- 
prit de  la  méthode. 

i'^  Etant  données  les  équations 

i~r  =  a  ;  -r-  6  T,  -4-  c  "Ç, 
Il  y    .     1-1'  If  V 

z  =  a  \  ^  o  r,  -^-  C  L, 

1      1        1         ,  '    •    >  '^z  dz  0-z  0-  z- 

calculer  les  deruees  p  ^ -— ,  a  =z  --,  /•  =^  - — ,  s^ 


Ox      -'  dj  Ox-  OxOy 

t  =  —-r  en  fonction  des  dernees  p  =  -i,  a  =  -^,  /■  ^  — -■, 
Oy-         ''  ^  Oz     ■'  àr,  0^- 

OK       ,,        ÔK  ,-,         ■  j  '' 

S  =  -jr-jr^  l  =  — TÎ  o^^  suppose  qu  il  existe  entre  les  quan- 
tités a,  b,  Cj  ...  les  relations  qui  lient  entre  eux  les  neuf 
cosinus  d'une  transformation  de  coordonnées. 

DifTérentions  les  équations  données  (3)  par  rapporta  ç  et  r,, 
en  considérant  :;  comme  fonction  composée  de  ;  et  7,  par  x 
et  )■  ;  nous  aurons 


<4) 


Ox                     , 
-=a  +  cp, 

àr 

c'p' 

Or, 

cq 

dx           Ov 

a"—c"p', 

Or           Or 
"  Or,  ~^^'or,~ 

b"^c''q'; 

2o6  CHAPITRE    IX, 

,,.     .        t).r    dy    àx    dy    , 
SI,  cnlro  CCS  six  cqualions,  on  climine  -rf  >  -rr»  -^  >  -f-  dont  on 
'  1  '  t',     yç     "''(     "■'"i 

n'a  pas  besoin,  on  trouve 

on'  -^  6«'  -i-  c  a'/)' -h-  b' g' -h  c' 

(5)  p=-^, TTT-l 7,'         q^-ir-, TT^^^ 7,- 

Passons  au  calcul  des  dérivées  secondes.  La  règle  générale 
nous  apprend  qu'il  faut  différenlier  une  seconde  fois  les  for- 
mules (^3),  ce  qui  fournit  neuf  équations  nouvelles.  On  obser- 
vera qu'on  les  a  déjà  différenliées  une  fois,  ce  qui  a  fourni  les 
formules  (4);  il  suffira  donc  de  dilïérentier  celles-ci  par  rap- 
port à  ^  et  T, ,  ce  qui,  en  apparence,  fournit  douze  équations; 
mais  il  faut  remarquer  qu'une  même  équation  peut  être  fournie 

t)-X 

deux,  fois;  ainsi  celle  qui  a  pour  premier  membre  — — ^  peut 
être  obtenue  en  différentiant  par  rapport  à  r^  celle  qui  a  pour 


premier  membre  -r^-,  ou  par  rapport  à  ^  celle  qui  a  pour  pre- 


,        ôx 
mier  membre    -  • 

rrr, 

Entre  les  neuf  équations  clislincles  que  Ion  obtient  en  dif- 
férentiant (4),  et  qui  introduiront  les  inconnues  nouvelles  ;•, 

d-x     â-x      â'-x    d-y      d'-y      à-y  -i-      •  i  •       i 

•^>  ^  -TVT'  1—:?'  ^-^'  377'  3-^'  -TT'  O"  éliminera  les  six  der- 

nières  et  l'on  aura  /",  .9,  /  en  fonction  de  /■',  .v',  t'. 

Mais,  au  lieu  de  recourir  aux  équations  (4),  on  peut  dif- 

férentier  les  équations  (5),  qui  en  sont  des  conséquences  et 

dx  .     ■  ... 

dont  les  quantités  -){'•••  ontété  éliminées, cequi  n'introduira 

f)-X 

pas  les  inconnues  nouvelles —j:;  ;  •••;  le  calcul  sera  ainsi  un 

peu  plus  simple  et  l'on  aura,  en  différentiant  par  rapport  à  ç, 
la  première  équation  (5), 

dx         dy       (  nb" —  ba"){  r  q'  —  s' p')-^  r'(  ac" —  ca"  )  —  s'(  br" —  cb") 
'ôl  àl"  {a"p'  -^  b"q'  -^  c"y- 

011    bien,    en    avant    égard    aux    relations    l>' c"  —  c'b"=-a, 
b" c  —  cb"  ^  a\    .... 

dx  dy       c'is'p' — r' q'\  —  s' a' -h- i-' b' 

p  _i_  g  -il-    =^    i £ C , 

fJl     ■       d^  {a"p'^  b"q' -^  c")- 


CHANGEMENT     DE     VARIABLES.  2O7 

Cl  de  mcinc,  en  difTcrcnlianl  par  rapport  à  r,, 

dx  dv        c'(t'p'  —  s'q') — t'a'-^s'b' 

Or,  Or,  {a" p' —  b" q' -^  c" )'- 

On  pcul  se  contenter  de  dlfTércntier  une  fois  la  seconde 
équation  (5);  toutefois,  en  diflcrentiant  par  rapporta  ç  et  à  r,, 
on  trouve 

()x  dy        cir'q'  —  s' p' ) -r- s  a  —  r' b 

^~ôl^     'ô\  ~         {a" p'  -\- b" q' -\-  c"f        ' 
ÔT  dv        c(sq'  —  tp')-i-t'a  —  s' b 

Or,     '       Or,  {^a" p' -\- b" q' -^  c"  f-       ' 

trois  de  ces  quatre  formules  donneront  /•,  s,   t  quand   on  v 

,       ,  Ot    Or     Or    Ov  ,  ,  ,  ,, 

aura  rcniniace  — r^  -r  ;  — ^  —  par  leurs  valeurs  (  4)- 

•  0'       <)'      Or.      Or    1  ^  '^ 


Rkmauqve.  —  On  aurait  pu  diriger  les  calculs  autrement 
et  différentier  les  équations  (3)  par  rapport  à  ût  et  à  ) ',  ce 
qui  aurait  donné 


O.v  Ox  '  ■'    Ox        -'  Ox 


,,.      .  ,  .  O''-       0"'      Or^      <)r 

en  eJiinmant  entre  ces  équations  -r^i  --^y  — 5  ^'  on  aurait  eu 
1  Ox    Oy    Ox    Oy 

des  relations  entre  />,  ^,  />',  q'  qui  auraient  permis  de  cal- 
culer deux  de  ces  quantités  en  fonction  des  deux  autres. 

En  différentiant  une  seconde  fois  par  rapport  à  r  et  1',  on 
aurait  trouvé  d'autres  relations  donnant  /•,  5,  t  en  fonction 
de  //.  q' .  /■',  .?',  /' 

2"  Elanl  données  les  relations 

I  a"  =  /•  sinO  cos-!/, 
(  0  I  •  y  =  /•  si  II  0  i\wl. 

\  z  =  /-co«0, 

qid permettent  de  transformer  les  coordonnées  ordinaires 
X.  y,  z  d'un  point  en  coordonnées  polaires  r,  0,  •},  on  pro- 
pose de  calculer  les  dérivées  —  = />.  —  ^  r/,  -^  = /•. 
'  Ox       ^      Or        -'      Ox- 


oo8  CIIAPITUE    1\. 

=5,  -; —  ^  t,    .  ...   en     onction  de  r.  'J,   o  et  cie -t., 

()xOy  '  dy^  '  ./  '     '    .  j\) 

<)r 
^' 

Conformément  à  la  mélliode  qnc  nous  venons  d'exposer, 
difTércnllons  (G)  par  rapport  à  0  et  6  ;  nous  aurons 

().V  '^/"      •      A  1  Al 

— r      =     ,  sinO  coso -i- /'CosO  coso, 

Jj-  f^/'       •       A  I  •       ft       •        I 

— -      =— pSinOcoso  —  /•  ?Mi(J  sinO;, 
')k  ()r    .    .    .     ,  A    •    I 

—     =  — 7-  sinO  siii'L    -  /•  sin  0  cos'!^, 


^^  =  ^^0^^-'-^'"'^' 


f)j"  dy  àr        ,, 


on  lire  de  là,    en  éliminant  ^>  -b:?  tt  ^t  tt'  l^s  valeurs  sui- 

'  oxi     0^     d'h        o<J^ 

vantes  dey?  et  ^  .' 


(7) 


(  Dp  =  r  ^T-  sin6  cosO  cos'!/  —  r  —r  sin-!/  —  /--sin-O  cos'l/, 


ou 


Dor  =  /'-r  sinO  cosO  sin-i  +  r  — r  cos 6  —  /-^sin^O  sin'V 
\       -'  du  '  d'I/ 

Pour  obtenir  les  dérivées  secondes  de  z,  on  peut  difTércnlier 

les  équations  (7)  par  rapport  à  0  et  '};  les  premiers  membres 

deviennent 

ÔV>  „/    ôr        ôy\ 


0^^  \    d^  0^ 

()D 


'7  +  D(/^-^Jôj; 


niANC.  EMK  NT     DE    VARIABLES.  209 

,  ().r     ÙT     f)y         ily  ,  ,  ,  r, , 

en  V  fcmi^larant -^  >  -tt-j   "^  el  -jy  par  leurs  valeurs  (.5),  cl  p, 

q  par  leuis  valeurs  (7),  on  aura  des  équations  permettant 
(le  calculer  /•,  5,  f  (').  Il  y  aura,  si  l'on  veut,  une  ccjuation 
rentrant  dans  celle-ci  en  différentiant  la  seconde  formule  (4) 
par  rapport  à  y. 

Il  serait  difficile  de  choisir  des  applications  plus  simples 
du  cas  où  l'on  change  à  la  fois  la  l'onction  et  les  variables 
indépendantes.  On  voit  que  les  calculs,  théoriquement  fort 
simples,  conduisent  à  des  résultats  compliqués  dès  que  l'on 
dépasse  le  premier  ordre;  aussi  le  changement  de  variable 
doit-il  être  évité  quand  cela  est  possible. 


V.  —  Autre  méthode  pour  le  changement  de  variable. 

On  a  proposé  une  autre  méthode  pour  le  changement  de 
variable;  elle  ne  diffère  pas  au  fond  de  celle  que  nous  venons 
«l'indiquer,  mais  elle  présente  quelquefois  des  avantages  dans 
les  applications. 

Elle  consiste  à  identifier  deux  expressions  de  la  différen- 
tielle de  la  fonction  que  l'on  soumet  au  changement  de 
variable. 

Supposons,  pour  fixer  les  idées,  que  l'on  veuille  calculer 

Jes  dérivées  -— »  -—  en  lonction   des  dérivées  -^,  ~^:  x,  y,  z- 

étant  liés  à  ^,  Tj,  ^  par  trois  équations. 

On  écrira  d'abord 

7         ^^   F         dz   ^ 
<  I  )  dz=    -  dx  —  ■—  dy; 

ôx  dy    -^ 

d'un  autre  côté,  on  a  aussi 

dz 


'■'■'  --^ 


z        dz  dX,\   ,,       /dz        dz  c)^\  ^ 


(')  La  Icllrc  /•  désigne  ici  à  la  fois  le  rayon  vecteur  cl   la  dérivée 1 

dx- 
mais  il  n'y  a  pas  de  confusion  possiljje. 

L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  i^ 


2tO  CHAPITRE    IX. 

SI,  dans  (i),  on  remplace  dx  et  dy  par  leurs  valeurs,  on  a 


dx 
OU 


f  ùx  ,^       dx   ,         àx       \        ()z  /())'     y       ôy  <b'  jy\ 

(^  ^^^ -^  5^  ^^' -^  cT^  ^^  j  ^- c^r  (^ '^' "^  4  ^■'^ ''" '^rv 

dz  [/dx      dx  di:\   „      /dx      dx  rjrx    ,  1 

identifiant  cette  valeur  de  dz  avec  (2),  on  a 

dz      dz  d^  _dz  rdx      ^  ^1  _  ^  f^T      ^  ^1 
^-^dC^a^^L^^   '^  ài;  d^i    '   dyld'^^  dZ  à^\ 


dz       dz  dl:^ 
dy\       dZ,  dr^ 


_àzrdx    dx  d^i     dj_l(>.y  _^dy  ^1 . 

~dildri^dti  dTi]'^  dy  \'&r^    '    'dX,  dr^  J  ' 


,,    ,    ,,  .        dz         dz  d^      àt,  c        r         1  i 

d  ou  1  on   lire  -v-  et  t-  ou  -^-,  3^   en    fonction  les   uns   des 

dx         dy  aÇ      dr, 

autres. 

La  même  méthode   s'applique  aux  dérivées  secondes  :  on 
peut  calculer  d'-z  de  deux  manières.  Ainsi 

d'^z  d^z      ,      ,         f^--    ,  „        àz    ,,  dz    „ 

d-^z  =  -—-  dx"-  -f-2  - — T-  dx  dy  —  ——  dy"-  -~-^  d^x  -\-    -  d^y, 
dx-^  dxdy  "^         dy^    "^  dx  dr^ 

mais 

f>-^    ,y.  à-z      ,y    .  d-z    j   .  d"-z  dz 

Ces  deux  expressions  peuvent  se  ramener  toutes  deux  à  la 

forme 

P  f/^2  _^  2 Q  dl  dt,  ^r-  W  dn\ 

et,  en  les  identifiant,  ou  a  des   équations   d'où   Ton  pourra 

dK       dK      d^l  ,.  .  1        d^z       d"-z     d'-z 

tirer  -;—"-»  -r^,  ^-^  en  fonction  de  - — pj    y^,?  -.--,1  ou  vice 
d^Or,       dl-      dr/^  dxdy      dx-      ày'- 

versa,  — 


CHANGEMENT     DE     VAUIAIJLES. 


VI.        Quelques  changements  de  variables  effectués  au  moyen 
d'artifices  particuliers. 

Trainsformatioin   de  Legendue.  —  On  pose 
u  =  px  -^  qy  —  z, 

dz  dz  <r-z  <r-z  <Pz 

o.r  Oy  or-  Ox  Oy  oy- 

et  l'on  demande  de  calculer  p,  </,  /•,  5,  t  en  prenant  pour 
fonction  u  et  pour  variables  p,  q. 
On  a 

du  =  p  dx  -^  q  dy  —  dz    .-  x  dp  -{-  y  dq 

OU,  en  vcrlu  de  dz  ^=^ p  dx  -r  ^  dy^ 

du  =  X  dp  -hy  dq  ; 

on  en  déduil 

du  du 

X  —  --1     y  =  -    . 
dp       -^         dq 

Des  formules 

dp  =  /•  dx  —  s  dy, 

dq  =^  s  dx  -7-  t  dy, 
on  lire 


^^^tdp-sdq^      ^^^^r-dq-sdp 
donc 


,     '     dy 

rt  —  A-  ^  rt  —  i- 


àx  _d'^u  _        t 

dp        dp-         rt  —  5- 

dx  _  dy     _     d'-a  —  5 

dq         dp  ôp  Oq        rt  —  5- 

dy  _d'^u  _        r 

dq        dq-         rt  —  s'-' 

d'où  l'on  peut  réciproquement  tirer  ;•,  s,  t. 
On  a 


en  posant 


-r — -0  =  r't'  —  s"^, 
rt  —  s- 


d^     _    ,       d'^u  ,         d-u  , 

dp^   ~     '      'Oq^i  ^'     '     ~0p~d7ji  ~  * 


212  CHAPITRE     IX. 

donc 

/■  = r-,  5       -ï  =  -7:: r~.  '  t  ^=    Tl Tw 

«2  —  r  (  s-  —  r  t  s^  —  /■/ 


Étant    donnés  p  =  \;]r    7  =  £'    '*  =  ;â7^    '  =^  c)^i)>  ^' 


t  =  —,  on  demande  de  calculer  les  dérà'ées  dey  relatives 
à  X  et  z. 


dz 

=  P 

dx  — 

(i(fy^ 

dy-~ 

dz 

__P 

dr- 

ùy  _ 
dz 

I 

dy 
dx 

__P 
<7 

On  a 
d'où 

donc 


En  second  lieu,  on  a 

d-z  —  pd-T  -f-  q  d-y  -1-  r  dr-  -^isdx  dy  -^  t  dy-, 

ou,  si  l'on  fait  d-z  =  o,  d-x  =  0,  dy  =  -^  —  -  dx^ 

o  =  q  d-2y  -rdx-^-'^sdr(^'^-P^dr)-^t  {^'^  -  ^^  dxf . 
Résolvant  par  rapport  à  d-y^  on  en  conclut 


d^-y 

= 

-'.i 

1 

r  ~ 

-.sP-- 
7 

^ 

1' 

(Py 

I  , 

(9.  s 

P 

\ 

ôxôz 

^^ 

-î' 

v7 

t 

)' 

d\Y 

I 

ôz^ 

^^ 

~¥' 

t- 

VII.  —  Sur  quelques  formules  destinées  à  simplifier  le  changement 

de  variables. 

Soient  Xf,  X.2,  ...,  ^n  et  7,,  y.,, 7»  deux  systèmes  de 

variables  liées  entre  elles  par  «équations;  posons,  en  général, 

dy,  ÔTj 


cil  AN  ci:  ME  NT     1)  K    Y  AIMABLE  S.  2l3 

Il  csl  facile  de  voir-  (|iic  Idii  na  pas  Hijbij  -—-  i;  mais, 
enlre  les  <//y  cl  les  A,y,  il  existe  une  série  de  relations  (jue 
nous  allons  faire  connaître.  On  peut  considérer  j',  comme 
fonction  des  )„,  piiis<|iril  est  fonction  des  X  et  que  ceux-ci  sont 
fonction  des  y.  Le  théorème  des  fonctions  composées  donne 

^  ou  o  ==  -^  —  -~  ^"  ^2  _^       _!-  -^-^  ^ . 
i)yj  Oj\   Oyj        ôxi  Oyj    Ox,i   Oyj 


z>\  j  yi  et  SI  i  =^j , 

ôyi  ^  dxi   Oyi        ôx,_   Oyi         ••       oxn   dyi  ' 


ces  formules  peuvent  s'écrire 

(2)  (lii  bxj       a^bij      ...    -ciinhnj^ 

On  a,  dune  façon  analoj^ue, 

(  ;i  )  hjx  aij     -  bri  a-ij    - ...  —  bin  a,ij  = 


(o  si  i     j), 
(i  si  i^j). 

0  si  i  ^y, 

1  si  i  =  j. 


Telles  sont  les  relations  qui  lient  les  dérivées  des  j'  aux  déri- 
vées des  .r;  nous  [poserons 

P  =  S  r^  a,.,  «.,2  •  ■  •  ttnn,      Q  =  s  =1  6i,  bii  ...  b,ini 

et  nous  aurons  PQ  =  i  ;  cela  résulte  de  la  formule 

<^(.Ki..r2>  •••,.>'«)  à{x^,0Ci.  .  .  .,jr„)  _ 
d(3",,.r2,  ...,.r„)  t*(7i,72,  .■•,7«) 

Les  formules  précédentes  ont  été  données  pour  la  pre- 
mière fois  par  Cauchy.  Nous  supposerons,  dans  ce  qui  va 
suivre, 

(  4  )  a,  1  «yi    -  «,2  «y»  —  •  •  •  —  «/« cijn  =  O     (  i)our  i  ^j  ), 

(5)  aft  -f-  a,',  — . . .  —  al,  =  hj. 

Ce  cas  se  présente  souvent  dans  les  applications;  on  a  alors 


2l4  CHAPITREIX. 

D'un  autre  côlc, 

j,    (Iyi  =  «11  ^''i       Oiidxi  — . .  .-^  aindx,,, 

'->  •■ 

'  c/y„  =  a„\d.Ti  —  a„2 dx^ -r- . . .  -^  a„„  dx,i  ; 

/    dxx  =  611^)1—  bi^_dy,^...^bxndyn, 

(8)  

l  dx,t  =  b„idri  —  b„îdj:2~. .  .  —  b„ndj'„. 

Si,  pour  abréger,  on  pose 

!ai  =  «11?!  —  a2i?2  — ..•-^««1?/;, 
3C^  =^  «l»  Pl  —  fltof)  pg  -T-  .  .  .  -f-  Cl/i')  ~>it^ 
1„  =  Uin  Ji  ^-  a^ii  p^-i-  •  .  .-i-  d/iri  p«! 

on  constate  qu'en  vertu  de  (4)  et  (5)  on  a 

(10)  aï-^a^-^...— a;,  =  /q  ;3^ -^  A^  ^^  _^.  .  .-f- /i|  p;,; 

mais  de  (9)  on  tire 

Aj  3i  =  aiiXi-;-  aia^o-T-. .  .-T-  ai„a„ 

hl  82  =  «21  ai  -+-  «22^2-^-  •  '-^  Oîn'^ll: 


Portant  ces  valeurs  dans  (10),  on  trouve 

-H  TT  («21^1-7-  «2222  —  .  .  .)--^..., 

ho 

ce  qui  donne,  en  égalant  de  part  et  d'autre  les   coeifîcients 
des  mêmes  puissances  et  des  mêmes  produits  des  a, 

(il)  «j/«iy  —  aattij  —  . . .-   a„ia„j=  o, 

(12)  —  a'i,  — —  a;,-   .  ..       —  a^,=  i; 

ni  h-,  h;, 

si  alors  on  multiplie  la  première  équation  (7)  par  -—;  a,i,  la 

"ï 

seconde  par  — ^  «o,,  ...   et  si  l'on  ajoute,  on  a 
— ï  f^Vi  -■ -,  <^Y=>  --•••=  dxi. 


CHANGEMENT     DE     VARIABLES.  9a5 

el,  en  comparant  celte  lormule  avec  (8), 

(ij)  -Jl^bij     ou     aji-h)bij. 

h-j 

Les  équations  (1)  et  (5)  donnent 

(  i4)  f^ïjbu—  l>îibij  —  -  ■  ."bnibnj—  o, 

(i5)  bij— blj  — ...-{- bf,j^- hjK 

Nous  poserons 

(17)  Ao  «  =  — j  -; -,  -;-...  -r-  — ^  > 

et  nous  nous  proposerons  de  calculer  A,  w  et  \-,ii  en  fonction 
des  >'.  Nous  avons 

/  du        Ou  du  du 

dxt        dyi  dy^  dy^ 


(18) 

du  du  du  du 

àxn       dyi  dy2  dy^ 

Elevons  au  carré  et  ajoutons,  en  ayant  égard  à  (4)  et  (5); 
nous  obtiendrons 

,,  /du  \i       ,0/  OuY  ,,  /  du  \2 

et,  en  dilTérentiant  (18), 

d-u        d^  u     ,  d-u  du.    da^ 

d-u        d-u.     ,  d^u  du    da<i\ 

dr\        dy\     -*  c'7ic>>'2  ^Y^    ^^^ 


Si  nous  ajoutons,  nous  aurons,  en  vertu  de  (4)  et  (5), 

c)2  a  ,  o      ()-  M  , ,  d^h 

—^  h\  —    --  hi  —  ...^—-. 


id^  u  .0       d-  u  ,  ,  à^u  ,  . 

■^2  "  =  r;::^  '*î  —   -?  '*i  —  •  •  •  ^  :r:2  '^« 


(20) 

(du  du  du    , 


2l6  CHAPITKI-     IX. 

Calculons  mainlcnanl  A^  i \^;  nous  axons 

i  iJ 

OU,  en  vertu  de  (i3), 

'7 
ou,  en  vertu  de  (2)  et  (3), 


I  ^foq  <)hl  OQ    àb,u.\ 

qZ\ôb-j^'^^j-^^'^ôbr.^J 
'j 


"  Q  '  ^J>  ■ 

La  formule  (20)  devient  alors,  en  la  multipliant  par  Q, 

OU 

QloU  =   >  I  — -  nuQ  ~ 

[I.  '^ 

OU  enfin 

Application.  —  Supposons  que  l'on  veuille  calculer 
d-  Il        ô-  u        (f-  u 

.    --. r  -^ =  A2  U, 

dx-2        oy^        dZ'^ 

Si  l'on  pose 

X  =  r  siiiO  cos"^, 

y  =  r  sinÔ  sint]/. 

z  =  r  cosO, 


CHANGEMENT     DK     VAKI.Un.ES. 

on  constate  que  l'on  a 


dx  Ox 
ô'r  OU  ~ 

Or  Oii 

dz  dz 
Or  oh 

^o, 

dx  dx 
Tir  O'ii 

Or  0'1>  ' 

dz  dz 
"  ôr  O'ij 

=  o, 

dx  dx 

.  'b'  ')f 

dz  dz 

dh  di> 

0^  à<\i 

dh  d^ 

—  0, 

on  peut  alors  calculer  l-^u  par  la  l'ormule  (21),  ell'on  trouve 


VIII.  —  Variables  elliptiques. 
Considérons  les  équations 


X 


«j-f-A,        a;— A,  a,;-!- Al 

X-,  xz  x„ 


(I)  ■    a'\-^'/.=,         ai-^'/.-i  aji^-t-i 


X-, 


a\  -4-  À„        «2-4-  À„  afi  -!-  Xrt 

dans  lesquelles  <7),  a^,  •  •  •  sont  des  nombres  positifs  quel- 
conques, que  nous  supposerons  inégaux  et  tels  que 

a\  y-  a2  >  «3  ^- . . .  • 

Elles  établissent  n  relations  qui  permettent  de  calculer  les  x 
en  fonction  des  A,  ou  vice  versa  les  À  en  fonction  des  x.  Les 
variables  ).  sont  ce  que  l'on  appelle  des  variables  elliptiques 
ou  des  coordonnées  elliptiques,  pour  une  raison  qui  sera 
donnée  plus  tard.  Ces  coordonnées  elliptiques  jouent  un  rôle 
important  en  Analvse  et  en  Géométrie;  elles  ont  été  décou- 
vertes par  Chasles  et  Jacobi;  ce  dernier  géomètre  et  surtout 
Lamé  en  ont  fait  de  remarquables  applications  à  la  Méca- 
nique et  à  la  Plivsiquc  matln-matique. 


2l8  CIIAl'lTKE     IX. 

Nous  allons  d'abord  nionlrcr  comment  on  peut  résoudre 
les  équations  (i)  par  rapport  à  J7,,  x^,  ...  ;  à  cet  elTet,  obser- 
vons que  l'équation  en  A 


(^)  "• 


peut  être  considérée  comme  avant  pour  racines  ).),  A^?  •  ■  -i 
\„,  et  toutes  ces  racines  sont  réelles  et  séparées  par  les 
nombres 

—  00,      — a'j,     — a\,      ....        -  cifi     et      -r- 00  . 

Pour  s'en  convaincre,  il  suffit  de  supposer,  comme  nous 
Taxons  fait, 

«1  >  «2  >  «3  >  •  •  •  >  ««> 

et  de  substituer  successivement  dans  le  premier  membre  de 
l'équation  (2),  à  la  place  de  A,  les  valeurs 

9  ->  O  9 

—  00,     — al  —  E,     — aj-i-î,     — aj  • — t,      ....     — aï^-^  z,     -;- oc  , 

où  s  est  très  petit.  On  trouve  alors  que  ce  premier  membre 
prend  respectivement  les  signes  suivants  : 


et,  comme  il  est  continu  quand  A  varie  de  — 00  à  —  a^,  de 
—  a''^  k  —  a'-,^  .  .  . ,  de  —  a'j^  à  —  co  ,  le  lait  que  nous  avions 
avancé  se  trouve  démontre. 

Faisons  a^-i-X=  u;  l'équation  (2)  deviendra 


u        u  -r-  al  —  a? 


ou,  en  cliassant  les  dénominateurs, 

u{u  —  al  —  a\){u—  al —  a,  ).  . . 

—  x'yiu  -^  a'I  —  ai){u  —  a'I  —  a^).  . . 

—  xf,  u{u  -7-  a'T,  —  a'î  ) .  . . (  «  -r-  aft  —  « j  )  —  ° ' 

le  produit  //,,  //o.  .  .  .,  ;/„  des  racines  est 

~x'i{al—a\){al  —  ai)...: 


ClIA.MiKMKN  I      I)K     VAIllABI.ES.  2I9 

-donc,  en  remphuaiil  //,,  i/.,,   .  .  .  j)ar  leurs  valeurs, 

—  («ï—  li){a\  —  1.2) . .  .{a]  -i-  In)  -'  •^"i(«2^-«î)(«3      «!)•••, 

d'où 

.2_    («T— ^i)(«?-    U)...(a\+l„) 


(«î  —  «?)(«ï  — «3).  •.(«!  —  «â) 

I      -       {ai  —  ai){ai—al)...(al  —  af^)' 

Si   l'on  retranche  les  formules  (i)  membre  à  membre,   on 

trouve 

2  ' 

-7^^*-; 7^^ ...=  0. 

a,  —  Al        a^  —  À* 

ou,  réduisant  au  môme  dénominateur  les  termes  en  x'-^   et 
supprimant  le  l'acteur  commun  ).,  —  Ao, 


{a\—\{){a\  —  \i)       (ai  — X,)(a"^— Xj) 

Des  formules  (o)  on  tire,  en  prenant  les  dérivées  logarith- 
miques, 

o.    OXf  _         I  2    <)Xi  _         I 

Xi  Oli        a'^  —  À,        Xy  0\i        a'^  —  À.2 

et,  par  suite,  on  a 

i)xx  dxi        dxi  dxo  dXn  àx^ 

'0.,     r».,   ~    0>),,    dX7  "■*■""  ^    1)A^ 

^l\ ^^1 A ._     1 

2L(a?^X,)(af-X2)        (a^^X,)(a^-X,)       "•■]' 
c'est-à-dire,  en  vertu  de  (4), 

dx\  dxi        dxi  dx-i  dx^  dx^ 

et  d'autres  équations  analogues.  Les  variables  x,,  jr^,  .  .  . ,  x„ 
et  A,,  ).o,  ....  7.,,  se  conduisent  comme  les  variables  .r,, 
x.j,  .  .  . ,  x,i  et  >'(,  Vo,  ....  Yn  du  paragraphe  précédent.  En 
posant 


220  ni  API  THE     IX. 

(in  aura 

I    _  I  i)Xi  \-       f  dx-i 

(calculons     ,  ;  on  a,  en  vcrlu  de  (5), 


j £  r     x\     ^     x\  "1 

Si  Ton  pose 

I ^ ^  -. . .  =  W(/), 

on  voit  que 

mais  W(â)  s'annule  pour  A  =  ).| ,  A25  •  •  •  <  ^vj  î  clone 

,vn^       (X-X,)(X-À,)...(À-X„).p 
(ai -4- X  )  (  «2 -H  À  ) . .  .  (a;i  —  A  ) 

P  désignant  nne  constante;  cette  constante  est  évideninicnl 
égale  à  I,  et  Ton  a 

(6)  I    ^  1    (X,— X,)(X,— X2)...(X,-^X„)   _ 

Itf        4  {a\  —  \i){ai'-li)...{a%-\-\i) 

11  est  alors  facile  de  calculer  A,  u  et  A,  w.  On  a 


donc 


/    X         ,\      ■_  /  V(«f  — X,-)(«2-^X/)...(a,^-r-X,) /();f  y 
(7)         A,a_4  2,  {X,-X,)(X,— X2)...(X/-X„)  Vc^xJ  • 

(calculons  S-^ii,  qui  est  égal  à 

d-u       d^u  ()-  u 

dx\        dx\  dx\ 

la  dernière  formule  du  paragraphe  précédent  donne 


Aw.=.V.. 


cil  .\>(.i;>ii;.N  T    i)i;    v.vuiaiiles. 


221 


on 

18) 


<)/.- 


Dans  celle  Ibinmlc  ()  cl  ///  sonl  lournis  j)ar  la  formule  (6); 
on  pcul  la  sim[)li(icr  en  siipposanl  ).,  fonction  de  a/ seul.  On  a 


uu  =  y 


2 


l)u   ÔT-i    ()0  hj 


^.«=ys;f'?VQAF-y^(^QAn= 


ÔX, 


si  donc    ,'  î)/ij  ne  conlenait  pas  A,,  on  aurait  simplement 

or  QA/  est  égal  à 

h, 


/il  h-,..  ./<,:_, /<,-Hi. .  .h„ 
ou,  en  vertu  de  (6),  à 


\     YlO-r^-a!,)       Hih-l,) 


il  suffit  donc  de  prendre 


(10) 


>)'X,- 


àh       ^(^l.^  a\){h-~  al).,  .{h-^  al) 


IX.  —  Sur  le  théorème  des  fonctions  homogènes. 

Soit  /(.a;,,  x,,  ...,  x,i)  une  fonction  homogène  el  de 
degré  m  des  variables  a:,,  x-,,  .  •  ■ .  Xn\  par  définilicm,  on  doit 
avoir,  quel  que  soit  /, 


11) 


f{txi,  /.r,,    ...,  tx,.)=  r"/(x„  X,.    ...,  x„). 


222  CHAPITRE     IX. 

Si  l'on  difTércntic  cette  équatidii  par  rapport  à  /,  on  a 
ou,  en  faisant  ^  =  i , 

()Xi  OJ2  ()x„  '' 

C'est  dans  cette  équation  que  consiste  le  théorème  des  fonc- 
tions homogènes.  Si  l'on  difTérentie  encore  par  rapport  à  L 
l'équation  (2)  écrite  ainsi  : 

^OtXi  ■" 

on  trouve  symboliquement 

ou,  en  faisant  /  =  i, 

(2i;.-)'=-<'"-)/- 

Il  est  clair  que,  l'expression  qui  forme  le  premier  membre 

1.     1         .  1    •  I  àf    df  d^f  ' 

étant  développée,  on  doit  v  remplacer  -f ^  par  - — ^  — ,  •  •  •• 

^  ^  -^  ^  Oxi  dxj  ^      ôxiôxj 

Un  calcul  analogue  donnerait 

Ainsi,  dans  le  cas  particulier  de  deux  variables, 

x:  — ^  -f-  2J"i37, h  xi  -— ^  =  m(ni  —  i)/. 

'  Ox'l  -  Oxi  0x2  ^  fJxl  ^  ''' 

Réciproquement,  on  peut  [)rouver  que,  si  l'équation 

a  lieu  identiquement,  la  fonction  f  est  homogène  et  de 
degré  m.  Pour  le  démontrer,  changeons  de  variables  et  pre- 


ClIANr.KMENT    DE    VARIABLES.  223 

nous  pour  nouvelles  vaiiahles 


nous  aurons,  en  désigna iiL  ])ar  un  d  les  dérivées  relatives  aux 
nouvelles  variables, 


df     _     df              df     X.2 

Oxi  ~  r/./'i         dji  .rj 

AL  -  l'I  JL, 
dXi        dy'i  xC 

dya  x\  ' 

OXn         dVn   ^1 

L'équation  (3)  devient  alors 


on  en  tire 


df  , 


df  dxi 

7  =  "'  ^ 


les  expressions  log/et  log^"'  ont  précisément  pour  différen- 
tielles-^  etm     — ^:  ces  expressions  ne  sauraient  par  suite 

différer  que  par  une  quantité  indépendante  de  X|,  que  l'on 
peut  appeler  log'-p(j') ,  r^,  .  .  . ,  r»)  ;  on  a  donc 

log/=Iog^;"-^  logo(j2,  ...,j„) 
ou 

/=-^i"'f(72.  73,   •.■,7«) 

ou,  si  l'on  veut, 

f=x'^o(—     —     •  •  •  ■>     —V 

Il  est  clair  que  celte  fonction  y' satisfait  à  la  formule  (i);  elle 
est  donc  homogène  et  de  degré  tu.  c.   q.   f.   d. 

L'équation(3)  est  caractéristique  des  fonctions  homogènes; 
il  n'en  est  pas  de  même  des  équations  telles  que  (4),  dans 
lesquelles  entrent  des  dérivées  d'ordi-c   supérieur,   et  nous 


224  CIIAI'ITRK     IX. 

\errons  plus  loin  qu'elles  peuvciiL  èlre  salisfalles  idenlique- 
inenl  quarul  on  v  remplace  y  par  une  fonction  non  homogène 
(les  variables  j:*),  To,   ....  Xn- 


NOTES  ET  EXERCICES. 

1.  \o'\c\  (les  formules  extraites  des  Eléments  de  Calcul  infini- 
tésimal de  Duhamel,  et  qui  servent  à  transformer  les  coordon- 
nées rectangulaires  en  coordonnées  polaires.  Soient  u  une  fonction 
de  a',  V,  ^  et  i  "  r  cos6,  y  ^=  /-sin  0  sin  <!/,  r  =  r  sin  6  cos'i/  ;  on  trouve 

clii        fhi    .    ^  fin  rosOcos<l(        du    sinJ; 

d.r        (Ir  «0  /•  d<b   /-sino 

du        du    .    r    ■     ,  '''"  cosOsinil/        du    costl 

=^  -r-  sin  b  sin'I/ 


dv        dr  ^  '         f/0  ;•  d<\)  /-sin 6 

<f»        <^/?/        „        du  sin  6 
dz        dr  aQ      r 

d-u  d'-u    .      r.    ■     ,  I       '^^  "  ros^O  sin']^  coso       d- u  sin']>cosd/ 

-ï i-    =    ^-—Sin^O  «inO  COS'^-r-  ^/:r ; ■- r— „  '  .     „  . 

dxdy        dr^                  '         '       dd'-  r^                  d'^^     r^- s\a^% 

d'-u    sin  6  rn«  6  sin 'Il  ros 'il  d'-u    cos^tl  —  sin^il; 

drd^                    r  '    d<^dr               r 

d-u     TrosSii,. —  sin^'I/WosO  du  sin^O  «in'!/ rne-l/ 


d<ld^  7-2  sine  dr  r 

du  ros6  sintl  cosdi  /      .    ^  i     \         du  sin^il  —  cos^tj/ 


^  (  2  sin  0  4-^^  ) 


r/6  /'-  \  sinO/        d'h         /--sin-O 

d-u         d'-u        .         ^  d'-u  sin6  oosO  rns'ii 

dxdz        dr-  «6^  r^ 

d-u    Cros^O  —  sin2ft")cosd/  d^u    sintî/cosô  d^u    sin^j/ 

~  Wdr  r  dÇdr      /-sinô        ~  Wd^     r^ 

du  Csin^O  —  cos^ô^costli        du  sin6  cosO  cosdi 
"^  M  '  /-'^  ci?  r 

d^u  d'^  u     .    ,         A    •     1         <^'^  "  sinB  cosO  sini!> 

—, — r-  =  -; —  sin'J  cosO  Sin'!/ jj—  ; - 

dj'dz         dr-  '         dH-  r- 

d^u    (^rns^e  —  sin^O'^sind;  d'-u     roe>iirosf)         d^u    costi/ 

~  d^dr  r  ~'  "^  d^dr      /-sin 6  d(id^  "7^ 

du  fsin^e  —  cos2e)sini!/        du  sin  6  cos6  sin^^ 

"^  dh  r-  dr  r 


CHAMJEMENT     DE     VAUIABLES.  22D 

fl- ti         rl-n  d- Il  rns*6rns-']/         fl-ii     sin*'i 

-; —  —  -T— :  siii^O  cos'^o  -  -  -77— r i — TT—  -  ^-„,- 

</./-2         lit'-  '         ^/02  /-î  d'!^2  /-îsm^O 

sinO  rosO  rns^il;    d- 11  fi- 11    sin'l/cos'li 

'^  /•  drdi)        '^  d'idr  1- 

d-ii    sin'i/ «ns'l/        du  ros^O  rns2>i, -- sin-'!/ 

d^d<^    r-tang6         dr  r 

du  /sm-i) — asin^Ocos^d/X  ^m  sin 'ii  cosd; 

"^'  M^"^      \         ""Tîiin^e  '/  '"'^  d^    r^sin^e    ' 

d-ii         d-ii     .    ^.     .       ,  I    d- Il         -.„.,,  '^^f    cos^'ii 

-,- -  —  —;—-  sin-fJ  sin^o ----  cos-tj  sin-6  -, j—-  —  -  .    ',- 

dy^-        dr'-  '        r'-  d^'^  '         d'\^  ^Ssin^O 

d-ii    sinO  cns6  sin2>l(  d'^  u    sinJ/cosdi 

"'  ^  567/r  T  ~  ^  dÇdr  'i- 

d- Il    sin'Lcos'i/         du  ros-0  sin-'lv  —  ros-'ii 


d^  d'I    r-tangO  dr  r 

du         -,   /rns^'l/  —  9. sin^Osin^  J/\  f/w  sin-!/ cos-^ 

ao  \  /--sjnu  /  d'I    /--sin-Q 

d^u        d^ii  r/2,/  sin2  6  (72?/,    sinOcosB        .t?;/ sin^fj 

./7^  "  7/7^  cos-0  -     ^^  -^;^  2  ^1^^  -  — -—    ^  ^-  — ^ 

du  «in  6  rnsft 


■    ^  d^)  r^ 

En  faisant  dans  ces  formules')  =  - ,  on  obtient  les  formules  rela- 

lives  au  ciiangemenl  des  coordonnées  rectangulaires  en  coordonnées 
polaires  dans  le  plan;  r  est  alors  le  rayon  vecteur  et  'h  l'angle  polaire. 
Far  suite,  elles  permettent  aussi  de  passer  des  coordonnées  ordi- 
naires aux  coordonnées  semi-polaires. 

2.  \'oici  deux  manières  de  transformer  la  quantité 

â^ii        d^ii        ()^u 

\^u  =  — -,  -.-    ,— ^.  • 

dx'^       fjy^         Oz-^ 

'61  l'on  poser  =  rcos'l/  sin  0.  r  =  /■  sin-l/sinO,  z^^  rcosO,  on  a,  ;jl  dési- 
;:nant  co's  0, 


r   i)-i  ru  1 
r      or- 


I  f)-a  \     d  V  du  ,1 


Ln  luisant  tang—  =  ei'.  on  a 


^i)^(rii\       [eP     -  p-i>\'^ /<)-ii        à'^ii- 

^2U  = r^---( (TTi-  ^    •      (^Aiîciiv.l 

/•     Or-  \      ir       I   y)'Y        (^p-f 

ij.  Le  changement  de  variable  suivant  est  souvent  emplové  : 

=  seco; 


2 

Traité  d'Analyse,  I. 


226 

|)ar  suite,  on  a 


cjiAi'iïiu;   IX. 


—  =  taniru,     =  siiiu, 


+   '■  h      -v  =  lo"  la  II: 


et  li  vient 


tanf 


rf^_rf^     ^'»"SU"^ï 


a-i) 


dx        f/cp 


I  -t-  tan' 


dy 


,A..<=«^?' 


-7-=^  =  ~r     cos^ca •-  siiicp  coscp. 

dx'^        ««f-  '        acp         •  ' 

4.  X,  y,  z  étant  fonctions  de  t,  on  suppose  que  l'on  opère  un  chan- 
gement de  coordonnées  et  que  l'on  pose,  par  conséquent, 

a?  =  «  ;  -i-  6  T,  -J-  c  Ç, 
y  =  a"c,^b'c^-~c'l, 

z  —  a"^  -^  b"r^  -t-  c'X, 

a,b,  c,  .  . .  désignant  neuf  cosinus  liés  entre  eux  par  les  relations  con- 
nues, «2^  ^2  ^_  c^  =  I, .  .  .  ,  aa'  —  bb'  -+-  ce  =  o,  .  . .  ;  on  propose  de 
dire  ce  que  deviennent,  dans  le  nouveau  système  de  coordonnées,  les 
expressions 

d'^y  dx  —  d-x  dy,     d-  z  dy   -  d'^y  dz,     d'-x  dz  —  d-z  dx, 

et  le  déterminant 

dx       dy      dz 

d^-x     d^-y     d'-z 

i   d^x     d^y     d^z 

dy    d^Y 
o.  Que  deviennent  -y-5  "y >'•  '  '  'l'i^""'  on    prend,   pour  nouvelles 

variables,  u  et  v  liées  par  les  équations 

X  -r-y  =  u,    xy  =  V. 

,.  .    .  .  ,,      ()0     d6     ^20       ()20 

6.  Que  deviennent  les  dérivées  partielles  t~'  -;~'  t"»'  "t".    '  •  "  ■ 
^  '  ox    ây    ox^     oxOy 

quand  on  pose  x  -h  y  —  u,  xy  =  v,  ou  u  -^-  v  =  x,  uv  ^  y  ? 


CHAPITRE  X. 

T11I^:()RIE  DES  SUBSTITUTIONS  LINÉAIRES. 

V  I.  —  Définitions. 

Une  des  plus  belles  applications  que  l'on  ait  faites  du  chan- 
gement de  variables  est  la  théorie  des  substitutions  linéaires. 

On  dit  que  l'on  fait  une  substitution  linéaire  quand  aux 
variables  X4,jro,  .  .  .  ..r,,  on  en  substitue  d'autresjKnJ^a?  •  •  •  »  J'h 
liées  à  celles-ci  par  des  équations  linéaires  et  homogènes. 
Ainsi,  en  posant 


(0 


^2  =  Y2I  7i  -^  Y22  y-i  --••■—  '(in.  .r„, 


'il  --  Y"lJ  1"*"  Y''2j'2"T-.  .  .-+-  '[nnyn, 

Yh)  Yi2i  •  •  •  désignant  des  quantités  indépendantes  des  x  et 
desj',  on  fait  une  substitution  linéaire;  les  formules  suivantes, 
d'où  l'on  déduit  Xf,  x-,,  •  .  •  ;  ^«,  deviennent  (après  que  l'on 
en  a  déduit  ^,,  x-i,  •  •  • ,  Xn)  ce  que  l'on  appelle  la  substitu- 
tion inverse 

Xi  =  Yl  1  -^I  "^  Ï2I  X-i^-  .  .  .—  '(211  -^n, 


y  II  —  'lln^X  ~~  Y"-'t  "^11  ~^  •  •  •        '{lin  ■^11- 

Le  déterminant  ^-  ^  yn  Y22  •  •  •  Y««  est  ce  que  l'on  appelle 
le  module  ou  le  déterminant  de  la  substitution  (i).  Quand 
ce  déterminant  est  i,  on  dit  que  la  substitution  est  unimo- 
dulaire. 

La  substitution  (i)  est  orthogonale  quand,  appliquée  à 
la    fonction    x'\ -t- x'I -\- .  .  .  -r- x'f^ ,    elle    la     transforme    en 


228  CII.VIMTRK     X. 

La    substitution    (i),    appliquée    à  x'^  -^  x't -\- .  .  .   ^~  x'f^ , 
donne 

(  -i  )  ^'  V'  1  .>'i  -^  T'2  J'2  —  •  •  •  -^  T'« J'"  )■ 

XT'iJ-T/vj)'[j.^'v; 


ou 


cette  expression  devant  être  identique  à  r'f    -^^2  "r- •  •  •  -hj'« 


on  a,  pour  \x  >  v, 


(3) 

et,  si  l'on  effectue  le  carré  du  déterminant   X,--  Tu  •  •  ■  T"'" 
on  le  trouve,  en  vertu  de  ces  formules  (3),  égal  à  -;-  i  ;  donc  : 

Le  /nodule  (V une  substitution  ortJiogonale  est  égal  à 
±  I. 

On  peut  résoudre  les  équations  (1)  par  rapport  à  )',, 
I0,  .  .  .  .^^„  :  il  suffit  pour  cela  d'avoir  égard  aux  relations  (3)  ; 
si  l'on  multiplie  la  première  par  y, ,,  la  seconde  par  Vj,,  etc., 
et  si  Ton  ajoute,  on  trouve 

?-wi- 

On  pourra  joindre  aux  formules  (3)  les  suivantes  : 

2  ^'''i^"'"'  ""  °'  ^     ^  ïr'  p^  '-  ° 

(4)  , 

pour  [i-^v,  qui  résultent  de  ce  que  la  substitution  précédente 
est  orthogonale  comme  (  i  ). 

Voici  une  méthode  indiquée  par  M.  Brioschi  pour  former 
des  substitutions  orlhoironales. 


IIIÈOIUK     UKS     SUBSni  LIIONS     LI.N/CAIRES.  229 

(Considérons  les  deux  svslcmcs  d'équations 

1     ''21  '?'l  rt22-ï'2—     .  .-    a2rt  a7,j—   t«2, 

( ; 

,'  «7,.  .r, -:-«,,  .Ta --...-■- a„i  J-n=  t^i, 

(2) 

I ::■•• 

elsupposons  «/i=  i ,  (iij=  — aji',  multiplions  les  équations  (i) 
par  r,i,  c/o,  .  .  . ,  c,«  et  ajoutons-les;  nous  aurons 

•^l(C,lrtll-  -  C,2«21— •  -  C,„rt,;,)    1 

~  ^"2(^1  «12  —  C,-2  «22  ~  .  .  .    -  C/„  a„2)    }  —  Cil  "1  —  C/2  i<2  -^  •  •  •  "  <^//l  "«• 


Le  premier  membre  de  cette  équation  se  réduira  à  f,,  si 
Ton  pose 

Cil  '^ij    '  Cil  ^îj  —  •  •  •  —  Ciii  a„j  —  aji  --  —  ttij, 
ou 

Cil  Clij     -  Cil  Ct-ij  —  -  •  •  —{Cii--  I  )a/y—  .  .  .  —  Cin  Clnj  =  O. 

On  déduit  de  là  les  valeurs  des  c/y 

1    r  (>A  c)A  f>A  1 

Cij—  - «ij—  -7 —   «2/    -.  .  .—  -;; ■  Clni      5 

A  désignant  le  déterminant  des  quantités  rt/y.  Cela  posé, 
multiplions  les  équations  (2)  par  cl^l^  cl^it  •••,  dni',  nous 
aurons 

xiiaiidii-  ai=,d.u--.  .  .  «m  </,„)-  •  .  .=  du^i  -r-daVi  —  .  .  .  —  d„iV„, 
et,  pour  que  le  second  membre  se  réduise  à  ///,  il  suffît  que 

'^li <^Jl  -~  "2i  <^y2  —  ■  •  ■  —  dm  ajn  ^-'  dij  ', 

on  en  conclut 

.         i  /  f)\  o\  \ 

dji  -=  -  I  o-ii  -^  a/«  -r^ .  .  .  )  7 

^        y\'Jaij  Oaoj  ) 


23o  CHAPITRE     X. 

par  suite  dji  =  c/j.,  cl  l'on  a 


Cu  ^i  -.-  Ci2  Uî 
C21  «I  -i-  C22  «2- 


•-+-  Ci„  M«, 
-f-  C2/1  M;j, 


l'/,   —  C/,|  ;/]  --  C„2  «2  "*"  •  •  •  "+"  ^nn  W/M 
?/,   =  Cl,  4^1   +  C21  P2  -^  ■  •  •  +  f«l  V'i  , 


U„=  CuiVl 


C2ni'2 


Ces  formules  ayant  lieu  simultanément,  il  est  facile  de  voir 
([uc  les  substitutions  qu'elles  représentent  sont  orthogonales, 
ce  que  Ton  vérifie  en  formant  c^  i  f,  —  C21  ('2  -r-  ••  •  an  moyen 
du  premier  système,  et  en  observant  que  l'on  doit  avoir  iden- 
tiquement u,  etc. 

Voici  une  application  de  ces  formules  :  posons 


au  =  I, 
«21  -^  — 
«31  =  [J-, 


«12  =  V,  «13  =-|X, 

«22   ^^^    I)  «23   ^^   '^) 

«32   —   —  ^M        «33  =^    I  ; 


nous  aurons 


A  = 


X2-r- 


ensuite 


Cu      C21  —  [XC31—   I) 

—  vcii     C21-+  Xca,  r^  V, 

[J.  Cil  À  f  21—      C31  =   [J., 

d'où  l'on  lire 

C,,==i(l-|-),2_;x2-v2),       C2i  =  |(Xa-f-v), 

C22  =  ^(l  -^  t^'-^''  ^-'^^')'       ^32  =  |(  [J-V  --  )>  ), 

C23  =  |(l^v  -  X),  C33  -  ^(i  -^  v'-  >^'-  !^-)- 


C31  =  -^(>>V   --|X), 


Cl2  =  ^(>'IJ-—  V), 


Ces  formules  ont  été  données  par  O.  Rodrigucs,  qui  les  a 
trouvées  i)ar  une   tout  autre  voie;  elles  servent,  comme  les 


THÉORIE    DKS    SU  B  S  T  I  TT  T  I  ON  S     LINÉAIRES.  23l 

Connulcs  d'Eiilcr,  à  la  Iransforination  des  coordonnées,  mais 
les  neuf  cosinus  sont  ainsi  ralionnellcment  exprimés  par  le 
nioven  des  trois  paramètres  A,  [jl,  v. 

Si  l'on  appelle  0  l'angle  dont  il  faut  faire  tourner,  pour 
l'amener  sur  le  second,  le  premier  système  d'axes  autour  d'une 
droite  faisant  avec  les  anciens  ou  les  nouveaux  axes  les 
angles  a,  [i,  y,  Rodrlgues  a  montré  que  l'on   avait 

X  =  tangiOcosa,     [jl  =    tang|0  cos3,     v  -  langiO  cosy. 

(  J'oir  le  Journal  de  Lioin'ille,  t.  ^^  i'°  Série). 


>^II.  —  Application  des  substitutions  linéaires  aux  fonctions 
homogènes  du  premier  degré. 

Le  but  des  substitutions  linéaires  est  la  simplification  des 
fonctions;  en  Géométrie  analytique,  les  transformations  de 
coordonnées  sont  des'substitullons  linéaires. 

Lorsque  l'on  fait  subir  une  substitution  linéaire  à  une  fonc- 
tion telle  que 

on  peut,  et  cela  d'une  infinité  de  manières  (c'est-à-dire  au 
moyen  d'une  infinité  de  substitutions),  la  ramener  à  la  forme 
donnée 

V-i Ti  —  l^îVi -^ . . . -f-  !-«■«:>'«• 

De  même,  étant  données  /i  fonctions  linéaires 


l/f  ni 


An  X^  -V-  Âio  3^2  -4-.  .  .—  À|, 

Aoi  ^l  -i-  ^22  J"2  -^  .  .  .  -T-  k-2,i  X„, 

'>«!  Xi  —r  /^nîXo  -T-  .  .  .  -+-  A,j,j  X,i , 

si  Ion  lait  la  substitution 

^n  =  Y«l7l  -^  T«272  —  .  •  .  -r-  '(niOn , 


232  (.Il.VPITUK     \. 

elles  do\  icikIioiiL  rcs[)ccli\cinc'at 


où  l'on  a  posé,  pour  abréger, 

Si  donc  on  se  donne  jj.,i,  a/o,  ■  •  • ,  [J./«  à  l'avance,  on  aura 
/? ^équations  entre  les  fi-  quanlilés  y/y  pour  déterminer  ces 
quantités;  si  l'on  se  donne  tous  les  tx^y,  on  aura  ainsi  n-  re- 
lations entre  les  y,/;  donc  : 

On  peut  toujours  ramené/-  sùnultanément  n  fonctions 
homogènesdupremicr  de  gréa  d'autres,  donnéesà  l'avance, 
au  moyen  d'une  substitution  linéaire,  et  cela  d' une  seule 
manière. 

Il  y  a  pourtant  une  exception  à  cette  règle;  en  cfiet,  les  y/y 
ne  sauraient  recevoir  des  valeurs  bien  déterminées  si  le  déter- 
minant 7  ::r  \^^  "ko^.  ■  •  \in  était  nul,  mais  alors  il  existerait 
des  relations  linéaires  entre  les  coefficients  "Xij,  et  les  fonctions 
considérées  ne  seraient  pas  distinctes,  ce  qui  est  d'accord 
avec  le  théorème  (p.  i68). 

Nous  remarquerons  enfin  que,  en  vertu  de  (i),  le  détermi- 
nant des  fonctions  données  est  égal  à  celui  des  transformées, 
multiplié  par  le  déterminant  de  la  substitution.  Ce  théorème 
sera  généralisé. 

JIII.  —  Application  des  théories  précédentes  aux  fonctions  homogènes 
du  second  degré. 

Les  fonctions  homogènes  du  second  degré  jouent  un  rôle 
important  dans  un  grand  nombre  de  questions  d'Analyse,  et 
en  particulier  dans  la  lliéorie  des  maxima  que  nous  allons 
bientôt  étudier. 

Une  fonction  homogène  du  second  degré  en  .T),  x-i,. . .  ,x„ 


TIlfMUlIR     l)i:S     SI  IISTlTrriO.NS     LINÉAIKKS.  '>,33 

peut  èlre  représentée  par  le  s^nil)olc  \^rttj  .r^ :rj,  où  l'on  snp- 
posc  Oij^~  ciji\  ainsi  on  a  pour  le  cas  de  deux  variables,  par 
exemple, 

^^(tjjXiXj       «1,  .r\  --  ■?.  aiiXiXi  --  aiix\. 

TnKORKNrE  ï.  —  Toute  fonction  lioniogùne  du  second  de- 
<^rc  à  n  variables  est  une  sonune  de  n  carrés  positifs,  néga- 
tifs ou  nuls  (  '  ). 

Si  Ton  pose,  en  efTet, 

'  (lij  Xi  .ry  -  (  Yn  J^i     -  Y 1 2  -^2  —  •  •  •  -  ï  1  «  -^n  y- 


!:■ 


(  '[il  J\  -  -  Y22  ■<"2  -*-••-  --  '{-lu    r,,  )- 


,      .  ,         /î  (  /i  —  I  )    ,  .  ,        ,  1  pp     . 

on  ol)lien(Ira     équations  en    égalant   les  coellicienls 

de  .i'\,  Xx  Xo,.  .  .  ;  ces  équationspcrmeltrontde  calculer  d'une 
inlinité  de  manières  les  quantités  y/y  en  nombre  n'-. 

Pour  effectuer  la  décomposition,  on  peut  procéder  comme 
\\   suil  :  on  a 

N   a^y^/a-y  =    («11^1  —  «12^2  — ■..—  «lrt^«)-      ^/l, 

fi  désignant  un  polynôme  liomogènc  du  second  degré  qui 
ne  contient  plus  .r,;  en  opérant  sur  y",  comme  on  a  opéré 
sur  2j''ij^i^j->'^^  peut  le  décomposer  en  un  carré  contenant 
les  variables  Xo,  x-^,  .  .  .  .  a:„  et  en  une  fonction /"o  du  second 
degré  ne  contenant  plus  j",  ni  x.>^  et  ainsi  de  suite,  y  aijXiXj 
se  trouve  ainsi  décomposée  en  n  carrés,  dont  le  premier  peut 
contenir  toutes  les  variables,  le  second  toutes  les  variables 
excepté  X,,  le  troisième  toutes  les  variables  excepté  j^i,  a^o,  etc. 
Cette  méthode  tombe  en  défaut  quand  «n  =  <^22  ^=  •  •  ^^  o, 
mais  alors  on  pose 

^^B  «12 

X  (a2iar, -+-  a^iX^--. .  .—  am^n)    -fi, 
(')   Un  cane  négatif  est  un  cane  précédé  du  signe  — . 


234  nUAPITRE    X. 

^  clrsigiinnl  un  polvnome  du  second  degré  ne  conlcnanl  ni 
X,  ni  .?•»;  on  appelant  X  cl  Y  les  fonctions  linéaires 

«lî-To-    . ..  — ai„.r„     et     OiiTi--. .  .-^  a.2„T„, 

on  voit  que  .V  i  =  [ —     -  )  —  (  —  —  )    et  que  la  (oucIidu 

^ciijXiXj,  dans  le  cas  où  ûf ,  --  «22  =  .  .  .  :^  diin-^  o?  peut 
se  décomposer  en  deux  carrés  et  en  une  fonction  du  second 
degré,  ne  contenant  plus  œ^  et  ^r^,  à  laquelle  on  pourra 
appliquer  l'une  ou  l'autre  des  méthodes  que  nous  venons 
d'indiquer. 

Théorème  II.  —  Loi  de  l'inertie.  —  De  quelque  /manière 

que  l'on  déeompose  la  fonction   réelle  2,^ijXiXj  =  f  en 

une  somme  de  carrés  indépendants,  on  trouve  toujours  le 
même  nombre  de  carrés  positifs,  négatifs  ou  nuls. 

Pour  démontrer  ce  théorème,  nous  observerons  que,  si  l'on 
considère  deux  groupes  de  fonctions  linéaires  et  homogènes 
de  a^i,  X21  •  •  •-  Xfi  indépendantes,  savoir  X,,  Xo,  •  •  -,  X,-, 
et  Y,,  Y 2,  -  .  • ,  Yy,  telles  que  iy  J,  les  fonctions  X,,  X2, 
.  .  . ,  Xi  ne  sauraient  s'annuler  toutes  identiquement  quand 
on  suppose  Y,  =:  Y2=  .  .  •  =  Yy=  o.  En  effet,  les  fonctions 
Y,,  Yo,  .  .  .,  Yy  étant  indépendantes,  on  pourra  calculer^,, 
Xo,  .  .  . ,  ^y  en  fonction  de  Y, ,  Yo,  •  .  . ,  Yy  et  de  ^y^, ,  ....  a:,, 
et,  par  suite,  on  pourra  exprimer  sous  forme  linéaire  et  ho- 
mogène X),  Xo,  .  .  . ,  X/  en  fonction  de  \,,  Yo,  -  -  • ,  Yy, 
^j+i,   ■  •  ■  '  -^ii-  Soit,  par  exemple, 

Xyl-  =  Xi  Yi  -T-  X2  Y,  —  .  .  .  -^  X,  Y/  -r-  [X,  a-jH-i  --  [J.2S:,+2  -h  .  .  .  -r-  lt.„-iT„, 

les  ).  et  les  pi  désignant  des  constantes.  Si  les  X  s'annulaient, 
en  supposant  les  Y  nuls,  on  aurait  /  équations  de  la  forme 

ij-i Xi^i  —  [J-i^i+i --...—  [t-n-i^n  ---  o, 

qui,  ayant  lieu  quels  que  soient  .T/^.!,  Xi^2i  •  ■  •  :  -^ni  donne- 
raient  [x,  ^-- o,   jjLa-^o,    ...,    [JL„_/-     o,   et  par   suite    les    X 


THÉORIE    DES    SUBSTITUTIONS    LINÉAIRES.  235 

|)c)iirraienl  s'exprimer  au  moyen  des  \,  qui  sont  en  noml^rc 
moindre  que  les  X  :  les  \  ne  seraient  donc  pas  distincts. 

Cela  posé,  soient  Ui,  Uo,  .  ■  . ,  U/,  V(,  Yo,  .  .  . ,  Yy,  X,, 
Xo,  ....  \/i,  ^  , ,  ^  o.  .  .  ■ ,  \  /  des  fonctions  linéaires  et  ho- 
mogènes de  .r,,  Xj,  .  .  .,  j:,i  telles  que  les  U  et  les  Y  soient 
distincts,  ainsi  que  les  X  et  les  \  ;  on  aura  nécessairement 
i-\-  jSfi^  A' -r  ISn-  '^c  dis  que  l'on  ne  pourra  avoir  à  la  (ois 

^  (tijTiXj  —   Uj     -  U.^  -    . 

2j'iiXiXj  —  Xj    -  X2  -T-  - 
ou,  quels  que  soient  .r,,  ^o, 

u^-u^  ...   uj- 


..     .U7-Vr-Vi-. 

■■      V;, 

..  ^X^-Y^-Y^-.. 

.-Y-^ 

....   X,i-, 

Vf-...-V|=X?--. 

Y?-...    -Y% 

si  Ton  n'a  pas  /       /,, y  :r=  /.  En  effet,  supposons  que  l'on  puisse 

a\  oir 

i<k\ 
on  aurait  aussi 

(2)  i.^i.'k-^-l\ 

mais  si  Ton  suppose  U4,  Uo,  ....  U/  et  Y, ,  To»  •  •  ■  i  ^/nuls, 
les  quantités  X, ,  Xo,  ....  Xa,  1a,  .  .  .  ,\i  qui  sont  indé- 
pendantes et  en  nombre  supérieur  ne  s'évanouissent  pas 
identiquement,  c'est  cependant  ce  qui  aurait  lieu  en  vertu  de  la 
("oriHnle(i)  qui  donnerait 

\\-    ...    -XI    -\^    ...--\73-0, 

et  qui  ne  |)0urrait  avoir  lieu  que  si   tous  les  X  étaient  nuls. 
Celte  démonstration  est  de  Jacobi  [OE livres  mathéma- 
tiques, t.  III,  p.  32),  et  c'est  M.  Sylvester  qui  a  donné  au 
théorème  précédent  le  nom  de  loi  de  V inertie. 

i  IV.  —  Transformation  d'une  fonction  du  second  degré  en  général. 

En  général,  on  peut  transformer  une  fonction  du  second 
degré  en  une  autre  donnée  a  priori  au  moyen  d'une  substi- 
tution linéaire,  et  cela  d'une  infinité  de  manières. 


0.36  CHAPITRE    X. 

En  etlet,  si  sur  la  l'onction  ^  (iij.r,\rj  à  n  varial)los,  ren- 

lerniant  — ^    — -  coefficients,  on  eirectuc  une  substitution  li- 

néaire,  on  la  transformera  en  une  autre    /^  ^ijyi^^'i'^  ^^  écrire 

que  les  bij  ont  des  valeurs  données,  c  est  écrire  — —  —  rela- 
tions entre  les  coefficients  v,y  de  la  substitution  au  nombre 
de  n'-\  or,  on  a  toujours,  pour  /?  >■  i , 

■2 

Ainsi  deux  fonctions  homogènes  du  second  degré  peuvent 
toujours  être  transformées  l'une  dans  lautrc  au  moyen  d'une 
substitution  linéaire. 

AJais   cette  propriété   n'appartient  plus  aux  fonctions  ho- 

,      .      •  -,           ,        ,          •          c             .  ?i(n  —  i)(n   -i) 
mogenes  du  troisième  degré,  qui  renlerment  — : 

coefficients,  quand  elles  sont  à  /i  variables,  et  OTdinairement 

n(n   -i){  n      Q.) 

~    n'. 

6 

Il  v  a  donc  une  infinité  de  manières  de  ramener  une  fonction 
\  ctijXiXj  à  la  forme  j-^-rj'o-h  •  •  --rj'o?  c'est-à-dire  à  une 
somme  de  carrés  par  exemple,  mais  ce  nombre  de  manières 
est  fini  et  même,  le  plus  souvent,  égal  à  i  quand  on  veut  que 
la  substitution  soit  orthogonale. 

^  V.     Réduction  d'un  polynôme  du  second  degré  à  une  somme  de  carrés 
par  le  moyen  d'une  substitution  orthogonale. 

Considérons  le  poivnùme  homogène  et  du  second  degré 

2  aijXiXj=f{xi,Xi, r,,)^/. 

Si  nous  eft'ectuons  la  substitution  orthogonale 

,    •3"l-^Yll7l-      Y1272  — •••        '[inVu, 
I      .  )    •î-2=Y2lJl         Y2272-      ••■  — Y2".l'«' 

(•■■: 


TIIÉORIK     l)i:S     SLnSTITlTIONS     LINÉAIRES.  23" 

UÙ 

(  '!t  [X  '    Y2;a  '  '  •  •  •   ■  ■  Y/i|J.  ^     '  • 

la  fonction  /prendra  la  forme 

el,  si  l'on  fait 

\^  \  Aa  pour  a  =  v, 

■*"  f     o   pour  ;JL  :    V, 

on  aura  sinnplement 

(4)  /  :A,ji--A,ji-...-A„7^ 

La  fonction /sera  donc  décomposable  en  une  somme  de 
carrés,  s'il  est  possible  de  trouver  des  quantités  -'/y  satisfai- 
sant aux  équations  (2)  et  (3). 

Nous  ferons,  dans  ce  qui  va  suivre, 

or  les  formules  ( '■]  1,  pour  '-/-^v,  peuvent  s'écrire 

Tia(«llTlV  — «12  727  — ..  .  )-t-Y2!x(«îr,'lV-^«22T2V—  .  ..  )-r-.  ..  =0 

ou  bien 

'{i'j.fi('!iy7'!rj'  . . .  >  -   Y2u./2(^ Yiv.Y2v,  ...)—...=  o. 

•   Comparant  cette  formule  avec  la  seconde  des  formules  (2),  el 
observant  que  Ion  peut  \  faire  varier  -jl  en  laissant  v  fixe,  on  a 

/i<^Tiv^  Y2V-  ■  •  •  '  _  .fi('ivi-  Y2V  ••■■'_ 
Yiv  ~  72V 

Si  nous  égalons  cette  suite  de  rapports  à  une  indéter- 
minée 5v,  nous  obtenons  les  équations  suivantes,  auxquelles 
nous  adjoignons  la  première  formule  (2)  : 

(an—  «7)717—  «12727  —  .  .  .--  «in7n7=  o, 
«2l7l7—  («22  — «7)7îv  — •  .  •— «2n7/iv=  o, 

^'^        \ 

f    ««1  7l7  —  «,72  727  —  ...—  (  Onn  —  Sy)-(„;  —  o, 

7r/-727  --•••-7«7=  '• 


238 

en 

L'éllminalion  deyiv,  Y2v>  •  • 

en  posant 

«11—5                  «12 

«21,              «22—  « 

0,il,                       «Hl 

CHAPITUK     X. 

entre  les  /i  premières  équalion.s, 


F(^), 


donne 

F(5v)—  o; 

s,,  est  donc  racine  de  l'équation  F(5)  =  o,  que  l'on  appelle 
oi'dinairement  Véquation  en  s. 

s.,  une  Ibis  connu,  les  Ibrinules  (5),  ou  plutôt  n  d'entre 
elles,  feront  connaître  yi^,  y^v,  •  •  •  ;  or,  l'équation  Y  {s)  ~  o  est 
du  degré  n  et  admet  /i  racines  5|,  ^o,  •  •  • ,  5«;  chacune  de  ces 
racines  fera  connaître  un  groupe  de  n  quantités  y^y,  et  le  pro- 
blème sera  résolu. 

Si  Ton  nuilliplie  la  première  équation  (5)  par  y,,^,  la  se- 
conde par  y,,;.  ...  et  si  Ton  ajoute,  on  trouve,  en  ayant  égard 
à  la  dernière, 

2  «'yY,v7/v— ^7=  O 

ou,  en  vertu  de  (3), 

Ay —  5v  =0     ou     Av  =  Sv  ; 
on  a  donc,  en  vertu  de  (4), 


VI.  —  Discussion  des  résultats  précédents. 

L'équation  en  s  a  toutes  ses  racines  réelles;  voici  la  dé- 
monstration que  Lagrange  donne  de  cette  proposition  dans 
sa  Mécanique  analytique  (c'est  la  première  qui  ait  été 
donnée;  c'est  aussi  la  plus  simple). 

Soient  y,^,  y^jj,,  ...  ce  que  deviennent  yj^,  -^rn  •  ■  •  quand 
on  remplace  dans  (5)  s,,  par  5^.;  multiplions  la  première  for- 


Tllf:i>Illi;     DES     SI  BSTITl  TIO.XS    LINf.VIHES.  2og 

mule  (j)  par  Y,jjt,  la  seconde  j)arYj,j_;  ...  la  n"""'  par  y„,j,  et 
ajoutons:  nous  aurons 

(<i)  ^  «/7Y'|J-Ï7v— -SvCYiixYiv-;-.  .  .—  Y«!J.Ynv)  =--  o. 

Nous  oljticndrions  de  même,  en  changeant  <x  en  v  elv  en  u, 

(7)  ^  «'>Y'1aY>"'  —  *ix  (YiîaYiv-^-  .  --^  Y/'IJ-Y/'v)  -■=  o. 

Si  l'ccpialion  F(5)=o  avall  des  racines  imaginaires  (en 
supposant  les  a/j  réels,  bien  entendu),  on  pourrait  supposer 
que  5(i  et  5v  sont  deux  racines  conjuguées,  et  par  suite  iné- 
gales; les  (\eu\  formules  (6)  et  (-)  exigeraient  alors  que 
l'on  eût 

c'est-à-dire  que  la  somme  des  carrés  des  modules  de  -'j,^, 
Yj,^,  .  .  .  AU  nulle,  ou  que  ces  modules  eux-mème&  lussent 
nuls,  ce  qui  est  absurde  puisque,  le  déterminant  ï'{s)  étant 
nul,  on  peut  supposer  que  les  quantités  yj,^,  Vg,^,  ...  ne  sont 
pas  toutes  nulles  ;  d'ailleurs  la  somme  de  leurs  carrés  est 
égale  à  i . 

Mais  l'équation  ¥  (s)  =  o  peut  avoir   des  racines  égales; 

^  pour  reconnaître  qu'il  peut  en  être  ainsi,  formons  -y-;  on  a 
r/F  r)F  r)F  àF 


ds  à(^a,i  —  S)       d{a22 — s)       '"       <Ha,i,i—s) 

et,  pour  que  F(5)  =  o  ail  une   racine  double,  il  faut  et   il 

ds 


suffit   que  l'on   ail  à   la   fois  F  =  o,  -y-  =  o.  Cette  dernière 


r)F 

condition  peut  s'écrire,  en  introduisant  le  facteur  -, , 

d{aii—s) 


[        àF         p 

(8)    [j(^;7=.)J  -- 


tiF  ()F  f)F  f)F 


0{an  —  s)  0{a,i—  s)       '    '       o^Ux^  — s)  0(ana— s ) 
Or  on  a  (p.  i()i) 

^2_F _  dF  ^F  /  ,)F  \2 

rJ(a,,—  s)d{au  —  s)  ~  c)(rt,,— 5)  ô^aa— s)  ~~  \'da^, /  ' 


j)4o  CHAPITRE     X. 

(Toîi  l'on  conclut  ((ne,  si  F  i^  o, 

f)F  àF_  _  /  <)F  y- 

d(aiy  —  s)  dan— s  ~  \'^"/i/ 

La  lorinnle  (8)  de\icnt  alors 

r      .)F      "12     /  fW  y  1  ov  y 

^9^  L^(^T7=^)J  ~  l^J  ""■•■^  U.^/  ^'' 

(Toù  Ton  conclut  que,  si  F  ^^  o  a  une  racine  double,  tous 
les  mineurs  de  F  sont  nuls,  et  réciproquement  d'ailleurs,  car 
alors  F'(5)  sera  nul. 

Je  dis  que,  en  général,  si  F (5)  a  une  racine  d'ordre  de 
multiplicité  A,  tous  les  mineurs  d'ordre  h  —  i  de  F(5)  seront 
nuls.  En  eflTel  : 

1°  Les  mineurs  du  premier  ordre  sont  divisibles  par 
is  —  5')^"';  si  F(5)  est  lui-même  divisible  par  (5  —  s')^.  Ce 
théorème  est  vrai  pour  A  =  i;  admettons  qu'il  .ait  Heu  pour 
la  valeur  h  —  i  de  l'exposant  de  s  — i';  alors  F(5),  admet- 
tant le  facteur  {s  —  a'/',  admettra  le  l'acteur  (a- -- .s')'^~'  a 
fortiori,  et  ses  mineurs  le  facteur  [s  -s'Y~-\  le  premier 
membre  de  (9)  admettra  le  facteur  [s —  s')-^~^,  car  c'est  le 
produit  de  F'(5)  par  un  mineur  de  ^ [s)\  mais,  par  suite,  11 
admet  nécessairement  le  facteur  {s  ^  s')-^~-,  et  chaque  mi- 
neur considéré  admet  le  facteur  (s  ^  s'y~'. 

C.     Q.     F.     D. 

2°  Désignons,  pour  abréger,  —-  par  a/y  et  considérons  la 
formule  identique  (p.  161) 

I     CL,j         a/,y        .  .  .        Cl,,j 

f)h-\  p  a//       a/,/         .  .      a,,/ 


FA-2  . 

daijduki . .  .  Oa,„, 


^k., 


Le  second  membre  admet  {h — ^  i)-  fois  le  facteur  5  ^ — s': 
Qj.pA-2  l'admet  h  (h  —  2)  fols  :  donc  un  mineur  d'ordre  A  -  i 
l'admet  (/i  —  i)- — h(/i  —  2)^=1  fols.  c.   q.   f.   d. 

Maintenant  revenons  à  notre  substitution.  Si  l'équation 
F(5)=  o  n'a  pas  de  racines  multiples,  elle  sera  réelle  et  elle 


THÉORIE    DES     SUBSTITUTIONS     LINÉAIRES.  ^4  I 

existera  en  eflet,  les  mineurs  de  F  étant  différents  de  zéro  ;  les 
équations  (5),  ou  plutôt  n  — i  d'entre  elles,  fourniront,  pour 
les  rapports  des  quantités  v^,^,  des  valeurs  réelles. 

Si  l'équation  F  =  o  a  une  racine  double,  les  rapports  des 
v-,^  seront  indéterminés  parce  que  les  mineurs  de  F  seront 
nuls,  mais  alors  un  des  rapports  v,,^  ;  v^,^,  .  .  .  pourra  être 
choisi  arbitrairement,  et  la  substitution,  réduisant  F  à  une 
somme  de  carrés,  sera  possible  d'une  infinité  de  manières. 
L'indétermination  serait  plus  grande  encore  si  F  avait  une 
racine  d'un  ordre  de  multiplicité  plus  élevé. 

Corollaire.  —  Si  l'on  veut  savoir  en  combien  de  carrés 
positifs,  négatifs  ou  nuls  le  polynôme/  est  décomposable,  il 
sulfit  de  former  l'équation  en  5,  F  =  o,  et,  comme  elle  a 
toutes  ses  racines  réelles,  le  théorème  de  Descartes  montre 
que  y  contiendra  autant  de  carrés  positifs  que  F  =  o  a  de  va- 
riations, et  autant  de  cairés  négatifs  que  F( — 5)^=0  a 
de  variations.  Le  terme  constant  de  l'équation  en  s  est  ce 
que  l'on  appelle  le  discriminant  de  f. 

Voici  maintenant  les  applications  immédiates  de  cette 
théorie  : 

i*'  Si  nous  observons  que  le  terme  constant  de  l'équation 
en  s  est  le  discriminant  de  la  fonction /,  nous  pouvons  dire 
que  : 

Pour  qu'une  fonction  du  second  degré  homogène  de 
n  variables  puisse  se  réduire  à  une  fonction  de  moins  de 
n  variables.,  il  faut  que  son  discriminant  soit  nul. 

En  particulier,  pour  qu'une  fonction  homogène  du  second 
degré  à  trois  variables  soit  un  produit  de  deux  facteurs,  il  faut 
que  son  discriminant  soit  nul. 

2"  Pour  qu' une  fonction  du  deuxième  degré  homogène 
soit  un  produit  de  deux  facteurs  réels  linéaires,  c'est- 
à-dire  une  différence  de  deux  carrés,  il  faut  que  V  équation 
en  s  n'ait  que  deux  racines  différentes  de  zéro,  l'une  po- 
silae,  l'autre  négative. 

3°  Pour  qu'une  fonction  du  second  degré  homogène  soit 
L.  —  TraUé  d'Analyse,  I.  iii 


2^2  CIIMMTllK     X. 

un  carré  parfait,  il  faut  que  toutes  les  racines  de  V équa- 
tion en  s  soient  nulles,  sauf  une. 

4"  Pour  cju^ une  fonction  du  second  degré  homogène  con- 
sente toujours  le  même  signe,  il  faut  que  rétiualion  en  s 
n'ait  que  des  variations,  ou  bien  que  sa  transformée  en 
—  5  n'ait  que  des  i^arialions ;  cette  condition  est  suffisante  : 
dans  le  premier  cas,  la  fonction  reste  toujours  //ositive; 
dans  le  second,  elle  reste  toujours  négative,  etc. 

Celle  dernière  conclusion  esl  surlouL  ulile  dans  la  lln'orio 
des  maxima. 


VII.  —  Réduction  simultanée  de  deux  fonctions  du  second  degré 
à  des  sommes  de  carrés. 

Deux    polynômes   du   second    degré  ^  a-j  Xi  Xj  =if  et 

7  bij  Xi  Xj^=  g  peuvent  toujours  être  ramenés  par  une 

même  substitution  à  une  somme  de  carrés. 

En  efTel,  par  une  première  subslitution  oilliogonale,  on 
peut  ramener  /  à  la  forme  5,j)'^  -f-  a'o  ri  -\- .  .  .-\-  s„j-'j^ ,  cl  g 

prend   alors    une    forme    telle    que    7  (^ij J'iJ'j'i  si    Ion  fail 
ensuite  la  substitution 

on  aura 

Une  dernière  substitution  ortliogonalc  laissera  à/ sa  forme, 
tout  en  ramenant  _^  à  une  somme  de  carrés;  /  et  g  seront 
alors  tous  deux  des  sommes  de  carrés. 

Maintenant  la  possibilité  de  la  réduction  esl  établie  ;  il  ne 
peut  y  avoir  exception  à  la  règle  que  sii|,.So,  .  .  .  sont  nuls, 
et  alors  on  peut  opérer  sur  g  comme  on  a  opéré  sury',  sinon 
f  ei  g  ont  leurs  discriminants  nuls  cl  sont  des  sommes  de 
moins  de  n  carrés.  Dans  ce  cas,  on  jicut  encore  réduire  y  cl  g 
à   des  sommes  de  carrés,  en   observant   que,    ces  fondions 


TIIÉORIK    DES     SUBSTITUTIONS    LINf-AlKES.  a/j^ 

élanl  des  foiiclions  de  moins  de  n  vari;d)lcs,  on  |)eul  rai- 
sonner sur  ces  (onctions  en  mellanl  les  variables  dislincles 
en  évidence. 

Pour  cirecUicr  la  réduction  simultanée  des  deux  formes  à 
des  sommes  de  carrés,  on  procède  comme  il  suit. 

Pur  la  substitution 


(■) 


"i       Tii.i'i  "-  T12J2 


'{lin  J'ily 


f  el  g  deviennent  respectivement 

pourvu  que  l'on  pose 

y\   o     pour      iji  >  V, 
•<*"  (   A  jjL  po  u  r     ji.  =  V  ; 

(3)  X^/yY'!xT<v  -=     „ 

.«"  (     Dix  pour        IJL  ^  V. 

Pour  déterminer  les  v,y,  on  remarquera  que,  si  ij-^v,  ces 
relations  peuvent  s'écrire 

ÏIIJ-  /l  (Tiv  j  7-''''  .  .  •  >  -     '(i\l.  A  (  Y1V1  Yiv.   ...  I  --  . . .  =0, 

Y"  V- 1"^!  (  Y»"' I  Y^v,  .  ■ .  )  -^  Y2a  o'2  (  Yiv î  Y2V)  •••)-+-••  •  ~  o  ; 

d'où  l'on  tire 

/.  _  .A  _       _  A, 


En  égalant  ces  rapports  à  \,  on  a 

(«11  — ^-6ii)Yiv  -+-  («12—  ^^/-'l2)Y2v- 


(|) 


(«21—  À62,)y,v  —  (ao.—  X622)Y2v-I-    . 


•   =    O, 


ces  équations  donneront,  en  éliminant  les  y,,^, 

«11  —  X^ii      Oi^  —  lhii      ...     «i«  — X/;i„ 

«21 —  X^21          «22 —  X^22  •••        Cîri —  X^2« 


«„1  X^„,        «„2  À  6„2 


«/^/^  —  'ffj,,,! 


244  CIIAPITRi:     X. 

L'équation  A  =:  o  a  n  racines  qui,  mises  à  la  |)lace  de  \ 
dans  (i),  feront  connaître  les  rapports  de  ii  sxslèmes  des 
quantités  *'/yet  par  suite  feront  connaître  la  substitution  dont 
on  a  besoin. 

Des  équations  (4)  on  lire,  en  multipliant  la  première 
par  Vj.^j  la  seconde  par  y^v,  etc.,  et  en  ajoutant, 

^  <^//  Y/v  Y/v  —  '^"j^^iJ  Y'V  Y/'  =  O' 

c'est-à-dire 

A,  =  Àlîv 

Comme  jusqu'ici  les  rapports  des  v.,^  sont  seuls  déterminés, 
on  peut  achever  de  déterminer  ces  quantités  en  se  donnant 

B,,  B. ,  et  alors  ï^^j  W^>  ...  seront  les  racines  de  A  =0; 

ces  racines  ne  sont  pas  nécessairement  réelles. 


VIII.  —  Discussion  de  la  théorie  précédente. 

Pour  que  les  calculs  que  nous  venons  d'esquisser  con- 
duisent à  des  résultats  admissibles,  il  faut  : 

x°  Que  l'équation  A  =  o  ait  effectivement  n  racines; 

2"  Que  les  racines  de  cette  équation,  mises  à  la  place  de  \ 
dans  (4),  fournissent  des  valeurs  bien  déterminées  pour 
les  v^,^  ou  au  moins  compatibles; 

3°  Que  les  quantités  ^(Yijj.,  Y2|j.î  •  =  •>  Ynii)  "^  soient  pas 
nulles,  car  alors  les  quantités  Bjj^  qui  leur  sont  égales  ne 
pourraient  pas  être  choisies  arbitrairement;  à  la  vérité,  cela 
n'empêcherait  pas  de  réduire  /et  g  à  des  sommes  de  carrés, 
mais  les  fonctions  transformées  ne  seraient  pas  équivalentes 
aux  proposées,  puisqu'elles  contiendraient  moins  de  n  va- 
riables; 

\''  Il  faut  encore  que  la  transformation  (i)  soit  ce  que 
j'appellerai  réversible,  c'est-à-dire  que  son  déterminant  F 
soit  différent  de  zéro,  afin  que  les  y  puissent  se  calculer  en 
fonction  des  x  et  que  les  formes  primitives  de  /et  g  soient 


THÉORIE     DES     SUBSTITUTIONS     LINÉAIRES.  2^5 

é(jiiivalenlcs  à  leurs  Iransfonnccs  et  que  celles-ci   puissciil 
réciproquement  reproduire  les  premières. 

Nous  supposerons  le  discriminant  de  _^  dilTérent  de  zéro; 
alors  A  :=  o  aura  bien  n  racines  égales  ou  inégales;  s'il  n'en 
était  pas  ainsi,  on  opérerait  sur  /"comme  on  opère  sur  ^'^,  et 
l'ice  versa;  si  le  discriminant  de  /  était  nul  aussi,  les  fonc- 
tions /"  el  i'  ne  seraient  ni  Tune  ni  l'autre  des  fonctions  de 
n  variables,  el,  pour  faire  les  calculs,  on  opérerait  sur  les  fonc- 
tions/et  ^«^  réduites  à  moins  de  n  variables.  Ainsi  l'on  pourra 
supposer  le  discriminant  de  g  différent  de  zéro.  Cela  posé  : 

Théorème.  —  Si  l'éfjiiation  A  ^i:  o  admet  pour  racine 
simple  A,,,  les  mineurs  de  A  pour  cette  valeur  de  \  ne  seront 
pas  tous  nuls,  et  g{'(i;,  '(rn  •  •  •  i  =  13.^  sera  différent  de 
zéro  ;  si  A  :=  <>  admet  a,^  pour  racine  double,  il  pourra  se 
faire  que  les  mineurs  de  A  ne  soient  fias  tous  nuls,  mais 
on  aura  g{\'i-,,  '^'i,,  .  .  .)  =  ]\  =  o. 

Tous  les  mineurs  de  A  n'étant  pas  nuls,  supposons  y^- 
différent  de  zéro,  de  (4  '  on  tirera 


ô\ 

d'où 

or  non>  avons  vu  (p.   iGi)  que 

ôapj  ôuiq        OUpj  ôUiq         dupg  Oai,,  ' 
et,  comme  A  =^  o, 

ôupj  Oai.j  ~  Oapq  daij 
La  formule  {a)  devient  alors 


^'>''''''l''\7)aTj)    '    '^"'^'''^^ 


daij  dap,, 


2.'l6 


<:iiAnTui:   x. 


<)\ 

r)\ 

''"  <>"ij 

"  ^'"^ '''• ')^;/ 

.-- V-;, 

/,  Y2V-    •  • 

(7\ 

Y;v 

t't,  en  supposant  - —      o, 


on  on  conclu l 

J^2^^/'7Y/'vY/v 

ou  bien 

Donc  g-  (Yiv,  Y2V5  •  •  •)  ^^^'^  '^"^  '"^1  difl'crenl  de  zéro,  suivant 

que  -T^-  sera  lui-même  nul  ou  dilTt-rcnt  de  zéro,  car  v.,^,  y^^  ne 

peuvent  être  nuls;  en  effet,  si  y/v  était  nul,  le  système  (4) 
se  réduirait  an  —  i  équations  homogènes  dont  le  déterminant 
serait  différent  de  zéro;  par  hypothèse,  ce  déterminant  étant 

r^j  il  faudrait  alors  que  tous  les  v.   fussent  nuls. 

Ainsi  B,^  pourra  être  choisi  arbitrairement,  si  A  =  o  n'a 
pas  X;  pour  racine  multiple. 

Au  contraire,  la  transformation  ne  sera  pas  possible,  si  A  ^  o 
admet  A,^  pour  racine  double;  ces  conclusions  lombcnt  en 
défaut  quand  tous  les  mineurs  de  A  sont  nuls. 

Examinons  ce  cas.  A  cet  effet,  faisons  varier  les  coefficients 
de  la  forme  /,  et  désignons  par  un  o  une  différentielle  totale 
relative  aux  coefficients  «,y  de  cette  forme;  si  l'on  différentie 
la  formule  (b)  avec  la  caractéristique  o,  on  a,  en  écrivant  g 
au  lieu  de  g  (yiv»  "pv?   .  .  ."l  et  en  négligeant  les  termes  nuls, 


(T-  A     ^  (r-  A 

choisissons  les  oa  de  manière  à  annuler  le  premier  terme  du 
second  mend)re,  nous  aurons 


/    N  fV      '^-"^      >  '^'-^     -^  1 


.n-2    -^^-'Yr/Yy-v 


THÉORIE    DES    SIBSTITUTIONS    LINÉAIUES.  9.47 

Or  0?.,^  n'est  pas  nul  ;  car,  on  (liflcrcnlianl  A  =  o  deux  fois,  on  a 

lorniule  dans  la(|in'llc   le   second   Lcrine  csl  nul,  et   d'où  Ton 
lire,  en  général,  pour  o)>^,  deux  valeurs  dillVrcnles  de  zéro  :  la 

lorniule  (<?)  nous  montre  donc    que  g  n'est  pas  nul  si  -^ 

n'est  pas  nul,  c'est-à-dire  si  \  n'est  pas  racine  triple  de  A  =  o. 
On  verrait,  en  continuant  cette  discussion,  que  g  ou  B^ 
pourra  toujours  être  pris  ai'hitrairement  si  X,^,  étant  racine 
d'ordre  de  multiplicité  h  de  A  =  o,  tous  les  mineurs  d'ordre 
h  -+-  I  de  A  sont  nuls.  Le  contraire  aura  lieu  si  .tous  ces 
mineurs  ne  sont  pas  nuls. 

Voici  maintenant  les  conséquences  à  tirer  de  là  : 
1°  Si  l'équation  A  =  o  a  toutes  ses  racines  inégales,  les 
équations  (4)  iourniront  des  valeurs  bien  déterminées  des  Y/y 
pour  lesquelles  les  B^  ne  seront  pas  nuls,  et  la  transforma- 
tion (i)  sera  réversible;  c'est  ce  que  prouvent  les  formules  (2) 
et  (3),  en  vertu  desquelles 


©■jt  Y"'  7i2»  •  ■  •  •  Vi")     .•?'2(Yi1'Yi2'  •  •  •  •  ïi'i) 

§^l{'il\y^lîii  ■■•j'ilil)       c'?'2(  Y2I'  Y22)  •  •  •  •  Y2") 


Bi  R, 


2°  Si  l'équation  A  =  o  a  une  racine  double,  on  ne  pourra 
pas,  en  général,  ramener/ et ^-  simultanément  à  des  sommes 
de  carrés  par  une  substitution  linéaire  réversible,  la  valeur 
correspondante  de  g  étant  nulle. 

3"  Si  cependant  l'équation  A  =  o  avait  une  racine  double, 
tous  les  mineurs  de  A  étant  nuls,  les  équations  (4)  donne- 
raient pour  les  quantités  v  une  infinité  de  valeurs  admissibles, 
les  rapports  de  ces  quantités  étant  déterminées  dès  que  l'on 
se  donne  l'un  d'eux  ;  les  valeurs  correspondantes  de  g  ou 
de  B  ne  seraient  pas  nulles  et  la  réduction  à  une  somme  de 
carrés  pourrait  encore  s'elTecluer  au  moyen  dune  substitu- 
tion réversible,  etc. 


248  en  A  PII  UE    X. 

IX.  —  Invariants  et  covariants. 

Les  fondions  entières  et  homogènes  portent  souvent  le  nom 
àc  formes  ;  ces  Tornics  sont  quadraluiucs,  cubiques,  etc., 
quand  elles  sont  du  deuxième,  du  troisième  degré,  etc.  Elles 
sont  binaires,  ternaires,  quaternaires,  etc.,  quand  elles 
sont  à  2.  3,  4,  •  •  •  variables. 

Soient  «,,,  «12,   ...  les  coefficients  d'une  forme 

soient  ^21 1  <''i25  •  •  •  ceux  d'une  seconde  forme  /o,  etc.  Si  nous 
effecluons  une  substitution  linéaire,  les  fonctions  /n/a?  •  •  • 
deviendront  des  fonctions  de  j',,  j'2?  •  •  •  ^.'/n  ^^  si  «/y  désigne 
le  coefficient  de  x'^^  jc^  .  .  .  x\  dans  //,  nous  représenterons 
par  bij  le  coefficient  de  j)'^  JK^  •  •  •  ,>'],  dans  la  fonction  en 
laquelle  se  transformera/,.  Cela  posé,  si  l'on  a 

t?(6n,  ^12,  •••,  ^>i\'  f^22,  ••  •  ;  ,.ii>  72)  ••••.r.') 

=  r/",p(«H,    «12-    •  •  •'    «21î   «22'     •  •  •  ;    ■■^1)   •^2-    •  •  •>   '^h)) 

T^'  désignant  une  puissance  du   déterminant  de  la  substitu- 
tion, on  dira  que  la  fonction  cp  est  un  covariant  des  fonc- 
tions/,, /.,  .  .  .,/,«. 
Si  l'on  a  seulement 

0(611,    ^12,     •■•■    ^^21,    ^22,    •••)  =    l''''?(«ll>    «J2,    •■••    «21.    «22,    •••), 

la  fonction  cp  ne  contenant  pas  XiyX-^,  ....  x,i,  on  dira  que  cp 
est  un  inva/-ia/it  des  formes  f\,/-2,  •  •  •  ?  ./w 

Voici  quelques  exemples  d'invariants  et  de  covariants  : 

Théorème  I.  —  Le  déterminant  fonctionnel  de  plusieurs 
fonctions  est  un  covariant  de  ces  fonctions. 

En  effet,  soient  /,,   f.,    /,    des    fonctions    de    x^, 

^2.   ...,  x„\  eifectuons  la  substitution 

[   ^1  ==  Vllji -^  Y12  J'2-!-----t- Vl«J'" 

1  3-2  =  7-2 1  Vi  -^  722  y-i  -+-...■+-  72/i  :>'/( , 

j ■. 


Tiif:()niK   nns   siustititions   linI-aiues.  2^9 

nous  aurons  -t —  =  7,;     or 

0{j'i-y-i .•■«}    '  <>{.ri.x.2 /•„)  '>(ji,j2.  .••..r,,)' 

c'osl-à-dirc 

'H/uA f'n)     ^  y    à(/,,f,,   ....f„)   _ 

fi'(7l,72, yn)  0{Xi,Xz,   ...,.Vn) 

Le  délcrmiiianl  Conclionncl  sera  donc,  en  gciicral,  un  cova- 
rianl;  cependant,  si  les  fonctions  J\,  J2,  .  ■  ••  fn  étaient  du 
premier  degré,  les  variables  Xy.  .r^,  .  .  . ,  x„  n'y  seraient  plus 
contenues,  et  il  deviendrait  un  invariant. 

TnÉonk.ME  II.  —  Le  hessicn  d'une  fonction  est  un  coi'a- 
riant  de  cette  fonction,  qui  se  trou^'e  multiplié  peu-  le 
carré  du  module  de  la  substitution  à  laquelle  on  soumet 
ses  l'ariables. 

Soit,  en  eflet,  /  une  (onction   de  .r,,  x-2,    -    -,  ■?'«  ;  soient 

/, ,  /o,  ....  /„  ses  déri\ées  -^,   ■•■,  ■—,  et  'j>,  ,  -^o,    -j;,, 

ses  dérivées  —  j  •  •  •  ^  —  après  que  l'on  a  efTcctué  la  subsli- 

tution  (  I  );  on  a 

>y(Oi.o,,  ...o,,)  _  0{Oi,'^î,  .•.■">„)    à(fi, /,,..../„)    d(xi,  ...,.r„) 

Le  premier  membre  est  le  liessien  de  /  relatil'  à  j,. 
j-2,  ..,)'„,  appelons-le  H,-;  le  second  facteur  du  second 
membre  est  le  hessien  Hf  de  /  relatif  aux  variables  x,  le 
dernier  facteur  est  le  déterminant  F;  on  a  donc 

(  2  )  J  I  ,   =    '    1 1  >. -. : • 

Or 

"f      r  .,./-.,    ^      _^  /•  ~> 

O,  = =  /,   j'ii  -r-Jl  ,'21     .     •  •  •-+-  /«   ,«!) 

"J'i 

')f 


iOO  cil  A  n  TUE     X. 

ilonc,  en  génrral,  --—  ^=  vy,-,  et  par  suite  la  formule  (2)  devient 

Le  hessien  est  donc  bien,  en  général,  un  covariani  ;  toutefois, 
si  /"élail  du  second  degré,  le  hessien  se  réduirait  à  une  con- 
stante que  Ton  aj^pelle  quelquefois  le  discriminanl  de  la 
fonction  du  second  degré  f  aX.  qui  sérail  un  invariant  de 
celte  fonction. 

Ainsi,  par  exemple,  le  hessien  de  la  fonction 

est  égal  à 

\V-~  AG: 

le  hessien  de  la  forme 

A.r2—  \>2__  s:' z"--^  'i.V,yz  —  7.B'xz  -~  aB'rj 

esl  le  déterminant 

i  A  B"  B'  I 

'  B"  A'  B  !  -.  o. 

I  B'  B  A"  1 

^'^oici  de  nouveaux  exemples  de  covarianls. 

X.  —  Émanants. 

/désignant  nne  fonction  homogène  de  jTi,  x.2  ,.  .  •,  t,/,  de 
degré  /;?,  l'expression 

,    df         ,    df  ,    df 

•^  ~  ■^'  dx,  "^  ^^  rf^~  "^-  •  -^  ^«  d^ 

est  ce  que  l'on  appelle  le  premier  émanant  de  f]  le  sym- 
hole  x\  Y~  6St  commulalifel  distributif,  et,  par  suite,  l'opé- 
ration P"/ pourra  se  développer  par  la  formule  du  binôme; 
P-/,  P''/,  .  .  .  sont  les  deuxième,  troisième,  etc.  émanants 
de/. 

Thi'ùorème.  —   Tous  les  émanants  de  la  fonction  /sont 
lies  covarianls  de  cette  fonction. 


THÉORIE     DKS    SIBSTITUTIONS     LINÉAIHES.  !  0  I 

En  efTet,  on  a,  en  criectiianl  la  siihstilulion  i  i  )  «lu    para- 
;raplie  précéilenl, 


~i^~       7  .■  Vil 


'A/-., 


,îl 


iJX„ 
f)X„ 


'(ni, 


Si  clans  les  formules  (i)  on  accentue  les  x  et  les  y,  on  en 
tire 

I  r         ''•'  .     '^^  ■     '"'  1 

1    J"")   —     -  .  •  .  —  -F  a      > 


J-2 


Jonc 


Or,  dans  le  second  membre,  le  coefficient  de-p-  ^r^j^,  est  égal  à 


V 


I  oV 


c'est-à-dire  à  l'unité.  Le  coefficient  de  -—  a\  est  égal  à 

OXu. 

c'est-à-dire  à  z('ro;  on  a  donc  rigoureusement 


Sr'-^-yx'-^. 
2à^^'  ovi  -  2à-^'  Ox] 


et  le  premier  émanant  d'une  forme  est  un  covarianl  absolu 
de  cette  forme. 

Il  est  bien  clair  que,  si  l'on  répète  sur  la  fonction 

l'opération  P,  elle  restera  encore  invariable  par  la  sub.slilu- 


232  CHAPITRE    X. 

lion.  Mais  on  pcul  donner  de  ce  lliéorèmc  une  démonslralion 
plus  simple  :  on  a 

/{Ti  -+-  l  r\  ,  x.-¥-  tr', r„  -,  -  /  t'„) 

=  .a-r,,.r,, r„)+  ^  Vf+~V\f-^... 

fm—l 

Soit  _:?■  la  fonclion  transformée  de/  par  la  substilulion  (i); 
on  aura 

=  .^iXi^r-i yn)  +  '  P.^  +  j  PV  +  -  •  ■ 

fm-l 

_    l>/«  — 1    cr  ^  .   /OT    rri  ■x-'  1''    \- 


(^//J  —  Il 
or  on  a 

/(>,,  ^r.,  ...)  =  ,-(j,,  j,,  ...  ) 
et,  par  suite, 

f{Ti^/.r\,    .  .  .   )  =r    -(_^.,  ^  /  ,/  ^    .  .  .  ). 

Les  coefficients  de  ^'  dans  les  développements  des  deux 
membres  de  cette  équation  devant  être  égaux,  on  aura 

P'/=P',?, 
ce  qui  démontre  le  théorème  énoncé. 

Remarque.  —  //  est  bon  d'observer  que  l'on  a,  à  un 
facteur  numérique  près, 

.r, '-r,- ^...       /=hPi  -r-^  -4-j",  — -  -4-...  /. 

Ces  deux  expressions  sont  les  termes  de  degré  h  en  .r, , 
.r',,  ...  ou  de  degrés  m  —  A  en  .r,,  .r^,  ...  du  développe- 
ment par  la  formule  de  Taylor  de  la  fonclion 

/(jr,  +  .r',,  .r,^./,,  . . .  ). 

Nous   trouverons  plus  loin    une  interprétation   géométrique 
remarquable  de  la  théorie  des  émanants. 

Théorème.  —  Ae  hessien  d'une  fonction  n'est  autre  chose 
que  le  discriminant  de  son  second  émanant. 


TIlfiORIR     DKS     SrilSTITl  TIONS     1. 1  N  f:  \  I  H  E  S. 

En  eiïel,  le  second  émanant  de  /est 
dont  le  discriminant  relatif  aux  variables  x]  est 


^Ô3 


0\f  'l\f 

dx-         (Jj-iàxo 

rn  f  ,)i  f 


I   OXn  dx  1      ôx,i  ôx-i 
c'est-à-dire  le  hessien  de/. 


()x^  dx„ 
Oxl 


XI.  —  Contrevariants  et  divariants. 

Des  variables  x\,  x'.,^  .  .  . ,  x\^  etx,,  x.^^  .  .  . ,  x„,  qui  doivent 
être  transformées  par  la  même  substitution,  sont  dites  co^rr- 
(lientes ;  au  contraire,  si  ces  variables  devaient  être  transfor- 
mées, les  unes  par  une  substitution,  les  autres  par  la  substi- 
tution inverse,  on  dirait  qu'elles  sont  contragrédientes.  Je 
rappelle  que  les  substitutions 


et 


'(m  Y,.-, 

yi  r^  Cil  .r;     -  Gi2  J^o-H. .  .-H  Ci„a",,, 


\  y  ,1  —   '-'/Il  ■'l     ~  '-'«2  '-^i         ■  .  .  -i-  C/,„  Xn 

sont  dites  inverses  l'une  de  l'autre  quand  on  a,  en  ijénéral, 

Pour  donner  un  exenq:)le  du  cas  où,  dans  une  même  ques- 
tion, il  peut  se  présenter  des  variables  contragrédientes,  con- 
sidérons une  forme  linéaire 


a\  X\  -T-  a»  r,  -^ . .  .  -^  a„  x,. 


254  CllAlMTllK     X. 

11  n'est  pas  difficile  de  s'assurer  que,  si  l'on  apjiliquc  aux  va- 
riables Xi,  .r^ J^n  lii  substitution  (  i  ),  les  coclliciculs  a  i , 

'7^,  .  • .  (f„,  (  onsidérés  comme  des  variables,  subiront  la  sub- 
stitulion  inverse  ;  et,  en  effet,  la  substitution  (  i  )  transforjuc  la 
l'onction  linéaire  en  question  dans  cette  autre 

«i(Ti1  Vl-  Yl2,Vo-^..  .    I  «2(721  ri      -Y22j'2-      •  •  •   •-     ..  .=  O, 

de  sorte  que,  en  appelant  bt,  b-,,  •  •  • ,  b,i  les  coeflicicnts  de  j^, , 
ro,  . . .,  j'„5  c'esl-à-dire  de  la  nouvelle  forme,  on  a 

bi  —  Yn  «1  -  -  Y21  «2  —  •  •  •-'-  Y«i  *"'«' 
bo  =  Y12  «1  -f-  Y22  «2  -- . . .      Y"2  ^''" 

les  variables  ^, ,  ^21  .  .  . ,  >2^«,  et  «i ,  «..•  •  •  •  >  ««  sont  donc  trans- 
formées par  des  substitutions  inverses  :  elles  sont  ce  que  nous 
avons  appelé  des  variables  contragrédienles. 

Maintenant,  soient  ^1,  x-;..  .  .  . .  x,i,  ei  x\,  x.^,  . '.  . ,  x],  des 

variables  contragrédientes  ;  soient  «,  «',  a!' ,  ...  les  coefficients 
de  certaines  formes  pouvant  renfermer,  outre  les  variables  X| , 
x,,  .  .  .,  Xii^  les  variables  contragrédienles  x\^  x'.,.   .  .  .,  x\^. 

Appliquons   à   ces    formes    une    même    substitution    linéaire 
transformant  jr,,  x.y,    .  .  .  enj,,  l'j.  ...   et  x\,  .ri,,    .  .  .  (par 

la  substitution  inverse)  en  v\,  r'.,,  ...  ;  soient  A,  b',  b"  les 
nouveaux  coefficients  de  ces  formes  ;  soient  enfin  F  le  détermi- 
nant de  la  substitution  que  l'on  a  effectuée  sur  les  Nariablcs 
Xi,  Xi,  •  .  . ,  x,i,  co  un  exposant  quelconque.  Si  l'on  a 

'^'{a,  a',  .  .  .  ;  Xi.  x^.  .  .  .  :  x\s  x'.,,  ...  1 

^Y^':.(b,  b  ...-.Yuy-i,  ...-.y,, y..  ...I, 

on  dira  que  o  est  un  divariant  ou  un  covarianl  mixLe ^  si 
la  fonction  '.2  ne  renfermait  pas  les  variables  x^,  x-2.-,  ■  •  ■ ,  x„, 
elle  porterait  le  nom  de  conlre^'ariant. 

On  verra  bientôt  qu'il  existe  un  grand  nombre  de  diva- 
riauts;  en  voici  un  qui  appartient  à  toutes  les  forn^es  :  c  esl 
l'expression 

•  _V 


THÉ  ouïe   di:s   siustitu  iions   linéaires.  aS" 

lui  cfTel, 

y\-^i^'i  =  y,lï/i7i  —  Y/272---  •  --^  T/«7«)^i- 


=^('(i\>-^\  "  '(-iV-^'-i  -  •  •  •  ^  T"(A^«  )7h^  î 


mais,  los  variables  x'  étant  transformées  par  la  substiliitiini 
in\ei'se,  on  a 

Yii-i-^i  --  T2!J-^2  -^-  •  --^  "(/ly-^/i  —  J'(jL' 
donc  enfin 

et  l'expression    2.^i-^'i  ^^^  bien   un   divariant  de  toutes  les 
I  ormes. 

XII.  —  Des  évectants. 

M.  Svlvester  a  donné  le  nom  d'évectants  à  des  contreva- 
riants  que  l'on  obtient  comme  il  suit  : 

Soity(jc,,  X.2,  ...)  une  forme  ayant  pour  coefficients  «,  a',  ... 
r[  de  degré  ni;  soient  ;,,  ç^,  ...  des  variables  conlragré- 
(lientes,  g{)'i,  J'i,  .  .  .  )  la  fonction  transformée  par  une  sub- 
stitution de  déterminant  F,  et  y,,,  t,o,  ...  les  variable-> 
contragrédienles  a\ec  Vt,  y-,,  ....  Considérons  la  fonction 
suivante,  où  A  est  une  constante  arbitraire, 

[lar  la  substitution,  elle  deviendra,  en  observant  que 
est  un  contrevariant, 

12)  ^  -  -  >^  (j»'l  r,  1  -  72  Tr.2  -      •  .  -  )'"  • 

Soit  'c(a,  a',  a",  .  .  .  )  un  invariant  de  /";  on  aura 

o{b,  b'  b\  ...)=  r"'cp(a  a'  a",  .  ..), 
et,  en  remplaçant  les  coefficients  <7,  ci  ,  ...  et  />,  h' .    ...   par 


256  ciiAPirnE  x. 

ceux  des  formes  (i)  et  (i>.), 

cp(  ^  —  Xt/j"  — . . .  )  =  rw  '^(a  -h  Xï;"  — . . .  ). 

Les  coefficients  des  mêmes  puissances  de  \  sont  égaux;  ainsi 
les  coefficients  de  )>",  ).,  A-,  .  . .  dans  'i(</  +  A;",'-|-.  .  .)sont 
des  contrevarianls,  le  coefficient  de  A'  est  le  /'  ""^  évectant 
de  /relatif à  l'invariant  'j. 

XIII.  —  Recherche  des  invariants. 

Théouème.  —  Le  nombre  des  invariants  d'une  ou  de 
plusieurs  formes  est  nécessairement  limité  (il  s'agit,  bien 
entendu,  d'invariants  distincts,  c'est-à-dire  tels  qu'aucun 
d'eux  ne  soit  fonction  des  autres). 

En  effet,  soient  jc,,  x-^^  ...,  Xn  les  anciennes- variables; 
rt,  a\  .  .  .  les  anciens  coefficients  d'une  ou  plusieurs  formes; 
j^i,  )-2,  .  .  .  ,j„  les  nouvelles  variables;  b,  1/ ,  .  .  .  les  nouveaux 
coefficients;  A  le  déterminant  de  la  substitution.  Si  .p(a,  a',. . .), 
•l{a,  a\   .  .  .)  sont  des  invariants,  on  aura 

/  u(a,  «'.  . . .  I  =  A^o(6, //.  . . .  ). 
(i)  J>(a,  «'.  ...I  =  A?  (1(6,  //.  ...). 

L'élimination  de  A  donnera  des  relations  telles  que 

(2)  ]    ............    : 

or  il  ne  peut  exister  qu'un  nombre  limité  de  relations  entre 
les  coefficients  a,  //',  .  .  .,  b,  //',  .  .  .  obtenues  en  éliminant 
les  coefficients  de  la  substitution  entre  les  relations  qui 
donnent  les  b  en  fonction  des  a;  donc  le  nombre  des  rela- 
tions (2)  est  limité,  et  par  suite  aussi  celui  des  relations  (1); 
donc,  etc.  c.  q.  f.  o. 

Une  forme  quadratique  ne  peut  avoir  qu'un  seul  invariant 
qui  est   son    discriminant;    car   toute    fonction   quadratique 


TlIl'OUIi:     DES     SL'USTITUriONS     LINÉAIRES.  267 

|)('iiL  se  liaiisrornicr  dans  une  autre  donnée  à  l"a\ance;  donc 
il  ne  saurait  exister  de  relations  entre  les  coclfieients  de  la 
proposée  et  de  la  Iransforniée  :  c'est  ce  dont  on  s'assure  aisé- 
ment en  faisant  efTectivement  la  substitution  et  en  égalant  à 
des  arbitraires  les  coeHicicnts  de  la  transformée.   Soit  n  le 

nombre  des  variables,  celui  des  coelficienis  est —  :  on 

2 

aura  donc  équations   a  écrire  pour  déterminer    les 

n-  coefficients  de  la  transformation  :  or  /i- est  toujours  supé- 

,   n{n  --- 1)         n-         n  ^     ., 

rieur  a ^= —  5  car  /i<'/i-. 

■1  2         2 

On  verrait  de  même  qu'une  forme  cubicjue  binaire  n'a 
qu'un  seul  invariant. 

Quand  on  connaît  les  im-a/iants  d'ane  forme  de  degré 
n,  on  peut  Irotner  les  im'ariants  de  plusieurs  fo/'/nes  de 
même  des^/é. 

Eneiïet, soient '^(X),  . . .  ;«,,«2?  •  •  •)'  '}(^i'  ■  •  -'i^^iy^'-'j-  •  •)' 
h[  Xi,  x-2,  ...  ;  a\ ,  a".,,  ...  I,  ...  des  formes  d'ordre  n  ;  con- 
sidérons la  Ibrme  unique 

o  -T-  hl  -i-  1x0  — ... . 

Soll  n(r/|,  (fj.  .  .  .)  un  invariant  de  la  l'orme  ':>  ;  alors 

n ( a, -^  À a'i  -;-  iJ.a'\  ~ . .  .  ;  a-j-^  1  a',  —  [xcù  — .  . . ) 

sera  un  invariant  de  tp  -;-  'r-l  -+-  <jJi  --....  En  appelant  alors 
/>,,  02,  .  .  •  ;  b\j  ù,,  ...  les  coeflîcients  des  formes  trans- 
formées, on  aura 

II  (  «I  -     ).  a\  —  [j.a\—...  )  =  A'''  Il  (  bi-    À  /j\  —  \i.b\  — .  .  .  ), 

A  désignant  le  déterminant  de  la  substitution.  Cette  formule 
devant  subsister,  quels  que  soient  X,  ijl,  v,  .  .  . ,  les  coefficients 
de  ).' |j.^  v^  ...  doivent  être  égaux.  Soient  u  et  A"r  ces 
coefficients;  on  aura  u  =  A"*^'  :  donc  u  est  un  invariant  des 
formes  cp,  di,  B,  .... 

Le  nombre  des  invariants  d'une  forme  'o  est  égal  au  plus 
au  nombre  des  relations  (jui  peuvent  exister  entre  les  coeffî- 
L.  —    Traité  d'Analyse,  I.  1- 


258  '      (MIAI'ITUE    X. 

ciculs  de  o  et  de  sa  transformée,  augmenté  de  i.  Soient  donc 
m  le  degfré  de  z>,  n  le  nnml)rc  de  ses  variables;  le  nombre  de 
ses  coelficients  sera 

( m  -h-  i)(m  --  ■>.). . .( m  -j-  /?,  —  i )  _ 

on  j)ourra  donc  écrire  un  pareil  nombre  d'équalions  en  éga- 
lant les  coeliicienls  de  la  transformée  à  des  noml)res  b^ ,  by, .... 
Or  les  coeflicienls  de  la  substitution  sont  au  nombre  de  n-  : 
donc  il  existe 

(  /?l  -h  1  V  /?l  -t-  9!  )  .  .  .  (  «î  -J-  /l  I  ) 

{\) „-      --^     . '  ■  ~  n- 

1  . 2 .  o .  .  .  (  /i  —  I  ) 

relations  entre  les  coefficients  de  '^  et  de  sa  transformée,  et 

par  suite 

(  m  -f- 1  )  (  /?i  -!-  9.  ) . . .  f  /?i  --  n  -  -  t  )  , 

1  . 2  . 3 .  . .  (  /i  —  I  ) 

invariants.  Ce  nombre  se  réduit  à  i  quand  le  nombre  (i)  est 
négatif,  mais  c'est  là  une  limite  supérieure. 

On  trouverait  de  même  une  limite  supérieure  du  nombre 
des  invariants  de  plusieurs  formes  du  môme  degré. 


XIV.  —  Méthodes  générales  pour  former  des  invariants,  des  cova- 
riants,  des  contrevariants  et  des  divariants. 

TnÉnKi-MK  lownAMENTAi^.  —  Soit  f(.Vi,  x.,,  ...,.r„)  une 
fonction  homogène  de  degré  quelconque  ;  si  Von  effectue  la 
substitution 

)  j"2  =  •:i\y-i  -+  V-2J j)'-2 -f  .  • .  -+-  v-2/, y,,, 
\  ■■■■■■■■■■■■■■■■■ •;•••;•' 

les  dérivées  '!e  f  prises  /xir  idpporl  ^>  j',,  jo,.  .  ,,.)'//  sont 
transformées  par  la  substitution  inverse. 


TIltOUIE     DES     SUBSTITUTIONS     LINÉAIUES.  aScj 

Cela  ivsiille  iininccliatemcnl  des  formules  générales  pour  le 
cliaiii^omcnl  de  vaiialile  intlépcndaiilc  ;  on  a  en  efifel 


'V 


<)x, 


111 


'IL 
'IL 

()T.-> 


121 


Y22- 


'IL 

()X„ 

iL 

')X,i 


,/M  ' 


I  11-2  J 


\'^oici  niainlenanl  comment  on  peut  déduire  d'un  conlreva- 
rianl  une  série  de  covarianls. 

Soil 

o{...rri....ri....r',-...) 

un  conlrevariant  de  la  fonclion  /',  ai  désignant  l'un  de  ses 
coeKicients  et  x'^  l'une  des  variables  transformées  par  la  sub- 
stitution inverse;  si  nous  remplaçons  ^r)- par  le  symbole  opé- 
ratoire y-j  nous  obtiendrons  un  symbole  opératoire 


dx, 


'^  \ 

âxi        j 


qui,  apj)li(jué  à  la  fonction  /"ou  à  un  de  ses  covariants,  four- 
nira un  nouveau  covariant  (ou  un  invariant  si  les  variables  vC, 
n'enirent  pas  dans  le  résultat). 


I£xei)iple  : 


riii      «12      Ci 
n.2i     a-ii     i-i 


est  un   conlrevariant  de  c('\^x'\-\-  '.cii^x iX'i-\- a'^,.,x.2\  en  le 
développant  après  avoir  remplacé  ^  par  y-  ?  on  a 


2---     /     «12 
OXi     ()X> 


i- 


dx' 
Ox, 


«11' 


et  celte  expi'cssion  est  un  covariant  qui,  développé,  s'écrit 
2  («11^1 -t-  ci\iX-i){a-iiXY  -\-a.yoX.,)  du 

—  («11^1  H-  «12  ^2)- «22— («21  ■'-'•1-+-  «22-î^2)-«ll- 


•.>Go  ciiArnuK   x, 

l/c\nrossioii 

,r-f  ,r-f  ,r-f 

lournil  un  invariant 

•in'].,  —  v>,«ii«22- 

En  appliquant  le  symbole  '^  (  .  .  .  r//.  .  .  J"/.  .  .  y    .  .  .  j  iWin 

dlvariant,  on  en  déduirait  un  nouveau  divarianl  (ou  un  con- 
Irevariant  si  les  variables  j;  disparaissaient  d'elles-mêmes). 

Théoiœmk  ir.  —  Connaissant  un  imn/ianl  tV une  forme 
(luelconque,  on  en  déduit  un  covariant  pour  une  forme  de 
degré  plus  élei'é. 

En  elTet,  soit  ■^( .  .  .  a/.  .  .)  un  invariant  d'une  forme/  de 
degré  m\  formons  l'émanant  d'ordre  /)i  d'une  fonction  quel- 
conque  F,  et  soit 

r)F  .    r)F  Y'"' 


cet  émanant.  Considérons  dans  cet  émanant  .r',  ,.r'^, .  .  .  comme 

les  variables  d'une  forme,  et  formons  l'invariant  '^  [.  .  .  a,- .  .  .) 

pour  cette  forme;  le  résultat  sera  un  covariant  de  la  forme  F. 

Exemple.  — ■  L'expression  a'-^.^  —  r^/, ,  «"'^a  est  l'invariant  de 

«ll.r'j      -  2ai2-2^1.^2      "  «22-^2  ') 

donc 

dxiôXi)  àxi    ôx-, 

sera  un  covariant  de  F. 

De  même  un  covariant  pour  une  forme  de  degré  élevé  peut 
devenir  un  simple  invariant  pour  une  autre  forme  de  degré 
moindre. 

Formons  le  discriminant  de  léujanant 


,     r)F  ,     ')F 

dx-t 


et  nous  avons  le  liessien  de  F,  ain>i  (ju'ou  l'a  di'-jà  observé, 


Tiii':(H!i  i:    i)i:s    si  iisri  ii  tiu.>  s    i.in  f:  a  i  it  i:s.  '.'.(^i 


XV.  —  Invariants  des  formes  quadratiques. 

ADiis  avons  déjà  remarqué  (|if  une  forme  qiiadi-atiqiio  n'avail 
([u'iin  invariant,  à  savoir  son  discriminant  ou  licssicn. 
Si  l'on  considère  deux  formes  quadratiques 

les  coefficients  des  transformées  s'exprimeront  à  l'aide  des 
coefficienls  des  proposées  et  des  n-  coefficients  d  j  la  substi- 
tution, ce  qui  fournira 


lelations  possibles  entre  les  anciens  et  les  nouveaux  coeffi- 
cients; le  nombre  des  invariants  est  donc  au  plus  /i  -{-  i.  On 
les  trouvera  j^ar  la  règle  donnée  (p.  aSS)  et  l'on  formera  le  dis- 
criminant de/ —  A^;les  coefficients  de  A",  ).,  ).-, .  .  . ,  A"~',)/' 
seront  les  invariants  chercliés.  On  peut  remarquer  que  ce 
sont  les  coefficients  de  Téquation  qui  nous  a  servi  à  réduire 
/  et_i,'"  simultanément  à  des  sommes  de  carrés. 

Un  raisonnement  analogue  donnerait  les  invariants  d  un 
plus  grand  nombre  de  formes. 

Une  substitution  ortliogonale  n'altérant  pas  la  fonction 
x'^ -h  X7, -^  .  .  .  -'-  xf^,  si  l'on  considère  l'expression 

2^a,jXiXj—  s{j:i-xl-...-    x;,  ), 

ré(piation  en  s  qui  sert  à  ramener %^r/ /y .r/xy  à  une  somme  de 
carrés  aura  pour  coefficients  des  invariants  de  7  (lijXiXj^  rela- 
tifs à  toute  substitution  ortliogonale,  si  je  puis  m'cxprimer 
ainsi,  c'est-à-dire  que  ces  coefficients  ne  changeront  pas  quand 

7  <iijJ^i-rj  subira  une  transformation  orthogonale.  Cette  pro- 
priété   est    précieuse   et   nous   en    ferons    l'application    à    la 


(«) 


26^  cil  API  TUE    X. 

recherche  des  paramètres  d'un  paralioloïdc  donne  par  son 
équation 

H-  7.B"ûry  -i-aC/u- -r-aC'/j)-   --iCtz  -r-Dt-^  o. 

On  simplifie  celle  équation  au  moyen  de  deux  subslilulions 
successives  équivalentes  à  la  substitution  unique  de  déter- 
minant I  : 

.r  ^  rt  j-'-l-  6  1  '  -t-  c  z'  ^-  OLt' , 

y  =  a!  x  -!-  6'j'+  c'  z'  -\-  ^t' , 
z  =  a  x  +  b"y'  -f-  c" z'  -!-  -{ t' , 
t  =  o  x' -k-  o  y  +  o  z' -^  i.t'; 

rt,  b,  c,  a\ .  .  .  sont  les  neuf  cosinus  bien  connus  dont  le  déter- 
minant est  i;  y.,  3,  v  sont  les  coordonnées  de  la  nouvelle 
origine.  Soit 

(b)  sx'--{-s'y---Q.Qz  —  o 

l'équation  simplifiée  du  paraboloïde;  .vet^'  sont,  comme  l'on 
sait,  les  racines  de  l'équation  en.?;  quant  à  Q,  on  l'obtiendra 
en  écrivant  que  le  discriminant  n'a  pas  changé. 

En  appelant  donc  A  l'ancien  discriminant,  celui  du  premier 
membre  de  (a),  et  observant  que  celui  du  premier  membre 
de  (b)  est  ^  Q'-ss', 

Q^s.;^— A,     d'où     Q=4      -— ^. 

XVI.  —  Contrevariants  et  divariants  des  formes  du  second  degré. 

Soity=  7  c//y\r/.ry  une  fonction  homogène  du  second  de- 
gré ;  si  l'on  pose 

on  aura  ainsi  une  substitution  linéaire.  Si  on  la  fait  subir  à  la 
fonctiony,  on  obtiendra  une  fonction  es  (ç,,  Ço,  .  .  .)  que  l'on 
appelle  avec  Gauss  \^  fonction  adjointe  de  f.  Nous  verrons 
bientôt  que  cette  fonction  est  un  contrevariant. 


TUÉOniE     DES    SUBSTITUTIONS    LINÉAIRES^  ?.G3 

Nous  allons  apprciidio  à  former  la   fonction   adjointe.  De 
(  I  )  on  lire 

(•2)  /=  X,;.  -4-^2?:;—.  ..-f-3"„;„, 

(|ni  n'est  antre  cliosc  que  Tcxpression  pure  et  simple  du 
théorème  des  fonctions  homogènes  :  pour  obtenir  la  fonction 
adjointe,  il  suffira  d'éliminer  j;,,  x^^ .  .  . ,  x,i  entre  (1)  et  (2),  où 
l'on  rem  placera/ par  cp.  Or  le  système  (i)  peut  s'écrire 


1 

«11  ^1   - 

«12  X-j^  —  . 

..-!-« 

Il  X 1,  —  ç  1 , 

1 

«2,.r,-f- 

«22  ^1  -'-  • 

.  .-'-a 

m  X II  =  Ç2  ) 

( 

rt„,3-, -f- 

Cljti^'l  '~  • 

.  .-r-a 

in-^ Il  -—  ~.n} 

et  la  résultante 

est 

«Il 

«12         .  .  . 

Cl\il 

>•      1 
•A    1 

«21 

«2.» 

a  1,1 

^2    ' 

(■3  bis) 

=  0. 

a,n 

a„2      .  .  . 

a  un 

U    î 

^2           ... 

-ji 

'f      , 

On  a  donc,  en  appelant  A  le  discriminant  de  la  fonction  /, 


(4) 


ou  bien  encore 

(5)  Ao= 


«11 

«12       . 

•  ■    «i« 

-A 

«21 

«2J 

•  •      a-iii 

Ç2 

Ao^ 

•■ 

a.n 

«,.,2        . 

■       Clnii 

\n 

;i 

~ii 

0 

V 


iûaij 


Des  formules  (3)  on  peut  tirer  la  sujjslitulion 


((i) 


T.  =  a2,  ;, 


-'2/(  ~nt 


et  alors  la  formule  (j)  peut  encore  s'écrire 

(7)  ?=y^/y;/:y 


i6^ 


en  A  PITRE     X. 


Thkorkmf.  I.  —  Lorsque  le  discriminant  A  dr  f  s'(innuh\ 
(a  fonction  adjointe  '^  est  un  carré  parfait . 

Il  v  a  là  une  sorle  de  paratloxe;  en  elVel,  'z-  cl/élanL  iden- 
tiques, on  pcul  se  demander  commenl,  /"n'étant  pas  nécessai- 
rement un  carré,  'j  doit  en  être  un;  mais  il  ("aiil  alors  consi- 
dérer 'o  comme  défini  non  plus  jiar  l'écpialion  (y),  mais  Ijien 
par  Téquation  (,")),  où  A-^  lui-même  sera  la  fonction  adjointe. 

Ainsi,  dorénavant,  c'est  l'expression  \^-^ — \is\j  fl^c  nous 
appellerons  la  fonction  adjointe. 

Si  f  est  un  carré  parfait,  l'équation  en  5  a/?  —  i  racines 
nulles  ;  donc,  pour  5  :=  o,  tous  les  mineurs  du  premier  membre 
de  l'équation  en  s  doivent  être  nuls  jusqu'à  l'ordre  n  —  2. 

Maintenant  on  sait  que  l'on  a 

r)2A  ()A       dl  r)A      f)A 


comme  A  est  nul  par  hypothèse,  on  voit  que  tous  les  mineurs 
du   second  dei;ré  du  discriminant  de  7  c/C;  sont  nuls: 


it  de  >  - 
A'^  est  donc  bien  un  carré  parfait.  c.  o.  f.  n 


Théorème  II.  —  La  fonction  adjointe  A.;  est  un  contrc- 
i'ci  riant. 

En  effet,  la  fonction  adjointe  peut  s'obtenir,  ainsi  qu'on  le 
voit  à  l'inspection  de  la  formule  (3),  en  égalant  à  zéro  le  dis- 
criminant de 

e  =2^"iJ  3-iXj  -^  2  J"„+i  rri  ï,  -^-  Xi  I2  -  -  .  .  .  -;-  Xn  \n  —  ^«-hl  ^  )  • 

Effectuons  la  substitution 


(8.) 


^1  =  Tu  Jt  '^•~  Y1272  --•  •  •—  Yi"  J«. 

•2^2   =  T2iri  ^-  Y227-2  -!-...  -f-  Y2«  J//- 
î 


TUfiOKIi:     DES     SIDSTITITIONS    1. 1  N  É  A  I  U  ES.  26' 

ol  la  siil)Sliluli()n   inverse 

I      ^I  ,  11   ?1  -       ,  21  ?2~"  •  •  •"'    ,111  ?«' 


i.'ji 

/;••■:;■;•■■;;■; :  v 

'i« —  (i«çi"'  r-//;2       •■       , /i  11,11  • 
J.a  lonctioii  (■)  devientlia 

II  =  V^/yJ/jy— 2X„H_,  p',r,,        r,2j-2-4-...H-T,„7„— a:„+i  ^  j  , 

N  l'ijrjVj  désignant  ce  que  devient  7  ciijXiXj  par  la  siibsti- 
liition  (8).  La  fonction  adjointe  de  7  ^/y  r/J'y  s'obtient  pré- 
cisément en  égalant  à  o  le  discriminant  de  H;  or  II  =  0r-, 
en  appelant  r  le  déterminant  de  la  substitution  (8)  :  il  en  ré- 
sulte que  les  valeurs  de  '^  tirées  de  0  =:  o  ou  de  H  ^  o  sont 
l'^ales  :  donc  enfin  la  l'onction  adjointe  es  ou  A'^  est  un  contre- 
variant  dey*. 

Si/=  o  est  l'équation  d'une  conique  ou  dune  surface  du 
second  degré,.  ..,0=0,0  désignant  la  fonction  adjointe, 
est  l'équation  de  la  polaire  réciproque  de  /=  o  prise  par 
rapport  au  cercle  ou  à  la  sphère  imaginaire 

Théoi'.ème  III.  —  Appelons  g  =  Ao  la  fonction  adjointe 
de  f;  la/onction  adjointe  de  g  sera  /A"  ''. 

Nous  avons  trouvé 


^-^=Uh^^-^:^^' 


si  l'on  appelle  D  le  déterminant  N  1^  a, ,  a^o.  .  .'J-nn^  la   fonc- 
tion h  adjointe  de  g  sera 


et  1  on  aura 


266  CII.VPITRK    X. 

C'est  précisément  la  valeur  de  .?\  tirée  de  (6);  on  a  donc 

Ami  ÔXij 

mais,  en  résolvanl  les  équations  (G),  on  aurait 

,  _   I    r)D  r    r)n 

^'~]5  d^i ''''''  Ù  ^a,, ''■-"■' ••■• 

Comparant  les  formules  avec  (2),  il  vient 

I    dD  f)D 

D  d%ji  ■'         dtji 

on  a  donc 

//  =  \>SaijXiX:  :^  D  ■  -^  A"-'  /'. 

C.  Q.   Y.  D. 

11  résulte  de  là  que,  si  ^,,  X2,  ^3  sont  les  coordonnées 
d'un  point,  les  figures  /"=  o  et  g  ^=-  o  jouiront  d'une  certaine 
réciprocité  Tune  par  rapport  à  l'autre.  Ce  mode  de  dépen- 
dance sera  étudié  plus  lard. 


XVII.  —  Sur  les  combinants. 

On  appelle  combinant  de  n  formes  liomogènes  à  n    va- 
riables 

f^{ai,a\  ..  .,Xi.  ...,Tn),    f2(o,,a\,  ...,.r,,  . .  .,.t„),  . . ./,,, 

OÙ  les  a  représentent  les  coefficients  et  les  x  les  variables,  une 
fonction  qui  jouit  de  la  pro-priété  de  se  reproduire  par  la  sub- 
stitution 

F2  =   3(21  J\  —  ^22  fl-^.-.-h  %in  /«, 


à  un  facteur  près,  égal  à  une  puissance  du  déterminant 

1 


-j-  aiia22 .  .  .0L,i,i 


TU  f- ouïe    des     s  UBST  fictions     LINf:AinES.  2C)-] 

delà  subsliliilion,  loiil  en  élanl  un  co\ariant  de  ces  formes. 
Ainsi,  si  l'on  considère  une  substitution 

^1  -^  "'il.?'!         ...     -  Y-«'^'" 


une  lonclion  K  sera  un  conihinant,  si  l'on  a  à  la  fois 

K(F,,F,.  ...^=r'"K(/„/„  ...), 

K(a,  a',  .  .    ,  Xj.   .  .  .  \  =  \'^K{b,ù\  .  .  .,  CTi,   . . .). 

Le  déterminant  d'un  système  de  fonctions,  le  liessien  d'une 
fonction  sont  des  combinants. 


XVIII  —  Sur  une  propriété  générale  des  formes. 

Théorème.  —  Toutes  les  fois  qu'une  proposition  relatiie 
à  des  polynômes  homogènes  ne  comprend  pas  dans  son 
énoncé  uniquement  des  co^'ariants  ou  des  invariants, 
on  peut  toujours  en  déduire  une  proposition  plus  générale 
dont  elle  n'est  qu'un  cas  particulier  et  qui,  dans  son  énoncé, 
ne  renferme  que  des  invar iajits  ou  des  covariants. 

En  cITet,  supposons  que  la  propriété  en  question  résulte 
d'une  ou  de  plusieurs  équations  simultanées  (et  il  ne  saurait 
être  question  ici  d'autres  propriétés),  ces  équations  contien- 
dront des  variables  x  el  les  coefficients  a  de  certaines  formes; 
soit 
([)  F{Xy,   ...,  a,   ...>=f{x:,  ...,  a.   .... 

l'une  d'elles.  Si  nous  effectuons  une  substitution  linéaire, 
elle  deviendra 

(■2)  F,(.r',.   .  .  .,  r'\  ...  I  ^fi(x\.  ...,a'  .  . .  ^ 

a'  et  x'  désignant  les  nouveaux  coefficients  et  les  nouvelles 
variables.  Si  la  substitution  linéaire  effectuée  a  tous  ses  coef- 
ficients indépendants,  une  nouvelle  substitution  ne  modifiera 
pas  la  relation  Fj  ^  /i,   en  ce  sens  qu'elle  aura  jjrécisément 


268  (Il  A  rn  11  K   x. 

la  même  f^éncralilé  que  celle  c-cjualion  ;  les  deux  membres 
(le  (2)  seront  donc  des  covarianls  ou  des  invariants,  el  les 
loi-mules  (2)  consliluent  la  Iraduclion  ali^r'hiicjue  du  lliéo- 
lème  général  dont  les  équations  (i)  sonl  le  cas  particulier, 
car  on  reviendra  de  la  formule  (2)  à  (i)en  faisant  des  liv|)0- 
ihèscs  particulières  sur  les  coeflicients  delà  transformation  cl 
sur  les  coefficients  a' . 

Celle  méthode  de  généralisation  des  ihéorèmes  d"  Vlgèhre 
a  été  tout  d'abord  usitée  en  Géomélrie  par  le  général  Ponec- 
let,  el  c'est  ainsi  que  des  propriétés  du  cercle  on  a  jiu  déduire 
une  foule  de  propriétés  des  coniques  en  mettant  le  cercle  en 
perspective.  Nous  verrons  plus  loin  que  mettre  une  figure 
en  perspective,  cela  i-evienl  à  appliquer  à  son  équation  une 
suhslilulion  linéaire. 

Il  est  l)ien  clair  qu'une  proposition  qui  dans  son  énoncé 
ne  contient  que  des  covarianls  ne  peut  plus  être  généralisée 
par  une  transformation  linéaire. 

D'après  ce  qui  précède,  on  voit  que  le  but  de  la  théorie 
des  substitutions  linéaires  est  de  généraliser  les  propriétés  des 
polynômes,  et  la  connaissance  des  invariants  et  des  covarianls 
fournit  leurs  propriétés  les  plus  générales  el  aussi  les  plus 
simples. 

Il  serait  donc  très  important  de  connaître  tous  les  inva- 
l'iants  et  les  covarianls  d'un  système  de  formes,  car  ce  sérail 
connaître  les  propriétés  générales  de  ces  formes  :  nous  allons 
procéder  à  celte  recherche. 


XIX.  —  Démonstration  d'un  lerame  important. 
Considérons  n  -^  z  lignes  de  n  élémenls  chacune,  savoir 

(0  ^.'"-  *= '•"■ 

I 


TIlfidRIE     DES     SUBSTITUTIONS     LINl-AIKES.  2()'.) 

Avei;  lonles  ces  lii;n('s  on  j)ourra  former  C;, ^c  clétcrminanls  ; 
Ions  CCS  (lélcrnilniinls  mis  ù  la  place  de  0  dans  les  é([iiaLions 
dont  If  Ivpe  est 

cl  qni  b(tnl  au  nondjre  de  /H//  —  i),  salislonl  idcnliqucmcnL 
à  ces  éqnations,  comme  on  le  constate  facilement  à  l'aide 
d'nne  propriété  fondamentale  des  déterminants.  Réciproque- 
ment, nous  allons  prouver  que  les  équations  (2)  ne  peu\ent 
avoir  pour  solution  (•)  qu'une  fonction  de  ces  déterminants. 

Nous  décomposerons  la  démonstration  de  ce  théorème  en 
trois  parties  ; 

1"  Si  t  est  négatif,  c'est-ù-dire  si  le  tableau  (i)  11  a  pas 
Il  lignes,  les  équations  (-a.)  n'ont  pas  de  solution^  fonction 
des  a,  b.  .  .  .  l. 

2"  Si  s  =^  o,  elles  ont  une  sululiijn  fonction  du  détermi- 
nant des  éléments  (1). 

3"  .S" /7c  théorème  est  vrai  pour  £  =  s,,  Usera  encore  crai 
pour  c  =  s,  -i-  I. 

1"  Si  t  est  négatif,  le  nombre  des  dérivées  de  B  qui  entrent 
dans  le  groupe  suivant  : 


—  «1  — 

Otti 

.  ..=  0, 

de 

—  «.)  — 

Ooi     - 

<)bi     " 

. . .  —  0, 

<)e 

<kii 

. . .  =0 

est  moindie  (pie  /?,  c'est-à-dire  est  au  plus  égal  au   nombre 
de  ces  équations  ;  il  faut  donc  supposer 


de  de 

Otti  obi 


ce  qui  montre  que  6  ne  saui'ail  contenir  les  éléments  du  ta- 
bleau  (i),   (Nous  suppcjsons,    bien  entendu,    qu'il   n'existe 


270  CHAPITRE    X. 

aucune  rehitlon  enlre  les  éléments  de  ce  tableau.)  Ainsi   la 
première  parlie  de  noire  théorème  est  démontrée. 

a"  Supposons  s  =  o,  et  soit  P  le  déterminant  des  éléments 
du  tableau  (1).  Prenons  P  comme  variable  à  la  place  de  a,-; 
nous  aurons,  en  désignant  par  un  d\cs  dérivées  prises  dans  le 
nouveau  svstèmc  de  variables, 

f)&    _  r/0     r)P 
Oit,  dl'   dtt,- 

t)e  _  de  ()P       de 


de  , 

de  , 

de  , 
db^'^  ■■ 

de  . 

Substituons  ces  valeurs  dans  (3),  en  observant  que  les  équa- 
tions sont  satislailcs  pour©  =  P,  nous  aurons 


(0 


les  autres  équations  du  groupe  (2)  ont  conserve  leur  forme,  à 
cela  près  que  dj  est  remplacé  par  d.  Mais  le  système  (4)  con- 
tient n  —  I  dérivées  de  0;  et,  comme  il  se  compose  de  n  —  i 
é(piations,  il  laiil  que  1  on  ail 

de  de  de 

-  ..-  =  o,      —-  —  <),      .  .  .,  =0; 

(Lbi  (ici  ail 

donc  B  ne  contient  ni  ^/,  ni  c,,  .  .  . ,  ni  //.  Pour  trouver  0,  on 
j)eut  supposer  bi  =:  Ci=i .  .  .  =r.  /,•  =  o  dans  les  autres  équa- 
tions (2)  transformées;  le  groupe 

de  de  ,  de  , 

fUij  !bj  dlj 


de  le  de 

daj""''    Jbj""^--      Tlj"^ 


1       1'  -        •      de  ,  ,        ,       ,. 

contient  alors  1  équation  - —  zxz  o  et  prend   la  même   lorme 


THÉO  RI  F.     Di:S     srilSTIl  TTIONS     MNf'AlIlKS.  27  I 

(jue  (4).troù  l'on  conclu l  f|iic(-)  ne  coii lient  ni  dj  ni  hj  ni  cy,...; 
en  d'aulres  lermes,  (|uan(J  on  prend  pour  varialilc  P  et  tous 
les  éli'nienls  du  tableau  (i)à  l'exception  de  <7/,  Wne  contient 
que  P  cl  est  une  fonction  arbitraire  de  P.  La  seconde  partie 
de  notre  tbéorème  est  donc  démontrée. 

3"  Supposons  le  théorème  démontré  pour  le  cas  où  le 
tableau  (i)  possède  n  -\-  s,  lignes,  et  supposons  qu'il  en  pos- 
sède actuellement/?  -1-3,  H-  1.  Je  dis  d'abord  que,  si  l'on  prend 
Il  -f-  I  lignes  dans  le  tableau  (i)  et  qu'avec  ces  n  +  i  lignes 
on  (orme  les  déterminants  Po,  P»,  •  •  •  ^  P«+(  qn'  "C  renrerment 
pas  la  deuxième,  la  troisième,  .  .  .,  la  n'  ""^  ligne,  on  pourra 
calculer  les  a  en  fonction  de  P:,,  P3,  .  •  • ,  P«+i;  il  suHit  pour 
cela  de  prouver  que,  si  l'on  pose,  en  appelant  ^1,  /o,  .  -  ■ ,  /« 
la  {n  +  i)''"'"  ligne  du  tableau  (i), 


R  = 


les  équations 

seront  compatibles,  ou,  si  l'on  veut,  comme  elles  sont  du  pre- 
mier degré  enrt,,rt.j elles   n'auront  pas   leur  déleimi- 

nant  nul.  11  suffit  pour  cela  de  considérer  un  cas  particulier, 
celui  où  l'on  aurait 


l>M            <^1 

■         '''' 

/u          /.         •  .  ■ 

la      i 

h, 

=  ", 

hi=  «>, 

^3=<S         • 

.  .  .       h„  =  0, 

fl 

=  ", 

Ci=   1 , 

f:j=o.        .. 

.  -,        '■■«='>; 

/,     —   O,  l.y    —    O,  /s    =    O,  ....  /„    =     1; 

les  équations  (."))  prennent  alors  la  forme 

rt,  =  l'.,,     (1-2  =  r'3,     .... 

Ainsi,  s'il  n'existe  aucune  relation  entre  les  éléments  du 
tableau  (i),  on  pourra  prendre  pour  variables  à  la  place  de 
«,,  rto,  .  .  . ,  ff,i  ces  déterminants  P^,  P3,  .  •  • ,  P«+i- 


•3J2  Cil  API  THE    \. 

Désignons  par  un  d  les  dérivées  quand  les  Po P//+i ,  1* 

h.  les  (\  .  .  .  sont  variables  indépendantes^  on  aura 

ikii       dV^   Oai       dVi  Oa, 
>)S  _    de_  dai  ^  de_  ()P:i  ^ 


en  observant  alors  que  les  éipiations  (2)  ont  pour  solutions 
les  V,  ces  équations  deviennent 

de  ,       de  de , 

Ces  équations,  par  hypothèse,  ne  renlennent  que  les  va- 
riables d'un  tableau  à  /i  H-  £1  lignes;  elles  n'ont  donc  d'autres 
solutions  que  les  déterminants  que  l'on  peut  lornier  avec  les 
éléments  de  ce  tableau  ou  leurs  fonctions  arbitraires,  pouvant 
par  suite  renfermer  P^,  P^,  •  •  -,  P«+i,  ce  qui  revient  à  dire 
que  0  est  une  Ibnction  de  tous  les  déterminants  que  l'on 
peut  former  avec  les  éléments  du  tableau  de  /i  -4-  £|  -r  i  lignes. 
xNotre  théorème  est  donc  démontré. 


XX.  —  Recherche  des  covariants  et  des  contrevariants 
des  formes  linéaires. 

Soient 

Xi,     X2,     ...  !     X;i  ) 


des  variables  cogrédientes,  et 


«,,       «2,      «/M 

bi,     0-2,    —    On, 

C] ,       C.>,      ...  -,    C/i , 


des   variables   contragrédientcs,   un   certain   nombre  de   ces 


tiiéoiuf:   ORS  substitutions  linéaires.  273 

variables  conlraj;r('diriiles,  loules  même  (voi/-  p.  o53),  pou- 
vant cire  les  coclficienls  de  formes  linéaires,  telles  que 


Soit  B(<7,,  (t.,,  .  .  . ,  ^, ,  h-,,  •  •  •  '  -^n  -3^27  •  •  •)  ""  conlreva- 
riant  de  ces  Cormes;  si  l'on  efleclue  la  substitution  unimodu- 
laire 


on  aura 


ji  =  j'i  --  ^"72 >  r-i  =72,    .  •  • ,  r«  =  y,. 


b\  =  bi,     b',  =--■  b-i  -+-  Ibi,     b\  =  6.-;, 

c\  —  Cl,        C,   =    C2  -T-  ÀCi,         C-'j   =   C3, 


les  lettres  accentuées  désifjnant  ce  que  deviennent  les  lettres 
non  accentuées  après  la  transformation. 
On  aura  ensuite 

ou  bien 

(-)(«!,    «2j     •••,    ^Ij    -2^2,     •••)=0(<'l,     «2-^^-«l,     •••••    -î"! ^'•2'2)    ^2,     •  •  •  )• 

Egalons  les  coefficients  de  A  dans  les  deux  membres,  après 
avoir  développé  le  second  membre  par  la  formule  de  Taylor; 
nous  aurons 

()%                      dQ 
o  =  ai- ^...  —  Xi- ... 

««2  O-^l 

OU,  plus  généralement^ 

^'>        ''^ô^-^^'ôbj-~---'=^^oF,-^^'^ôyr'---' 

Telles  sont  les  équations  auxquelles  doivent  satisfaire  tous  les 
invariants,  divariants,  covariants  et  contrevariants  des  formes 
linéaires. 

I^.  —  Traité  d'Analyse,  1.  18 


274  CHAPITRE     X. 

Introduisons,  s'il  le  CauI,  assez  de  variables  cnnlragrédienles 
pour  {{uc  le  nombre  des  fondions  linéaires 

Aj,~  aiXi-ha,T2  -.  ..-'    (7„.r„, 
Jij.  =  bi^i^' biT-i  •  . .  .    ■b„.T,i, 


soit  supérieur  ou  au  moins  égal  à  n;  on  pourra,  aux  variables 
a:^,  x-2,  . . .,  x„  substituer  n  des  nouvelles  variables  A.r,  Bj-, 
Cx,  .  • . ,  aux  variables  j'i,  J^.,  .  . . ,  )«  substituer  les  variables 
A,-,  B,5  C,-,  .-.,  en  désignant  ainsi  ce  cpie  deviennent  V,., 
B.,-,  .  .  .  quand  on  y  remplace  x  par  )',  ....  Désignons  par 
un  d  les  dérivées  prises  par  rapport  au  nouveau  système  de 
variables;  nous  aurons 


ûa,- 

dS 

dcii 

de  ()\^. 

f/A.,.    àa,- 

de 
dn.v 

àa,- 

d.rj 

= 

de     ')A.r 
dAjr    à.Tj 

fie 
dn.r 

àXj 

Substituons  ces  valeurs  dans  (i)  et  observons  que  cette  é(pin- 

tion  est  satisfaite  en  posant  0  =  A^,  Bj-,  .  .  . ,  Ay,  B, ,  ...  ;  il 

viendra 

de        ,    ^0  ,  de 

daj  dbj  (Il  j 

Les  équations  contenues  dans  ce  Ivpe  n'admettent  pas  d'autres 
solutions,  comme  on  l'a  vu  au  paragraphe  précédent,  que  des 
fonctions  arbitraires  des  déterminants  que  l'on  peut  former 
avec  les  variables  contragrédienles  ;  dans  l'fxpression  de  ces 
fonctions  pourront  entrer  A^,  B, ,  ....  <pii  ne  dépendent  pas 
des  cij,  bj,  ...  au  point  de  vue  où  nous  sommes  placés;  donc  : 

l^oifl  contreiciriant  de  formes  linéaifes,  dans  lequel  il 
entre  suffisamment  de  variables  contra grédientes,  est  une 
fonction  :  i"  de  ces  formes,  2"  des  déterminants  que  Von 
peut  former  cn-ec  les  variables  contragrédienles,  y  com- 
pris les  coefficients  des  formes. 

(3n  dit  quelquefois  aussi  que  le  conlrevarianl  peut  conlonir 


THÉORIE     DES    S  l' B  S  T  I  T  L  TION  S     LINÉAIRES.  27.J 

les  covarianls  identiques  qui  sonl  les  déterminants  formés 
avec  les  variables  cogn''dienles,  mais  ces  covariants  sont  fonc- 
tions des  formes  et  des  déterminants  des  variables  contra- 
grédientcs. 

Les  invariants  et  les  co\ariants  étant  des  cas  particuliers 
des  conlrcvariants,  on  voit  que  moins  de  n  formes  à  /i  va- 
riables el  du  premier  degré  n'ont  pas  d'invariant.  Plus  de  n 
foi  nies  linéaires  à  n  variables  ont  pour  invariants  les  déter- 
minants que  Ton  peut  former  avec  leurs  coefficients,  et  en 
général  leurs  fonctions.  Les  covariants  en  contiennent  outre 
les  formes  elles-mêmes. 


XXI.  —  Recherche  des  covariants  et  des  contrevariants 
des  formes  quelconques. 

Tui':oRÈ\iE  I.  —  Tout  conlrevariant  cl  une  ou  de  plusieurs 
formes  peut  être  considéré  comme  un  conlrevariant  de 
plusieurs  formes  dans  lequel  les  coefficients  des  nouvelles 
formes  n^ entrent  qu'au  premier  degré,  conlrevariant  dans 
lequel  on  suppose  certaines  formes  égales  après  coup. 

Soit,  en  efl'ct, '^(rt,  r/',  rt".  .  .  .)  un  contrevariant  dune  forme 
avant  pour  coefficients  a,  a' ,  a" ,  ...  ;  soient  b^  b' ,  b" .  ...  les 
coefficients  d'une  autre  forme  de  môme  degré  m.  La  quantité 

Ml  b  -^     r-  b  —h  -T-  b   — ^  —  .  .  . 

ôa  ()a  oa 

sera  un  contrevariant  des  deux  formes,  car 

o(  a        /Jj.   a  -'-  Kb' .    ...  I 

est  un  contrevariant  des  deux  formes,  quel  que  soit  "a;  le 
coefficient  de  A,  qui  n'est  autre  chose  que  l'expression  (i), 
est  donc  aussi  un  contrevariant  des  deux  formes;  or  le  nou- 
veau contrevariant  (i)  ne  contient  plus  les  a  qu'à  un  degré 
inférieur  à  m  d'une  unité,  appelons-le  o,n_i.  Soient  encore  r, 
c',  c",  ...  les  coefficients  d'une  nouvelle  forme  d'ordre  m. 


0-6  CM  Al'l  TKK    X. 

L;i   {|ii;uilil(.'' 

C  -^- C   —r--    —■  C    -!■— s h  .  .  . 

âa  Oa  (la 

sera  un  conlrevariaiU  ne  conlcnanl  plus  r/,  a' ,  a'\  .  .  .  (m'au 
degré  m  —  2,  appelons-le  Om-2,  el  ainsi  de  suite;  cp,  ne  con- 
tiendra plus  les  a,  les  b,  les  c,  .  .  .  qu'au  premier  degré  et 
l'on  aura,  en  faisant  a  =  6  =  c  =  .  .  . ,  en  vertu  du  théorème 
lies  fonctions  homogènes, 

tp„,_i=/n'^,     '^,„_2^  (m  —  i)'f/M-i,      Oi=2'f2, 

cl  par  suite 

çn  =  m( /n  —  i).  ..■?..  10; 

Of  est  donc  égal,  à  un  facteur  numérique  près,  au  contreva- 
liant  donné,  quand  on  y  suppose  «  =:  ^  =  c  = .  .  . ,  et  il  con- 
tient les  <-/,  les  b,  les  c,  .  .  .  au  premier  degré  seulement. 

c.   Q.   F.   n. 

TnÉORiniE  II.  —  Quand  un  contrevariant  de  plusieurs 
formes  ne  contient  les  coefficients  de  ces  formes  qu\iu 
premier  degré,  on  peut  le  considérer  comme  un  contreva- 
riant  de  plusieurs  formes  linéaires. 

Soit  aijh_,,  un  coefficient  de  l'une  des  formes 


2 


(le  telle  sorte  que,  si  Ton  fait 

la  forme  se  réduise  à  ((7^  jt,  +  «2-^2  +  •  •  •  +  ^/«^w)"'!  soit 
■s>[aijii___,  .  .  .  )  un  conlrevarianl;  soit  F  le  déterminant  d'une 
substitution  (pii  changera  aijh...  en  b/j^^,:  on  aura 

Si,  eu  particulier,  ou  considère  la  foime 

{a^Xi-  -  aiX-i-T- . .  .-r-  a„x,,)"' , 
laquelle  devient  après  la  IrausCormalion 

(6,7,—  />oJ-, --...--  fjnVnr", 


Tiif:ouii:    i)i;s   sibsti  riinoNs   liné  ai  in:s.  '.>.-~ 

il  esl  clair  ([iio  Ton  aura 

':.{a\a{a'\ i     -  V^-:,{h\lÀl/:, ): 

le  conlrevariant  considéié  [X'ul  donc  cire  considéré  comme 
drri\anl  dune  forme  linéaire,  dans  lequel  on  remplacerait  les 
produits  tels  (pic  (i\aia'^^  .  .  .  par  oij^h...-  Kéciproipiemenl. 
si  l'on  connaît  un  contrcvariant  Zi(^a\a'.,  .  .  .)  de  plusieurs 
formes  linéaires,  on  peut  en  déduire  un  contrcvariant  d'une 
forme  de  degré  égal  au  degré  de  ce  contrcvariant  en  rempla- 
çant o\((i  .  .  .  par  Oijk,.,.  En  effet,  la  substitution  qui  change 
(lijk...  en  ^,y/i...  change  «/  en  bi,  aj  en  bj.  .... 
Cette  même  substitution,  changeant 

'^{a'\a{..:)     en     r^cs  (6;  A!;  .  .  .  \ 


changera 


cp(r//y/,.  ..  )     en     Y"''^{b,ji,.  .  . 


Des  deux  théorèmes  précédents  il  résulte  qu'il  suffit  de 
considérer  les  contrevariants  des  formes  linéaires  pour  en 
di'duire  tous  les  contrevariants  des  autres  formes. 


XXII.  -  Méthode  de  M.  Cayley. 

C'est  M.  Aronhold  qui  a  ramené  la  recherche  des  contre- 
variants à  ceux  des  formes  linéaires,  mais  AI.  (^avley  [Cam- 
bridge and  Dublin  matheniatical  Journal,  t.  I;  Journal 
de  Crelle,  t.  30)  avait  antérieurement  fait  connaître  une 
méthode  qui  donnait  tous  les  contrevariants;  il  est  facile  de 
déduire  celte  niélhode  de  ce  qui  précède.  Soient 

«i^Tj  —  UiXi  — .  .  .-^  a,iT„^ 

biTi      -  b^Ti^  . . .    -baX.i, 


des  formes  linéaires,  et 

(0  ^{a\a{...b'ib'.^...) 

un  conlrevariant  de  ces  formes;  si  l'on  v  suppose 
«1  a{.  .  .  =  aij_,,,     b'ib'., .  .  .  ^  6/,/..., 


278  CIIAriTUK    X. 

on  obtiendra  un  conlrevarianl  tic  formes  de  degré  plus  élevé 
et  l'on  pourra  même  ajirès  cou[)  supposer  o  =  b  =  .  .  . . 

Avant  de  l'aire  celle  livpotlièse  «  =  6  =  .  .  . ,  désignons  par  / 
la  forme  qui  a  pour  coefficients  «/y..:,  par  g-  celle  qui  a  pour 
coefficients  bki...,  etc.;  on  a  évidemment,  à  un  fadeur  numé- 
rique près, 


'-       ôx\  dx{  ... 
en  sorte  (juc  le  conlrevarianl  (i)  pourra  s'écrire 


dx\     dx':. 


à  la  condition  de  remplacer  les  produits,  tels  que 


par 


,)i+j+...  f 


à'f  àJf 
<)t\  ôx^^ 


ôx\  ôxi  .  .  . 

Ainsi,  pour  former  les  cont/'evariants,  on  peut  dans  les 
contreçariants  des  formes  linéaires  remplacer  les  coeffi- 

cients  de  ces  formes  par  les  symboles  -r—,  -f— ?  •  •  •  •>  à  la 
■J  '  '  dx\      0X2 

condition  de  remplacer  les  puissances  de  ces  sj'mboles  cl 
leurs  produits  par  des  dérivées  d'ordre  supérieur. 

Or  les  contrevarianls  des  formes  linéaires  sont  des  fonctions 
des  formes  et  des  déterminants  de  ces  formes;  en  considérant 
les  variables  contragrédientes  comme  des  coefficients  de 
formes  linéaires,  les  contrevarianls  des  formes  f-,  g-,  •  •  • 
pourront  donc  être  représentés  comme  des  fonctions  de 
déterminants,  tels  que 


dxi 

àf 
dx,i 

àg 
dxx 

dg 
ôx,      ' 

'>g 
àXn 

)î'  ;i,  ^2! 


sont  des  variables  contrajrrédienles.  Les 


fonctions  ainsi  obtenues  ne  contiendront  les  coefficients  de  /, 


TIIÉOUIE     DES     SUUSTITL  TIO.NS    LINÉAIRES.  279 

«',...  qu'au  premier  degré  ;  mais,  en  prenaniy=  ^- ^  .  .  . , 
on  aura  des  coutrcvariauls  plus  j^énéraux.  après  coup. 

Si  l'on  s'allaclic  plus  spécialement  à  la  lormalion  des  inva- 
riants, on  devra  former  exclusivement  des  fonctions  des  dé- 
terminants, tels  que 

,)/      ,)/  ôf_  I 

Oxi      dx,      '  '  '      OXn 

dxi     dx,      '  '  '      Ox,i 

et  les  prendre  à  un  degré,  par  rapport  aux  dérivées,  égal  au 
degré  des  formes,  alin  que  les  variables  disparaissent. 


XXIII.  —  Application  des  théories  précédentes  aux  formes  binaires. 

Invariants. 

Tout  polvnome  entier  en  j:,y'(x),  peut  être  considéré  comme 
un  polynôme  entier  à  deux  variables  en  x  et  >',  homogène, 
dans  lequel  )'=  i.  En  efifet,  soit  n  le  degré  de  y";  il  est  clair 

que  )"/(-)  est   le   polynôme   homogène    en    question.    La 

liiéorie  des  lormes  binaires  n'est  donc  au  fond  qu'un  complé- 
ment de  la  théorie  des  polvnômes  entiers  à  une  variable. 

Théurème.  —  Tout  invariant  d'une  forme  binaire  est 
une  fonction  symétrique  des  racines  de  l'équation  obtenue 
en  égalant  cette  forme  à  zéro;  cette  fonction  ne  doit  con- 
tenir que  les  différences  des  racines  en  question;  enfin 
dans  chaque  terme  les  racines  doivent  toutes  entrer  un 
même  nombre  de  fois. 

D'abord  il  est  clair  f[u"un  invariant,  devant  être  une  fonc- 
tion rnlière  des  coelficients  de  la  forme,  sera  fonction  svmé- 
tiique  des  racines;  de  plus,  si  Ton  augmente  chaque  racine 
de  /..  ce  qui  revient  à  faire  une  substitution  linéaire  de  mo- 
dule I,  un  invariant  ne  doit  pas  changer.  Or  les  différences 
des  racines  ne  changent  pas  :  et  d'ailleurs,  pour  que  ces  diffé- 


28o  cn.vriTRE  x. 

rencos  ne  changent  pas,  il  laut  cl  il  suffit  que  les  racines  aui;- 
menlcnt  d'une  mcnic  quantité.  L'invariant  restanl  constant 
en  même  temps  que  les  différences  des  racines  est  donc  une 
fonction  de  ces  difierences. 

Faisons  maintenant  la  substitution 

X  =  Àr  —  [xj-,     r  —  \'x    -  \x'y, 
ce  qui  revient  à  faire  dansf{x)  =-=  o 

_  l.r' -^  [xy'   _   \x' —  ix\ 
V  x' -T- \x' y'        X'x'-t- [i" 

l'invariant  est  multiplié  par  (â;j.' —  ;J-''0"'-  ^"^  racine  x^  de- 
vient s,    ,'        ,>  la  différence  x,  —  x-^  devient 

A  Xi-^  [X 

1  X\  —  [X  X  x'„  —  \x  (X  ijl'  —  ).'  ix)  (  x\  —  t'.t,^  ^ 


\'x\  —  |Jl'  V  x'.^  -r-  \X  (X'j^i  -n  \X'){\'  x'.,  -^  [x')' 

pour  qu'une  somme  de  produits  des  différences  des  racines 
ne  soit  multipliée  que  par  un  facteur,  il  est  nécessaire  qu'une 
racine  entre  un  même  nombre  de  fois  dans  chaque  terme. 

Il  résulte  de  là  que  l'invariant  le  plus  simple  d'une  forme 
binaire  est  son  discriminant,  c'est-à-dire  le  produit  des 
carrés  des  différences  de  toutes  ses  racines. 

Si  l'on  considère  la  forme /(x,jk),  le  discriminant  de  cette 
forme  est  le  premier  membre  de  la  résultante  des  deux,  équa- 
tions 

^="'     ^="' 


ou 


c'est-à-dire 


df  àf         ùf 

-•i-  =  o,      -f-  X  —  --j-  =  o, 

ùx  fJx  c)j" 


En  égalant  le  discriminant  à  zéro,  on  exprime  que/=  o  a 
une  racine  double  ou  que/(a:,jK)  a  deux  facteurs  linéaires 
égaux.  Or,  en  égalant  à  zéro  le  produit  des  carrés  des  diffé- 
rences des  racines  ou  le  dernier  terme  de  l'équation  aux  carrés 


Tllf:<>lllF.     DES     SLBSTITL  TIONS     LINÉAIKES.  28 1 

des  dillV-rences,  on  obtient  la  même  condition  ;  le  discriminant 
est  donc  le  dernier  terme  de  l'cqnation  aux  carrés  des  dillV- 
rences  :  c'est  évidemment  le  plus  simple  invariant. 

Théorème  II.  —  Tout  coKCiriant  cV une  forme  binaire 
est  une  somme  de  produits  de  différences  des  racines  et  de  x 

( ou- j  dans  lesquels  toutes  les  racines  entrent  un  même 

nombre  de  fois  (démonstration  analogue). 

\  oici  maintenant  un  moyen  de  former  des  invariants,  qui 
s'appliquerait  aux  fonctions  de  plus  de  deux  variables,  mais 
qui  conduirait  pour  ces  fonctions  à  des  calculs  très  compliqués. 

Soit  n  le  degré  d'une  forme  binaire  f{x,  y)  et  soit  ij.  le 
degré  d'un  invariant  que  l'on  se  propose  de  calculer.  Un 
iiivariani,  étant  une  somme  de  produits  des  dilTérences  des 
racines,  homogène  par  rapport  à  ces  racines,  aura  tous  ses 
termes  de  même  poids. 

Faisons  la  substitution  j;  ^j^',  j^  =^  .r';  cette  substitution, 
de  module  —  i ,  a  pour  effet  de  changer  le  coefficient  ai  de  la 
forme  en  ««_,  ;  en  appelant  alors  a,  ,3,  .  .  .  les  indices  d'un 
terme  de  l'invariant,  on  doit  avoir 

a-^^  —  ...r=n  —  a  —  /i  —  S  — ... 

ou,  en  appelant/?  le  poids  de  l'invariant,  à  savoir  a  ^-  ^ j  —  .  .  , , 

p  ^=  \xn  — p     on    p  ~^  \  \i-n. 

Le  produit  'xn  doit  donc  être  pair;  donc  : 

Une  forme  de  degré  impair  n'a  pas  d'invariant  de  degré 
impair. 

Le  poids  de  l'invariant  étant  connu,  sa  partie  littérale  est 
déterminée;  il  ne  reste  plus  qu'à  calculer  ses  coefficients,  ce 
qui  se  fera  au  moyen  d'équations  que  nous  allons  faire  con- 
naître. 

Soit  V  l'invariant  cherché,  il  ne  doit  pas  changer  quand  on 
remplace  X par  x  -\-yZx;  donc,  en  appelant  r>aQ,Zai,oa.,,  .  .  . 


262  CIIAPITHK    X. 

les  varinlions  que  subissenl  alors  les  coefficirnls  r?,,,  (l^,   .  .  . , 

de  la  forme,  on  doil  avoir  oV  =  o  on 

ù\  ^  <)\  .  ')V  , 

(i)  -— orto-    — -'■■"Tfi-     — -o<72-    .  .  .-  o; 

Oa^j  ilOi  ila-i 

<run  autre  coté,  la  forme  elle-même  esl  (le\enuc 

«o(-^-!- J0-2?rH — a^{x~    jj-oj-)"-'-' ; a.i(x  —  y rjxy^-^ -T- .  . . 

ou 

rt(/i—  1  )  ,^    ,  ^ 

H (aoj>--o./'2      ■xas.y^j.r       «2)--...; 

donc 

orty  ^     O,     o«i  =  aoJ'O.r,      0(72  = ''-«i.TO.r,      .... 

et  par  suite  on  a,  en  rcmplaranl  dans  (i)  oc/^,  0^/1,  •  ■  •   par 
ces  valeurs, 

(  ï)  - — an-^i- — «1--J-; — a-2--...=  o. 

àai  dOn  Oos 

On  trouve  de  même 

(3)  -T -a„-    2- a„-i-  .  .  .^  o. 

oa,i-i  dcta—i 

Pour   montrer  l'usage  que   l'on  peut  faire   de  ces  formules, 
clicrclions  l'invariant  biquadratique  d'une  forme  cubique. 

Ici  n  =^3,  [J.  ;=  4?  P  =  ^>  1  invariant  cherche  V  est  de  la 
forme 

L'application  de  la  formule  (2)  donne 

iG-t-2E  =  o,     aD^GB    -3E-0,     E       GAr^o,     iD-h3G  =  o; 

d'où  l'on  tire,  en  posant  £=  —  0, 

A       \,     B  =  4,     G  =  i,     D  =  —  3; 
linvariant  cherché  est  donc 

al  al—  \a.'ia<i-^  \tti(i'\  —  "iala-^  —  G«o<^'2<''i  <^3  '■ 
c'est,  comme  on  peut  s'en  assurer^  le  discriminant  de  la  (oi-mc. 


rilf:()lUE     DKS     SI  BSTITL'  ilONS     LINfiAlUKS.  283 

Celle  niclliode  est  apj)licablc  aux  covariaiits  et  aux  Inva- 
riants de  toutes  les  lormes  et  même  de  plusieurs  formes 
simultanées,  mais  elle  se  complique.  On  a  songé  à  l'employei- 
pour  la  détermination  de  la  résultante  de  plusieurs  équations  ; 
on  peut  en  voir  des  exemples  dans  la  Théorie  générale  de 
réliinination  (')  du  chevalier  Faà  de  Bruno. 


EXERCICES   ET  NOTES. 


1.  Les  invariants  des  formes  binaires  jouent  un  rùle  important  dans 
la  théorie  des  équations;  les  invariants  d'une  formey(vr,j')  sont, 
comme  on  l'a  vu,  les  fonctions  des  didérences  des  racines  de  l'équa- 
tion/(.r)  =  o.  Parmi  ces  fonctions,  il  faut  distinguer  le  dernier 
terme  de  l'équation  aux  carrés  des  difFérenccs,  qui  peut  se  mettre 
sous  la  forme 

/'(a,)/'(a,).../'(a„), 

oii  ai,  ao,  .  .  .  sont  les  racines  dey(j:')  —  o,  et  encore  sous  la  forme 


\    S,i    i      s  „       ...       s  1,1  _ 

A'o,  Si....     désignant   les   sommes   7  a»,    7  a,    7  a-,   ...    Ce  résultat 
s'obtient  en  fai-^ant  le  carré  du  d/'lerniinant 


a.. 


qui  est  le  produit  des  différences  des  racines  ai,  aj, . . .,  a^.  Ce  produit 
des  carrés  des  différences  des  racines  est  le  discriminant  Ae  f{x,y); 
en  l'i'galanl  à  zéro,  on  a  la  condition  pour  que/(a;)  =  o  ait  une  racine 
double. 


(')  Grand  iii-8;  iS.'xj.  Paris,  Gaulhicr-Villars. 


284  ni.VIMTHK     X. 

"2.  l  110  fnnnc  binaire  de  dogré  /i  a  autant  de  covariants  du  degré 
/),  |iai'  rapport  à  ses  coefficients,  qu'une  forme  binaire  (bi  (b^gré/)  a 
de  covariants  du  degré  /i  par  ra|)porl  à  ses  coefficioiits  (loi  de  rc'ci- 
procité  de  M.  Ilermile). 

9.  m  OLniiim  —  i) 

1  I  .-2 

I  ini(2m  —  \).  .  .(m  '■-  i) 

H :: «/««m 

■>.  I  .•>..>..  .  /Il 

est  un  invariaiil   de 

ao-V-"'  -'-^  —  rtiJ-2/«-l  1-  _._ .     .        ftomf-'"- 

4.  a^bii    -  b»a„ {a^bn-i    -bxan-\) 

^ {a-iba-i  —  bîa,i^2)—-  •  • 

1 .  a 

est  un  invariant  des  formes 

Oo-r'^ «i^«-'t — ....     Oo'^"     —  «i.r'»-'j>' — ... 

(jiiand  /i  est  impair. 

5.  (("/iCu  —  «1  )j?-    -  (au«:j  -  -  rtj  ai).r)'  -  -  («(«3  —  a|  )y- 
est  un  covariant  de 

«0  a^"*  -    3  «1  .r^jK  --  3  a-2  xy-    -  «3  T^ . 

N.-B.  —  Voir  le  Traité  d'A  Igèbre  supérieure  de  M.  Svlmon  ( *  ),  et 
les  Leçons  sur  la  Géométrie  par  M.  Clebscii,  recueillies  et  com- 
plétées par  LiNDK.MANX  et  traduites  par  Adolphe  Benoist  (-). 

6.  Soienty"], /j;  •  •  •tfa+i  t'es  fonctions  bomogèncs  et  de  même  degré 
des  variables  x^,  x<i^  ...,  x,,,  et  cpi,  oo,  ...,  Ç/i+i  les  déterminants 
fonctionnels  que  l'on  peut  former  avec  n  de  ces  fonctions. 

Démontrer  que  /'i,/'2)  ••■ifn+i  sont  proportionnels  aux  détermi- 
nants fonctionnels  que  l'on  peut  former  avec  n  des  fonctions 
C5,,  Oo '^n^\  C'^  prouver  que  l'on  a 

.^ri      \t'-^"u     '^X;  0J\^     ()Xn/ 

p=l  ^' 

(')  In-8;  i885,  Paris,  Gauthier-Viilars. 

(•')  Trois  volumes  grand  in-8;  1879-1880-188.3.  Paris,  Gaiilliicr-Vilhirs. 


TIlI^;()UIK     DKS    SUBSTITUTIONS     L  I  .N  fi  A  I  lU;  S.  ?,85 

On  s'ii|)|niio  sur  les  relations 

(Ci.EBSCH,  Journal  de  C relie,  t.  70). 


CHAPITRE  XI. 

su  11    L"  ÉLIMINATION. 


I.  —  Définitions. 

Jî  liniincr  x,y^  z,  ...  entre  un  certain  iiornhrc  d'équations, 
c'est,  dans  i'accepLion  la  plus  large  du  mol,  trouver  une  ou 
plusieurs  équations  qui  soient  des  conséquences  nécessaires 
des  é(|uations  proposées  et  qui  ne  contiennent  plus. r,r,  z, . . . 

Celle  (lélinition  jieut  être  Irauslorniée  :  coiisiih-ions  les 
équations 

(l)  '^y  —  O.        Cfo  "^  O,         ...        Cp/,4.1  -=  O, 

dans  lesquelles  'j,,  ci^?  •  •  -^  'f"+i  désignent  des  lonclions  de; 
X),  x-y,  .  .  .,  Xn-  Supposons  que  l'on  ail  pu  former  une  con- 
sé(picnce  nécessaire  R  ^  o  de  ces  équations,  ne  coiiiciKin! 
plus  X,,  X-^',  •••,  Xn.  R  =  o  étant  conséquence  nécessaire 
des  équations  (i)  ne  pourra  avoir  lieu  que  si  c  s  équations  sont 
satisfaites  en  même  temps,  c'est-à-dire  cpie  si  elles  ont  an 
moins  une  solution  commune,  cl  elle  aura  lien  dès  que 
ces  équations  auront  une  solution  commune. 

Ainsi  éliminer  X  \.,  .r^,  ...  entre  des  é(piati()n.s  (lonni'-es, 
c'est  tn)n\('r  la  condition  nécessaire  el  snKisanle  |)()nr  (pie 
ces  équations  aicnl  au  moins  une  solution  commune. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante,  R  ==  o,  pour  (jiie  les 
é(piati()ns  (i)  aient  une  solulion  eommniie,  est  ce  que  l'on 
appelle  la  résiillante  ûcs  équations  (i). 

On  ne  possède  aucune  règle  générale  pour  trouver  la  résul- 
lanle  de  deux  ou  plusieurs  équations  transcendantes.  Il  est 
souvent  lorl  difficile  de  di''lermincr  la  n'-snllanle  de  plusieurs 
éfpiations  algébriques  qui   n'aireelenl  pas  la    forme  entière. 


s  un   l'élimination.  287 

Lors([ue  l'on  veut  t'Iiminer  a*,,  x-,,  .  .  . ,  x„  entre  des  CMjua- 
lions  IcUes  que(i),  où  '^,,  cp.j,  .  .  .,  '^„^,  désignent  des  poly- 
nômes entiers,  on  se  propose  généralement  de  déterminer  lu 
résultanteR=  o,de  telle  sorte  que  II  soil  un  polynôme  entier 
par  rapport  aux  coefficients  de  'i,,  z>.,,  ...  et  de  degré  mini- 
Miiirn  par  raj)port  à  ces  coefficients.  R  est  alors  déterminé, 
comme  nous  le  verrons,  à  un  facteur  numéri([uc  près.  ^NOus 
di'lerminerons  même  ce  facteur  numérique,  et  alors  le  poly- 
nôuic  11  sera  ce  que  nous  ap[)ellerons  le  n''siiltant  ou 
\  éliminant    des    fonctions  cp,,  cp^,   ...,  '^„+\    pi'i"  rapport  à 


II.  —  Coefficients,  arguments,  poids,  etc. 

Si  nous  considérons  un  polynôme  quelconque  entier 
en  .r,,  x->.  .  .  . ,  x,i,  ses  termes  se  composeront  en  général  de 
deux  groupes  de  facteurs;  les  uns  contiendront  les  variables 

.r,,  x-^ les  autres  en  seront  indépendants.   Le  groupe 

de  lacleurs  indt-pcndanls  de  j",,  Xo,  .  .  .  dans  un  terme  sera 
le  ('(x'fjicient  du  terme,  l'autre  groupe  en  sera  Vargunienl. 
Vinsi,  dans  le  terme  laxy,  l'argument  est  xv  et  ia  est  le 
coel'ficient. 

Etant  donné  un  polynôme  entier,  nou^  le  tendrons  souvent 
homogène  ;  pour  cela,  nous  introduirons  dans  chaque  terme 
un  lacleur  fictif  ([ui  sera  une  puissance  de  t,  que  nous  su|)p()- 
serons  égal  à  i;  celle  puissance  de  l  sera  choisie  de  telle  sorte 
que  le  degré  du  terme  (pii  lui  est  relatif  devienne  égal  au 
dei;ié  du  polynôme  donl  il  fail  partie.  La  variahle  t  sera  tou- 
jours supposée  (aire  partie  du  coefficient  et  non  de  l'argument 
du  terme  auquel  elle  a  été  adjointe. 

Cela  posé,  nous  appellerons  poids  dun  terme  le  degré  de 
ce  lerme  [)ar  rapport  à  la  variahle  /  ;  par  exemple,  dans  le 
poU  iKune 


:î88  chapitre   m. 

(|ni.  rendu  lioniO};rnc,  devlenL 

a^>x">--  aitx'"-^  —  .  .  .-;   aii'x"'-'-h. .  ., 

dit'  est  de  poids  i,  «,  est  de  poids  i. 

Le  poids  d'une  fonction  quelconque  des  cocnicivnls  de 
plusieurs  |iolvnouics  sera  le  de;;rc  de  celte  lonclion  |).ir  rap- 
port à  la  variable  liclivc  /.  Ainsi,  par  exemple,  si  l'on  consi- 
dère les  pol\  nomes  de  degrés  m  cl /i 

Vo/y/,.r'y^/^-     et    ^b,j,,T'yJz''-, 
la  fonction 

sera  de  poids 

m  —ii^j^  k) -~  in  —  -lip  -f-  7  —  /■), 

et  ainsi  de  suite. 

Théorème.  —  Les  solutions  {rjuand  elles  en  ont)  des 
('qualions  entières  en  X),  Xo, r,, 

II)  »i—  O,      Ç)2=  O,       .  .  .,      'ùa—  O 

sont  des  fonctions  de  poids  égal  à  i . 

En  effet,  supposons  que  x^^a^,  x^^^a^,  •-..  Xi,^=a,i 
soit  une  solution  des  équations  (i);  changeons  la  variable 
fictive  t  qui  donne  le  poids  en  kt\  un  coefficient  P  des  équa- 
tions (1)  de  poids  p  deviendra  V kP,  mais,  dans  ces  circon- 
stances, les  équations  seront  satisfaites  en  posant 

Xi  =  kdi,     X.2  =  ka-i,     ...  ; 

les  solutions  sont  donc  des  fonctions  homogènes  de  l  du 
degré  i  :  leur  poids  est  donc  i . 

Il  résulte  de  là  que,  si  une  fonction  des  solutions  peut 
s'exprimer  rationnellement  au  movcn  des  coefficients  des 
polynômes '-p,  son  poids  sera  égala  son  degré  pris  j)ar  i;ip|)ort 
aux  solutions  qui  entrent  dans  son  expression. 

Celte  remarque  est  de  la  plus   haute  importance  dans  ce 


s  Lit     l/ÉLr. MI. NATION.  nSiJ 

(|iii  va  suivre,  et  nous  dispensera  de  Caire  un  certain  nomhre 
de  di'moiistralions  directes  ([ui  {)réscnlejil  généralement  des 
dillieullés. 


III.  —  Fonctions  symétriques  des  racines  d'une  équation. 

On  appeWe/onction  s\métrif/ue  de  quantités  a,,  y.., a,„ 

une  fonction  qui  ne  change  pas  de  valeur  quand  on  permute 
ces  lettres  d'une  façon  quelconque. 

Pour  lormcr  les  Ibnctions  s\ métriques  des  racines  d'une 
équation,  on  forme  d'abord  les  sommes  des  puissances  sem- 
blahlesdes  racines,  et  voici  comment  : 

Soit 
(i)  '^(■^)  =  «o-J^'"  -r-  aix'"-^~i-. . .—  a,„  =  o 

une  éfjuatioii  du  degré  /;/,  a,,  a^.  .  .  . ,  a,„  ses  racines;  on  aura 

o(x)=  ao(x  —  %i){x  —  x,)  ...  (x  —  'x„i). 

ou,  en  prenant  les  dérivées  logarithmiques  des  deuxmembres, 

f^j'ix)    _  I  II 

^{x)        X  —  a,        X  —  a,    '  ■■'       X  —  a,;, 

'^'(  X  ) 

Développons  ^ — '—  en  série  ordonnée  suivant  les  puis- 
sances  de  -?  et  soit   "  -i ^,  + .  .  .   ce  dé\eloppement  ;  déve- 

X  X  X-  Ai 

loppons  également  le  second  membre  de  la  même  façon,  en 
observant  que 


I 
X  —  a/ 

I 
~~  X 

nous  aurons 

*0     , 

5,              ^2 

2.1- 

'x^ 


et,  en  égalant  de  part  et  d'autre  les  coefficients  des  mémc« 
puissances  de  —■> 

1  X 

Sq  =  m  —  ^  t.",     Si  ~    >  a,     5^  —  ^  a-,      .... 
L    —  Traité  d'Analyse,  I.  ig 


290  CIlAI'iriiE     \l. 

Donc  :  la  somme  des  puissances  i''"""^  des  i-aeiiies  d'une 
('■(/uation  '■^(.r)  =  o  est  le  coefficient  de  -— -^  dans  le  dévc- 

loppement  de^^ — ordonné  suiva/H   les  puissances  de-' 
■'  -'  '^{-'')  ^ 

On  verrait  de  inèmç  que  la  somme  des  puissances —  l'-mes 
des  racines  est  le  coefficient  de  x'~'  dans  le  développement 

,     o'(x)  ,  ,  .  ,  .  .  j 

de  -^ — r  ordonne  suivant   les  puissances  croissantes  de  x 

(quand  il  n'y  a  pas  de  racine  nulle). 

Plus  généralenienl,  soient  /'(j^)  une  fonction  entière  quel- 
conque et  E(.r)  un  polynôme  entier  en  x  convenablement 
choisi;  on  a 

le  coeriicient  de  -  dans  le  second  membre  dc\clop[)c  suivant 

1  •  1     •       ^  V  /(^)     1 

les  puissances  de  -  est  7  ~ — .;  donc 

^  X  jmâ  'f  (  a  ) 

1°  La  sommet  ~rr^  est  le  coefficient  de  -  dans  le  dé- 

Keloppement  de  —. — {  ordonné  suivant  les  puissances  de  -- 
'  ^  o{jr)  ■'  X 

2"  Si  le  polynôme  f{x)  est  de  degré  m  —  2  au  plus,   le 

coefficient  de  -  dans  ^ — {  sera  nul  :  donc,  /'(  x)  désignant  un 

polynôme  de  degré  m  —  2  au  plus  et  o^x)  un  polynôme  de 
degré  m,  a  une  quelconr/ue  des  racines  de  'f{x)  =  o,  on  a 

et,  en. particulier, 


7   —,; —    =0,         >    -7,—  —  O,       ....         7-7- 


^) 


et 


z 


=  a' 


o'(a)        ^"^    ' 

«,,  désignant  le  coefficient  de  x"'-  dans  '^(.r). 
Ce  dcrni  T  lliéorcme  est  d'Eulcr. 


SL'K     l'élimination.  29 1 

3"   Si  /'o/i   .s7//Y>o.s7'  /'(.r) -= '^'(.r)F(.r),  F(^)  désignant 

un  pol\  nùnx'  (luclconquc,  on  voit  <inc  >  i' (î')  sera  le  coef- 

1                                                                 ci'(  or\^ i ûr\ 
fuient  de  -  <Ians  le  (U\-elopnenient  de ~ — ^-^  si/ivonf  les 

iniissanees  de  -  • 
'  .(• 

(]c  dernier  lliéorèmc  aura  encore  lieu  quand  '-^(jr)  =  o  aura 
(les  racines  niulliples,  pourvu  <[ue,  si  aesl  une  racine  d'ordre 
de  niulliplicilé  /,  on   lasse  figurer  /  fois  le  Icrnic  F  (a)  dans 

7  F(a);  et  cela,  en  \ciiu  de  la   conlinuilé  des  racines  par 

rappoi'l  au\  cocfficicnls. 

l^es  sommes  s^,  5|.  ...  pourront  se  calculer  ainsi,  soit  par 
une  simple  division,  soit  par  la  méthode  des  coefficients  indé- 
terminés; ,Vu,  .">,,  .  .  .  sont  icspcctivemcnt  de  poids  o,  i,  ?.,  ... 
et  entiers  par  rapport  au\  coefficients  <:/,,  Oo,  •  .  .  mais  non 
par  rapport  à  <7o. 

En  général,  on  a,  en  appelant  toujours  a,,  y.o,  .  .  .  les  ra- 
cines de  z>  (x)  =  o, 


1 


Xj  jto  •  •  •  ^«—  1  ^« 


^  a',  ^  al  .  .  .  y.';    ^  -/,  —  ^  1'.^' 


1 


11  n'sulle  de  là  «pie,  «[uaiid  on  aura  formé  les  fonctions 
V  y-\  ou  Sa,  Si,  s-,,  ....  on  pourra  former  les  fonctions  symé- 
triques de  la  forme  ^a',  x',  ;  quand  on  aura  formé  ccIIes-ci, 
on  saura  former  celles  de  la  forme  >  y.\  a{  a^  .  .  . ,  et  ainsi  de 
suite  ;  on  saura  donc  former  les  fonctions  symétriques  entières 
quelconques  des  racines  d'une  équation  algébrirpie.  D'après 
la  manière  dont  nous  avons  procédé,  on  voit  que  : 

Toute  fonction  svmétiique  rationnelle  des  racines  d'une 


2()2  CHAPITRE    M. 

cquation  algcbriquc  s'expiiDic  rationncllemcnl  au  moyen 
des  eoej/ieienls  de  l'équalion  ; 

et  même  : 

Toute  fonction  symétrique  e/itièfe  des  racines  d'une 
équation  est  une  fonction  entière  des  coefficients  dii'isés 
par  le  coefficient  de  la  plus  haute  puissance  de  x  dans 
r  équation. 

Si  Ion  divise   '^' {x)  par  '^  {jc)   en  ordonnant  le  quotient 

suivant  les  puissances  ascendantes  de  -?  le  coefficient  du  |)rc- 

mier  terme  est  m,  celui  du  second  est  —  -^j  celui  du  Iroislètne 

rttf 

est  (—  1    —  2  —  j  etc..  et  Ton  volt  facilement  que  ces  coeffi- 

cients  ont  des  degrés  croissants  d'une  unité  par  rapport  à 
rt,,  rtj,  . .  .  ;  donc,  en  général,  5/  est  de  degré  /,  entier  par 
rapport  aux.  coefficients  <7|,  a.,^  .  .  .,  mais  son  dénofnlnateur 
est  a^^.  D'après  la  manière  dont  on  Ibrme  une  fonction  sviné- 
trique,  on  volt  que  : 

Toute  fonction  symétrique  entière  des  racines  d'une 
équation  de  degré  o  par  rapport  à  ces  racines  sera  une 
fonction  rationnelle  des  coefficients  dont  le  numérateur 
sera  de  degré  o  au  plus  par  rapport  aux  coefficients  et  de 
poids  0,  et  dont  le  dénominateur  sera  la  puissance  o  du 
coefficient  du  terme  de  degré  le  plus  élevé  dans  l'équation. 

Le  nombre  o  est  un  maximum,  pour  le  degré  du  numérateur 
bien  entendu;  en  effet,  par  exemple,  le  produit  des  racines 

de  Ci  =  o  est— ^;  le  numérateur  est  du  premier  degré,  bien  que 

le  produit  des  racines  soit  de  degré  m. 

IV.  —  Résultante  de  deux  équations. 

Nous  allons  montrer  comment  on  {)eul  trouver  la  résul- 
tante de  deux  équations  algébrlcpies  de  la  forme 


SLK     l'élimination.  203 

■:>  cl  <\i  désignant  deux  polynômes  entiers  en  xquc  nous  sup- 
|ioserons  des  degrés  m  et  p.  Nous  supposerons  aussi  que  cp 
il  •!/  conlicnncnl  un  paramètre  c,  de  sorte  que  •:j  et  '\i  seront, 
^i  l'on  veut,  des  polynômes  entiers  en  x  et  z  de  degrés  m 
et />.  Soient  a,,  a^,  ....  a,„  les  racines  de  tp  (jc)  =  o;  la  résul- 
tante pourra  se  mettre  sous  la  forme 

(•>.)  •i/(a|)'^(a2)...  'li-J-ni)  =  o. 

Cette  équation  exprime,  en  effet,  qu'une  au  moins  des 
racines  de  cp  =  o  appartient  à  'h  =  o.  La  résultante  peut  é\i- 
dcmment  aussi  se  présenter  sous  la  l'orme 

j,,  3m  •  •  -  désignant  les  racines  de  •!/  :=  o,  ou  même  sous  la 
lorme 

(a,  -^  %). .  .  (a„,  -  %)(oii  -  '},). .  .  (^,n  -  %).  .  •  =  o 
nu 

IT(5;/-.3y)^.  o; 

et  l'on  voit  que  le  premier  membre  de  cette  dernière  équation 
est,  à  un  facteur  indépendant  de  z-  près,  égal  aux  premiers 
membres  de  (2)  et  (3).  D'ailleurs  le  premier  membre  de  (2) 
est  symétrique  en  a,,  ....  a,„,  et  par  suite  rationnel  par  rap- 
port aux  coefficients  de  'i  et  'l. 

Le  degré  de  'l'(y-i)  p^r  rapport  à  z  est  p,  car  tous  les 
termes  sont  du  même  degré/?  par  rapport  aux  variables  xt'lz; 
y-i  étant  de  degré  i,  d'après  ce  que  l'on  a  vu  §  II,  il  en  ré- 
sulte que  le  premier  membre  de  (i)  est  au  plus  du  degré  mp 
par  rapport  à  z.  Ainsi  : 

Théorème.  —  Le  degré  de  la  résultante  de  deux  équa- 
tions de  degrés  m  et  p  est  égal,  au  plus,  au  f)roduit  mp  des 
degrés  de  ces  équations. 

L'expérience  montre  que  la  résultante  peut  atteindre  le 
degré  /»/?,  et  que,  par  conséquent;  elle  l'atteint  effectivement 
dans  le  cas  le  plus  général. 


294 


C  II  A  V  I  r  K  K    \  I . 


V.  —  Transformation  de  la  résultante. 

Supposons  rt„  =  '  et  consiJéions  le  poKnoinc  du   second 
degré  en  ^o,  ç,,  .  .  .,  ;,„_, 


('^        Q=y.T7 


tp'(a)(]/(a) 


\  ,(1         -'-I     .     -t    ,2        .  .  .         .*  -,111-1  )  - 


le  signe  ^  s'étcndant  à  toutes  les  racines  a  de  'z>[x'\  =^  o. 

Le   discriminant  de  ce  polvn(jnic   Q  relalivemcnt  aux  va- 
riables ;  est  égal  au  discriminant  relatif  aux  variables 


(2) 


f'"  -1  î 


qui  estTT-7 — -,- —  mulliiilié  par  le  carré  du  déterminant  de 
la  substitution  (2) 


I      a,       y; 


I        T., Il       ce. 


.,'"-1 


mais  ce  déterminant  est  égal  au  produit  des  dilTércnces  que 
Ton  peut  former  avec  a,,  a^.  .  .  .,  %,„.  Pour  évaluer  ce  pro- 
duit, on  observera  que 

{X—7.i){X  —  '-Xi).  ..{t~'X,„)=   -'^ 

a-  —  a 
et,  en  faisant  jr  =  a, , 

le  déterminant  en  (pieslion  a  donc  pour  carré  fl 'v'(a),  et  le 
discriminant  de  la  fonction  O  est 


ri -Ha) 


)  c'est-à-dire  l'inverse 


du  premier  membre  de   la  résultante   des  éf[ualions  es  ^  o, 
•L  =  o. 


srn   I. 'i' I. iM  IN  V Tio>.  393 

l*o.sons  niainlcnaiil 


I  oq 

"icp'(a)«|/(x)' 

0.  ^>?,-  ^  •^' 

(3) 


el  prenons  pour  nouvelles  variables  r^,  x^,  .  .  . ,  x,,  -  .  .  f.a 
résolution  de  ces  équations  par  rapport  auv  a  se  lera  comme 
il  suit  : 

Appelons  )>(,,  ^'m^    •  •  -,  ">*v«-i  les  coefficients  de   Téqualion 

-Xk —  :=r  o  nul  admet  toutes  les  racines  deo(x)=  o  excepté  a/, 

multiplions  les  équations  (3)  respectivement  par)^^,  ).,.  ... 
el  ajoutons-les  ;  nous  aurons 


'W/i-1  •T'/H  — 1      ■  Ui 


mais  ).u-|- A,  a/-h  .  .  . -i- A,„_,  a'"^'  est  ce  que  devient  ^J^  _- 
pour  x  =  a/,  c'est-à-dire  -^'(a,);  quant  au  premier  membre 
de  ré([iiation  [)récédenle,  on  peut  lécnre  'J_^  ■>  en  conve- 
nant de  remplacer  les  exposants  de  x  par  des  indices  dans  le 
développement  de  ce  polynôme.  On  a  alors 

el  l'équalion  devient 


ou  encore 

Q 


VM^i^  jliLL  '■î''-^' 


En  convenant  de  faire  x\^=Xi^  celte  formule  i)enl  s'écrire 
(5)  yiK)o(.r).(-.r)/_, ^_^ 


296  i;  II A l' i  1 15 1:    X  I . 

mais  on  a  (p.  29»),  on  supposant />  5 ''^5 

y  -  ,/-^  -^ — --  =  <V(^)-^  const., 

7  -,^ — X  —r — -  =  ^(^  )-*-  const.; 
^o  (a,-)  T  —  ti       ^^     ' 

la  lormulc  (j)  devient  alors 

_        <h{T)'o(x'') — ^{t')^(x') 
~  x — X 

La  fonction  Q  peut  donc  s'obtenir  en  faisant  x'=  x'' ~—  Xi 
dans  le  développement  de 

<ii(x)o(x') — ii(x')'Ji(x) 
x' X 

Appelons  I  le  discriminant  de  ()  jiar  rapport  aux  .r,  J  son 
discriminant  par  rapport  aux  n,  0  Je  détcj'niinant  de  la  sub- 
stitution (3);  on  aura 

J  ^  Io2     ou     l  =  i-; 
mais  J  est  éo-al  à    =, — ,,    ^  ,  , —  ;  quant  à  ^j  il  est  éiral  à 

on  a  donc 

De  là  celle  conclusion  : 

La  rr.siilta/)le  des  équalions  -^  =  o,  -J;  =  o  est  le  discrimi- 
nant du  polynôme  du  second  degré  obtenu  en  remplaçant 
.r'  et  x''  par  Xt  dans  le  développement  de  l'expression 

<||(a7)'.p(:r'^  —  '■:iix)^{x') 
x'  —  X 

L'analyse  extrêmement  remarquable  qui  précède  est  due  à 
i\L  Hermite.  Auparavant  Bézout,  Cauchy  et  M.  Cayley  avaient 
indiqué  des  moyens  équivalents  pour  trouver  la  résultante, 
mais  il  paraissait  difficile  de  montrer  directement  l'identité 
de  leurs  résultantes  avec  l'équation  II  'J>(a)=  o. 


sril    i.'f:i.iM IN ATio.N.  '.97 

Nous  nous  bornerons  Ici  î»  cx|)oscr  la  niélhodr  de  M.  Ca\  h-v, 
les  autres  élanl  exposées  dans  les  Traités  élénienlaires  d  Al- 
<^èbre. 

VI.  —  Méthode  de  M.  Cayley.  —  Recherche  de  la  racine  commune. 

(conservons  les  notations  des  paragraphes  préeédenls. 

Théorème.  —  Si  zi(x)=o  et  •1/(j:)=o  ont  une  racine 
commune  x' ,  il  existera  des  polynômes  des  degrés  p  —  i 
<t  m  —  I,  à  savoir  ).  et  <j.,  tels  que  Von  ait  identiquement 

\  I  )  ).ç)  -r-  \ifb  —  o  ; 

réciproqueni'^nt,  si  V identité  précédente  a  lieu,  les  poly- 
nômes \  et  \x  étant  de  degrés  p  —  i  et  m  —  i ,  ':>  ^=z  o  et  'Ij  =  o 
auront  une  racine  commune. 

En  effet, 

,  2  )  -! '-i , ' — ! ==  O 

X  —  X 

est  une  identité  si  x'  est  une  racine  commune  de  's,  =  o, 
•!>  =  o,  el  Ion  peut  écrire  celte  identité 

■  j  )  'l(.r)  J-^ , --^-i  —  'i(  r  )  -•- — \^      •>— ^  =  o, 

X  —  X  •  X  —  X 

ce  qui   di'montre  la  première  partie  du  tliéorèm?. 

Piéciprocjuement,  si  (i)  est  une  identité,  en  y  faisant  j:*  =  x', 
il  faudra,  en  supposant  à{x')  =  o,  que  X-z>  =  o;  donc  J.o  =  o 
admet  les  racines  de  -L  ;=:  o,  et  ).  =  o  ne  peut  les  admettre 
toutes,  puisqu'il  est  de  degré  inférieur  à  'i/=  o;  donc  '^  =  o 
admet  au  moins  une  racine  de  'l  =  o;  donc  les  équations 
■^  =  o,  •]/  ^^  o  ont  une  racine  commune. 

Cela  posé,  puisque  (2)  doit  être  une  identité,  en  égalant  à 
zéro  les  coeflicients  des  arguments  x",  x,  x-,  .  .  . ,  x'""',  on 
aura  m  équations  (E)  auxquelles  satisfera  la  solution  com- 
mune x';  le  déterminant  égalé  à  zéro  de  ces  équations  (E)  du 
premier  degré  en  x'>,x,x-,  .  .  .  sera  la  résultante  cherchée. 


298  oii.vPiTin;    \i. 

Oii  pciillo  voir  en  s'appiivanL  sur  le  ihéorèmc  tie  INI.  Iler- 
milc.  car  le  ([('terminant  cil  (jueslidn  est  é\  itlcninicnl  le  discri- 
niinanl  de  lalonclion  du  second  degré  représentée  syrnl){»ll(pie- 
nienL  par  le  premier  membre  de  (a),  les  équations  (E)  n'élanl 
aiilre  chose  que  les  ilérivécs  parlielles  de  celle  fonclion. 

Mais  on  peut  le  voir  directement,  en  observant  que  si  le 
déterminant  de  (E)  est  nul,  les  équations  (E)  ont  une  solution 
commune;  elles  ont  alors  lieu  en  même  temps.  Si  on  les  mul- 
tiplie par  .r",  x,  x-,  ...  et  si  on  les  ajoute,  on  retombe  sur 
léqualion  (9.)  ou  (3),  qui  n"a  lieu  (pie  si  les  é(piations  c;  =  o, 
'i  =  o  ont  une  solution  commune. 

La  solution  commune  et  ses  puissances  seront  les  solutions 
des  équations  du  premier  degré  (E)  qui  se  réduisent  à  /«  — ^  i 
distinctes. 


VII.  —  Résolution  de  deux  équations  à  deux  inconnues. 

Nous  avons  vu  comment  on  formait  la  résultante  des  deu\ 
é(pialions 

(1)  ^(■î')-.'     ^"'     '^i{^r>:-)--o\ 

cette  résultante  sera  de  la  forme  Il(:;)  =  o,  R  désignant  un 
polyn(jme  de  degré  mp,  possédant  en  général  mp  racines.  Si 
R  est  de  degré  mp  —  a,  nous  dirons  que  la  résultante  a  a 
racines  infinies  (');  chacune  des  racines  de  la  résultante  sub- 
stituée dans  les  équations  (E)  dont  il  a  été  question  tout  à 
l'heure  Tournira  une  solution  des  équations  proposées  (1);  par 
conséquent,  les  équations  (1)  auront  en  g'néral  inp  solutions  ; 
ces  solutions  pourront  d'aillcuis  être  (  11  totalité  ou  eu  partie 
Infinies. 

Cependant,  si  les  mineurs  du  déterminant  R(^)  étaient 
tous  nuls,  les  écpialions  (E)  se  réduiraient  à  ni  —  1  distinctes, 
et  l'élimination  de  j;',  ^'',  .  ..,.r'"~'  conduirait  à  une  équation 

(')  J(;  rappelle  (\\\i\  i|iiaiiil   diiiis  mic  (''1111311011  ai^'/'hi-iiiue  h^s  a  premiers 
coefficicnls  teniienl  vers  o,  t  rariiics  auginciileiiL  imlcfiiiiiiieiil. 


SUR     L  '  f:  r.  IM  I  N  A  T  I  O  N .  299 

(lu  soconil  degré  cn.r;  Il  laiidrail  aloi-s  adjoindre  deux  valeiiis 
on  j"  à  la  valeur  corrcspondanlc  (Je  z.  Il  est  lacilc  de  voir  que, 
dans  ee  cas,  celle  valeur  de  :;  est  racine  double  de  R  =o; 
en  ellV-l,  en  appelant  i\  e' .   .  .  .   les  élémenls  de  11,  on  a 

^R  _  Y"  ()R  ()e  , 

mais        est  un  mineur  de   c,    nul  par  hvpollièse  ]  on  a  donc 

-—  =  o  et  ;  est  bien  racine  double  de  R  =  o. 
Oz 

Si  tous  les  mineurs  du  second  ordre  de  R  étaient  nuls,  les 
équations  (E)  se  réduiraient  à  m  —  5  distinctes,  l'élimination 
de  x'' ,  .r',  .  .  .,  x"'~'  lournirait  une  équation  en  x  du  Iroi- 
sième  degré;  trois  valeurs  de  x  devraient  être  adjointes  à  la 
valeur  correspondante  de  :;,  qui  serait  alors  racine  triple  de 

R  =  o.  En  effet,  non  seulement  on  aurait  -     =  o,  mais 

oz 

d2R  _  y^  /  (PR  de  de'        dR  d'-e\ 
'dz^-   ~  j^  \ôede'  ôz 'ôz  "^  le  ôT^  '  ' 

O-^R         ôR  j  .  ,         , 

et,  comme  -,  et  -—  sont  des    mmeurs  des  deux   premiers 

deae  Oe  ' 

lin  •     à'-R 

ordres  de  R,  on  aurait  -^^  =^  o,  etc. 

On  peut  donc  dire  qu'en  comptant  pour  deux  les  solutions 
doubles,  pour  trois  les  solutions  triples,  etc.  : 

Deux  équations  des  degrés  ni  et p  ont  mpsolutions Jinies 
ou  infinies,  lorsque  leur  résultante  n  est  pas  identiquement 
nulle. 

Quand  la  résultante  est  identiquement  nulle,  les  é([uations 
ont,  quel  que  soit  r,  une  solution  commune;  leurs  premiers 
membres  ont  un  diviseur  commun  rationnel  :  ce  cas  ne  se  pré- 
sentera donc  jamais  quand  les  équations  n'auront  pas  de 
diviseur  commun  rationnel. 

On  a|)pelle  fonctions  s)  métriques  des  solutions  de  plu- 
sieurs équations  une  l'onction  de  ces  solutions,  qui  ne  ebange 
pas  tic  valeur  fjuand  on  permute  les  éléments  correspondants 


ooo  niAPiTui:  IX. 

(le  tleii\  solulions.  Ainsi,  si  a,  ^3  ;  a',  |j' ;  ...  sont  les  solutions 
(les  deux  (!'qualions  (i), 

a3-'/3'-a"p"-   ....    Vx-y^^i,    y-xK... 

seront  des  fondions  svnK'lriqucs  des  solutions  en  question. 
Puisque  |j,  ,3',  ...  s'expriment  rationncllemenl  au  nioven 
de  a.  a',  ...  :  Ton t('  fonction  symétrique  des  so/tttions  sera 
une  fonction  symétrique  des  a,  et  par  suite  une  fonction 
symétrique  des  racines  de  la  résultante  de  (i)  ei  (2);  elle 
s'exprimera  donc  rationnellement  au  moyen  des  coeffi- 
cients de  la  résultante,  c'est-à-dire  au  moyen  des  coeffi- 
cients de  (i)  et  (i). 

VIII.  —  Théorème  de  Bézout. 

Dans  son  Ouvrage  sur  la  théorie  des  (?quatiohs,  devenu 
aujourd'hui  fort  rare,  Bézout  a  l'ait  connaître  le  théorème 
suivant  : 

1'^  La  résultante  pj-ocenant  de  l'élimination  de  n —  1 
inconnues  entre  n  équations  algébriques  de  degrés  nii, 

//?2 m,i  à  n  inconnues  peut  être  /)iise  sous  la  forme  d'une 

équation  entière  par  rapport  à  l'inconnue  non  éliminée, 
et  cette  résultante  est  au  plus  du  degré  m^  /n-y  •  •  •  ')}„; 
elle  est  précisément  de  ce  degré ^  s'il  n'existe  aucune  rela- 
tion entre  les  coefficients  des  équations  proposées. 

1°  Un  système  de  n  écpiations  à  n  inconnues  des  degrés 
/;?i,  /;?2,  ....  m,i  a  précisément  /»,  m-^  .  .  .  /»„  solutions, 
s'il  /l'existé  aucune  relation  entre  les  coefficients  de  ces 
équations. 

Ce  théorème  a  dû  être  soupf;onné,  hien  avant  d'être  dé- 
montré; il  est  de  ceux  dont  la  démonstration  peut  sans  incon- 
vénient se  faire  sjnthétiquement. 

Il  a  été  démontré  pour  le  cas  où  n  =  2;  nous  allons  admettre 
(|u"il  a  lieu  j)our  2,  3,  ...,  n  écpialions,  et  nous  vérifierons 
([u  il  a  lieu  pour  n  4-  t   équations. 


SLR   l'élimination.  3oi 

I.EMMi;     I.     —    -S"/ 


sont  les  sol  lit  ions  des  n  é  quai  ions 

III  cpiCxi,  j", ,  ...,a"„^=o,     ç2=o.     ...,     'ç,„  =  o, 

l<(  irsiitliinle  (les  équations  (i)  et 

I  i  I  F(.r,,  T.2,    .  ..,  Xn)  =  O 

pourra  se  présenter  sous  la  forme 

F  (a,,,  Xi-: a,,,)  Ffaji,  ao-i,  ....  x-i,-,  ). .  .=  o 

ou,  si  l'on  veut, 

(3)  U¥{'Xn,  a/.,  ....  a/.,j  =  o. 

En  cfTet,  réqualion  (3)  exprime  que  l'une  de.s  solulions  au 
moins  du  système  (i)  annule  la  fonclion  F,  en  d'autres  termes 
que  les  équations  (i)  et  (2)  ont  une  solution  commune. 

Lemme  II.  —  Les  fonctions  symétriques  et  rationnelles 
des  solutions  de  {\) s'expriment  rationnellement  au  moyen 
des  coefficients  de  ces  équations. 

Aj)pelons  R  le  premier  membre  de  la  résultante  des  équa- 
tions (1)  provenant  de  l'élimination  de  .r,,  .r-.,  ....  x„_,. 
Taisons  ensuite  varier  deux,  coefïicients  a  et  h  de  csi,  par 
exemple,  ceux  de  x\  xi  .  .  . ,  et  (\e  x^  xl  ....  et  exprimons 
que  la  résultante  ne  change  pas,  non  plus  que  x, .  x^-  ■    • ,  x,/. 

L'équation  ci)  =  o  deviendra 

I  -1  I  ':ii-~  x\.r.t.  . .  rici  —  x\  x!,...r,0  =  o; 

mais  la  résultante  II  1=  o  devient  alors,  aux  termes  du-  second 
ordre  près, 

(  j  )  t\ ort 7-  où  =  o. 

'  Ou  <ib 

Si  la  résultante  doit  rester  inaltérée,  on  aura 

-—  oa  -. — -j-  06  =  o; 
ua  ôb 


àOT  CIIAPITHE     XI. 

mais,  si  Ton  observe  que  dans  (4)  '-^i  csl  nul,  il  \jcnilia 

j-\  .ri .  .  .^jh  -    .v'[x'i.  .  .Zb  -     o. 
De  CCS  deux  écjualions  on  lire 

(  b  )  -—  .  X .  xi, .  .  .  =  —j  :  X .  x , .  .  . . 

(]cs  équations  et  leurs  analogues  feront  connaître   tous   les 

argunicnls  x\  xi  •  •  •,  rationnellenienl,  en   fonelion  des  eoef- 

(ieienls  de  R,  c'est-à-dire  de  c5|,  'j;^,  •  •  •  "n  de  x„.  (On  voit 

(juo,  par  exemple,  pour  calculerai,  on  j)ourra  supposer  que 

a  et  b  sont  dans  cpi  les  coellicients  de  .r^  j-'l  ...  et  de  .r,;  on 

aura  alors 

r)R     m 

Il  résulte  de  là  que  toute  l'onction  symétrique  rationnelle  des 
solutions  de  (i),  peut  être  considérée  comme  une  fonction 
symétrique  rationnelle  des  racines  de  R  ^^  o  et  potu'ra  s'expri- 
mer rationnellement  avec  les  coefficients  de  (i).      c.  o.  f.  p. 

Cette  conclusion  suppose  bien  entendu  que  nos  équations 
(i)  sont  tout  à  fait  générales,  c'est-à-dire  qu'il  n'existe  pas  de 

relations  entre  leurs  coefficients.  Nos  raisonnements  tombe- 

,,.     ,     .  àR       dl\  ,     .  .  .    ÔR 

raient  en  delaut  si  -r—  et -vr  étaient  nuls;  mais-—  =  o  serait 
àa         oo  àa 

une  relation  entre  les  coefficients  de(i),  cas  <|uc  nous  excluons 
parce  (juc  nous  n'avons  pas  besoin  de  le  considérer. 

,  .       ....  .        .  dR       àR  ,     .  1      I  w  •        /  -  \ 

Cjuoi  (|u  il  en  soit,  si  -— -  et  — ,-  étaient  nuls,  1  eciualion  (o) 

pourrait  être  remplacée  par 

H  -i-  -     -— r  c-rt'-f  1  - — -j-  oao6  -I —  ot<- 

■j.  ^  'la-  ôaôb  Ob- 

et  Féq nation 

-—  {x\x!,...)^—i—--j  x\    ''xi^'i-^...-'^  ---  {x\xi...)'-  =  o 
iki-  i)a))b  -  <)b-  ^    *     ■'       ' 

remplacerait,  pour  le  calcul  des  arguments,  l'équation  illusoire 

'^  .     .     i       _  ^     ,<    7 
Oa  "''''- ^^^i-'i---' 


SIR   l' f;i. m  1  NATION.  3o3 

mais  celle  romanjuc  est  imililc  pour  rolijd  (]tie  nous  avons 
on  \ue. 

Lem.mi-:  JII.  —  6/  les  ('(/i/ado/is  (i)  co/i/ic/i/ic/il  des  jfora- 
nirtrrs  z,  z\  z" ,  ...  rf  conscr\c/it  leurs  degrés  /»,,  //?o,  .  .  . 
en  tcnanl  compte  deiDS  l' évaluation  de  ces  degrés  des 
fiaraniètres  c,  c',  z" ,  ....  toute  fonction  symétrique  entière 
lie  leurs  solutions  sera  entière  par  iripport  c(  z,  z',  z".  .... 

Kn  cITt't,  Il  coMlicnl  j:,/  cl  ;,  z\  ...  sous  forme  cnlicrc  au 
(Icgic  Uni.  Le  coefficient  de  ic„"'  ne  contienl  pas  z,  z'.  .  .  .; 
donc  les  fonclions  symétriques  entières  des  solutions  de  (i), 
(|ui  sont  des  fonctions  symétriques  entières  des  racines  de 
K  =  o,  seront  entières  en  z,  z',  ...  ;  elles  pourront  toutefois 
contenir  en  dénominateur  les  coefficients  des  termes  des 
degrés  les  plus  éleyés,  de  '^i,  c;, 

Nous  avons  maintenant  tous  les  éléments  nécessaires  |iour 
aborder  la  démonstration  du  théorème  de  Bé/oul. 

Supposons  qu'il  s'agisse  d'éliminer  j:,,  .r.,.  ....  j"„  entre 
les  équations  (i)  et  (2);  nous  supposerons  que  les  équations 
(1)  et  (2)  contiennent  un  paramètre  z  sous  forme  entière  et 
(onseryenl  leurs  degrés  en  tenant  comple  de  ce  paramèlrc  z, 
dans  l'évaluation  de  leurs  degrés.  En  yerlu  du  lemme  I,  la 
résultante  cherchée  pourra  être  présentée  sous  la  forme 

Il  I'(  a/,,  a/0, %/„)  ^:  o. 

Mais  le  premier  inemhre  de  cette  équation  est  une  fonction 
symétrique  entière  des  solutions  des  équations  (i)  :  il  sei-a 
donc  entier  et  rationnel  en  :;  ;  or  le  poids  de  F  cslp,  p  dési- 
gnant le  degré  de  l'équation  (2)  en  j",,  x-^^ r,^,  z.  Le 

poids  de  IlF,  ou  son  degré  en  ;,  sera  donc  pWm^  ce  qui 
démontre  le  théorème  de  Bézoul,  ou  du  moins  ce  qui  prouve 
<pie  le  degré  de  la  résultante  ne  dépassera  pas />!!//?,  car  cer- 
taines réductions  pourraient  s'opérer  dans  les  calculs  et  faire 
évanouir  le  coefficient  de  la  plus  haute  puissance  de  z. 

On  ])eut  montrer  sur  un  cas  j^articulier  que  la  résultante 


J04  en  A  PITRE    XI. 

(^st  de  degré  pUm  et,  par  conséquent,  qu'elle  ne  peut  pas 
être  de  tlegré  inlV-rieur  dans  le  cas  g;éii('ral.  Considérons  en 
ellel  les  écpialions 

(«ll-2'l-i-  «12^2  — •••-+-«!«•?'«  — «1«--I -)•••(«/;,, 1. ri -;-«,„, 2^2-^- ---J-  «/H, «4-1  -t^O. 

(/jii.rj  —  bi2T.î  —  .  .   ~  iw,4-i- )    .  .(  ''•',«, iJ^i—. .  .-r-  b„,,„+iz)  —  o, 
) 

(/il  JTl-l-  /ija"*  — .  .  .-i-  /i„-j-i-3J  .  .  .  (  /y,|^l^.  .  .-^  /p„^iZ)  =  O. 

Des  premières  on  déduira  îl/ii  systèmes  de  valeurs  jiour.r,. 
jc-j,  .  .  . ,  .r,i  proportionnelles  à  :;  et  que  l'on  pourra  considérer 
comme  tout  à  lait  quelconques  ;  la  résultante  effectuée,  comme 
il  a  été  expliqué,  aura  pour  premier  membre  le  produit  de 
~/>\l/n  paj.  ^ij^g  quantité  constante  difl'érenle  tic  zéro  si  l'on 
choisit  convenablement  les  /,,. 


IX.  —  Sur  l'équivalence  des  polynômes.     - 

Soient  'j;, ,  'i.i.  . . .  /i,,  des  polvnomes  entiers  en^i  ,,ro, . . .  ,a",, 
des  degrés  respectils  /n,,  f)i.2,  .  .  .,  />?«.  Nous  dirons  que  deux 
polynômes  F"  et /sont  équivalents  par  rapport  aux  diviseurs 
'.i,,  'jjo.  .  .  .;,  '.p„,  quand  il  existera  des  polynômes  entiers  À,, 
Ao,  .  .  . ,  ).,/,  eu  X|,  x-y-,  •  •  •  1  JC,i,  tels  que  Ton  ait  identiquement 

(l)  F  =  Xi'.5,-:-X2»2-}-...--  l.,Z,n~/- 

Lu  polynôme  /  sera    dit   réduit  par  rapport   aux  diviseurs 
'i,,  'c>2^  •  •  -,  'fw  et  par  rapport  aux  variables  x,,  x^i  .  .  .^  x„ 
(prises  dans  cet  ordre,  si  /??i,  m...  .  .  . ,  ni,i  ne  sont  pas  égaux) 

quand   il  ne  contiendra  pas  de   ternies  divisibles   par  j:*"'', 

fin.  T^^ii 

"^  j    -  5      •    •    •   1    •*'  Il      • 

Réduire  un  polynôme,  c'est  trouver  son  équivalent  réduit. 

Nous  ne  tarderons  pas  à  voir  quen  général  il  n'existe 
qu'une  manière  de  réduire  un  polynôme  donné  :  cette  pro- 
position, toutefois,  est  sujette  à  des  exceptions. 

Dans  ce  qui  va  suivre,  nous  supposerons  que  les  polynômes 
'^contiennent  des  variables  z,  z' ,  ...  qui  entrent  dans  chaque 
terme  à  un  degré  égal  au  poids  de  ce  ternie. 


Sun     l/ ÉLIMINATION.  3o5 

TiiKonÈMF..   —  Le   nombre   des    larmes  d'un  polynôme 
rcdiiit  par  rapport  aux  fonctions  o,,  cp^,  ...  est  \\m. 

En  etTel,    . 

..-  jC,  _  x\  -...-:-  x;"'-'  )(I  --  X.,    H.  .  .    -  a:;"»-1).  .  .(I  --.'Xn  -f-.  .  .4-  <'"-') 

est  un  polvnùinc  rcduil  dont  tous  les  coefficients  sont  égaux 
à  i;  le  nombre  de  ses  termes  s'obtiendra  donc  en  faisant 
jT,  =  0:0=: .  .  .==  j:„=  I,  ce  qui  donnera  Wm.  C'est  le  nombre 
des  termes  d'un  polynôme  réduit  quelconque. 


X.       Démonstration  d'un  lemme 


Soient 


les  solutions  des  équations 

(2j  cpi=  O,      ^2=  O, 

soit  (p.  164  ) 
soit  de  pli/ s 


....     o„=  o; 

^(•^1)  Xi,    .  .  .  ,  37 ,j) 


A  = 


„   '",   -1         3t  '",-1 
■'il  ■*12 

2  '",-t        2t  '"j-1 


Dans  ce  déterminant  la  i^'""-'  ligne  a  pour  éléments  les 

arguments  d'un  polynôme  réduit  en  a,,,  a/o,  .  •  .,  a,,,;  on 

aura 

(3)  A2  --  GriD^ai,  a,,  ...,  a„  ), 

G  désignant  une  quantité  indépendante  de  z^  z\  .... 

En  effet,  A  changeant  de  signe  quand  on  échange  deux  de 

ses  lignes,  A-  sera  une  fonction  symétrique  des  solutions  de 

(2)  :  ce  sera  donc  une  fonction  entière  des  z\  le  second  membre 

de  (3)  est   aussi  une  fonction  entière  des  ;;.  Or  ce  second 

L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  20 


3o6  cil  AI' nui:   xi. 

membre  s'annule  dès  que  les  é(|ualloiis  (•>.)  ont  une  solulion 
double,  tout  comme  le  premier  membre  A-,  mais  le  second 
membre  ne  s'annule  (|ue  lors(|ue  les  ('(iiialions  {:>.)  ont  une 
solution  multiple.  Donc  l'équation  (3)  a  lieu  pour  une  valeur 
de  G  qui  est  un  polynôme  entier  en  z,  z',  .  .  .  ;  si  les  deux 
membres  de  (3)  étaient  de  même  degré  en  z^  z',  .  .  . ,  G  serait 
alors  indépendant  des  :;. 

Soit  Ovle  nombre  des  termes  de  degré  v  dans  un  polynôme 
réduit;  le  degré  de  A  par  rapport  aux  a,  et  par  suite  par  rap- 
port aux  z,  sera  -vo.^;  or  Ov  est  le  coefficient  de  (■'  dans 

vôv  est  le  coefficient  de  f"'^  dans  la  dérivée  de  cette  expres- 
sion T,  et  enfin  Svov  est  la  valeur  que  prend  -^  pour  /  =  i  : 
cette  valeur  est 

mi(/??i — i)  ni^(  m^ —  i) 

— m-,  1)13  •  ■  ■  '«/i  -'• "'  1  "'-i  •  •  •  "hi-^'  ■  •  -, 

c'est-à-dire 

I  n  /?i  (  îi  m  —  n)  ; 

le  degré  de  A-  est  donc 

II  m.  (  I.m  —  n). 

Or  le  degré  de  IlD  est  le  degré  de  D  multiplié  par  II  m, 
c'est-à-dire  précisément 

(  S  m  —  n)Um. 

A-  et  nD  sont  donc  de  même  degré,  et  l'on  a  bien 

A2=  GnD, 

G  désignant  une  quantité  indépendante  des  z,  c'est-à-dire  de 
poids  zéro.  c.   q.   f.   d. 

XI.  —  Résolution  de  quelques  problèmes  sur  les  polynômes  réduits. 

PnonLi;MK  I.  —  Calculer  la  rialciif  (T un  polynôme  réduit^ 
connaissant  les  valeurs  qu'il  prend  quand  cp,,  cp^,  •  .  -,  '^n 
sont,  nuls  à  la  fois. 


s  LU     L'ÉI,l.>n  NATION.  Soj 

Soil  F/  la  valeur  que  doit  prendre  ce  polynôme  réduit  quand 
on  suppose  x^  =^  a,,.  J'y  '-^  'J-ii.   ....  .c,i  ^=  a,-,,  ;  si  l'on  appelle 

l"o  le  polvnùnie  liii-nir-nic,  on  aura 

Fi  ~  So-'   n\'^\\-^  Si'^x^^ •  ■  •' 
F2  =  .^o-    .-riaîi— .•?'î^22  — •  .., 


,^0)  ."i>  •  •  •  étant  des  coefficients  indéterminés.  On  déduit 
de  là,  |)Our  Fo»  ""C  expression  qui  a  A  pour  dénominateur; 
par  suite,  l'o  existera  et  sera  bien  déterminé  quand  A  sera 
dififérenl  de  zéro,  c'est-à-dire  quand  G  et  II D  seront  différents 
de  zéro. 

Si  l'on  appelle  cp,,  'j^,  ....  -zi  le  groupe  des  fonctions 'j 
d'un  même  degré  -M,;  'f<4.i,  'f/+2,  •••  ?  'fy  le  groupe  des 
fonctions  '^  d'un  même  degré  Mo,  ...,  et  si  l'on  suppose 
M,  <  M2<C  M3<!  .  .  . ,  on  pourra  former  plusieurs  polynômes 
réduits  nuls,  en  même  temps  que  '^,,  cp^,  .  .  .,  'j„,  si  l'un  des 
déterminants  obtenus  en  prenant  les  coefficients  des  puis- 
sances Ar,'"""*'  Afi  x^^  x-i, r/  dans  'i( ,  cp^,  .  . . ,  -v,,  ou  des  puis- 
sances Mif™**  de  .z"/^, ,  ....  Xj  dans  'fz+i ,  •  . . ,  'fy  .  .  . ,  est  nul. 
Considérons  en  effet  le  premier  groupe,  et  posons 

(  oi^  0,-:- Aii^Mi-   A,2^M,— .. ., 


(a) 


(  tf /  =  ^h  —  A/i  jr  M  j  -^  A,i  a" Ml  — . .  . , 
0,,  Oj,  ...  étant   des  polynômes   réduits;  si  le   déterminant 
7  rzAiiAoî  •-•    est  nul,    il  y  aura    une   relation    linéaire 
entre  0,  —  'i,,  Oo —  -^o,  •  •  •  lellc  que 

«i(0,-'^,)  -^2(0,-'^,)  ...  =0; 

et  (ix  Oj  ~  a  Mi  --...  +  ai^i  sera   un  polynôme  réduit  équi- 

>  aient  à  zéro;  or  zéro  est  déjà  un  |)olynôme  équivalent  à  zéro, 

<lonc  A  doit  s'annider  si  le  déterminant  en  question  s'annule. 

Si  le  déterminant    >  rz  A,,  Ao^  .  .  .  n'est  pas  nul,  posons 


(^; 


-0,,,-     n,,:r^,-     B,o:r)^,- 


3o8  eu  ATI  THE    XI. 

lirons  des  équations  [a)  les  valeurs  de  JC*'',  x^},\  . . . ,  par  suite 
de  tous  les  arguments  divisibles  par  ces  quantités  sous  forme 

réduite,  en  les  multipliant  par  x^^  x-. r„,  puis  par  x\^ 

x^X2^  •  •  -,  xfi,  etc.,  substituons-les  tlans  les  l'ornuiles  (b); 
on  voit  que,  si 

V  -BnB.o  ... 

est  nul,  on  obtiendra  encore  un  polvnùmc  réduit  équivalent 
à  zéro  et  non  identiquement  nul,  sinon  on  aura  les  équiva- 
lents réduits  de  xJ_^^,  .  .  .,  et  ainsi  de  suite 

Remarque.  —  Si  aucun  des  déler/m'na/i/s   >  =ti  A,,  .  .  ., 

N^iiz  B, , .  ■• .  n'est  nul,  on  pourra,  des  identités  (a),(b),  . .  , 
déduire  tous  les  arguments  divisibles  par  .r','" ,  x^\- , . . . , 
-^z!"  en  fonction  linéaire  des  autres  à  des  multiples  des 
diviseurs  près,  on  pourra  donc  calculer  un  équivalent 
réduit  à  tout  argument  divisible  par  l'un  des  termes  xf', 
j^-^,'- ,  c'est-à-dire  à  tout  polynôme  entier. 

Il  pourra  toutefois  arriver  que  l'on  soit  arrêté  dans  les 
calculs p^arce  que  d'autres  déterminants  s'annulent,  mais 
on  ne  sera  jamais  arrêté  quand  1  ne  sera  pas  nul. 

Théorème  I.  —  Si  la  quantité  A  est  différente  de  zéro, 
il  n' existera  qu'un  polynôme  réduit  prenant  \\m  valeurs 
données  pour  les  \lm  systèmes  de  valeurs  de  x^,  x-y,  ■  .  . 
qui  satisfont  aux  équations  (2). 

Théorème  II.  —  L'équivalent  réduit  d'un  polynôme 
don/lé  F  est  bien  déterminé  quand  le  déterminant  A  est 
différent  de  zéro,  ce  que  nous  supposerons  dorénavant. 

En  effet,  l'équivalent  réduit  du  poljnôme  F  est  égal  à  F,  et 
par  suite  donné, pour  les  systèmes  de  valeurs  àeXi,x.^,  .  .  .  qui 
annulent  '^i,  'io,  .  .  . ,  cp,;  ;  d'ailleurs  on  pourra  déterminer  cet 
(■rpiivalcnt  rc'duit  par  la  méthode  des  coefficients  indéterminés. 

Si  l'équivalent  réduit  f  d' un  polynômeY est  bien  déter- 
miné en  général,  il  n'en  est  pas  de  même  des  polynômes 


SUR   l'élimination.  Soq 

).,.  )... .  •  .  •  qui  rcndeiiL    identique  la  formule 

!■■  ■■  ■  À,  'f  I  —  /.2  'il  "...  —  À„  ■:;n—f- 

1*0111"  s'en   convaincre,   il   sulfit  d'observer  qu'il   exisie   une 
infiniti-  de  polvnômes  a,,  a,,  .  .  .  satisfaisant  à  ridenlité 

(  f  )  [X,  'Pi  —   IJ.2  -5,  -     .  .  .  -^  [J.,,,  9 ,.,  =  O, 

et   qu'alors,  A,,  ),o,    ...  satisfaisant   à   ridenlité  précédente, 
>'-i  -4-  ;-J>-i>  >*-j  -!-  [-'•j-  •  •  •  y  satisferont  aussi. 

Pour  satisfaire  à  l'identité  (c),  il  suffit  de  prendre 

jj.,  =  <7/i  O ,  --  a/2  'f2  —  •  •  •  -^  «/.-I  'f  .-t 


•td 


e  clîoisir 


a,/=  o,     a/,=  —  a. 


cpiels  que  soient  les  indices  i  et  y. 

Problè.me  II.  —  Trouver  un  polynôme  réduit  qui  admette 
toutes  les  solutions  des  équations  (2),  excepté  la  solution 


Le  polynôme 


/. 


(jue  1  on  obtient  en  remplaçant  a,,,  a,.!,  .  .  .  par  jr,,  j",,  .  . . 
dans  A,  admet  les  solutions  de  (2).  excepté  a,,,  ajo.  .  .  .;  le 
polynômeys,  obtenu  en  remplaçant  a,),  a^o,  •  •  •  par  X|,  .r^,  .  . . 
dans  A,  admet  les  solutions  de  (2).  excepté  a^,,  a^o,  .  .  .,  et 
ainsi  de  suite. 

Voici  une  autre  solution  : 

Il  existe  une  infinité  de  systèmes  de  polynômes  P,;  tels  que 
l'on  ait  identiquement  pour  tous  les  indices  i 

=  P/l  I -Z"!  —  ^1  )  —  P/2(-r2—  2t2~)  — •  .  .-^  ^in{rn—  ^n)- 


Considérons  le  pol 

vnôme 

Pli 

Pu        . 

..          P,M 

V  = 

P12 

P22    . 

P//? 

Pu, 

i'iu     ' 

^  ri  n 

3to  cii.vi'iTni:   \i. 

si  nous  supposons  que  a,,  aj x„  soit  une  solulion  de 

(2),  il  s'annulera  jiour  toute  autre  solution  des  équations  (2), 
car,  en  ajoutant  toutes  les  lignes  respectivement  nmllipliées 
par  .r,  —  a|.  j:'^  —  a^,  .  •  • ,  on  loriiic  une  ligue  donl  les  clé- 
ments sont 

o^j:i,u%.  ...  )  — 'il  (a,,  1,.  ...  I,     'J2(.ri,  J"2,  . . .  )  — 'J2(ai,  a..,  . .  .\      ..., 


c'est-à-dire  nuls.  Enfin,  pour  .ri  =:  a,,  x.  =  a.,  .  .  . ,  P/y  dc- 


Vient  —-,  et  par  suite  le  polynôme  en  question  se  réduit  a 


^K?t.?2.  •••V 

Il  n'est  donc   pas  nul  si  a,,   y..,,    ...   n'est  pas    une    solution 
multiple  de  (2),  ce  que  nous  supposerons. 

Si  alors  on  réduit  le  polvnoinc  V  suivant  les  diviseurs 
C5,,  cso.  ...,  'Ji„,  on  aura  la  solution  du  prohlénic  proposé, 
car  le  polynôme  réduit  équivalent  à  V  est  égal  à  V  pour  les 
valeurs  de  x,,  .r^,  .  .  .  égales  aux  termes  d'une  solulion  des 
équations  (2).  On  pourra  même  réduire  \  j)ar  rapport  aux 
diviseurs  '.p,(a/,,  a/,,  .  .  .),  '.po(a/|,  7./0.  .  .  .  ) 

Remarque.  —  On  pourra  prendre 


Py2 


.r,  —  a,, 
Cl,  (  a/, ,  .r.,.   ..  .,  .r„)  —  cp,  (  a/, ,  a,-.,.   .  .  . ,  .r„  ) 


_  o/(a,|.  g,., .r,,)  —  'f/(a/|,  a,-? x/,,  )  _ 

^  y«  —  : ■> 

•^  :i  "^ill 

ce  choix  est  avantageux,  le  calcul  nécessaire  pour  opérer  la 
réduction  portant  sur  un  nombre  relativement  petit  d'argu- 
ments. 


XII.  —  Calcul  de  la  résultante  de  plusieurs  équations. 

Conservons  les  notations  adoptées  aux  paragraj)lies  précé- 
dents, changeons  seulement  le   numérotage  des  formules  et 


SLR   l'élimination.  3i  I 

proposons-nous  crrlimiiuT  .r,,  Xj,  .  .  . ,  j'„  entre  les  éqiialions 

(1)  o,  — o,     ©..  r^^O,     ...,     'f„— o, 

(2)  F  =  o, 

thms  lesquelles  Zi,  0-2,  ...,  F  sont  des  (onctions  de  ^i ,  ^2,  ■  .  ., 

x„,  z  entières  et  de  degrés  ///,,  //t., nt,i,  p:  à  cet  efl'el, 

posons 

^      'Y' ^^ 

(  «  )  «/=  ^00... -f-  3t/i  ;tu...--  2^(2 ;ui...  —  ■  •  •  ; 

///  est  un  polynôme  linéaire  et  homogène  par  rapport  aux  ^, 
dont  les  coerfieients  sont  les  arguments  d'un  polynôme  réduit 
en  y.,, ,  a,^.  .  •  .  par  rapport  à  z,,  (y.i^ ,  a/o,  ...  »,  '■^■^{y-n  ,...),..., 
en  sorte  que  le  déterminant  de  la  substitution  (4)  qui  permet 
de  calculer  les  a  en  fonction  des  ;  est  précisément  celui  que 
nous  avons  appelé  A  et  que  nous  sup[»osons  différent  de  zéro. 
Le  discriminant  de  Q  par  rapport  aux  ç  est  égal  au  discri- 
minant relalit  aux  u,  à  savoir  if,-,,  multiplié  par  le  carré 

A-  =  I1GD  de  la  substitution  ('4  t,  c'est-à-dire  dri-n-  Chano^eons 

-      '  II  b  ° 

de  variables  et  posons 

'^-''Xpq...  '"'""       ^l-<  a/,.  a,2,  .  ..  tU(  a;,,  a,-2.  ..  .  ) 

Commençons  par  résoudre  les  équations  (5);  à  cet  eflel, 
appelons  y,- (xi.  Xo,  •  •  • ,  Xn)  un  polynôme  réduit,  admettant 
les  solutions  de  (i),  excepté  la  solution  a,, ,  a/o,  ...  ;  alors,  en 
multipliant  les  équations  (5)  par  les  cocfticients  de  ce  poly- 
nôme et  les  ajoutant,  on  trouve 

(6>  /iiXi,jr.2.  ...,x„)  = 


F(aa,  ...)D(aa,  ...) 

iormule  oix  fi(x,,  Xo,  . .  .)  est  la  représentation  symbolique 
d'un  polynôme  en  Xpç  _  que  l'on  obtient  en  remplaçant, 
dans  fi{Xi,  Xo,  ,  .  .  i,  x^  x'i .  .  .  par  Xp^  .  Quant  à 
Jii^n-)  ^/2,  •  •)?  '^  ^^^  '^'^l  à  A,  à  un  facteur  indépendant  de  ^ 
près. 


3l?.  CHAPITRE    XI. 

Si  l'on  remplace,  dans  Q,  ///  par  sa  valeur  llrée  de  (6  ),  on  a 


(7)    Q=2F(aa.a(,.,,  ...)-^ 


en  convenant  de  faire  dans  le  développement  du  second 
membre  .rfx^.  .  .  i=  a^a^.  .  .  =  ^pq  •  Pour  calculer  le  nou- 
veau discriminant  de  Q  par  rapport  aux  Xpç     ,  désignons-le 

par  o;  le  discriminant  j^^,^  relatif  aux  u  est  égal  au  discri- 
minant 0,  multiplié  par  le  carré  du  déterminant  de  la  substi- 
tution donnant  les  a:  en  fonction  des  //  [formule  (5)].  Ainsi 


ou,  réductions  faites, 


.         rrr  ,    D  nF 

0  =  nF(  a,i,  a;2,    •  •  •  >  ;^5  =  -q-' 

Le  discriminant  de  Q  égalé  à  zéro   sera  donc   la  résultante 

cherchée. 

La  formule  (7)  peut  s'écrire  d'une  manière  un  peu  plus 

commode  pour  les  applications.  On  peut  prendre  pour // la 

valeur  du  polynôme  suivant,  pourvu  que  l'on  convienne  de 

le  réduire, 

Pu     r>„     ...     l'„ 


(8) 


fr 


'm     ^'-211     •  ■  ■     P/ 
Alors //(a/,,  a/2,  .  .  .)  sera  égal  à  D(a/,,  a,o 


et  1  on  aura 


(9;  Q=  >,F(x/,,  ...) T— - — ; — — - 


Désignons  simplement  par //    ''    '^''"\   ce  que  devient 

fi{X{ ,  Xi,  . . .)  quand  on  y  remplace  a/, ,  a/^,  ...  par  a,,  7.-,,  . . ., 

et  par  y  (     ^'    '' "  '  ]  le  résultat  obtenu   en  ])ermutanl   dans 

/{Xf,  x-i,  .  .  .)  les  lettres  X\  et  a,,  x-i  et  ao,  .... 
Le  polynôme  Q,  avant  d'y  supposer 


r,,p  -1      —y.        _  „p  ,7 


suu   l'élimination.  3i3 

est  un  polynôme  rc-diiil  qni,  pour  .r,  r-r  a,,,  5:0=  y-M-,  •••. 
tie vient  égal  à  F(  ai ,,  a,2,  .  .  .  i/i  (  a, ,  ao,  ...  1;  pour  ^,2=  a^i, 
.r2  =  a2o,  . . . ,  il  devient  égal  à  F(x2,,  a22,  •■■)/i{y-\,y-2j  ...)..-. 
Ces  conditions,  d'après  ce  qu'on  a  vu  (p.  3o6),  le  détcr- 
niinenl  conipK'leuienl.  Or  l'éipiivalcnl  réduit  de 

./  |.  a  2,    ,  .  .  ,  O^,,  / 

jouit  de  la  même  propriété;  ou  jieut  donc  dire  (pie  Q  est  égal 
au  [)olyiiôine  précédent  réduit,  dans  lecjuel  on  suppose 

/y^/       /.  I  m/      m   '  /y. 

U^   ^    .i    2    ■    •     •     ■!■  l     J..,    .    .     .     ./   />//...» 

cl  l'on  verrait  de  même  rpie  Q  est  aussi  égal  à 

avec  les  mêmes  restrictions.  Pour  la  commodité  des  calculs, 
on  fera  bien  de  prendre 

l  il  — 


P/3  = 


a"i  — a, 

>/(2(l,   ^2 X,.,)—  'i;('2,.    X. J-;,) 


la  réduction  sera  partiellement  effectuée  à  l'avance.  Ainsi  : 

La  résultante  d'un  système,  tel  que  (i),  (2),  peut  être 
présentée  sous  la  forme  d'un  disci-iminant  de  fonctions  du 
second  désiré  homogènes  é^alé  à  zéro. 


XIII.  —  Nouvelle  manière  de  former  la  résultante.  —  Résolution 
d'un  système  d  équations  algébriques. 

Théorème.   —  Si  les  équations  (i),  (2)  ont  une  solution 

commune  a,,   a^ y.„,   il  existera  des  polynômes  ).,, 

A2 ,  . . . ,  ).,/ ,  A  des  degrés  u  —  /»  1 .  ;j-  —  m 2,  ...  e/?  .r ( .  .r 0 , Xn 


ô  I  :, 


CIIAI'ITIU:     XI. 


lespeclnement,  y-  désignant  nix  -h  ni-i  +  •  •  •  +  /»« -l- p  —  /' 
tels  que  Von  ait  idenliqurnicnt 


(lo) 


M  Y  1  ' 


X,;cp„-+-  XF  =  o. 


En  eiret,  si  l'on  considère  les  (bnclions  o  et  F  mises  sous 
les  formes  suivantes  ((p,-,  F  sont  nuls  pour  jc,  =  a, ,  .  . .) 


le  polynôme 


0  = 


I'.., 


Vu 


ii-^-\,n 


est  de  la  forme  du  premier  membre  de  (loj;  d'ailleurs  0  se 
réduit  à  zéro,  car,  en  ajoutant  à  la  première  toutes  les  lignes 
après  avoir  multiplié  la  seconde  par  —  (x\  —  a,  j,  la  suivante 
par  —  (^2  —  ao  ),  etc.,  on  obtient  à  la  place  de  cette  première 
ligne  une  ligne  composée  d'éléments  nuls  en  vertu  de  (m). 


En  l'éduisant  ce  polvnùme  (-)  avec  les  diviseurs  cpi  (.r,,  .  •  .), 
'jo(x,,  .  .  .),  ©«(>,,  .  .  .)  et  ^f  i(a,,  a.,  .  .  .),  cp^^a,,  a^,  .  .  .), 
on  obtiendra  un  nouveau  polynôme  encore  identiquement 
nul.  11  est  clair  que  l'on  aura  le  môme  polynôme  identique- 
ment nul  ©1  en  réduisant  le  produit 


P,,    r%, 

p  p 

J   /M        •    «2 


1> 


Cela  posé,  en  égalant  à  zéro  les  coefficients  des  arguments 
x\xi.  ...  on  aura  Hm  équations  (E)  du  premier  degré  par 
rapport  aux  arguments  y.[  a{  .  .  . ,  dont  la  résultante  ou  dont 
le  déterminant  égalé  à  zéro  sera  la  résultante  cherchée  ;  car  le 
déterminant  en  question  n'est  autre  chose  que  le  discrimi- 
nant de  la  fonction  du  second  degré  que  nous  avons  aj)pelée 
(^  au  paragraphe  précédent. 


SIK     I. 'l-LIMI  N\  I  1().\.  3lJ 

Lcs<''([iiati()iis(  l''/)loiil  alors  coniiailic  Icsarj;iinicnls  y.', ,  a(  ,... 
et  en  parliciillor  les  éléinenls  a,,  a^.  ...,  a,,  de  la  solution 
comnuine,  laquelle,  en  général,  aura  ses  éléments  rationnels 
par  rapport  à  z. 

De  là  découle  la  résolulion  des  é(pialions  (T),  (2)  par  rap- 
port à  .r,,  .r..,  ...,  .f.,,  ::;  la  rt'-sultante  fera  connaître  les 
valeurs  de  rinconnue  r,  et  les  érpialions  (IC)  les  valeurs  cor- 
respondantes des  autres  inconnues. 

A  chaque  racine  finieou  infinie  de  la  résultante  R  =0  dont 
le  premier  mend)re  11  est  le  déterminant  des  Uni  équations  (E) 
qui  se  réduisent,  en  vertu  de  R  =^0,  à  Uni  —  i  distinctes, 
correspond  une  solution  de  (1  ),  (v'  1;  à  moins  que  les  mineurs 
de  R  ne  soient  nuls,  auquel  cas  les  éc[uations  (K)se  réduisent 
à  Uni  —  2  distinctes,  entre  lesquelles  on  peut  éliminer  tous 
les  arguments,  excepté  a,  et  a'"  ;  une  éijuation  du  second 
degré  fera  ainsi  connaître  a,  et  l'on  aura  en  général  deux  va- 
leurs de  a,,  et  deux,  svstèmes  de  solutions.  R  =  o  a  alors  une 
racine  double,  ce  dont  on  s'assure  en  appelant  e  un  élément  R, 
et  l'on  a 

clz        jiÊmà  i)e    dz  ' 

,  >n\  ,  dR  ^  ,, 

comme  les  mineurs  —  sont  nuls,  on  a  — —  =0,  et  1\  ==  o  a 
(Je  '  dz  ' 

bien  une  racine  double. 

Sans  ([u'd  soit  nécessaire  de  beaucoup  insister  sur  cette 
discussion,  après  celle  qui  a  été  laite  à  propos  de  deux  équa- 
tions, on  voit  que  : 

Si  la  l'ésultante  R  =  o  ne  se  réduit  pas  à  une  identité,  /c 
système  (1),  (u)  aura  j)Uni  solutions  finies  ou  i/ijinies, 
simples  ou  multiples  parfois  indéterminées. 

Dans  le  cas  où  les  |)olyn(jmes'j, ,  o.^,  ...  seraient  tels  (ju'ils 
ne  pussent  pas  servir  à  réduire  le  polynôme  F,  on  modilierait 
les  coeriicients  de  es,,  cso.  .  .  .  |)our  obtenir  la  résultante,  et, 
dans  la  résultante  trouvée,  on  ferait  tendre  les  coefficients 
altérés  vers  leurs  valeurs  primitives. 

Examinons  iiiaiiitenant  le  cas  intéressant  où  la  résultante 


3i6  riiAPiTiiK   \i. 

est  identique,  où  R  est  iclcnli(|uemont  nul.  Dans  ce  cas,  à 
chaque  valeur  de  z  correspond  une  solution  du  système  (i), 
(2);  ces  solutions  forment  une  suite  continue  (une  courbe, 
si  çp,  =  <),  ©2  =  o>  F  =  o  senties  équations  de  trois  surfaces). 
Mais,  s'il  existe  des  valeurs  de  z  annulant  tous  les  mineurs 
de  R,  il  existera,  indépendamment  de  la  solution  générale 
dont  il  a  été  question,  une  solution  dite  singulière  provenant 
de  ce  qu'une  équation  du  second  degré  donne  alors  les  valeurs 
qu'il  faut  adjoindre  à  z  pour  avoir  la  solution  complète 
de  (i)et  (;>.). 

11  pourra  arriver  que  les  mineurs  de  R  soient  identiquement 
nuls,  il  y  aura  en  quelque  sorte  une  double  solution  continue, 
et  si,  pour  certaines  valeurs  particulières  de  z,  les  mineurs  du 
second  ordre  de  R  sont  nuls,  il  y  aura  encore  une  solution  ' 
singulière  correspondante. 

Lorsque  trois  hjpcrboloïdes  ont  une  génératrice  commune, 
cette  génératrice  représente  la  solution  générale  de  leurs 
équations;  les  points,  où  les  cubiques  gauches  qui  sont  leurs 
intersections  se  coupent,  constituent  une  solution  singulière. 

Lorsque  la  résultante  est  identique^  les  valeurs  de  x,, 
x>,  .  .  . ,  z  qui  salis/ont  aux  équations  (i),  (0.)  et  qui  ne  , 
constituent  pas  une  solution  singulière,  satisjont  aussi  à 
l'équation 

■>(? ?-iJLj=o. 

d{Xi.  .  ..,  T„,  z) 

En  cfTet,  si  .r,,  x-^,  ...,  -  est  une  solution,  non  singulière. 
Xi  +  ox,,  .  .  . ,  z  -r-ùz  sera  encore  solution  pour  des  valeurs 
infiniment  petites  de  ox,,  ...,  0;,  en  sorte  que  l'on  aura 
(5,  +  O'^i  =0,  .  .  . ,  et  rt'ùy  =  0,   .  .  . ,  ou 

-^  o.r,--... 'jZ  r.  o, 

()X<  oz 


(JZ 


()xi  Oz 

formules  qui  entraînent  l'équation  (A). 


s  LU   l'élimination.  317 

Il  est  peut-être  bon  de  rappeler  que  si  les  fonctions  cp  et  F 
ne  sont  pas  distinctes,  la  ("ornuilc  (A)  est  identique  comme  la 
résullante  elle-même. 

XIV.  —  Sur  les  polynômes  multiplicateurs. 

Les  équations  (E),  dont  il  a  étt''  question  au  |>arai;ia[)lic 
précédent  et  dont  le  déterminant  égalé  à  zéro  Cournil  la  résul- 
tante, s'ohliennent  en  égalant  à  zéro  les  eoeKicieiits  des 
x\,xi^    . . .  ,  dans  un  polynôme  0  de  la  forme 

A,,  )vo,  .  .  .,  À,/  di''signant  des  fonctions  entières  de  jT),  J"j, 
.  .  . ,  Xn,  ai,  a-,  .  .  .,  y.n  et  '^1,  'Jj,  .  .  . ,  F  des  fonctions  de  a,, 
a^,. .  .,  a„  ;  les  premiers  mend)res  de  (E)  sont  donc  de  la  même 
forme,  mais  les  ).  ne  conliennent  plus  les  x;  le  déterminant 
des  équations  (E)  (jui  s'obtient  en  comljinanl  linéairement 
les  premiers  membres  de  ces  équations  est  lui-même  de  cette 
forme.  Il  résulte  de  là  que  : 

TuÉouicME.  —  Etant  données  des  fonctions  o,,  '^^, .  .  .  ., 
On,  F  entières  en  x^,  x».  ...,  x,,^  il  existe  toujours  des 
polynômes  X,,  \_,  . . . ,  A,/,  ^j  t*^^^  ^''^  l<^  somme 

R  -.X,  0,  -  X, (p.  -:-...  -  X„ o„  -  X F 

soit  indépendante  de  x,,  x^.  •  ■ ,  Xn,  et  tels  que  R  :;=  o  soit 
la  résultante  de  (i),  (2). 

Ces  polynômes  \  portent  le  nom  dcpolj  nomes  multiplica- 
teurs; leur  existence  a  été  signalée  par  Bézout.  D'après  la 
remarque  faite  (p.  Sog),  ces  polynômes  n'ont  pas  de  valeur 
bien  déterminée,  et  il  y  a  une  infinité  de  systèmes  de  multi- 
plicateurs capables  de  fournir  la  résultante. 

Toutefois  la  valeur  réduite  de  chacun  d'eux,  par  rap|)ort 
aux  fondions  '^1,  z>2,  •  •  .,  F  dont  il  n'est  pas  le  multij)lica- 
teur,  est  bien  déterminée,  car  cp,  par  exemple  est  connu  et 
égal  à  —  pour  toutes  les  valeurs  qui  annulent  cp^,  cp^,   .  .  .  ,  F. 


3l8  en  A  PITRE     XI. 

H  osl  facile  do  Irouvoi'  des  [lolviiùtncs  )/, ,  )/„ ,  ....  ).',  tels  que 

lie  eonlienne  plus  ./"i,  .r'.^,  •  •  •.  ^//.  mais  eoiilieiiiic  ;;  coniine 
alors  S  s'annule  quand  (i),  (  2)  onl  lien  à  la  (ois,  S  est  nul 
quand  11  l'est;  donc  S  est  divisible  par  K  et,  si  par  hasard  le 
degré  de  S  éliùlpUm,  S  ^=  o  serait  la  résullanlede  (1  )  et  (2). 

SI  l'on  ne  prenait  pas  la  précaulion  de  réduire  le  polynôme 
que  nous  avons  appelé  0  avant  d  en  jiicndie  le  discriminant, 
on  obtiendrait  un  polvnomc  S  qui,  égalé  à  zéro,  ne  donnerait 
])as  toujours  la  résultanle,  mais  le  produit  de  celle  résultante 
par  un  raclcur  étranger. 

D'après  ce  que  l'on  a  vu  (p.  313).  on  peut  toujours  sup- 
poser A,  de  degré  nio  -r-  fUs-i-  -  •  -^  ni„  ~r  p  —  /i  par  rapport 
à  .r,,  .ro,  ....  r«;  de  môme  Ao  pourra  être  supposé  de  degré 
fn i  -r-  nii-r-  '  •  ■  -r-  p — " ',  mallieurcuscment  cette  considéra- 
lion  ne  suffit  pas  j)Our  déterminer  ces  polynômes  K'. 


XV.  —  Cas  où  la  résultante  a  des  solutions  infinies;  estimation 
de  son  degré. 

La  résultante  de  71  équations  générales  des  degrés  nii, 
Di,,.  .  . ,  m,i  est  de  degré  ;»,  m-, .  .  .  m„,  mais  ce  degré  peut 
s'abaisser  et  ne  peut  s'abaisser  que  si  la  résultante  a  des  solu- 
tions infinies. 

En  thèse  générale,  pour  estimer  a  piiori  le  degré  de  la 
résultante  d'un  système  déquations,  il  suffira  de  retrancher 
du  produit  des  degrés  de  ces-équations  le  nombre  des  solutions 
dans  lesquelles  la  variable  non  éliminée  peut  èlre  infinie. 
L'estimation  a  priori  du  degré  de  la  résultante  dépend  donc 
jusqu'à  un  certain  point  de  la  solution  de  cette  question  : 
Trouver  les  solutions  infinies  d'un  sjslè/ne  d'éfjuations, 
et,  par  solutions  infinies,  nous  entendons  celles  dont  un  ou 
plusieurs  éléments  sont  infinis. 

Prenons  d'abord  une  seule  équation  de  degré  m 

(I)  o(,ri,  Xi,  ....  .r„)^  o 


s  i  II  I.  '  f:  r.  I  >i  I N  V  r  ion.  3  i  9 
rendue  homogène,  el  clicrclions  rcnscmijle  des  valeurs  in- 
finies de  Xi,  Xi, fii-i,  <e  que  nous  appellerons  le  do- 
maine de  l'injini.  A  cet  effet,  considérons  Téqualion 

('2)  aiXi-^  (iiJ'i-    .  .  .-^  a„x„—  o. 

Si  nous  éliminons  x,i  entre  (i)  et  (2),  nous  obtiendrons  la 
condition  pour  qu'il  existe  une  relation  linéaire  entre 
Xi,  X2,  ...fXn-s-    ElTcctuons  l'élimination,   nous  trouvons 

/  r/,:r, ---...— /7„_,r„_,\ 

o    .r,,a".,,  ..  .,  Tn-i. )  =  o, 

\  "«  / 

maintenant,  si  nous  supposons  que  «i,  a-^,  •  •  -^  f^fn-i  tendent 
vers  zéro,  l'équation  résultante  se  réduira  à 

(3)  '^(  Xi,    T., -y/;-!,    01  =   O. 

Or  supposer  rt,,  <7,,  .  .  .,  ««_)  infiniment  petits,  c'est  sup- 
poser .r,,  X2,  .  •  . ,  infiniment  grands;  le  domaine  de  l'injini, 
si  je  puis  m'exprimer  ainsi,  est  donc  donné  par  (3),  c'est- 
à-dire  parl'équation  proposée  dans  laquelle  on  a  remplacé  J"„ 
par  o,  ou  dans  laquelle  on  n'a  conservé  que  les  termes  du  degré 
le  plus  élevé. 

Pour  reconnaître  si  des  équations  ont  des  solutions  com- 
munes infinies,  il  faudra  donc  les  réduire  à  leurs  termes  du 
degré  le  plus  élevé  et  chercher  si,  ainsi  réduites,  elles  ont  des 
solutions  communes  autres  queX(  =  0,  ;r.2=  o,  ...,  Xn-i  =0, 
c'est-à-dire  telles  que  les  rapports  X(  :  x-x'. .  .  .',  Xn-\  soient 
finis,  quelques-uns  d'entre  eux  d'ailleurs  pouvant  être  nuls. 

XVI.  —  Calcul  des  fonctions  symétriques.  —  Formules  de  Jacobi. 

Soient 
(i)  çp,  =  o,    0.2=0,     ...,     o„  =  o 

n  équations  algébriques  des  degrés  /;?),  /;?2,  .  .  . ,  m^  par  rap- 
port aux  variables  .r, ,  x,-,  •  • . ,  x„]  soient 


Sao  en  API  TUE  xi. 

leurs  solutions,  et 

(2)  Xi(xi)-^o.     X2(^2)  =  o \„[.r„^-'^o 

les  résultantes  de  ces  équations  provenant  respecli\eniont 
de  l'élimination  de  x-2,  X3,  .  .  . ,  x„,  de  JCi,  X3,  .  .  . ,  x„,  ...  ; 
soient  )./y  des  multiplicateurs,  tels  que 


( 


Xj,  Oi  —  X12  02  —  .  . .—  Xirt  cp„  =  Xi, 

.^.  ]    ^21  ?1    -  ^'22  »2-^-  •  ■--  ^2«?/J  =  ^2- 

■  '  / •■•;■ 

soient  encore 

A(xi,  0-2,  ...,r„)=^N     :/iiX22- ••  '^' ';-•.■■ 

(Jl'Ol,  90 Cpn) 


D(Xi,  ;r2.   ..  .,  ar„)  = 


d{Xi,  Xi,  .  ..,  or,,)' 


Théokème  I.  —  A  s'annule  pour  tous  les  systèmes  de 
valeurs  de  x^^  x-i,  .  .  .,  x,i  qui  annulent  Xj,  Xo,  ...,  X« 
sans  annuler  toutes  les  quantités  cp,,  Oj «p«- 

Théorème  II.   —  On  a 

(4)  D(a/i,  a,-2,  .  . .,  a,„)A^a,-,,  a,2 a/,/)  =  X'iV=tn)X2  t^a/.).  .  •  X;,(a,„). 

En  efTet,  si  l'on  diflérentie  (3  ,  on  a 

ôTj   '  oxj    '  axj  aXj        (  \^sij  =  k, 

et,  en  faisant  x,  --  a/,,      jr^  ^  Q^/s;      •  •  •  ? 

()ot       ,      cJ'io  ..       t)cs„  _  l  o  si  Q  X-, 

ce  qui  démontre  le  théorème,  en  vertu  de  la  rèyle  de  la  mul- 
tiplication des  déterminants. 

Théoulme  111.  —  La  fonction  symétrique 
F(a,-,,  5t,o a/,,  ) 


21*  (  a,-, ,  «,-5 


'-''''  ^   '"-  '^2.     ...,    2/«) 


SLR     I, 'ELIMINATION.  321 

est  le  coefficient  de  dans  le  (Ith'eloppement  de 

X^  Xi  .  .  .  X,i 

FA 

En  efTel,  dans  le  développement  de    .   '   ,  le  terme  en  - 

'   '  /(X)  X 

a  pour  coelTicient  >  -r, —  ?  a  désisrnant  une  racine  de /"f  a  )  =  o: 

il  en  résulte  que,  dans  le  développement  de 

/(■ri,  ^i ^n) 

X,\o...X„      ' 

le  coefficient  de  -; sera 

•2-  j  Cc9  ■  .  ■  <X'  fi 

•^    ^  fi  Ti/U    a/1 g/„  ) 

Jmd  Ji^'"  \'i^il)\'(  'J.j-1  I  .  .  .  X'  (  tkn  ) 

Prenons  y ^  FA,  F  désignant  un  polvnônie  quelconque;  le 
coefficient  de dans  ..  ,.    — rr-  sera 

X^Xi...X„  X,X2...X„ 

^  "«^         Fi  a,,,  a,-,,  . .  .)  Ar^a,,,  a/2,  .  .  .) 
j^.^^'"  \'(,aii;...X\aA-,tj 

ou,  en  vertu  du  théorème  I, 

•^  F(  a,i,  a,-.,.   . .  .  I  A(  a/,,  a,-»,   .  .  .") 
jii^  X\2/ij...  X;,(^a/„; 

le  signe  7  s'étendant,  non  plus  à  toutes  les  valeurs  des  a/y, 
mais  aux  valeurs  simultanées  constituant  une  solution  com- 
mune aux  équations  (  i  ).  Remplaçons  le  dénominateur  de 
l'expression  précédente  par  sa  valeur  tirée  de  (^);  elle  de- 
viendra l'expression  (5).  c.  q.  f.  v>. 
Si  l'on  suppose  F  r^z  D'I,  on  a  le  théorème  suivant  : 

TuÉouL.ME  I\  .  —  La  fonction  syinélriquc 

est  le  coefficient  de dans  le  dé^'eloppement  de 

'l  A  D 

xTXo . . .  x„  • 

L.  —  Traite  d' Analyse,  1.  2i 


322  CHAPITRE    XI. 

Théorème  V,  dit  nr,  Jacobi.  —  Si  F  est  un  polynôme  de 
degré  infcricitr  r>  >  /;/  —  /?,  degré  de  D,  on  a 

"^  F(a/i,  a/2.   .  .  .)  _ 
^  U(a/i,  a/2,  .  .  .)  ~ 

En  effet,  cette  fonction    symétrique  est  le  coefficient  de 

dans  TT^^: r^;  or,  si  l'on  appelle  ô  le  degré  de  F, 

le  degré  de  \ij  étant  Uni  —  tuj,  celui  de  A  sera 

2,  (  II  oi  —  nij)  =  n  n  m  —  >  m, 

celui  de  FA  sera  Z  +  nWni^y  ni,   celui    de  XiXo  .  .  .  X„ 
sera  nX\?n;  le  coefficient  de sera  donc  zéro,  si  l'on  a 

Ti  Xi  .  .  .  X^ 

0  —  /lUni  —  7  m  <  n U m  —  n 
ou  si 

0  <  >  m  —  n, 

c'est-à-dire  si  le  degré  de  F  est  moindre  que  celui  de  D. 

C.     Q.     F.     D. 

Ce  résultat  a  été  établi  d'abord  par  Jacobi  dans  le  Jour- 
nal de  Crelle,  t.  XIV,  puis  par  Cauclij  à  l'aide  du  calcul  des 
résidus.  Enfin  Liouville  l'a  rencontré  incidemment  dans  ses 
recherches  sur  l'élimination  (voir  son  Jom/7?«/,  t.  VI,  i'"'' série.) 
La  démonstration  que  nous  venons  d'en  donner  est  au  fond 
celle  de  Cauchy. 


XVII.  —  Théorème  de  M.  Enrico  Betti. 

M.  Betti  a  fait  connaître,  dans  les  Annales  de  Tortolini 
pour  l'année  i858,  une  formule  qui  permet  de  calculer  une 
ibnclion  symétrique  quelconque  des  solutions  de  plusieurs 
équations.  Nous  allons  d'abord  l'exposer  j)0ur  le  cas  d'une 
seule  équation. 


SUR  l'élimination.  323 

Soit  rrj  [t,,  t.2 l„  )  le  produit  des  carrés  des  difTérences 

des  quanlilt'S  /( .  ^o /,,  ;  soit  C5(\r)  =  o  une  équation  ayant 

pour  racines  a,,  a^,  ....  y.„.  Considérons  l'expression 

'^"(7,)■!^(^)...  ç(/„)cT(a,,  a,,  .  . . ,  a„  )  ' 

abstraction  Tailc  de  sa  partie  entière,   cette  expression  est 
éffale  à 

.m^  ti  —  'Xi  ra(a,,  a,,   ..  .,  a„)    cp(  ^2)  '" 
et  à 


ou  en  lin  a 


1(^1— a/) {^2— 2ty).  ..(  ta—-^k)  ^{^1,  ^2,   ■  •  .,  a//) 


'.y- 


Or  le  numérateur  de  la  quantité  placée  sous  le  signe  7  est 
égal  à  zéro  ou  à  son  dénominateur  selon  que  a,-,  ay,  .  .  . ,  y.k  ne 
sont  pas  ou  sont  tous  différents;  il  en  résulte  que  l'expres- 
sion (^1)  a  pour  [)artie  fractionnaire 

(2)  V ' . , 

^^Ux    ~  a,-i(  ^,— ay  )...U„— a^j 

le  signe^  s'étendant  à  toutes  les  valeurs  des  a  qui,  dans  une 
même  fraction,  sont  différentes.  Or,  dans  le  développement  de 
l'expression  (2),  les  coefficients  des  arguments  t~'  rj  .  .  .  rj' 
sont  précisément  toutes  les  fonctions  symétriques  simples  des 
racines  a,,  a^,  ...;  donc  : 

Théorème  I.  —  Toutes  les  fonctions  symétriques  simples 
des  racines  de  '^  ^=  o  sont  les  coefficients  des  divers  argu- 
ments r/,  f"/,  . . .  dans  le  développement  de  V expression  (i). 

Voici  maintenant  le  théorème  de  M.  Enrico  Betti  : 

Théorème  II.  —  Soient  cp,,  -^o.  .  .  .  des  polynômes  entiers 
crt  JC  \  y  «-t- 2  *  •  •  •  ?  *^  Il  ^^ 

(3)  «f  I  =  0,       Cf2=0,        tprt=0 


32-1  CHAPITRE    XI. 

des  éqiiafwiia  algébritjuos  admctlaiU  les  »jl  so/r/do/is 


X,,  Xo,  .  .  .,  X„  les  résullanles proKcnanl  de  Véliminalion 
de  toutes  les  variables,  moins  Xi,  de  toutes  les  variables 
moins  x^,  etc.  ;  \(xi,x-2,  . . .,  :r„)  le  déterminant  des  multi- 
plicateurs qui  fournissent  les  résultantesl^i ,  X2, . . . ,  X„  =  o, 
enjin  D(\r,,  ^2,    ...,  Xa^   le  déterminant  fonctionnel  de 

cp,,  ç-i çi„  e^  f)(x,,  ^21   •  •  •'  -x^n)   Ig  produit  AD.  La 

fonction 


i  z='X  .1  =  n 


G  = 


n*^(  ^•|.    fg t>»^  "TT   t;^(  f\s,   ^2.0    ■  •  •■    ty.x) 


développée  suiv'ant  les  puissances  et  les  produits  des' quan- 
tités t~* ,  aura  pour  coefficients  les  diverses  fonctions  symé- 
triques simples  des  solutions  des  équations  (  ?t). 

Rappelons  qu'en  vertu  des  théorèmes  I  et  II  du  paragraphe 
précédent  on  a 

6(  a,,,  a/2 a,„  1  —  o     ou      =  \\  (  a/i  )  \\  (  a/,).  .  .  X'„  (  a,„  1, 

suivant  que  toutes  les  valeurs  de  ?  sont  différentes  ou  sont  les 
mêmes  ;  par  suite, 

/  =  [X                                                         .V  =  Il 
_  TT  \\  (  tji  I  X',  (  ti=,  I.  .  ■   -|rT    7ÏT(  t\!t,    ^2.^ t^s  ) 

-I  i  Xi(//,  )  X,(  ti=,  ).  .  .  1  i  77T(  a,,.,  a,.,.   .  .  .,  a„_s) 
i=i  ,     .^  =  1 

ou,  en  négligeant  un  polynôme  entier, 

/=  y. 


vj(  7.J,,,  a/.., a/.ç) 

'  1 J  ^  //i  —  a/y  t,2  --  a,/,         1 1 
/  =  1  s  = 

ou  enfin 


G=TTV— ' ' — n 

A  J  .À^  //i  —  x,j   /,2—  ^lA-         A-1-  CT(  a,,,  a,^,  .  .  . ,  a^s) 
/ = 1  5=1 


2n^ 


/>,  q,  u,  V  désignant  quatre  entiers  différents,  ce  qui  démontre 


SI' Il     l'élimination.  32.J 

le  tlu'orème  énoncé.  I^c  lliéorcnic  de  M.  Bclti  ne  rend  pas 
pratique  le  calcul  des  lonclions  syniélrlques  et  l'on  ne  trou- 
vera sans  doute  jamais  un  nioven  de  rentire  ce  calcul  pratique, 
mais  il  met  eu  lumière  un  llx-orrine  de  M.  Scidalli  :  c'est 
([ue  toutes  les  lonclions  symétriques  entières  des  solutions 
des  équations  (3  )  contiennent  seulement  en  dénominateur  les 
coefncienlsdes  premiers  termes  des  résultantes  XjjXj,  ...,X„. 
Ainsi  la  lonction   s\mélric]ue 

V . '■  /•     -   '■'    j'         ''' 

coefficient  de  -r— dans  G,  contiendra  en  dénominateur 

'il     '  1  2      ■  •  • 

le  facteur 

A|,  Ao,  .  .  .  désignant  les  coefficients  de  x^,  cc^,  .  .  .  dans  les 
j)olynômes  X(,  Xo,  •  •  • ,  X^.  On  peut  toujours  faire  en  sorte 
que  A,  =  Ao  =  .  .  .  =  A„,  en  rendant  les  résultantes  entières 
par  rapport  aux  coefficients.  Ainsi  la  fonction  symétrique 
considén'c  devient  entière  en  la  multipliant  par  A-'+^^  •  . 

La  ri'sultante  des  équations  (3)  et  F  =  o,  mise  sous  la 
l'orme  nF(a/,,  a/o,  .  .  .)  =  o,  deviendra  donc  entière  en  la 
multipliant  par  une  puissance  du  coefficient  de  la  plus  haute 
|)uissance  de  la  variable  non  éliminée  dans  l'une  des  résul- 
tantes X|,  Xo,  .  .  . ,  X„. 

XVIII.  —  Remarque  importante  sur  les  solutions  communes 
à  plusieurs  équations. 

Si,  dans  la  formule  de  Jacobi  démontrée  au  paragraphe  XT, 
on  fait  F(jCj  =^  1 ,  j:,,  Xo,  .  .  . ,  on  trouve 

(  rt  -f-  1  )(  /i  -^  a  ) . .  .  (  «  —  A  )  , .  ^ 

'^= FT^sTTA ('> 

relations  entre  les  solutions  communes  aux  équations  ©,  =  o, 

(' )  Ce  nombre  est  égal  au  nombre  des  termes  d'un  polynôme  du  degré 
h  il  n  variables. 


320  ciiAPiTui:   XI. 

cso  =  o.  .  .  . ,  C5„  =:  o,  //  étant  inférieur  d'une  unité  au  degré  de 

U,  dansées  relations  entreront  les  v=:^  > 

^  I . a .  3 . . .  nii 

coefficients  de  cp,,  cp^,  .  .  . ,  o„.  Le  degré  de  D  est  >  nu  —  n  ; 
donc  A  r=  >  /;?/  — n  —  i ,  donc 

(w-+-0(re-H2)...(  ^m;—  l) 

(  >  /«/  —Il  —  I  j  ! 

En  général,  pi  est  plus  grand  que  v,  de  sorte  qu'entre  les 
équations  fournies  par  le  théorème  de  Jacobi  on  pourra  éli- 
miner les  coefficients  de  cp,,  cp.,,  .  .  .,  cp«,  et  l'on  voit  qu'il 
existera  des  relations  indépendantes  des  coefficients  entre  les 
solutions  de  es,  =  o,  cpo  =  o,  ...  ;  donc  : 

On  ne  peut  pas  choisir  arbitrairement  les  solutions  d\in 
système  d'équations  algébriques  à  plusieurs  inconnues. 


XIX.  —  Propriétés  de  la  résultante. 

Considérons  îi  équations  à  n  inconnues  des  degrés  ni  i , 
/?i2,  •  .  . ,  ni,i.,  savoir  : 

I    çpi  (a^i,  .r,,  . ..,  x,i)  =  o, 
)   0,(^:1.  X-i,   . . .,  Xn)  =  o, 

\  cp„(ri.  X2,  . . .,  x„)  =  o; 

soit 

R  =  o 

la  résultante  provenant  de  l'élimination  de  Xt,  ^21         ^^u.  t  ■ 
Supposons 

^i=^aij,„x\x',  ..., 


Sun  l'élimination.  327 

faisons  varier  les  coclTicienls  <7/y    et  (ipq ..  de  oaij  ^  ^^fipq ..  et 
exprimons  que  dans  ces  conditions  R  ne  varie  pas.  On  aura 

et,  si  l'on  veut  que  les  solutions  ne  varient  pas  non  plus,  on 

aura 

-r^ —  o«,7...-4-  -— J —  oa,,^...  =  o 
ôaij,,,  Oa,„j,,, 

ou 

(3)  X\x{..  .  Ùa,j,,,-Jr-X'îx'l.  .  .  OUpif...  =  o. 

De  (2)  et  (3)  on  lire 

^R    .    ,     ,  an     .    „    ^ 


ou,  si  l'on  veut, 

f)R         ôK 


de  même 

(ibis)  x,ar.^...=  —, — ; ?   

En  éliminant  les  arguments  a:\  xi  . .  .  par  division,  par 
exemple,  on  tire  de  là  une  foule  d'équations  entre  les  dérivées 
partielles  de  la  fonction  R. 

On  peut  trouver  encore   d'autres  x'elations  en  observant 

T-»         1             <                                               1     j        '  n  /n 
que  R  est  homogène  en  ««y. ,  (ipq...  •  •  •  et  de  degré =  'x; 

on  a  ainsi 

r)R  .)R 


t'^00...  '^<^ij... 


1  A  R/??  , 

de  même,  en  posant  ■ —  ■=  a. 


li.  R  =  6uo...  -7 H.  . .  6,7... 


On  peut  encore  trouver  de  nouvelles  relations  en  observant 
que  R  ne  change  pas  quand  on  change  Xi  en  a:,  -|-  0X1,  .r>  en 
x-i  -\-  ^x-i-,  ...  :  on  a  donc 

rm  _ 

Oxi 


SaS  ciiAiMTiu:  xi. 

011  bien 

en  désignant  par  (f/j    -f  oa,j\    ce  (jui  dc\  icnl  (f,j     quand  on  a 
remplacé  x,  par  x^  +  ox,. 

Ce  changement  ramène  C5,  =  o  à  la  forme 

^  «/y...(^ -H  o.ri  j'j:,- •  • 


OU 


2  |^(  l  -t-  1  )  «/+,  ,y . . .  or  1  -r-  «,7. , .  J  .r ',  a-'.  .  .  . , 
en  sorte  que 


On  a  donc 


o«/y...  =  (i-l- I )«/+-!. y... o-r,. 


V7     (^R 

7 U  —  O^v-vi,/... 


(j-^-j)bi^ij. 


et  d'autres  équations  analogues.  Ces  équations  permettent 
quelquefois  de  déterminer  les  coefficients  de  la  résultante 
quand  on  en  connaît  la  partie  littérale. 

Ces  dernières  équations  sont  celles  auxquelles  satisfont  les 
invariants  des  fonctions  C5),  Oo,  .  .  . ,  z>,i;  nous  ne  larderons  pas 
à  constater  en  effet  que  la  fonction  K  est  un  invariant. 

On  voit  comment  il  faudrait  modifier  les  résultats  pré- 
cédents si  les  dérivées  partielles  de  R  par  rapport  aux  «/y.  , 
Z>/y  ,  étaient  toutes  nulles,  et  comment  cette  circonstance  décè- 
lerait la  présence  d'une  solution  multiple. 


XX.  —  Résultants. 

Théorème  I.    —   La   résultante  de  plusieurs  équations 
algébriques,    telles  quil  n'existe  aucune   relation   entre 


siiu    l'i'm.iminatio.n.  329 

leurs  coefficients,  est  irréiliictihli'  jkii-  rapport  à  ces  coeffi- 
cients ('). 

En  efiet,  si  celte  rûsiilhiiile  nt-lail  pas  inéducllhlc,  elle 
sérail  de  la  (ortiie  1»  t-  Vi)  r^  o,  P  cl  (^  désignanl  des  poly- 
nùines  entiers  par  rapport  aux  coefficienls  a,  0,  c,  .  .  .  des 
('■(pialioiis  proposées.  Or  R  -  o  établil,  entre  les  coefficients 
en  question,  une  relation  qui  |)erniet  de  l'egarder  l'un  d'eux, 
a,  comme  fonction  des  autres;  si  ion  considère  les  équations 
P^  o,  Q  =  o,  elles  sont  satisfaites  par  certains  systèmes  de 

117  ^  ôa    da 

valeurs  de  a.  o,  c,  .  .  . ,  et,  pour  ces  systèmes,  -7  >  -^  •  -  ■  ont 

deux  valeurs,  savoir  celles  que  l'on  peut  tirer  de  P  =-^  o  et 
celles  que  l'on  peut  tirer  de  Q  =  o.  En  diflerentiant  K  --=^  o, 
la  règle  des  fonctions  implicites  donnera 

()a  _  OR  _  (JH       da  _  OK     m 
Ob        db  '  Oa        Oc        Oc   '  Oa 

,,  ()a      i)a  •.•!'.  •     '         1    r      .  '^^^ 

l'our  (lue  ~ ,  1   — ,  •••  soient    indéterminés,   il    laul    que  —-■< 
*■        i)b      Oc  ^        Oa 

—  7---  soient  nuls,  cecjui  établit  des  relations  entre  les  quan- 
00  '        i  .  ^ 

tilés  a,  b,  c Si  donc  les  équations  proposées  sont  telles 

qu'il   n'existe  pas   de   relations   entre  leurs  coefficients,    la 

'1  •     .  1        1  1     /j'    11  <^R  '^^ 

résultante  sera  irréductible  (  a  ailleurs  —  =  o,  -rr  =  o,  ... 

\  Oa  Ob 

ne  sauraient  être  des  identités,  sans  quoi  R  ne  dépendrait 

|)as  des  coefficients  des  équations  proposées  )  • 

Puisque  la  résultante  est  Irréductible  quand  il  n'existe  pas 
de  relations  entre  les  coefficients  «,  Z/,  c,  .  .  . ,  on  pourra 
toujours  supposer  que  l'on  ait  mis  cette  résultante  sous  forme 
entière  en  la  multipliant  par  un  facteur,  fonction  des  coeffi- 
(•ients  de  poids  nul,  tel  que  cette  résultante  mise  sous  forme 
entière  ne  soit  pas  décomposable.  Le  premier  membre  sera 
alors  parfaitement  déterminé,  à  un  facteur  près  Indépendant 
de  tous  les  coefficients. 

(')  Je  crois  devoir  rappeler  qu'une  équation  Rx  =  o  est  iriécluctible  pai- 
rappttrt  à  des  quantités  «,  b,  c...  quand  un  premier  membre  n'admet  pas 
lie  diviseiu"  rationnel  en  x,  a,  b,c 


33o  en  API  THE     XI. 

Considérons  maintenant  n  équations  homogènes  par  rap- 
port aux  inconnues  j",,  Xo.  •  •  •  ,  Jr^,  savoir  : 
(0  'fi=o,     'fo  =  o,     9«  =  o, 

et  supposons-les  des  degrés  /;?,,  m-, /;/„.  Si  Ton  élimine 

x-i,  ^3 i',i,  on  trouve  une  résultante  de  la  lornie  entière 

R^tY'"  =  o; 

si  l'on  élimine  toutes  les  inconnues,  moins  ^o,  on  obtient 

R,^P"'  =  0, 

Ro  étant,  comme  R,,  entier  par  rapport  aux  coefficients  de 
<:>,,  «21  .  .  •  et  irréductible,  etc.. 

Je  dis  que  l'on  peut  supposer  R,  =  Ro.  En  effet,  l'équa- 
tion R,  =z  G  exprime  que  les  équations  (i)  ont  une  solution 
commune  dans  laquelle  ^,  n'est  pas  nul,  et  R2=  o  exprime 
que  les  mêmes  équations  ont  une  solution  commune  dans 
laquelle  .r^  n'est  pas  nul.  Si  l'on  suppose  qu'il  n'existe  pas 
de  relations  entre  les  coefficients  de  ''i,  ces  équations  n'auront 
pas  de  solutions  pour  lesquelles  Xy,  Xo- ■  •  ■  seraient  nuls, 
puisque  l'on  rejette  celles  dans  lesquelles  on  aurait  soit  .r,  =  o, 
soit  ^2=  o;  R|  et  Ro  sont  donc  égaux,  à  un  l'acteur  numé- 
rique près. 

On  appellera  éliminant  ou  résultant  des  fonctions  homo- 
gènes Ci,,  Ço»  •  •  -,  ^n  le  premier  membre  de  l'équation  ré- 
sultante, mis  sous  forme  entière,  des  équations  o,  =o, 
o., ^  o,  .  .  .,  On  =o,  abstraction  faite  du  l'acteur  x}'",  ou 
x^'" ,  ou,  etc. 

Le  résultant  est  donc  bien  déterminé,  à  un  facteur  près 
indépendant  des  coefficients  de  C2,,  o^, .... 

Théorè:.me  II.  —  Soient  'j, ,  Oo, .  .  . ,  cp«  des  fonctions  homo- 
gènes de  Xi^  x-i,  .  .  .  ,  x,i  des  degrés  nii ,  nio. .  .  . ,  m„  ;  soient 
0,,  O2. .  .  . ,  h,i  des  fonctions  homogènes  r/e  r,,  Vo-  •  •  •  '  )'ii 
et  toutes  de  degrés.  Si  l'on  fait,  dans  o, ,  Oo, .  .  . , 

^1  =  ^lO'i- J2 .r«», 

^2^  62(7,.  72-  ••  -,  Yn)^ 


SUR   l'élimination.  33 1 

ces  fonctions  deviendront  de  nouvelles  fonctions  '},,  'v^, .  .  . 

'1,1  de  )',,  Vo r,i  et,  si  Von  appelle  R  le  résultant  de 

cp,,  Oo 'fw-  S  celui  de  61,  -ii, .  .  .,  '}«,  /•  celui  de  0,, 

Oj,  .  .  .  ,  0„,  o/?  aura 

S  =  R^"-  /II'/.. 

En  effet,  les  solutions  de  •!/,  :r^  o,  •!/2=  o.  ....  •},/=  o  com- 
prennent : 

i"  Les  solutions  des  équations 

il  ^  !^  ^    _  f^'i , 

dans  lesquelles  a,,  7.0,..,  a„  désignent  une  solution  de 
'j,  =  o,  Oo=o..  .  .  lorsque  les  coeflicients  sont  liés  par  la 
relation  R^o;  ces  solutions  sont  au  nombre  de^""'!!/;?  et 
par  suite  le  résultant  S  contiendra  en  facteur  IV'~', 

1"  Les  solutions  de  f||  =  o,  Os  =  o,  .  .  . ,  f>„  =  o  qui  entrent 

en  facteurs  dans  ces  équations  aux  degrés  sni^^  sm^ sm,i  ; 

le  résultant  s  devra  donc  s'annuler  en  même  temps  que  /•  et 
avoir  les  solutions  de  /•  à  un  degré  de  multiplicité  égal  à 
/?;,  /??o  .  .  .  =  11//^. 

CoKOLLAiRE  L  —  Lcs  résultants  de  plusieurs  formes  sont 
des  invariants  de  ces  formes,  et,  si  dans  les  formes  es,, 
cp2, .  .  . ,  cp„,  on  effectue  une  substitution  linéaire,  leur  résul- 
tant se  trouvera  multiplié  par  Y^"^,  F  désignant  le  déter- 
minant de  la  substitution. 

Théorème  III.  —  Le  résultant  de  plusieurs  formes  est  un 
combinant  de  ces  formes. 

En  elTcl,  si  l'on  pose 

(  ^1  =  Yirfi  — Yi2'-p2-^-..  — Yi«?/i. 

\     ^i  =  T2t  ?1  —  Y22  Ol  —  ...-r-  Y2«  'f  «, 


le  résultant  de  •l^,  -io.    .  .  .,  <l„  peut  s'obtenir  en  observant 
qu'il  peut  être  considéré  comme  le  résultant  des  formes  trans- 


332  cil  A  PI  T  m:  xi. 

fonnées  des  formes  linéaires 

l    7 1 1  - 1         Y 1 2  ■"'2   •  •  •   'lin  ^11  • 
(O)  '    "21  -I  —  '{il  -2    •  •  •   72 «  -//■ 


par  la  siil)stitulion  non  lin("airc  z■^-^^^^,  Z2^= '^21  ■-■]  le 
résiillaiil  de  -i/,,  «i/o.  .  .  sera  donc,  en  verUi  du  ihéorèine  II, 
égal  au  résultant  Y  des  formes  linéaires  (a  ),  élevé  à  la  puis- 
sance s  —  I,  degré  maximum  des  formes  o  et  multiplié  par  le 
résultant  de  ces  formes  ;  en  d'autres  termes,  si  l'on  appelle 
R  le  résultant  des  formes  '.p,  S  celui  des  formes  'l,  T  le  déter- 
minant do  la  substitution  {  a  1.  on  a 

S  ^  RP'-'. 


XXI.  —  Discriminants. 

On  appelle  discriminant  d'une  fonction  homogène  le 
résultant  de  ses  dérivées  prises  par  rapport  à  chacune  de  ses 
variables. 

On  appelle  racines  singulières  d'une  forme  les  systèmes  de 
valeurs  des  variables  qui  annulent  à  la  fois  la  forme  et  toutes 
ses  dérivées,  ou,  pour  éviter  un  pléonasme,  qui  annulent  ses 
dérivées. 

Lorsque  le  discriminant  d'une  fonction  '^  est  nul,  l'équation 
'.5^0,  f|ui  permet  de  considérer  l'une  des  variables  comme 
Ibnclion  des  autres,  donne  pour  les  dérivées  partielles  de 
cette  variable  des  valeurs  indéterminées. 

Lorsque  le  discriminant  est  identiquement  nul,  il  y  a  toute 
une  suite  de  valeurs  des  variables  pour  lesquelles  les  dérivées 
partielles  de  l'une  d'elles  sont  indéterminées,  et  vice  versa 
d'ailleurs. 

Théorème  L  —  Le  discriminant  d^ une  fonction  est  un 
invariant  de  cette  fonction. 


SLR  l'élimination.  333 

En  cfTfl,  considérons  la  fonction  homogène  '^'r,,  x-, x«) 

(le  degré  m.  Si  l'on  cireclue  la  subslilulion 


on  aura 

(,)  )  àfi  ~  ôFi  "' " ^ '  ^;^.;  "''■-'     '-^  ô^n  "^"" 


donc,  en  appelant  F  le  di'terniinanl  de  la  substitution,  le 
i-ésultant  des  seconds  membres  de  (i)  sera  F^"*""""' multiplié 
par  le  discriminant  A  de  'i.  Si  ensuite  on  effectue  la  substi- 
tution sur  les  dérivées—^  ,  — ^  ,  •  ■  -,  le  nouveau  résultant  relatif 

aXi       fJT.2 

aux  r  sera  égal  à  Fancien  AF"'"'^""'  multiplié  par  F '""'■", 
de  sorte  que,  D  désignant  le  nouveau  discriminant,  on  aura 

J)   -—  _^p  /«-11"—    /«-I)"-'__    s^\-in' in  —  \i"-\ 

Pour  /»  =  2,  on  a  D  =  AF-,  ce  qui  s'accorde  avec  ce  que  l'on 
savait  déjà  sur  les  discriminants  des  fonctions  du  second 
degré. 

Théorème  II.  —  Lorsque  le  discriminant  dUine  Jornie 
s'annule,  les  dérivées  du  discriminant  par  rapport  aux 
coefficients  de  la  forme  sont  j>r<)porlionnclles  aux  dérivées 
de  la  forme  prises  par  rapport  aux  mêmes  coefficients. 

En  effet,  soit  A  le  discriniiiuinl  dune  forme  o;  faisant  varier 
les  coefficients  rt,  b.  ...  de  cette  forme  et  les  variables  x,, 
X2,  ...  de  telle  sorte  que  A  ne  varie  pas,  on  a 

mais  on  a  aussi,  en  appelant  'i,.  'j;.. 'i„  les  dérivées  — ^> 

do  ,  >.  ^  ,    . 

T-^>'  •  •  et  en  observant  que  x,  -~  oj:, ,  Xo -~-  oxo,  •  •  .  doivent 


334  cil  API  THE    XI. 

vérifier  les  équations  ci,  --  o-^,  ^=  o,  o-j-r-  2'i2=  o. 


-r-^  0^1  —  -T-^  oxo -f- . . . -^ — 7-  oa  -i — ;^  cb-i-. .  .  =  o, 
dxi  dxz  da  do 

— !-:  0x2  —  -r^  0X9  -J- .  .  .  -1 — ^  oa  -i — T.-  00  -- .  .  .  =  o. 
dx,  dx',       '  da  do 


Mulliplions  la  première  de  ces  équations  par  j::,,  la  seconde 

par  ûC2< ...  et  ajoutons,  en  observant  que,  si  Ton  aj)pellc  m  le 

degré  de  cp,  on  a 

XiÇi-i-  ro'fj-i-. . .  =  m<^; 
on  trouve 

dvi    ^  t)o    ^  do  ^  do  „ 

m  ^-^  ox,  -T-  m  -~-  ox,  -1- . . .  -f-  /«  -^  oa  —  m  —■  00  -+-...  =  o 
dxi  dx-i  da  do 

et,  si  Ton  observe  que  es  admet  les  racines  singulières, 

do  ^  do  ^, 

— i-  oa  -T-  ^  06  -t- . . .  —  o. 

da  do 

Comparant  cette  formule  avec  (i  ),  on  a 

d\  _  do  _  dl  _  r)'^  _ 

da  '  da        db  '  db 

c.  y.   F.   I). 

De  là  un  moyen  de  trouver  les  racines  singulières  sans  avoir 
calculé  A,  pourvu  que  Ton  fasse  usage  du  théorème  §  XIX. 


XXII.  —  Sur  un  théorème  propre  à  faciliter  dans  certains  cas 
le  travail  de  l'élimination. 

Théoueme.  —  Si  les  cqualions  homogènes  de  degré  m 

admellent  une  solution  coniniune^  celle  solulion  salisfera 
aussi  aux  équalions 

_  d\   _  d\   _  d\   _ 

dxi  '       dx-i  '      '"'     dXn~    ' 


sin  l'élimination.  335 

où  /'on  a 

Ôl  Xi.  X-i,    .  .  .  ,  Xn  } 

Supposons  d'abord  les  degrés  des  équations  (  i  i  quelconfjucs 
el  respecllvemenl  égaux  à  /?«,,  nio,  .  •  .,  nin',  ou  pourra,  en 
vertu  du  théorème  des  fonctions  homogènes  (p.  221  ,  écrire 
ces  équations  ainsi  qu'il  suit  : 


(2: 


les  valeurs  de  a*,,  jTo.  .  .  . ,  qui  satisfont  à  ces  équations,  sa- 
tisfont donc  aussi  à 

A  =-0. 

Maintenant,  si  /;«,  ==  m2=  ■..  =  ni,i=  m,  on  déduira  de  121 
\xi  =  m  I  Oi 


(hi, 

f>C5| 

ô'ùi 

Xi~ 

Xi  —  .  . 

•Tn 

^ 

nix 

0, 

Oxi 

âXî 

OXn 

rh. 

d'i. 

C)'i, 

Xi  - 

—   î 

X,  — . . 

—  -  — : — 

./;„ 

— 

m.^ 

'^i)  T^ 

<». 

OXi 

ôx.. 

f)Xa 

\Xi  =  m 

et,  en  général, 

\xi  ■=■  m 


<)xi  Oxi  J 

L  (^-r,  OXi  J 


on  en  lire 


[')A  d\  "1 

Oxi  dxi  J 

()A             r        <)       ôl         ô-c,      ô\  "I 

Xi  — —  =  m  I   0, — r-  -f -.  .  .    I  • 

oxj  '    Oxj     O-^i        Oxj     ôoi  I 

L  O^i  Oxt  J 

Si  i^=j,  il  faudra  ajouter  A  au  premier  membre.  Si  Ion 
suppose  que  Ton  remplace  o^i ,  ^2,  . . .  par  les  solutions  de  (i), 
en  tout  cas  que  f  soit  égal  à  /  ou  différent  dey,  on  a 


<)\  rô-:,x     ùl  f>i,     ^)A 


r^j-i,    fJA       f>i,    ^)A  -j 

ôFj  ^djj_'^  dxj  ^d^'^-'-  y 

L  àJCi  Oxi  J 


336  CHAPITUE    XI. 

or  le  second  membre  de  celle  équation  esl  éi;al  à  /.l'io  ou  à  A, 
c'esl-ù-dire  toujours  égal  à  zéro,  donc 


- —   —  O.  C.  y.    F.   I). 

Ce  ihéorème  suppose  que  la  solulion  commune  ne  se  rap- 
porte pas  aux  valeurs  nulles  de  .r,,  ^o,  .  .  . ,  sans  quoi  il  sérail 
évident;  d'ailleurs  la  démonstration  précédente  ne  s'applique 
pas  à  ce  cas. 

Si  le  système  (i)  se  réduit  à  trois  é(]uallons  de  second  degré, 
les  équations 

C5|  =  o,       Ç.2=^0-       ^3=0 

et  les  trois  équations 

dl  ô\  01 

â7,=«'   5:?:=°'   d?;^^ 

seront  du  second  degré;  en  éliminant  x'-^,XTJ,,  .rij,  ^,  d"^,X(  .r;,, 
X-2-V:\,  on  aura  sous  forme  de  déterminant  la  résultante  des 
équations  proposées. 

XXIII.  —  Sur  une  élimination  remarquable. 

Proposons-nous  déliminer  a,,  x-^,   ■  ■  ■  -  ^\t  entre  les  équa- 
tions 
(r)  f=2^a^jx,xj^  o 

et 

,    Cil      .r,-    Ci-i    X2~-.  .  .-    Cm      t„— o, 
\   r.,,       .r,—  Coo    To'    ...~    Coa       x^—o, 

1     <^«-l,l  •''l  —  (-'/i-l  X->-r-  .  .  .  -f-  Cn—i^,iX,i  =  O. 

A  cet  effet,  écrivons  l'équation  (i)  sous  la  forme 

(3)  a-i~-^x,—^-^...  =  o, 

niulliplions  la  première  équation  (■2)  par  ).,,  la  seconde  j)ar 


SIR     i/i:LIMI  NATION.  SSj 

)>2,  ....  et  ajoutons  avec  (  .î),  puis  égalons  à  zéro  les  coeffi- 
cienls  de  j*,,  x^,  ...  :  nous  aurons 


—  CijX,--  CîiÀ,  —  .  .  .—  C„_i,iX„_i  =  o, 


CioA,—  Cî2>-ï-^.  •  •—  Cn-\  oA/i-i  =  O, 


Si,  entre  ces  équations  et (2),  on  élimine  x, , . . . ,  j:*,,,  A, , . . . ,  \„_ , , 

,  àf  âf 

en  remplaçant 


5    ,—  par  leurs  valeurs 


on  a 


rti 


«21  «J 


Cl»       C.>2 


a„2 
c,.> 


C„-\n   C/;_i  ,,    .  .  .        C,i-lri       O  O 

(^e  résultat  a  été  obtenu  par  Hesse. 


Cn 

-1 

,1 

Cn 

- 

.2 

Cn 

-1 
0 

0 

,n 

XXIV.  —  Principe  de  correspondance. 

Le  principe  de  correspondance,  nettement  énoncé  pour  la 
première  fois  parChasles,  consiste  en  ce  que  : 

Si  sur  une  droite  D  on  a  deux  séries  de  points  X , ,  X.i ,  . . . , 
et  Y,,  Yo,  ....  tels  qu'à  chaque  point  X  correspondent 
n  points  Y  et  qu'à  chaque  point  \  correspondent  m  points\, 
Le  nombre  des  points  X  coïncidant  avec  leurs  correspon- 
dants Y  est  m  ^  n  (pourvu  que  cette  correspondance  des 
points  X  et  Y  s'exprime  au  moyen  d'uneéqualion  algébrique^ 

Nous  appellerons  les  points  X  coïncidant  avec  leurs  cor- 
respondants des  coïncidences. 

La  démonstration  du  principe  en  question  est  fort  simple. 
Soient  X,,  x-y,  ...  les  abscisses  des  points  X,,  Xo,  ..., 
L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  22 


338  CHAPITRE   XI. 

comptés  sur  la  dioilc  D  à  j)arlir  (11111  poinl  (ixc  G  de  celle 
droile;  )| ,  v-2 ,  ■  ■  •  celles  des  poinls  Y, ,  Y.j.  ...  ;  l'abscisse  a: 
d'un  point  cjuelconquc  X  cl  Fabscisse  y  d'un  poinl  (juel- 
conque  Y  seront  liées  entre  elles  par  une  équation 

(i)  /(jr,y)=o 

de  degré  /«  en  .r  et  n  en  )•;  les  coïncidences  seront  données 
en  prenant  X  ^^j',  et  par  suite  leurs  abscisses  seront  racines 
de  l'équation /(7,  i)  =  G.  Si  l'équation  (i)  est  complète, 
f(t,  t)  sera  de  degré  m  -h  n,  ce  qui  démontre  le  théorème. 

Voici  une  autre  démonstration  du  même  principe  donnée 
par  M.  Zeulhen. 

Soit  C  un  poinl  de  la  droile  D  où  n'ait  pas  lieu  une  coïn- 
cidence; par  ce  poinl  menons  une  droile  quelconque  cl  pre- 
nons deux  points    fixes  A,   B  sur  celle  droile,  joignons  ces 

Fis.  .. 


X.  /î 


points  à  deux  points  correspondants  X,  Y;  le  lieu  des  points 
M  de  rencontre  de  AX  et  BY  sera  une  certaine  courbe  que 
nous  allons  étudier  et  que  nous  appellerons  la  courbe  (M). 

La  courbe  (M)  rencontre  AM  en  ii  poinls,  en  général  situés 
à  distance  finie,  distincts  du  point  A;  mais  la  courbe  (M)  a  en 
outre  au  point  A  un  point  d'ordre  m,  car,  le  point  C  étant 
considéré  comme  un  point  Y,  ni  droites  AX  correspondront 
à  BC  et  seront  d'ailleurs  autant  de  tangentes  à  la  courbe  M. 

Ainsi  la  courbe  M  est  de  degré  m  -\-  n,  elle  a  en  A  un  point 
d'ordre  m  et  en  B  un  point  d'ordre /i. 

Le  principe  de  correspondance  découle  de  là,  car  les  coïn- 
cidences sont  les  points  où  le  lieu  M  coupe  la  droite  D. 


SUK     r/fCMMINA  TION.  889 

Le  principe  de  correspondance  peut  être  généralisé  comme 
:l  suit  : 

Si  par  un  point  passe  une  série  de  droites  U,  V,  et  qu'à 
chaque  droite  U  correspondent  m  droites  V,  qu'à  chaque 
droite  V  correspondent  n  droites  V,  le  nombre  des  droites  U 
coïncidant  avec  leurs  correspondantes  V  (ou  coïncidences) 
sera  m  -f-  n. 

Chasies  a  fait  une  ap[)licatlon  du  principe  de  correspon- 
dance à  la  recherche  du  nombre  des  intersections  de  deux 
courbes  situées  à  distance  finie  (Comptes  rendus  de  l'ylca- 
démie  des  Sciences,  i855V 

Considérons  deux  courbes  d'ordres  m  et  n  :  soient  C  et  D 
ces  courbes;  prenons  deux  points  fixes  A,  13  dans  leur  plan, 
mais  hors  de  ces  courbes.  Par  A  faisons  passer  une  droite  AX, 

l-'ig.  j. 

Y, 


elle  rencontrera  C  en  m  points  a;  joignons  B  aux  points  a; 
les  droites  ainsi  menées  au  nombre  de  m  couperont  D  en 
mn  points  [3. 

Enjoignant  A  aux  points  [îi,  on  aura  mn  droites  AY  cor- 
respondant à  AX  ;  réciprocpiement,  à  chaque  droite  AY  cor- 
respondent mn  droites  AX. 

Lorsque  les  courbes  C,  D  ont  un  point  commun  (a,  j3  ),  la 
droite  AaX  coïncide  avec  une  droite  A\  [i  ;  mais  deux  droites 
AX,  AY  peuvent  coïncider  sans  cela  :  c'est  ce  qui  arrivera 
quand  on  considérera  la  sécante  -4B,  car  mn  droites  coïn- 
cidentes sont  confondues  avec  AB;  il  en  résulte  que,  si  AB 
ne  passe  pas  par  des  points  communs  aux  deux  courbes,  ce 
(jue  Ton  peut  supposer,  C  et  D  auront  m/i  points  communs, 
situés  en  général  à  distance  finie. 


34o 


CII.VIMTUF.     XI. 


EXERCICES  ET  NOTES. 

i.  Nous  désignons,  i)our  abréger,  par  (/>(/')  le  déterminanl  ^7' — qp'. 
Cela  posé,  la  résultante  de 

(   ax-  -r-  b.T  -^  c  ~=  o, 
}  a' x--~  b' X—  C  =  o 


est 


La  résultante  de 


(  ab'  I     ('  ac  ) 

{ac')     (bc' ) 


est 


(   ax^  -^  bx-  -r-  ex  —  6?  =  0, 
(  a  x^-- b' x--^  c' X -r-d' =^0 

(ab' )     (  ac')  ( ad' ) 

(ac')      t  dd' )  —  ( bc' )     (bd') 
I  ad'  )     (  bd' )  {cd') 


La  résultante  de 


est 


ax'*  -^  bx^  -^  cx^  -^  dx  -^  e  =  o, 
a! x'*  —  b' x^-^  c  x'^-r-  d' X  -^  e'  =  o 


(ab' )  («c')  (ad')  (ae  ) 

(ac  )  (ad'  )-\-(bc')  (ae')  -h  t  bd' )  (be' ) 

(ad')  (ae')-^(bd')  (be')^(cd'  )  (ce') 

{ae')  {be' )  {ce')  (de') 

2.  Le  discriminant  de  l'équation 

ax''-+-  ^bx^-[-  dcx'^--  ^ dx  -h  e  =  o 
a  été  mis  par  M.  Cayley  sous  la  forme 

i(i(I3— 27J2). 
l  =  ae  —  ^bd  -    "ic-,     J  =  ace  -+-  ibcd  —  ad- —  eb^--  c-*. 

3.  On  a 


f/«_  fj'ii 


—  a/»i-i_f-  ija>"-^-^ . .  .--  6'«-i; 


celte  formule  peut  s'écrire 

a'"     b'"   I        \   a     b 

I         11*11 


=  a"'-»  -^  6a'«- 


6"'-'. 


SLR     l'élimination. 


34 1 


(  M»  la  j;(''iicrali«c  ainsi  : 

II'"         h'"         .  .  .      /'"  [   rt'»  b> 

fl'i-l      l,n-  i      .     _      /«    I  (t"    '      6"-' 


a  h  .  .  .        /        I      '    rt  ^ 

I  I  ...         I       i      1     1  1 


ln-\ 
l 


ya'hJ...l'^\ 


roniuili-  nù  n  —  1  désigne  le  nmiibrc  des  varialtlcs  a,  b.  ..  .,  /cl  où 
f  -1-  y  -  :  ...  -^  /  =  m  —  n. 

■i.  On  a,  en  appelant  -xi.  ■Xn.   ....  a,i  les  racines  de  cp(^)  —  o, 


11^1 


I  1    l'i   -J ! ! - 


f)ll 


TCTI  /,,    t-i 


tn) 


Tijf/i.ti.    .  .  .,  t„)  Ot^Oto  .  .  .Ot„   o(/i)'.j/^/o 


fn) 


Dans  cette  lonnule,  nT(/i,  ^2)  ••■•  f/i)  est  le  produit    de  toutes  les 

dillérences  des  quantités  ^i,  to t/,,  et  dans  le  premier  membre 

il  faut  supposer  les  binômes  /,  —  xy  tels  que  l'^y"  (Borch.vrdt,  Mé- 
inoires  de  l'Académie  de  Berlin,  i855). 

."».  Le  discriminant  d'un  produit  de  m  fonctions  de  n  variables  est 
identiquement  nul  quand  m  <  n. 

0.  Caucliy  a  lait  connaître  dans  ses  Anciens  Exercices  une  mé- 
thode pour  le  calcul  des  fonctions  symétriques  qui  est  très  remar- 
quable. Cette  méthode  est  reproduite  dans  V Algèbre  supérieure 
de  M.  J.-A.  Serret.  Gauchy  a  fait  également  connaître  deux,  méthodes 
d'élimination  pour  le  cas  de  deux  équations,  l'une  dans  les  Anciens 
E.rercices,  l'autre  dans  les  Nouveaux  Exercices.  La  première  est 
peu  connue;  c'est  cependant  une  des  plus  fécondes  que  l'on  con- 
naisse. 

7.  Soient  ai,  ^,,  y,  ;  a,,  ^2»  Y2  >  *3'  ?3)  Y»  ^^  **'  ?*'  Y* 'es  cosinus  direc- 
teurs de  quatre  droites;  Xi, y^,  Zy  ;  x^,  y^,  z=i\  x^,  y^,  .33  et  Xs,,  y;,,  Z; 
les  coordonnées  de  quatre  points  appartenant  respectivement  à  ces 
quatre  droites;  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'elles 
soient  les  génératrices  d'un  même  système  d'un  hypcrboloïde  C'^t 
que,  en  posant 


342  CHAPITRE    XI. 

les  dclcnninanls  obtenus  en  prenant  quatre  colonnes  clans  le  tableau 
suivant  soicnl  nuls  : 


3tl 

%     -. 

.  /, 

"h 

'h 

22 

%     -, 

•2        A> 

iii-i 

"i 

^3 

h  \ 

.        /.. 

nti 

«:.    1 

aj 

h  \ 

V        ^ 

IH; 

1 
n,   1 

j 

Ces  condition?  rentrent  en  |)artie  les  unes  dans  les  autres 


8.   Pour  éliiuiiier  .r,,  x^ t„  entre  les  équations 


F  =  o,      Çi  =  G, 


o, 


où  Oi,  oj F  sont  des  fonctions  entières  de  .r,,  x-y.  ....  x„,  on 

peut  prendre  les  <p  pour  diviseurs;  soient  Fj,  Fj,  ....  Fj^  les  équi- 
valents réduits  de  F  et  des  produits  de  F  par  les  arguments  réduits; 
en  éliminant  les  arguments  réduits  considérés  comme  des  paramètres 

o,    ....    Fm— o,    on    a    la    résultante 


distincts,    entre    Fj  =  o,   Fa 
cherchée. 


SUR  l'élimination.  3.13 

CHAPITRE  XII. 

RÉSOLUTION  DES  QUESTIONS  DE  MAXIMUM  ET  DE  MIKIMUM. 


I.  —  Règle  générale  pour  trouver  les  maxima  et  les  minima 
des  fonctions  explicites. 

On  dit  qu'une  fonction  d'une  ou  de  plusieurs  variables 
/{x,r,  z.  .  .  .  )  passe  par  un  maximum  pour  un  certain  sys- 
tème de  valeurs  des  variables  x,y.,  z,  ...,  quand  pour  ce 
système  de  valeurs  on  a 

/(  X  -  -  h,  y  -^-  A-,  z  -:-  l,  . .  .)<f{x,  y,  z,  ...), 

quels  que  soient  les  signes  de  ]i,  A,  /,  ....  pourvu  que  ces 
quantités  soient  inférieures  en  valeur  absolue  à  une  quantité 
finie,  aussi  petite  que  l'on  voudra,  du  reste.  Si  l'on  avait  ;iu 
contraire,  pour  les  valeurs  de  A,  /.".  .  .  .  que  l'on  vient  de 
définir, 

f,T^  h,  y  -^  k,  z  •-  L  ...)  >/(>,  y,  z,  . . .), 

on  dirait  que  /passe  par  un  minimum  pour  le  svstème  des 
valeurs  de  x,  j',  z,  .  .  .  fournissant  celte  relation. 

Si  l'on  remplace  li  par  dx,  k  par  dy,  ....  on  pourra  dire 
quey  passe  par  un  maximum  (ou  un  minimum')  quand 

/  X  —  dx,  y  -^  dy,  ...  i  —  fix,  y,  .  . . .  r=  A/ 

conserve,  quels  que  soient  les  signes  de  dx^  dy,  ...,  le 
signe  4-  i  ou  le  signe  — ). 

En  résumé,  pour  savoir  si  f(x,  y,  z.  .  .  .)  passe  par  un 
maximum  ou  un  minimum,  il  faut  étudier  les  variations  de 
signe  de  A/,  quand  on  fait  varier  dx,  dy,  .... 


344  CHAPITRE    Xll. 

La  foruuilc  do  Tavlor  donne  (en  la  supposant  apj)llcable) 

(1)  \/      df    -K„ 

E,„  désignant  en  général  un  terme  d'ordre  supérieur  -Atii  ■ — ^  i . 
Le  ternie  df  du  premier  ordre  donne  son  signe  au  second 
membre  de  (i),  et  par  suite  à  A/,  car  on  peut  écrire 


,y-.E,=  rf/(,.|.) 


Or  -^'.  a  pour  limite  o  pour  dx  =  o,  dj'  =  o.  ...  :  donc,  si 

F  'F' 

dx,  dj-,  .  . .  sont  assez  petits,  i  +  -l'  sera  positiTet  dfi  i  -r  ,1) 

ou  â?/-{-  Eo  aura  le  signe  de  df.  D'ailleurs 

(If  =  -~-  dx  ~. dv  --  . .  . 

•^         âx  Oy     •' 

change  de  signe  avec  dx.,  d\\  ...  :  donc,  si  Ton  n'a  pas  iden- 
tiquement df=^  o,  Ay"  changera  de  signe  avec  dx;  dy.  .  .  . 
el  f  ne  sera  ni  maximum,  ni  minimum;  donc  : 

THÉOTiiîMn:  L  —  Pour  qu'une  fonction  f  passe  par  un 
maximum  ou  un  minimum,  il  faut  que  la  différentielle 
df  passe  par  la  valeur  o. 

Mais  cette  condition  n'est  pas  suffisante,  et,  si  df  =  o,  on  a 

(2)  \f=\d^f-^,^ 

et,  pour  que  le  signe  de  Ay  soit  indépendant  de  r/.r,  dy,  .  .  . , 
il  faut  que  d-f,  qui  donne  son  signe  à  Ay,  ait  lui-même  un  signe 
indépendant  de  ceux  de  dx,  dy,  .... 

Il  y  aura  maximum  si  d-  f  reste  négatif,  minimum  dans 
le  cas  contraire. 

Si  t/-y  s'annule,  quels  que  soient  dx.,  dy.,  .  .  .  ,  on  posera 

Le  signe  de  A/  sera  celui  de  d'^f;  or  ce  signe  change  avec 
ceux  de  dx,  dy,  .  .  . ,  car  d'^fesl  un  polj^^nôme  homogène  du 


>i  A  \  m  r  M    i;  r   m  i  m  m  r  m  .  345 

troisième  dc^vr  i-ii  (/.r,  dv Donc  il  n'y  aura   ni  niaxi- 

mntn  ni  niininuini.  à  moins  (|n(w/-' /'soiL  nnl,  quels  (jue  sokmiI 
^/.r,  <h\  ...  :  il  liuidrail  alors  poser 


-'       1 .  -2 .  J .  4     -^ 


et  ainsi  de  suite. 


En  véiumv,  jx) III  </ii' une  fonction  f  passe  par  un  niaxi- 
niuni  ou  un  minimum,  il  faut  que  sa  tli[j'érenlirlle  pre- 
mière soit  nulle;  il  faut,  en  outre,  <jue  la  première  diffé- 
rentielle, qui  n'est  pas  nulle,  quels  que  soient  dx^  dy,  .... 
soit  d'ordre  pair,  et  qu'elle  conserve  toujours  le  signe  — 
pour  qu'il  y  ait  maximum  et  le  signe  4-  pour  qu'il  y  ait 
minimum. 

Passons  aux  applications  : 

i"  La  fonclion  f  ne  contient  qu'une  seule  variable  x. 
Ses  différentielles  sont  alors  égales  à  ses  dérivées,  au\  facteurs 
f/j;,  dx-.,  dx^.  .  .  .  près,  et  l'on  peut  dire  que  : 

Une  fonction  d'une  variable  passe  par  un  maximum 
{ou  un  minimum )  quand,  la  première  dérivée  s' annulant, 
la  première  de  celles  qui  ne  s'annulent  pas  est  d'ordre 
pair,  négative  {ou positive).  Cette  condition  est  nécessaire 
et  suffisante  (pourvu  toutefois  que  cette  l'onction  soit  déve- 
loppable  par  la  formule  de  Taylor  ). 

2"  La  fonction  f  contient  plusieurs  variables  indépen- 
dantes x,y,z,  .  .  .;  alors,  <^// devant  èlre  nul,  quels  que  soient 
dx,  dy.  .  .  . ,  comme  l'on  a 

df  —  ^  dx    -  --  rty    - .  .  . , 
•'         ().£  dy     " 

-,    ,>  ,,  .         .  ,  àf  df 

il  laul  (lue  1  on  ait  séparément  -_^  =  o,  ^  =  o,  .... 
•  r  Ox  ^  dy 

Ainsi,  pour  qu  une  fonction  de  plusieurs  variables  in- 
dépendantes soit  maxima  ou  minima,  il  faut  que  ses  déri- 
vées partielles  du  premier  ordre  soient  nulles. 

Mais  il  faut  aussi  que  d-f  conserve  son  signe,  quels  (juc 
soient  dx,  dy.   .  .  .,  et  que  ce  signe  soit  -h  dans  le  cas  du 


346  CHAPITRK    XII. 

ininijiuiin,  —  dans  le  cas  du  maximum;  or  d-f  csl  un  polv- 
nôme  du  second  degré,  de  la  forme 


^-/ 


''j^'^->jy 


dans  lecjuol  on  a  posé,  pour  abréger, 
c/.r  -    çi,     dy   -r  ^o, 


el 


T--    «i; 


dx'^         '"      dxdy 

Pour  savoir  si  ce  polynôme  est  susceptible  de  changer  de 
signe,  on  le  décomposera  en  une  somme  de  carrés. 

Si  tous  les  carrés  sont  positifs,  <i-/sera  toujours  positif  et 
il  y  aura  minimum;  si  tous  les  carrés  sont  négatifs,  il  y  aura 
maxinuim;  enfin,  si  parmi  ces  carrés  il  y  en  a  de  signes  op- 
posés, <^/-/"p()urra  changer  de  signe,  el  il  n'y  aura  ni  maximum, 
ni  minimum. 

Quand  d-f  est  identiquement  nul,  la  discussion  paraît 
beaucoup  plus  difficile,  mais  on  n'a  jamais  besoin  de  la 
pousser  aussi  loin. 

Pour  reconnaître  le  signe  de  d'-j^  il  n'est  pas  besoin  de  dé- 
composer 7  aij\i\j  en  carrés;  on  peut  former  l'équation 
{voir  p.  2)8  cl  suiv.) 


(4) 


«11  —  * 

«1 

«21 

«2 

«rtl 

a,, 

«1« 


dont  le  premier  membre  est  le  discriminant  de 

Cette  équation  a  toutes  ses  racines  réelles,  on  peut  lui  ap- 
pliquer la  règle  des  signes  de  Descartes.  Le  nombre  des  carrés 
positifs  et  négatifs  dans  lesquels  ^^aij\i\j  peut  se  décom- 
poser est  égal  au  nombre  de  ses  racines  positives  et  néga- 
tives, et  par  suite  : 


MAXIM  A     Kl     MINIMA.  347 

Pour  que  J  soit  minimuDi,  il  suffit  que  V équation  {  \') 
n'ait  que  des  variations,  et,  pour  <jue  f  soit  minimum,  il 
suffit  qu'elle  n'ait  que  des  pernutnences. 

Si  l'équation  i  ^)  a  des  variations  et  des  permanences, 
f  n'est  ni  maximum  ni  minimum. 


IL  —  Quelques  exemples  de  détermination  de  maxima 
et  de  minima. 

Problème  1.  —  Trouver  dans  le  plan  le  plus  court  che- 
min d'un  point  A  à  un  point  B  en  passant  par  une  droite 
donnée,  les  deux  points  A  et  B  étant  situés  d'un  même 
côté  de  la  droite. 

Prenons  pour  axe  des  x  la  droite  donnée  et  une  droite  per- 
pendiculaire pour  axe  des  r.  Soient  a  el  p  les  coordonnées 
du  point  A,  celles  du  point  B  pourront  être  représentées  par 
a  +  /et  q,  l  désignant  la  distance  des  points  A  et  B  comptée 
parallèlement  à  l'axe  des  x.  Le  chemin  cherché  se  compose 
d'une  ligne  brisée  sur  l'axe  des  x;  soit  a  -r  x  l'abscisse  du 
point  où  le  plus  court  chemin  cherché  rencontre  l'axe  des  x, 
la  quantité  à  rendre  minima  est 


(  I )  V7^2  -    .7-2  ^-  \/q^-^:l  —  x)'^. 

Pour  trouAcr  le  mininuim  de  cette  expression,  égalons  sa 
dérivée,  par  ra])port  à  ^,  à  zéro;  nous  aurons 

.  X  l  —  T 

(2) 


\Jp---x-        \^  q"^ -r- {l  —  X )• 

Sans  qu'il  soit  nécessaire  de  tirer  x  de  cette  équation,  on 
voit  que  les  deux  droites  dont  se  compose  le  chemin  cherché 
font  avec  la  droite  donnée  (l'axe  des  x)  des  angles  dont  les 
cosinus  sont  égaux,  et  par  suite  : 

Le  plus  court  chemin  cherché  est  brisé  de  telle  façon 
que  ses  deux  parties  font  des  angles  égaux  avec  la  droite 
donnée. 


348  CHAPITRE    XII. 

La  dérivée  seconde  de  lexpression  (  i  )  esl 

P-  (}- 

\  -> i' 

i  p--r-  .^•2  \.i        [  7  -      (^  —  .r  - 1]  2 

c'esl-à-dirc  positive;  la  valeur  de  w  tirée  de  i^ai  fournira 
donc  bien,  comme  on  devait  s"v  attendre,  un  minimum  [à 
la  vérilé,  l'équation  (i)  fournira  deux  valeurs  de  x,  quand 
on  aura  fait  évanouir  les  radicaux,  mais  il  ne  s'agit  que  delà 
valeur  pour  laquelle  les  radicaux  sont  positifs,  et  [)Our  laquelh' 
a  <^x  <i  a  -{-  l,  si  l'on  suppose,  par  exemple,  a  et  /^>o]. 

Problème  II.  —  Trouver  un  point  tel  que  la  somme  des 
earrés  de  ses  distances  à  des  points  Jîxes  sait  un  niininnini. 

Soient  ^,  r,  :?  les  coordonnées  du  point  cherché,  Xi,  j'i,  z,- 
celles  de  l'un  des  points  donnés,  prises  par  rapport  à  trois 
axes  rectangulaires  quelconques;  la  quantité  à  rendre  mi- 
nima  est 

en  égalant  ses  dérivées  partielles  à  zéro,  on  a 

et,  en  appelant  n  le  nombre  des  points  donnés  dans  l'espace, 
'V  IV  'V 

le  point  demandé  .r,  y,  z  n'est  autre  chose,  comme  Ton  voit, 
que  le  point  que  Ton  appelle  en  Géométrie  le  centre  des 
moyennes  distances,  et  en  Mécanique  le  centre  de  gravité  du 
système  des  points  en  question. 

Quoiqu'il  soit  évident  que  nous  sommes  en  présence  d'un 
minimum,  nous  allons  le  vérifier  par  l'examen  de  la  difïcren- 
tielle  seconde  de  la  fonction  (i  1;  cette  difierenticlle  est 

2  d.v-  —  2  dy-  ~r-  idz"-. 

On  voit  qu'elle  est  essentiellement  positive,  puisqu'elle  est 


MAXI.M.V    KT     MIMMA.  3^9 

la  somme  do  trois  carrés,  et  la  solution  trouvée  correspond 
bien,  comme  nous  l'avons  observé,  à  un  mini/num. 

Problème   II F.    —   Trouver  le  polygone  d'aire  inaxima 
(jue  l'on  peut  Jormer  avec  des  côtés  donnés. 

Soient  A,,  Ao,  A3,  . . . ,  A,j  les  sommets  successifs  du  poly- 
gone;   AjA,— «,,   A2A3=a2 ArtAi=:«„  les  cotés 

donnés;  /•,,  /-o,  ...,  j',,^:^  les  diagonales  A,  A3,  A,  A.,,  ..., 
A,  A„_,.  Si  l'on  se  rappelle  que  l'aire  d'un  triangle  dont  les 
cotés  sont  «,  br  c  est  donnée  par  la  formule 

V  —  {^a^  —  b'*~:~  c'* —  na-b-      y.b'^c-  —  la-c^  1, 
Taire  à  rendre  maxima  sera 


V  —  (aj  -^  a\-T-  r\  —  ia\  a:,  —  aaif  r\  —  ia\  r\) 
-i-V  —  (''1  -r-  «3  ^  ''2  —  2aj  r\  —  ia'lr\  —  iri  r\  ) 

Désignons,  pour  abréger,  par^i,  So,  .  .  .,  5„_2  les  radicaux 
qui  entrent  dans  celte  formule;  la  condition  du  maximum 
s'exprimera  en  égalant  à  zéro  les  dérivées  partielles  relatives 
k  r\,  r'I ce  qui  donnera 


(U 


-~{ri~  ai~  a.,)- (r\  —  aj  —  /■;)  =  o, 

--(r.,-  «3  — /'i  »  -  -<^ô  — ar  — rjj^o, 

S-,  53 


or,  dans  un  triangle   de  cotés  a,   b,  c,  d'angles  A,  B,  C  et 
d'aire  S,  on  a 

cos  A  —  ; j      S  =  :5  oc  sin  A . 

20c 

L'application  de  ces  formules  transforme  les  équations  (i) 
dans  les  suivantes  : 

tang  Al  A2  A3  —  tang  Al  A4  A3  —  o, 
tang  Aj  A3A;—  tangAiA5A4=  o, 


35o  ciiAPiTnK   XII. 

lesquelles  cxpriiiiciil  (\[iv  les  angles  A,A2A:,  et  AtAjAg 
sont  suppliMiieiilaircs,  ainsi  que  A,A3A(  et  AiAsA,,  ...; 
donc  le  cercle  qui  passe  par  A1A2A;,  passe  par  Aj,  par 
A5,  ...  :  donc  enfin  le  polygone  maximum  a  lous  ses  som- 
mets sur  un  même  cercle,  il  est  insciiptible. 

c.    Q.    F.    D. 

III.  ~  Sur  le  maximum  des  fonctions  de  plusieurs  variables 
liées  entre  elles. 

Il  peut  arriver  que  Ton  demande  le  maximum  ou  le  mini- 
mum d'une  fonction  de  plusieurs  variables  liées  entre  elles 
par  des  équations  non  résolues;  il  est  même  parfois  élégant 
d'introduire  dans  une  question  de  maximum  des  variables 
auxiliaires  liées  aux  variables  principales.  Pour  trouver  le 
maximum  ou  le  minimum,  on  égalera  toujours  la  dilTérentielle 
de  la  fonction  que  Ton  veut  rendre  maxima  ou  minima  à  zéro. 
En  effet,  une  fonction  y  de  plusieurs  variables  X|,  x-^,  . . . ,  ;r„, 
liées  entre  elles  par  k  équations,  telles  que 


I   ftiXi,  Xi.    .  ..,  Xn)=--0, 


est  au  fond  une  fonction  de  n  —  A"  de  ces  variables  qui  pour- 
ront être  considérées  comme  indépendantes,  les  autres  a:,, 
Xo,  ...,  x/i,  par  exemple,  étant  des  fonctions  de  celles-ci 
données  par  les  équations  (1).  La  différentielle  totale  de  J 
prise  par  rapport  à  ces  variables,  à  savoir 

L'yt^i  dx/,^1  -^  l'/,  ^2 dx^.  -2      . .  .   -  U„  dx„, 

doit  donc  être  nulle  pourqueysoit  maximum  ou  minimum 

c.    Q.    F.    D. 

Les  variables  ^/f+t>  ^/s+2-     ■  •  étant  indépendantes,  dxh^x. 


MAXIM  A     I;T    MIMMA.  35  I 

dxkJr-ii   ■  •  •  sont   arbitraires,  et  les  condilions  du   riiaximum 
ou  (lu  uiiniMitini  s(Uil 

\jk  -\  --  O,      U/t-^o  —  o U„  —  o. 

Pour  calculer  les  expressions  UA4.1,  Ua^2î  •  •  •  -  ou,  ce  qui 
revient  au  même,  la  différentielle  de  /  par  rapport  aux  va- 
riables indépendantes,  on  différentiera/ par  rapport  à  toutes 
les  variables,  ce  qui  donnera 

(2  )  df  =  %  d.ri  ^-  v^  dT.  -'-....-  4^  dxn . 

On  diffcrenllera  aussi  les  équations  (  11,  ce  qui  donnera 

I  -7—  dx^ ~—  dx.,  — .  .  .  ^  ~ —  djr„  —  o. 

1    OXi  (JX-2         '  ox,i 

(3»  \    àh  ()/.2,  ôfo    , 

1  — -  dx,    -  - —  ar,   - .  .  .      -:^—  dx„  —  o, 

'    ()X,  ()x.i         -  ()X,, 


De  (3)  on  tirera  <r/x,,  dx,-  ■  ■  •  .  dx^  et,  en  portant  leurs 
valeurs  dans  (2  ),  on  aura  df  sous  la  forme 

Ua -1  dx^^i      ...    -  \Jndx„ . 

Au  fond,  cette  méthode  revient  à  égaler  à  zéro  la  différen- 
tielle de  f  prise  par  rapport  à  toutes  les  variables,  c'est-à- 
dire  à  poser 

(4  )  -p-  rfr,         •-  dxi      .  ..—  -f-  dxn  =  o, 

Oxi  O.r-i  ()x,i 

à  éliminer  entre  (3j  et  (4)  dXi,  dx-^^  .  .  . ,  dx^  et  à  égaler  à  o 
les  coefficients  des  différentielles  restantes  dxhj^i,     •  •  ,  dx„. 

On  peut  diriger  les  calculs  d'une  façon  élégante  en  em- 
ployant la  méthode  des  multiplicateurs  de  Bézout. 

Multiplions  les  équations  (3)  respectivement  par  les  indé- 
terminées ).,,  ).^,  .  .  .,  A/;,  et  ajoutons-les  à  l'équation  (4j. 
On  pourra  déterminer  ces  quantités  X  par  la  condition  que 
les  coefficients  de  dx^,  dx^^  . .  . ,  dx^  soient  nuls  :  l'élimina- 
tion de  ces  quantités  sera  alors  faite;  en  égalant  à   zéro  les 


352  cnAPiruK  xii. 

coefficients  de  dx|iJ^^ dx,f,  on  ;iura  les  coniliiions  du 

niaxiinuin  ou   du  niininuiin.   On   ol>llenl  ainsi   les   cijualions 

(5)  /   àx.         ^^().r.,        ■  •  ■        ^''â.r:,  '       ' 


<).r„         ^'  à.rn       •■  •         '    f).r„ 


Je  le  répète,  on  peut  supposer  que  A'  de  ces  équations  dé- 
terminent "kf,  )vo,  .  .  . ,  ).A  ;  les  n  —  /i  autres  sont  les  équations 
du  maxinuini  ou  du  niininuini,  et  servent  alors  à  déterniinei- 
les  variables^  concurremment  avec  les  équations  (  i). 

Au  fond,  celte  méthode  revient  à  éliminer  A,,  k.^?  •••>  ^^A 
entre  les  équations  (5);  les  résultantes  et  (i)  font  connaître 
les  valeurs  de  ^i,  cc-i,  .  .  .,  ^«  pour  lesquelles  il  v  a  maxi- 
mum ou  minimum.  Je  dis  qu'il  faut  éliminer  \,,  Ao,  .... 
A«,  car  il  n'y  a  aucun  intérêt,  en  général,  à  connaître  ces 
quantités,  qui  jouent  dans  la  question  un  rôle  tout  à  fait 
secondaire. 

Il  est  important  d'observer  que  l'on  arriverait  au  même 
résultat  en  cherchant  le  maximum  ou  le  minimum  de  la 
fonction 

où  ).,,  Ao,  •  ■  .  seraient  traités  comme  des  constantes  dans  la 
diiFérentiation. 

Il  est  bon  d'observer  aussi  que,  si  l'on  veut  discuter  la 
différentielle  d'-/^  les  quantités  of'xi,  dx.,,  .  .  .  n'y  sont  plus 
arbitraires;  mais  cette  discussion  est  le  plus  souvent  inutile. 

Une  dernière  remarque  :  la  fonction  /  à  rendre  maxima 
pourrait  se  trouver  engagée  sous  un  signe  fonctionnel,  dans 
une  équation  non  résolue  :  ainsi,  étant  données  les  relations 
(i),  on  pourrait  demander  de  rendre  maxima  la  fonction  / 
donnée  par  la  formule 

(6)  cp(/,  xi,  T2, x„)  ^:  o; 


MAXIMA    ET     MINIMA.  353 

on  remplacerait  alors  la  formule  (2)  |);ir  celle-ci 
— '-  dxi H — ,   -  dxi -+-..,• ï-  dx„  =  o. 

OXi  OX-î  OXn 

obtenue  en  difierentiant  (6),  et  en  n'écrivant  pas  le  terme 
-^  df,  nul  en  vertu  de  la  règle  qui  prescrit  d'égaler  df  k  zéro. 


IV.    -  Applications  des  théories  précédentes. 

Problème  I.    —    Traîner  le  parallélépipède   rectangle 
maximum  inscriptible  dana  un  ellipsoïde. 

Soit 

x^-    ,  J-  _^_  -s^  _ 
a-        b-        c- 

l'équation  de  l'ellipsoïde;  le  volume  à  rendre  maximum  est, 
à  un  facteur  constant  près,  xyz;  on  posera  donc 

{1)  yz  dx  —  xz  dy  —  xy  dz  =  o; 

en  différentiant  (i),  on  a 

,  „ ,  X  dx  dy  dz 

multipliant  (3)  par  )>,  ajoutant  avec  (' i)  et  égalant  à  zéro  les 
coefficients  de  dx^  dj-,  dz,  on  a 


\x 

Àr 

Iz 

7- 

a2  ~ 

.  0,     zx-  --  =.0,     xy^ 

^="' 

l'élimination 

de),  d 

onne 

a'^yz        h-  xz        c-  xy 
X             y             z 

ou  bien 

a2       62       c2 

c'est-à-dire 

abc 
x~  y  ~  z' 

ce  qui  prouve  que  les  côtés  sont  proportionnels  aux  axes  de 
L.  —  Traité  d'Analyse,  I.  28 


354  CHAPITRE  xn. 

l'ellipsoïde  et  que  les  sommets  sont  situés  sur  les  diagonales 
du  parallélépipède  circonscrit  à  l'ellipsoïde  ayant  pour  côtés 
les  axes. 

Reprenons  le  problème  traité  plus  haut  : 

Problème  II.  —  T?-oin-er  le  plus  court  chemin  d'un 
point  A  à  un  point  B  en  rencontrant  une  droite  située  dans 
le  même  plan  que  ces  points. 

Soient/?  et  q  les  distances  respectives  de  A  et  B  à  la  droite, 
/  la  distance  des  deux  points  comptée  parallèlement  à  la 
droite,  enfin  x  el  y  les  distances  du  point  où  le  plus  court 
chemin  se  brise  aux  pieds  des  perpendiculaires  abaissées  de 
A  et  B  sur  la  droite;  on  a 

(i)  x—y  =  i, 

et  la  quantité  à  rendre  minima  est 

Différentions  (i)et  égalons  à  zéro  la  différentielle  de  la  quan- 
tité à  rendre  minima  ;  nous  aurons 

X  dx  y  dy 

dx  —  dy  =  o,     — —  -! — -p=^~ —  =  o; 

\  X-  ^  />2  y/^2  -^  qZ 

multiplions   la  première  équation    par  X,  ajoutons    avec   la 

seconde  et  égalons  à  zéro  les  coefficients  de  dx  et  dy\  nous 

aurons 

X         _        y         _ , 

d'où  ).  se  trouve  éliminé.  - 

Celte  méthode,  plus  élégante  que  celle  que  nous  avons 
employée  plus  haut,  conduit  aux  mêmes  conclusions  (p.  347). 

Problème  III.  —  De  tous  les  polygones  isopérimètres 
d'un  même  nombre  de  côtés,  quel  est  le  plus  grand? 

Pour  résoudre  cette  question,  désignons  par  A,,  Ao,  ..., 
An  les  sommets  du  polygone. 

Soient  «(  =  A(  A2,  «2  =  A2A3,  . . . ,  «/=  A/A/^i  ses  côtés 
successifs. 


MAXIJIA    ET     MI.MMA.  355 

Soient  /'a  =  A,  A3,  r^  =  A|  A,,  .  .  .  ses  diagonales  issues 
de  A,. 

Soient  5.,  Taire  du  triangle  A,  Ao  A3, 53  celle  de  A,  A3  A^, .... 
L'aire  à  rendre  maxima  est 


[        V — {<^\.~^  osj  -i-  Tj  —  7.a'lal  —  2a\rl  —  2.a-,rl) 


on  a  d'ailleurs  la  condition 

(2)  ai-f- «2-^- ••-'-««  =  const. 

Pour  résoudre  la  question,  il  faudra  égaler  à  zéro  les  diflfé- 
rentielles  de  (i)  et  de  (2),  ce  qui  donnera 


(i  bis  ) 


et 


(2  bis)  ^  dai=  o. 

Ajoutons    ces    équations    après    avoir   multiplié    la    seconde 
par  ),,  et  égalons  à  zéro  les  coefficients  de  dii  et  dai\  nous 

aurons 

1222  2        •'  ' 


S/  Si — t 

(3)  {  .         ,        . 


rj  —  aj  —  rj^i  =  —  2Cos  A,  A;+i  A,a/r,--H,, 
Si  =  l  ai  Fi+i  sin  Al  A/4.1  A,- 
et,  par  suite, 

^J  —  (^1  —  ^/-^i  /        1    » 
=  —  4cotA,  A,>.i  A,,     ...; 

Si 

les  formules  (3  )  peuvent  donc  s'écrire 


cot  Al  A,-i-i  A,—  col  Ai  A,-  1  A,  =  o, 
X  —  \ai  cot  A,Ai  A,-Hj  =  o. 


356  CIIAPITRK    XII. 

La  première  de  ces  formules  montre  que  le  quadrilatère 
A{  A/..,  A,A/+|  est  inscriptible  :  le  polygone  lui-même  l'est 
donc  aussi;  la  seconde  montre  que  l'on  a 

a,cotA,  A]  A,-^i  —  rt/_i  col  .\/_j  Al  A/  =  . . .; 

si  l'on  joint  le  centre  du  cercle  circonscrit  aux  sommets  du 
polygone,  les  demi-angles  aux  centres  ainsi  formés  étant  dési- 
gnés par  toj,  coo co/,  la  formule  précédente  donnera 

«1  «2  «3 

tangwi        tangco2        tangcus       '"'' 

c'est-à-dire  que  les  distances  du  centre  du  polygone  aux 
divers  côtés  seront  égales.  Il  faut  pour  cela  que  les  côtés 
du  polygone  demandé  soient  égaux;  ce  polygone  est  donc 
régulier. 

Problème  IV.  —  De  tous  les  polygones  de  même  aire  et 
d'un  même  nombre  de  côtés,  trouver  celui  dont  le  péri- 
mètre est  le  plus  petit. 

Les  équations  de  ce  problème  sont  les  mêmes  que  celles 
du  problème  précédent;  en  effet,  au  lieu  de  rendre  minima 
l'expression  (i),  il  faudra  la  supposer  constante  et  rendre 
minima  la  somme  a,  +  «2  + •••  +  ««  î  dans  l'un  et  l'autre 
cas,  on  devra  égaler  à  zéro  les  différentielles  de  ces  deux 
expressions,  ce  qui  fournira  dans  l'un  et  l'autre  cas  les  équa- 
tions (i  bis)  et  (ibis),  après  quoi  on  appliquera  comme  plus 
haut  la  méthode  des  multiplicateurs  et  l'on  sera  conduit  aux 
mêmes  calculs  que  dans  le  problème  précédent;  on  verra 
donc,  comme  précédemment,  que  le  polygone  cherché  doit 
être  régulier. 

La  démonstration  géométrique  des  résultats  auxquels  nous 
venons  d'arriver  ne  présente  aucune  difficulté  :  on  la  trou- 
vera tout  au  long  dans  le  Traité  de  Géométrie  de  Legendre 
revu  par  Blanchet  et  dans  celui  de  MM.  Rouché  et  de  Com- 
berousse. 


HAXIMA    ET    MINIMA.  357 


V.  —  Digression  sur  la  plus  courte  distance  de  deux  droites. 

On  peut  résoudre  par  la  théorie  des  maxima  diverses 
questions  élémentaires,  dont  la  solution  a  déjà  été  donnée 
autrement. 

Proposons-nous,  par  exemple,  de  trouver  la  plus  courte 
distance  de  deux  droites.  Soient  a,  b,  c  les  cosinus  directeurs 
de  la  première,  a',  b\  c'  ceux  de  la  seconde;  soient  ^Tq,  J'o»  -^o 
les  coordonnées  d'un  point  fixe  de  la  première,  x,  y,  z  les 
coordonnées  d'un  autre  point  variable  pris  sur  cette  même 
droite;  soient  ^o,Jk'u,  ^'q  ^^  point  fixe  de  la  seconde  droite, 
od ,  y,  z'  un  point  variable  de  cette  droite  ;  soient  p  la  distance 
des  points  x, y^  z  et  x„,  ro,  Z(,^  z'  celle  des  points  x'^y,  z' 

et  -2^0  7  v'o'  <• 
On  aura 

x=  Xq-^  ap,     x'  =  x'q  ^-  a' p' , 

y=yo-^bp,  y=yo^à'p', 

z  ^  Zq-t-  c  p  ,        z   =  Zq  -:-  c  p  . 

La  quantité  à  rendre  minima  est  le  carré  p-  de  la  distance 
des  points  x,  jk,  z  et  x',  y,  z',  à  savoir 

pi  =  (x~x')^-^(y—y)^  —  (z  —  z')^, 

OU,  en  vertu  des  formules  précédentes, 

(i)  pi  =  (X-'  ap  —  a'p'y-^(Y^bp  —  b'p'f--^(Z  —  cp  —  c'p'y-, 

équation  dans  laquelle  on  a  posé,  pour  abréger, 

En  égalant  à  zéro  les  dérivées  de  p-  relatives  à  p  et  p',  on  a 

o  =(\^  ap  —  a'p' )a-r-(Y  -^  bp  —  b'p' )b  -r-(Z  -i-cp  —  c'p')c  , 


(2)   . 

'  {  o=(X-r-ap  —  a'p')a'-h{Y-^bp      b'p')b'-h(Z-i-cp  —  c'p')c; 
en  observant  que  a--4-6-+c- est  égal  à  i  et  que  aa'-r66'-h  ce' 


358  cnAPiTRE  XII. 

est  égal  au  cosinus  de  l'angle  lo  des  deux  droites,  on  a 

aX  -h  b\  -i-  cZ  -h  p  —  p' cos co  =  o 
et  de  même 

«'X  -H  b'Y  -t-  c'Z  -+-  pcosto  —  p'  =  o. 

Ces  formules  donnent  p  et  p',  et  par  suite  (i)  donne/)-; 
mais,  pour  calculer/?-,  il  vaut  mieux  observer  que  des  for- 
mules (  2)  on  tire 

X  -i-  (7  p  —  a'  p'       Y  -f-  6  p  —  b'p'  _  Z  -\-  cp  —  c'p' 
bc' — cb'  ca!  —  ac'  ab'  —  ba! 

et  l'on  peut  écrire  à  la  suite 


t/  y^X-f-ap  — a'p')2  '^^bd  —  cb')(\-^  ap  —  o!  p') 


et  aussi 


1/ y  (  bc'  —  cb'  )2  2(  ^^'  -  ^*'  )' 

Comme  ^  «(6c' — cb' )  eiya'ibc' — cb')  sont    nuls,  les 

formules   précédentes  peuvent   s'écrire,    en   tenant   compte 

de(i), 

X  H-  a  p  —  a'  p'        \  -^  b  0  —  b'  p'        Z  -^  co  -^  c'  p' 


bc' — cb'  ca' — ac'  ab' — ba' 

\x(bc'—cb') 

t/    y( bc'  —  cb' )2        y  (  bc'  —  cb' )^ 
d'où  l'on  peut  déduire  p  et  p'  et  directement 

^\{bc-ciï) 

i/\{bc'—cb')^ 
ou  bien  encore 

C  a"o  —  .rl)(  èc'—  c6')  -4-  Ivo  —  yé  )('  c«'—  ac')  -^-  (^o  —  ^'oX  ab'—ba') 
p  = ^^ ^ 

[{bc'  — cb'f-^{ac'  — ca' Y -^{ab'—ba' )'^\i 


MAXIM  A     ET    MI  MM  A.  359 

VI.  —  Digression  relative  aux  axes  de  l'ellipsoïde. 

Chercher  les  axes  de  relHpsoïde 

(  I  )  A  arî  -r-  A>2  .^  y -^  -- 1  ^yz  —  2  B' xz  —  1  Wxy  =  H, 

c'est  calculer  les  rayons  vecteurs  p  maximum  ou  minimum  de 
cet  ellipsoïde;  on  posera 

(2)  x^pa.    y^-pb,     z  =  pc, 

(  3  )  a2  -^  62  -T-  c2  =  I . 

Si  l'on  porte  les  valeurs  (2)  de  x,  y,  z  dans  (i),  on  aura 

^^^  ^  ^  Aa^-r-A'b-^—  \"c-^—iïibc-:   ab'ac  —  iW ab^ 

et  l'on  est  conduit  à  chercher  le  maximum  et  le  minimum  de 
A  a^-^  B62-^  A"c2  —  iBbc  --  aB'ac  ^  iH" ab. 
En  égalant  sa  différentielle  à  zéro,  on  a 

(5)  daika-^  W b  ~r-  W c)-^  db(  W a  —  X' b  -^  Bc) 

-^  </c  (  B'  a  -r-  B  è  -^  A"  c  j  =  o  ; 

la  formule  (3)  différentiée  donne 

a  da  -^  b  db  —  c  de  ^=  o:, 

en  l'ajoutant  à  (5),  après  l'avoir  multipliée  par  5  et  en  égalant 
à  zéro  les  coefticients  de  r/«,  db,  de,  on  a 

I  (  A  —  A-  )  a  —  B"  è  -f-  B'  c  —  o, 

(6)  ',   B'o^CA'  -*)6^Bc  =  o, 
(  B'rt       B6-^rA''  — s)c  =  o. 

L'élimination  de  s  fera  connaître  les  valeurs  de  a,  b,  c  pour 

H 

lesquelles  il  y  a  maximum  ou  minimum.  Mais  la  quantité  — 

ou,  en  vertu  de  (4  ),  Aa--)-  A'a-  +  .  . .  à  rendre  maxima  peut 
se  déduire  des  formules  (6);  il  suffit  de  les  ajouter  après 
avoir  multiplié  la  première  par  a,  la  deuxième  par  b,  la  troi- 


36o  CHAPITRE  xn. 

sièmc  parc,  ce  qui  donne 

—  —  s  =  O        ou       p2=    -    . 

p-  ^  S 

Il  résulte  de  là  que  les  axes  sont  donnés  par  la  formule 
bien  connue 

H 


B'  B' 


B"         A' 


H 


B  A" 


B  --0. 

II 


VII.  —  Axes  de  la  section  plane  d'un  ellipsoïde. 

Nous  montrerons  encore  comment  la  théorie  des  maxima 
peut  conduire  à  trouver  les  axes  de  la  section  faite  par  le 
plan 

(i)  Ix  ~  )7iy  -H  nz  =  O; 

(2)  /2  _u-„j2    +     «2=1, 

dans  la  surface 

(3)  A^2^A>2-r- A"x;2-i-2Bjz-^-2B'^5-^2B''.rK  =  H 

ou 

Considérons  dans  la  section  un  rayon  vecteur  p  faisant  avec 
les  axes  des  angles  ayant  pour  cosinus  a,  b,  c;  on  aura 

p2/(  a,  b,  c  )  =  H 


ou 

(4) 

(5) 
(6) 


J{a,  b,  c) 
la  —  rnb  -+-  ne  =  o, 
a2-i-Z>2^  c2  =  I. 


Si  l'on  égale  d/k  zéro  pour  en  avoir  le  maximum,  il  viendra 

Lui 

2  de 


(  7  )  -  -f^  c?a  -r-  -  -,-'-  rf6  4-  -  —  de  =  o  ; 


2  da 


MAXIMA    ET     MIMMA.  36 1 

mais  (5)  et  (6)  donneront 

l  da  -h  m  f/b  -h  n  de  ^  o, 
ada-r-   bdb-i-  cdc  =  o, 

et,  en   appliquant  à  ces  Tormules  et  à  (7)  la   méthode  des 
multiplicateurs,  on  obtiendra 


2  (Ja 


[Art  =  o. 


(8) 


là/.  ,. 

-,    -r     //«  -{-   IJ.U  =  0, 

1  ob 
I   àf 


1  de 


-\-  i.n  -t-  IX  c  =  (1 . 


Si  Ion  multiplie  la  première  par  «,  la  seconde  par  ^,  la  troi- 
sième par  c,  et  si  on  les  ajoute  en  observant  que /est  homo- 
gène et  du  second  degré,  on  aura  (p.  221) 

ou,  en  vertu  de  (4),  {^),  (6), 

n  II 

--.^  =  0,     !.  =  --,• 
Les  formules  (8)  deviennent  alors 

A •]  a  -i-  B"  6  -f-  B' c  -H  /  /  =  o, 

P"/ 


B"a 
B'  a  -:-  B  ^* 


{'-%) 


Bc^X 


m  =  o, 


A" ;  1  c—  X/^  =  o, 


et,  en  éliminant  a,  b,  c,  \  entre  ces  formules  et  (5j,  on 
obtient 


(9' 


A- 

n 

B" 

B' 

l 

B" 

A 

II 

B 

m 

W 

B 

A 

,       H 

n 

l 

m 

n 

0 

362  CHAPITRE    XII. 

L'élimination  de  "k  seul  fournirait  d'ailleurs  des  équations 
donnant  a,  b,  c. 

On  voit  que  l'équation  (9)  est  du  second  degré  en  — ;  les 

P 

deux  valeurs  de  p  que  l'on  en  déduira  seront  les  demi-axes 
therchés  de  la  section. 

Si  l'on  veut  trouver  les  sections  circulaires,  il  faudra  écrire 
que  l'équation  (9)  à  des  racines  égales.  Nous  retrouverons 
cette  question  plus  loin  sous  une  autre  forme,  et  nous  verrons 
un  moyen  simple  d'exprimer  la  condition  en  question. 

VIII.  —  Digression  sur  une  propriété  des  polynômes  du  second  degré. 

Soit 

>  ciijXiXj-,'    >  diXi-^a 

un  polynôme  du  second  degré  non  homogène  à  n  variables  ; 
il  sera  maximum  ou  minimum  : 
1"  Si  l'on  a 

0) 


ft-it\  ^1  "^  «,;2^2  -T-  .  .  .  -1-  Cl,ifiX^  —  0„  —  O, 

c'est-à-dire,  en  désignant  par  à  le  déterminant 
V  ^ 

T    —  an  «22  •  •  ■<^/tni 


(2) 


1    /        à\  d\   \ 

371  =  —  Y        «1   -, '-■  ■  •— ««  1 


A   \        OUni 


2°  Si  la  différentielle  seconde  de  ce  polynôme  reste  toujours 

positive  ou  négative,  c'est-à-dire  si    >  rt,,\r/:ry  est  décompo- 

sable  en  une  somme  de  carrés  de  même  signe. 

Ainsi   un  polynôme   du  second   degré  n'est  pas  toujours 
susceptible  d'un  maximum  ou  d'un  minimum. 


MAXIM  A     ET    MIMMA.  363 

Pour  trouver  le  maximum  ou  le  minimum,  on  peut  aussi 
décomposer  le    polynôme    en    carrés   après    avoir   remplacé 

\]rt,-;r<  par  ^  aiXiX  et  a  par  ax-^  et  en  supposant  ensuite 

j:  =  I.  Si  alors  on  s'est  arrangé  de  telle  sorte  que  le  premier 
carré  contienne  toutes  les  variables,  le  second  toutes  les 
variables  moins  une,  etc.,  et  que  le  dernier  soit  constant,  en 
égalant  chaque  carré  à  zéro,  excepté  le  dernier,  ce  dernier 
carré  sera  le  maximum  ou  le  minimum  cherché,  et  les  équa- 
tions écrites  fourniront  successivement  toutes  les  variables; 
mais  cela  suppose  toujours  que  tous  les  carrés  soient  de 
même  signe. 

Il  est  intéressant  de  calculer  la  valeur  du  maximum  ou  du 
minimum  INI  quand  il  existe.  A  cet  eflfet,  il  faut  porter  les 
valeurs  12  )  de  X(,  jTo.  ...  dans  le  polynôme  du  second  degré 
dont  on  cherche  le  maximum  ou  le  minimum;  en  d'autres 
termes,  il  faut  éliminer  .r,,  x-^,  .  .  . ,  x„  entre  (i  )  et 

.M   —     ^    OijXiXj  -  -      >    UiXi-r-a. 

Si  l'on  rend  ces  équations  homogènes,  comme  il  a  été  dit, 
en  remplaçant  >  ciiXi  par  \  «/x<.r,  a  par  ax^  et  M  par  M^;^, 
si  enfin  on  pose 

^  a,jT,Tj  —    >  a,x,x  -^  ax-  —  M x-  =- /, 

le  calcul  se  réduira  à  éliminer  x,  x,,  X2,   .  .  . ,  x,i  entre 

f  —  o,      -^-  =  0,     ....      — = — =  o. 

•'  OXi  OXn 

Or  f=  o  peut  s  écrire 

xi X, -...    -a-  7-  =0, 

OXi  0X2  OX 

ou,  en  vertu  des  équations  précédentes. 


364  CHAPITRE    XII. 

il  faut  donc  éliminer  Xi,  Xo, x,i  et  a:  entre 


ce  qui  donne 


dx        '     dxi         ' 


a  —  M     «1       «2        •  •  •     o„ 

r/|  «H         (7,2         ...        (tu, 

a„         a„i     ctiri      ■  ■  ■      (i/iii 


o, 


Si  donc  on  appelle  D  le  discriminant  >  ±««,,«12 
on  aura 


M 


D 


•  a, 


IX.  —  Réflexions  au  sujet  des  théories  précédentes. 


Tout  ce  que  nous  avons  dit  au  sujet  de  la  recherche  des 
maxima  et  des  minima  des  fonctions  suppose  que  l'on  peut 
leur  appliquer  la  formule  de  Taylor  (réduite  à  ses  premiers 
termes)  pour  des  valeurs  des  variables  voisines  du  maximum 
ou  du  minimum.  Il  ne  faudra  donc  pas  s'étonner  que  quelques 
maxima  ou  minima  échappent  à  nos  théories,  et  il  y  aura 
toujours  lieu  d'examiner  si  les  valeurs  de  ^,  ^,  ^,  .  .  .,  qui 
rendent/(\r,  )',  z,  ...'),  ou  l'une  de  ses  dérivées  premières 
discontinue,  infinie,  ou  indéterminée,  ne  rendraient  pas  en 
même  temps /maximum  ou  miniiiuim. 

Nous  allons  montrer,  par  quelques  exemples  devenus  clas- 
siques, l'importance  de  la  remarque  précédente. 

Problème  I.  —  Trouver  le  niaxiniiun  et  le  minimum  du 
carré  de  la  distance  d'un  point  à  un  cercle. 

Prenons  pour  axes  de  coordonnées  deux  diamètres  rec- 
tangulaires du  cercle  et  le  point  donné  sur  l'axe  des  x\ 
soient  /  son  abscisse  et  I\  le  rayon  du  cercle.  La  distance 


M  A  \  I  M  A     ET    yi  1  N  I  >!  A .  365 

d'un   poinl  (x,  y)  du  cercle  au  point  donné  a   pour  carré 
ou  bien,  en  remplaçanl  j'-  par  R- —  x'-^ 

La  dérivée  de  celte  ([uanlilé  élanl  —  'j.1,  elle  ne  saurait 
s'annuler  et  l'on  en  conclut,  (wec  raison,  que  la  fonction 
/--r-R- — ilx  n'a  pas  de  maximum  ni  de  minimum.  Mais 
cette  fonction  n'est  pas  identique  avec  celle  dont  nous  cher- 
chons le  maximum.  En  effet,  la  distance  du  point  donné  à 
un  point  du  cercle  n'existe  qu'autant  que  x  est  compris 
entre  —  R  et  -r  R,  de  sorte  que  la  fonction  à  rendre  maxima 
est  discontinue  :  quand  x  varie  de  —  R  à  -f-  R,  elle  est  égale 
à  R-  -^  /-  —  ilx\  quand  x  varie  en  dehors  de  ces  limites,  elle 
n'existe  plus.  \\  y  a  donc  lieu  de  se  demander  si  à  j:-  =:  —  R 
et  à  X  = -r- R  ne  correspondrait  pas  un  maximum  ou  un 
minimum. 

D'ailleurs,  à  proprement  parler,  x  ^  — ^R,  ^;==  —  R  ne 
fournissent  pas  de  véritables  maxima  ou  minima,  en  ce 
sens  que,  si  l'on  fait  R--^  /- —  ilx  ^^  o{x\  on  ne  peut  pas 
dire  '^(R-h/i)  —  '-^K^)  6st  indépendant  du  signe  de  h, 
puisque  h  ne  peut  être  que  négatif.  Quoi  qu'il  en  soit,  il  est 
commode  de  considérer  cp('.r)  comme  étant  maximum  pour 
j:  =  R  quand  ci(  R  —  A)  —  <p(R)  est  négatif,  quelles  que 
soient  les  valeurs  que  l'on  a  le  droit  de  donner  à  A,  pourvu 
quelles  soient  assez  petites. 

Voici  une  autre  question  assez  curieuse  proposée  par 
M.  J.  Bertrand  et  résolue  par  lui  dans  le  Journal  de  Liou- 
ville  (i"^  série,  t.  VllI,  p.  i56). 

PnoBLÏcME  II.  —  Etant  donnés  trois  points  dans  un  plan, 
on  demande  de  trouver  dans  ce  plan  un  point  tel  que  la 
somme  de  ses  distances  aux  trois  points  donnés  soit  un 
minimum. 

A  priori,  ce  problème  admet  une  ou  des  solutions.  Soient 


366  cnAPiTRE  XII. 

.r,,  >',,  ^2,^)2,  .^3,    Va  les  coordonnées  des  points  donnés, 
jc,>' celles  du  point  cherché;  la  quantité  à  rendre  niininia  sera 

^(Jr—jri)'-^{y—ji)^-r-...    ou     \^v/,.r  —  x,)2-r- (^7  —  Xi)*- 

En  égalant  ses  dérivées  partielles  à  zéro,  on  a 


(0 


=  0, 


V\a:-— J-i)2^(j'— Ji)^ 


Si  Ton  appelle  a,,  y.^,  as  les  angles  que  les  distances  du 
point  cherché  aux  points  donnés  font  avec  l'axe  des  jr,  on  a, 
au  lieu  des  formules  précédentes, 

cos  ai  -+-  cos  0L2  -f-  cos  as  =  o, 
sin  ai  -^  sin  0.^-+-  sin  as  =  o. 

Eliminons  l'angle  ag,  nous  aurons 

a  -r-  2(cosaiCOsa2-t-  sin  aj  sin  'x-y)  =  î, 
OU 

2[i  -I-  cos(ai—  aj)]  =  I, 
OU 

4cos2T2(ai —  0^2^  =1, 

ou  enfin 

cosj(ai —  a,)  =  |. 

Cette  équation  exprime  que  la  moitié  de  l'angle  O  que 
font  les  distances  du  point  cherché  aux  points  x^y^  et  :r2jK2 

a  pour  cosinus  4-  Cet  angle  est  par  suite  égal  à  ^;  on  a  donc 

Il  est  facile  d'en  conclure  que  le  point  cherché  est  à  l'inter- 
section de  trois  segments  capables  de  l'angle  -^  décrits  sur 

les  côtés  du  triangle  fermé  par  les  trois  points  donnés.  Ces 
segments  se  couperont  en  général  car  les  équations  (i) 
admettent  en  général,   une  solution  (d'ailleurs,  la  somme 

des  angles,  tels  que  O,  faisant  ensemble  3  -^  ou  ir.,  il  existe 


M  A  MM  A     ET    MIMMA.  867 

en  général  un  point  O,  tel  que,  si  on  le  joint  au\  sommets 
d'un  triangle,  les  droites  ainsi  menées  font  entre  elles  des 
angles  égaux  quand  deux  segments  se  coupent). 

Toutefois,  pour  que  deux  des  segments  en  question  se 
coupent,  il  faut,  comme  il  est  facile  de  le  voir  géométri- 
quement, que  chaque  angle  du  triangle  soit  inférieur  à  -^, 

de  sorte  que  les  méthodes  régulières  ne  font  connaître  la 
solution  que  dans  ce  cas.  Mais,  si  l'on  considère  les  dérivées 
(i)  et  (2)  de  la  quantité  à  rendre  minima,  on  voit  immédia- 
tement qu'elles  deviennent  indéterminées  pour  x=Xi  et 
>-=j>^,,  ou  pour  X  =:  x-i,  y  ^=^29  ou  enfin  pour  x  =  Xy, 
jK  =  >':i.  Je  dis  qu'elles  sont  réellement  indéterminées;  en 
effet,  on  a 

y/ix  —  Xi)^-^{y — jx)'        L  \^       ^1  /    J 

et,  pour  j?  =  jc, ,  j'  =  j-, ,  cette  expression  est  indéterminée, 

car  le  rapport^- — —  est  arbitraire,  x  ei  y  étant  tout  à  fait 

indépendants  l'un  de  l'autre. 

11  y  a  alors  lieu  de  se  demander  si  les  points  donnés  ne 
répondraient  pas  au  minimum  cherché,  et,  comme  le  pro- 
blème a  évidemment  une  solution,  c'est  le  sommet  corres- 
pondant à  l'angle  obtus  du  triangle  des  trois  points  qui 
répond  à  la  question.  M.  J.  Bertrand  donne  d'ailleurs  une 
preuve  élémentaire  directe  de  cette  assertion.  Nous  laissons 
au  lecteur  le  soin  de  la  chercher. 


EXERCICES  ET  NOTES. 

1.  Le  plus  petit  polygone  d'un  nombre  de  côtés  donnés,  circon- 
scrit à  un  cercle,  est  régulier. 

2.  Le  plus  grand  polygone  d'un  nombre  de  côtés  donnés,  inscrit 
dans  un  cercle,  est  régulier. 


368  CUAIMIUE    XII. 

;{.  De  tous  les  polygones  d'un  nK-nio  nombre  de  côtés  et  de  même 
périmètre,  le  plus  grand  est  régulier. 

■4.  Le  maximum  de  x'^y't'zl,  si  x-{-y~^-z  est  constant,  a  lieu 
quand 

X     y  _  ^ 

lors  même  que  a,  p,  y  ne  sont  pas  entiers. 

S.  Trouver  un  point  tel  que  la  somme  des  carrés  de  ses  distances 
à  des  plans  fixes,  ou  à  des  droites  fixes,  soit  minimum.  Le  point 
cherché  est  le  centre  de  gravité  des  pieds  des  perpendiculaires 
abaissées  de  ce  point  (cherché)  sur  les  plans  ou  les  droites. 

().  Trouver  un  point  tel  que  le  produit  de  ses  distances  aux  faces 
d'un  tétraèdre  soit  un  minimum  (c'est  le  centre  de  gravité  du 
tétraèdre  ). 

7.  Trouver  un  point  tel  que  le  produit  de  ses  distances  aux  arêtes 
d'un  tétraèdre  soit  un  minimum  (employer  des  coordonnées  tétraé- 
driquesV 

8.  Le  triangle  d'aire  maxima,  ayant  ses  sommets  sur  les  côtés  d'un 
triangle  donné,  a  en  apparence  pour  sommets  les  milieux  des  côtés 
de  ce  triangle. 

9.  Le  tétraèdre  de  volume  maximum,  ayant  ses  sommets  sur  les 
faces  d'un  tétraèdre  donné,  a  en  apparence  pour  sommets  les  centres 
de  gravité  des  faces  du  second  tétraèdre.  Mais  ce  ne  sont  pas  là  de 
véritables  maxima. 

10.  Le  triangle  de  périmètre  minimum,  ayant  ses  sommets  sur  les 
côtés  d'un  triangle  donné,  a  ses  sommets  aux  pieds  des  hauteurs  de 
ce  triangle. 

11.  Inscrire  un  triangle  maximum  dans  l'ellipse  (  il  y  a  une  infinité 
de  solutions;,  ou  un  tétraèdre  maximum  dans  l'ellipsoïde. 

12.  Circonscrire  un  triangle  minimum  à  l'ellipse. 

13.  Circonscrire  une  ellipse  minima  à  un  triangle. 

li.  Vat  un  point  donné  on  propose  de  faire  passer  un  plan  qui 
détache  dans  un  trièdre  trirectangle  un  tétraèdre  de  volume  inininiuni. 


MAXIM  A     ET     MIMMA.  3(J(J 

Vi.  Par  lin  iioiiil  intrrioiir  à  un  paraholoïch^  ollipliquo,  on  ilcmandc 
(le  faire  passer  un  plan  <|ui  détache  un  sej^'inent  <lc  volume  niininium. 

16.  Par  une  droite  donnée  on  demande  de  faire  passer  un  plan  (|ui 
coupe  un  ellipsoïde  suivant  une  section  d'aire  maxima. 

17.  Étant  donné  un  segment  de  paraboloïdc  elliptique  terminé  par 
un  plan  perpendiculaire  à  l'axe,  on  demande  d'inscrire  dans  ce  seg- 
ment un  parallélépipède  de  volume  maximum.  Ce  parallélé|)ipède  est 
supposé  rectangle  et  droit,  ses  côtés  sont  parallèles  aux  axes  de 
l'ellipse  qui  sert  de  base  au  segment  et  à  l'axe  du  paraboloïde. 

18.  De  tous  les  tétraèdres  ayant  des  bases  superposables  et  même 
hauteur,  quel  est  celui  dont  la  surface  totale  est  la  plus  petite? 

i9.  Plusieurs  fonctions  symétriques  de  x.  y,  z,  ...  restant  con- 
stantes, une  autre  fonction  symétrique  de  x,  y,  z,  ...  est  maxima  ou 
minima  quand  les  variables  x,y,  z,  ...  sont  égales  entre  elles. 

(  Galchy.) 


Traité  d'Analyse,  I.  24 


3-0  CII.VIMTIIE    XI  11. 


CHAPITRE  XIII. 


SUR  LES  VALEURS  DES  FONCTIONS  QUI  SE  PRÉSENTENT 
SOUS  UNE  FORME  SINGULIÈRE. 


I.  —  Préliminaires. 

Si  une  fonclionyï  j;)  est  mal  tlélcrniinée  pour  x  =  a,  je 
conviendrai  d'appeler /(a)  la  limite  vers  laquelle  tend/(  j^) 
quand  x  tend  vers  a.  Pour  effectuer  cette  détermination,  on 
a  souvent  fait  usage  d'une  formule  que  nous  allons  établir  et 
qui  peut  être  utile  dans  bien  des  circonstances. 

Soientyfj?)  etF(.r)  deux  fonctions  d'une  variable,  aux- 
quelles nous  supposons  que  l'on  puisse  appliquer  le  théorème 
de  Taylor.  Posons 
(0      ^  .A-_-_/0^p. 

^^  F(«--/i)  ' 

nous  en  concluons 

fi  a  -t-  Il  I —  P  F(a  -^  /i)  =  o 
ou,  par  la  formule  de  Taylor, 

f{a)— P  F  (a)  — h[  fia)-- PFU  a  )]'^... 

1.2.  .  .«   ^-^  ^  ^  ^ 

tirant  P  de  cette  équation  et  ayant  égard  à    i),  on  a 

1.2  1.2. . .n        ^ 


FORMES     I.NDfTKR  M  INfiES.  871 

Le  (léveloppciiient  direct  du  niiméraleiir  cl  du  dénomina- 
leiir  n'aurait  pas  permis  de  sujiposer  à  0  des  valeurs  égales  dans 
ces  deux  termes. 


II,  —  Valeur  d'une  fonction  d'une  variable  qui  se  présente 
sous  la  forme     • 


Quand  une  fonction  est  de  la  forme  i^; ?  son  numérateur 

et  son  dénominateur  peuvent  s'annulera  la  fois  pour  :r  =  a; 
sa  valeur  pour  x  ^=  n  est  la  limite  vers  laquelle  elle  con- 
verge quand  x  tend  vers  la  valeur  a  pour  laquelle  on  a 
à  la  fois /(a)  =  o,  F(a)  =  o.  Le  moyen  le  plus  sûr  de  trou- 
ver cette  limite  est  de  remplacer /(jc)  et  F(x)  par  des  déve- 
loppements en  série,  développements  qui  mettent  en  évidence 
certains  facteurs  convergeant  vers  zéro  pour  x  =  «,  que  l'on 
peut  sujiprimer  au  numérateur  et  au  dénominateur.  On  a, 
par  excnqile, 


sin-.T- 


'  I  .  V. .  i  '  \  1.2.3  / 


1  —  cosa:        T-  x'*  I  x^ 


1.2  1.2.3.4  I-'-i  1.2.3. 

donc,  pour  ^  =  o, 

,.         sin-.r 

lim  =  2. 


I 


On  a  voulu  régulariser  ce  procédé;  mallieureusemcnt  la 
règle,  dite  de  U Ilospital,  que  nous  allons  faire  connaître,  ne 
saurait  être  appliquée  sans  précaution   aux  expressions  de 

la  forme  ->  et  la  précaution  à  prendre  consiste  précisément  à 

vérifier  si  certains  développements  sont  possibles. 

La  formule  démontrée  au  paragraphe  précédent  peut  se 
réduire  à 

/(  a  -^  h)  _  fia)  —  h  f\a  —  0/<  i 


372  CHAPITRE    XIII. 

Supposons  (lue  l'on  ait  J{ci)  =  o,   F(rt)  =  o;  il  viendra 
/(a-^h)  _  /'(g-f-OA) 

Si  1  on  lait  tendre  //   vers  zéro,  le  premier   mcnihrc  a  la 

même  limite  que  ,-- —  pour  x  =  «,  le  second  a  la  même  11- 

^       r  (a:)  ' 

mile  que  ;V/ —  pour  x  ^  a\  donc 

'       F  (.r  )  ^ 

liin  ^7^; —  lim  Vij- —  ; 

Vyx)  F'(;r)' 

par  suite,  si  i^^r^^ — est  une  quantité  connue,  bien  déterminée, 

i  '       b  (x)  1  ' 

f(x) 
on  aura  la  limite  de  ^        en  prenant  le  rapport  des  dérivées 

f'(x) 
de  ses  termes  pour  x  =  a:   si  ~ se  présentait  lui-même 

sous  la  l'orme  -?  on  lui  appliquerait  la  règle  que  nous  venons 

de  trouver,  et  ainsi  de  suite.  Telle  est  la  règle  de  L'Hospital. 
Comme  on  le  voit,  l'application  de  cette  règle  suppose 
f{x)  et  F(^)  développables  par  la  formule  de  Taylor.  H 
faudra  donc,  avant  de  l'appliquer,  examiner  si  les  développe- 
ments àe  f[x)  et  de  F  (ic  )  en  série  sont  possibles  :  alors  à  quoi 
bon  la  règle?  En  second  lieu,  il  arrive  souvent  que/'(^), 
/"(x),  ...,  F'(;r),  ¥"i^x),  ...  sont  tous  nuls  et  la  règle 
tombe  encore  en  défaut.  Dans  ce  cas,  en  ayant  recours  à 
d'autres  développements  que  ceux  qui  sont  fournis  par  la  for- 
mule de  Tajlor,  on  a  souvent  la  solution  rapide  de  la  ques- 
tion. Ainsi,  par  exemple, 

(x  —  a  )'- 

est  évidemment  égal  à  y/  2rt  pour  x  =  a,  ainsi  qu'on  peut  le 
voir  en  mettant  x- — a-  sous  la  forme  (x-{-a)(x — a); 
l'application  de  la  règle  de  L'Hospital  donne 

_  1  1 
,.  x(x^—a'')  2  ^(^_a)2 
lim — p  =  lim  j  ; 

l{x  —  afï  x{x^  —  a^)^ 


FOIOir.S     INDÉTERMINÉES.  878 


O 


mais  le  second  nieinhre  est  encore     pour^  =  n,  el  l'on  com- 
prend qu'il  en  sera  toujours  do  même  indéfinimenl. 
Considérons  encore  l'expression 


X  —  a-^cos  - 

X 


On  voit  facilemenl  que,  pour  x  =  o,  celle  expression  a 
j)0ur  limite  l'unité,  car  elle  se  décompose  en 

X  X  I 

-. —  X  cos  -  : 

sin^'        '<\\\x  X 

ov -. —  ayant  pour  limite   i,  et  cos-  étant  toujours    coni- 

pris  entre  — i  el  +i,  la  limite  de  notre  expression  est  bien  i. 
La  règle  de  L'Hospilal  conduit  à  chercher  la  limite  de 

I  I 

I  —  2.r  cos sin  - 

X  .r  .1 

ou  de     I  —  sin  -  > 


QO'àX  X 


qui  est  lout  à  fait  arbitraire  entre  les  limites  o  et  i. 

Il  est  assez  curieux  de  voir  que,  dans  certains  Cours,  on 
applique  la  règle  de  L'Hospilal  en  faisant  ces  remarques,  et 
qu'on  cherche  à  donner  une  nouvelle  démonstration  de  la 
lègle  pour  le  cas  où  «  =  co  .  A  oici  cette  démonstration  : 

^(' 
lini  i^  —^  (pour  x  =  co  )  =  lim  — — — ^  pour  x  ^=  o\ 

ainsi 

,.       f{x)       ..      •^(,rj(~^y 
|)ourr  =  c»      lim -p; -  =  11111 ; pourj-^o 

ou 

,.     f(x)       ..       f\x) 

lim  ,, — ;  =  lim  ■  7 ;     pour  a;  =  00  . 

Appliquons,   comme  on  le  fait  dans  quelques  livres  clas- 
siques,   la   règle   de  L'Hospilal  à  la  recherche  de  la  limite 


>74  cil  API  TUE    XIII 

x- 


de  -^^^  pour^  =  oo  ,  m  dcsigiianl  un  entier  >>  o;  nous  avons 


lim =  lim 


en  changeant  m  en  m  —  i,  /« —  2,  ...,  nous  trouverons, 
pour  1)1  entrer, 

lim  —  =  lime-^  i  .2.3. . ./«  —  o. 

Ce  résultat  est  exact,  mais  le  raisonnement  (jui  y  conduit  ne 
Test  pas;  en  effet,  reconstituons,  pour  notre  exemple  particu- 
lier, la  démonstration  delà  règle:  nous  serons  conduits  à  clicr- 

cher  la  limite  de  ■ —  pour  x  ^  o;  mais  nous  ne  sommes  pas 

en  droit  d'appliquer  à  cet  exemple   la   formule   démontrée 

au  paragraphe  précédent,  celte  formule  supposant  elle-même 

_i 
que  Ton  peut  appliquer  à  e  ""le  théorème  de  Taylor.   On  a 

au  contraire  très  simplement 

ç—x  ^tn  fui  j 

a—'"  ~    6'-^    ~  372  ~  x--'"  -H  X''"  i-'  4-.  .  .  ' 

}  -{-X  -\ H.  .  . 

I  .?. 

g—x 

- — -  est  donc  1  inverse  de 

l-y.—m 

37-'"+ ;r-'«^-»-{-.  .  .H '—^ h..    . 

1 .  '2 . 3 ...  a 

nui  croît  indéfiniment  avec  x:  donc  la  limite  de— -est  zéro, 

et  ce  fait  est  prouvé  pour  les  valeurs  fractionnaires  ou  in- 
commensurables de  ni. 


III.  —  Vraie  valeur  des  fonctions  qui  se  présentent 
sous  la  forme  — 


Si,  pour  X  =  a,  f{x)  et  F(j;)  sont  infinis,  la  fraction  .. 
nrcnd  la   forme      ;  il  est  facile  de  ramener  ce  cas  d'indéter- 


FORMES    INDÉTERMINÉES.  Sj.") 

niinallon  à  celui  ([tic  nous  venons  d'examiner,  en  ccrivanl  la 

fonclion  „  ^    sous  la  (orme  suivante 

I 

F(.r~) 

I 

tt  en  lui  appliquant  la  règle  de  L'Hospltal,  qui  donne 
lim  ~- — ,  =  Inn : 

l'on  conclut,  en  supposan 
(le  o, 


f(x) 
(Toù  l'on  conclut,  en  supposant  lim  ■'r— finie  et  différente 


lim  -L-     =  hm  ^r,,—  • 
F{x)  ¥(x) 

Lorsque  i^-^-'  est  nul,  on  tourne  encore  la  difficulté  en  cher- 

chant  la  limite  de -^^ r^ qui   est   A;   on  applique  Ja 

règle  à  celte  fraction  et  l'on  trouve 

f'(x)^kF'(x) 
V(x) 

donc  ^ —  est  bien  égal  à  o  comme  "^ 

F {X)  °  t {X) 

Nous  ne  ferons  pas  d'applications  de  cette  règle,  mais 
nous  résoudrons  quelques  questions  dont  l'importance  sera 
mise  en  évidence  un  peu  plus  loin. 

Théorème  I.  —  La  limite  de  —^poii/-  x  =:  oo  .  quand 
fi^  i,  est  toujours  infinie. 

En  effet,  on  a 

I  1,2 

a  étant  supérieur  à  i ,  log  a  est  positif;  donc,  dans  le  dévelop- 


376  CUAPITUE    XIII. 

j)ement  de  a^',  les  termes  croissent  indéfiniment  el  il  s'en  trouve 
de  supérieurs  à  x"'^' .  Si  Ton  divise  ces  termes  para:"',  on  ob- 
tient encore  un  résultat  indélininient  croissant  avec  x;donc 

la  limite  de     -  pour  x  =  00  est  infinie. 

Corollaire.   —  La  limite  de   ,— " — ,  pour  ^  =  00  ,  est  in- 

finie,  ce  dont  on  se  convainc  aisément  en  remplaçant  c 
par  e^'. 

Théorème  II.  —  La  limite  de  — ^^ ,  m  étant  positif,  est 
/lu lie  pour  ^  =  o. 

En  effet,  posant  x  =  e",  on  a  à  chercher  la  limite  de 

u 

1)0  ur  11=  —  00 

g~niu      ' 

ou  de 

u 
pour  «  =  00  ; 

g  m  u       '  ' 

cette  limite  est  zéro,  car  celle  de  - —  est  infinie,  comme  on 
l'a  vu.  • 


IV.  —  De  quelques  autres  cas  d'indétermination  apparente. 

Les  expressions  qui  se  présentent  sous  la  forme  o  x  00  , 
telles  que  le  produit/(a7)  F(x)  dont  les  facteurs  sont  l'un  nul 
et  l'autre  infini  pour  x  =  a,'  se  ramènent  aux  cas  précédents 
en  les  écrivant  ainsi 

Vix) 


Exemple.  —  Lim.r'^log.r  pour  x^o  est  égal  à  la  limite 

lojrar      ,        ,     ,.       ,     , 

— -  5  c  est-a-dire  a  zéro  si  m  >>  o. 

Lesexpressionsdelaforme  ce  — 00  ,  telles  quey(jr)  —  F(^), 


FORMES     INDÉTERMINÉES.  877 

clans  lesquelles  on  a  f{  a  '.  —  oo  ,  F(  a)   --  to  ,  se  ramènent  aux 


formes  -  comme  il  suit 


J\x\       Vkx)—J\x>\\ 


Vix 

(X 


.     .  F (  x)  ■     ■ 

Si,  après  avoir  calcule  la  liuiile  de ->  —  -  on  trouve  une  limite 

1  /(  X  ) 

dilTérenle  de  l'unité, on  en  conclut  ([uc/ix)  —  F(\r )  est  infini  ; 
sinon  on  est  ramené  à  une  expression  de  la  forme  o  X  oo  . 

Les  expressions  qui  se  présentent  sous  la  forme  1°^,  o" 
et  qui  proviennent  d'une  expression  telle  que  [F(a7)]/^^^  se 
ramènent  à  des  expressions  [)lus  simples  en  prenant  leurs 
logarithmes. 

V.    -  Théorème  de  Cauchy. 

Nous  ne  pouvons  passer  sous  silence  un  théorème  remar- 
quable de  Cauchy,  à  cause  de  son  importance  dans  la  théorie 
des  suites. 

THÉoui;ME.  —  Si,  pour  des  valeurs  croissanles  de  x, 

fi  X  -^  1)  — /(^f) 

,.      .         f(X)  , 

convertie  vers  une  certaine  limite, conver^eravers  la 

même  limite,  et  l'on  est  sûr  qu'il  converge  vers  une  limite 
unique. 

En  effet,  soit  /la  limite  de /^j:"  —  i) — /(  jr)  ;  quand  :r  sera 
assez  grand,  on  pourra  écrire 

f(x^i)~f(x)=^lzhz. 

Lorsque X  croîtra,  e  ne  dépassera  pas  une  quantité  donnée  a, 
si  petite  que  l'on  voudra;  on  peut  donc  écrire 

f{x^i)-f(x)=l:^t, 
f(.r-i)-f{x-^i)=l±:t\ 

/(,r^-n)-/^.r^/i-i)= /-£<"-»', 


3-8  en  A  PITRE     XIII. 

î,  s',  s",   .  .  .  t'tanl  moindres  que  a;  si  Ton  ajoulc  ces  équa- 
tions, on  trouve 

et 


J{T^n')  —  f{x) 


=  1 


2=       . 

est  moindre  en  valeur  absolue  que  a;  désignons-le  par  to  : 

nous  aurons 

f{x  —  n) — fix)  —  {l-'(x))n 

ou 

f{x  ^  n)  _  f(x)    _    l-^io 

X  -r-  Il  X  -r-  n  X     r-  n 

/-\  •  1  1  f(^) 

On  peut  toujours  prendre  /i  assez  grand  pour  que  -" 

soit  moindre  qu'une  quantité  donnée  et,  par  suite,  sa  limite 

pour  n  =^  co  est  zéro;  quant  à  la  limite  de  >  elle  est 

l'unité;  done,  en  passant  aux  limites,  on  a 

,.      f{x-i-n)       . 

lim  =^-^ =  /     pour  n  ~  os  , 

X  -r-  n  ' 

ou,  ce  qui  revient  au  même, 

lini-: — —  =  lim/(^-f-i) — J(x)     pour  ^  =  00. 

Corollaiie  I.  —  Remplaçons  f{x)   par  logc2(j;);   nous 
aurons 

Iim  lo"Tcf.(r)l'^  —  lini  lo";  ^ 

ou  bien 

limcs(arr  =:lim-! • 

'  '  ?'.^) 

Corollaire  II.  —  Considérons  la  série 

'y(i)^-  «p(2)-f-  o(3j  -^. . .-+-  cp(57)  -f-.  . .; 


FORMES     INDÉTERMINÉES.  879 

on  sait  qu'elle  est  convcrj;enlc  quand 

On  en  coiiclul  qu'elle  est  égalemenl  convergcnlc  lorsque 

1 
limcp(a")-'  <  I  ; 

ce  qui  peut  dallleurs  se  dcinoiilror  directement. 

Corollaire  III.  —  Si,  pour  des  valeurs  croissantes  de  x, 
f{x  -T-  x')  — f{^)  est  infini,  -  —  le  sera  aussi.  En  raisonnant 
comme  précédemment,  on  prouvera  que = peut 


n 


être  pris  plus  grand  que  toute  quantité  donnée  et  que  - —  

dépasse  toute  limite. 


1.  On  a 


pour  r  =  00  . 

2.  On  a 

pour  m  =  ce 

3.  On  a 

|»our  m  =  eo 


EXERCICES    ET   NOTES. 


1 
lim 


,  .  Vi  I  I 

lim —   =  — e. 


X        >n  -1- 

lim  (  cos  — r  )     —  e    i  -, 


X 

lim  cos'"  ~  =  I 


4.  L'expression  y' -^  ~V  ^  — V^^  — •  •  •  a-t-elle  une  limite  quand  le 
nombre  des  radicaux  augmente  indéfiniment?  Si  celle  limite  existe? 
un  demande  de  la  calculer. 


o8o  CHAPITRE    XIll. 

t).  Consliuire  les  courbes  ayant  pour  équations 
y  —  oc  log-.r, 

\0"X 

y  ~  —  —  ' 

^  X 

y  —  x-^  -^.-  X, 
yx  ~  xy. 

(j.  Trouver,  quand  elle  existe,  la  limite  de  x^' 
7.  Considérons  une  série  de  la  forme 

I  I  T 


si  l'on  a,  pour  m  ^  oo  , 

, .         es'  ("  m  ") 
\\\\\m >  I, 

ça  (^  ni  I 

la  série  est  convergente;  si  au  contraire  cette  limite  est  plus  petite 
que  I,  la  série  est  divergente.  Si  cette  limite  est  i,  on  considérera 
l'expression 


r       9't'«t  1, 

m- — I     log/;i, 


et,  suivant  que  sa  limite  sera  >  i  ou  <  i,  la  série  sera  convergente  ou 
divergente;  si  la  limite  est  i,on  considérera  l'expression 

(  f       o'( m)         1  I 

<     m 1     log »i    -  I    log  log m,   .... 

(L         ?'.'«'  J  ^       o       o       ' 

(AUGUSTUS    DE    INIORGAN.) 

<S.  La  série,  dont  le  terme  «rénéral  est  ■ ri  est  convergente  si,  pour 

«  =  00  ,  -— ^  a  une  limite  différente  de  zéro  et  si  o  (  n)  =  o  n'a  pas  de 
an-  ' 

racines  entières.  (Grolous.) 

9.  La  série  dont  le  terme  général  est est  convergente  s\\^o{/i) 

o{n) 

est  constante  ou  croissante  i  A/i  -  i  j.  (Emile  Lemoine.) 


NOTES. 


NOÏK  I. 

Pendant  longtemps  on  a  admis  sans  démonstration  que 
toute  fonction  continue  a  une  dérivée;  et,  par  le  faii, 
bien  qne  cette  proposition  ne  soit  pas  é\4dente,  elle  doit  être 
considérée  comme  le  postulaluni  fondamental  de  la  Méca- 
nique, de  la  Physique  mathématique  et  de  toute  application 
des  Sciences  jnatliématiques  ('). 

Ampère  et  Duhamel  ont  essayé  de  prouver  que  les  fonc- 
tions continues  ont  des  dérivées,  mais  leurs  démonstrations 
prouvent  seulement  que  ces  dérivées  ne  peuvent  être  toujours 
nulles  ou  toujours  infinies,  rien  de  plus.  Longtemps  on  a  cru 
établir,  dans  les  Cours,  l'existence  de  la  dérivée,  en  montrant 
que  l'ordonnée  d'une  courbe  continue  avait  pour  dérivée,  par 
rapport  à  l'abscisse,  le  coefficient  angulaire  de  la  tangente; 
mais  il  est  clair  qu'un  fait  purement  analytique  doit  pouvoir 
s'établir  indépendamment  de  toute  considération  géomé- 
trique, et,  aujourd'hui,  on  est  encore  sans  preuve  irréfutable 
de  l'existence  de  la  dérivée  des  fonctions  continues. 

Il  y  a  plus,  Hanckel,  en  18^0,  a  essayé  de  former  de  toutes 
pièces  des  fonctions  continues  n'admettant  pas  de  dérivées; 
la  fonction  représentée  par  la  série  suivante  serait  dans  ce  cas  : 


I         '        2!        (rt  —  i;! 


Ces  théories  ont  été  réfutées  par  M.  Gilbert  {Bulletin  de 
l' Académie  des  Sciences  de  Belgique,  2*^  série,  t.  XXXV)  ; 

(')  On  se  figure  difficilement  ce  que  serait  une  courbe  sans  tangentes, 
un  mouvement  sans  vitesse,  un  cours  d'eau  sans  débit,  etc. 


382  NOTKS. 

mais  M.  Darljoux  (Annales  de  l'Ecole  Normale,  2*^  série, 
t.  IV  cl  \  III)  a  repris  la  question  et  a  cru  devoir  donner 
raison  à  M.  Hanckel.  La  question,  à  noire  avis,  est  encore 
dans  le  domaine  de  la  m('laj)li}'sique;  quoi  qu'il  en  soit,  nous 
avons  eu  soin,  dans  ce  Traité,  de  toujours  démontrer  l'exis- 
tence des  dérivées  que  nous  cherchions;  nous  ne  nous 
sommes  abstenu  d'observer  cette  règle  que  dans  des  cas  fort 
simples,  quand  il  s'est  agi  par  exemple  des  fonctions  inverses, 

enlaisant  remarquer  que,  quand  —  a  une  Imiite,  —  en  a  une 

aussi.  Toutefois,  pour  ne  laisser  aucun  nuage  dans  l'esprit  du 
lecteur,  nous  allons  montrer  dans  cette  Note  comment  on 
peut  trouver  directement  la  dérivée  d'un  quotient  de  deux 
fonctions  u  et  v  de  x  et  la  dérivée  de  arc  sin^c. 


ix 


Dérivée 

u 

DE  -• 

—  On  a 

A^: 

A.  ^(^"4" 

^     V  -r-  IV 

I    lu 

=  ['1.- 

-")^ 

"^,): 

et 

,  en 

passant  aux  limites, 

(S)-  ' 

u' —  uv' 

v- 

Dérivée  de  arc  sinx.  —  On  a,  en  supposant  Ax  --  h, 

A  arc  sina?        arc.  sinf^  -^  h)  —  arc  sin.r 
la;  ,  h 

a  rc  s  i  n  [i  .r  --  /i  )  v/ 1  —  .-r-  —  x  \/ 1  —  (x  -^  h)^ 
^ h ' 

et,  en  passant  aux  limites  et  observant  que  le  rapport  d'un 
arc  à  son  sinus  a  pour  limite  i, 

.,       ,.      (■r-~h)J\  —  .r2 — .-r  i/i  —  (  ./■ —  /t  y- 

(  arc  sin.r  )  —  lim ~, 

h 

Cx--  h",^(j  —  X^)—  X^\l—(.T->r-  A)21 

==  lim  p ,  7==Y"  ' 

[t  X  -T  h')\/i  —  x'--i-  X  \/ 1  — {X  —  h)-  \h 


NOTE    II.  383 

c'esl-à-(lirc,  réductions  faites, 

(arc.sina7)'=  • 

y/i  —  x^ 

On  trouverai t  d'une  façon  analogue  la  dérivée  de  arc  lang.r. 


NOTE  II. 

Le  théorème  de  M.  0.  Bonnet,  que  l'on  appelle  souvent 
théorème  rfr  Rolle  ei  que  nous  avons  démontré  (p.  73  ),  repose 
sur  un  principe  que  nous  avons  admis,  parce  qu'il  ne  nous 
était  pas  venu  à  l'esprit  (pfcn  put  le  contester;  l'objet  df 
cette  Note  est  de  démontrer  ce  principe,  qui  peut  s'énoncer 
comme  il  suit  : 

Si  une  fonction  fix)^  continue  ciuancl  x  varie  entre  a 
et  b^  a  iy  compris  ces  limites,  bien  entendu),  s'annule 
pour  X  -.—  a  et  X  =  b,  sans  rester  constamment  nulle,  elle 
passe  dans  Vinlcri'alle  «,  b  par  un  maximum  ou  par  un 
minimum,  c'est-à-dire  par  une  valeur  /(c),  c  désignant 
un  nombre  compris  entre  a  et  b,  telle  cjue,  h  étant  moindre 
qu'une  quantité  suffisamment  petite,  les  quantités 

f{c  -^  h)—/(c)     et    f(c  —  h)—/(c) 

soient  toujours  de  même  signe. 

Supposons,  pour  fixer  les  idées,  que,  x  croissant  à  partir 
de  a,  f{  X)  prenne  des  valeurs  positives;  il  est  incontestable 
quef(x)  étant  continu  ne  croîtra  pas  au  delà  de  toute  limite, 
el  qu'il  existera  une  valeur  m  positive,  que  f{x)  ne  pourra 
pas  dépasser,  telle  toutefois  que  f^x)  pourra  dépasser  toute 
valeur  m  —  s  moindre  ;  la  question  est  de  savoir  s'il  existe 
une  valeur  c  de  x,  telle  que  Ton  ait 

f{c)  =  m. 

Or,  sif(x)  peut  s'approcher  autant  qu'on  le  veut  de  m,  c'est 
que  f(x)  tend  vers  lu  limite  m,  quand  x  tend  vers  une  cer- 


384  NOTES. 

laine  valeur  c,  cl  je  dis  que  l'on  a  précisément  f(c)  =^  m. 
En  eflet,  /(x)  doit  avoir  une  valeur  bien  déterminée  pour 
Xz=C,  sans  (juoi  il  serait  discontinu  ])our  x^^c;  ensuite, 
cette  valeur  ne  peut  cire  que  ni;  car,  si  elle  différait  de  m, 
/(.r  )  n'aurait  pas  pour  limite  m  pour  jc  =  c,  et  ne  serait  pas 
continu  pour  celte  valeur  de  x. 

La  formule  de  Taylor,  comme  nous  l'avons  vu,  peut  être 
appliquée  lors  même  que  l'on  ne  serait  pas  certain  que  la  der- 
uicre  dérivée  employée  pour  former  le  reste  est  continue.  Cela 
résulte  du  théorcme  de  jM.  Bonnet;  toutefois  la  formule  de 
Taylor  a[)pliquée  au  développement  de  y"(.r -}- A,  j^  H- A",  .  .  .  i, 
lorsque  les  dérivées  employées  pour  former  le  reste  ne  sont 
pas  continues,  doit  affecter  la  forme  suivante,  où  o  <  9  <C  '  > 

I               r  <^«+'  1 
—, :  fix  ■+-  ht,  Y  -\-  kt,    ...  1         , 

qui  peut  n'être  pas  tout  à  fait  celle  qui  est  explicitement 
donnée  page  i4^i,  parce  que  la  formule  qui  donne  la  dérivé*; 
d'une  fonction  composée  suppose  les  dérivées  partielles  de 
cette  fonction  continues.  Mais  le  reste  est  toujours  d'ordre 

//  +  1  (p.  8i  et  8:>. ),  et  c'est  là  l'essentiel. 


FIN   DU    TOME   PREMIER. 


TABLE  DES  MATIÈRES 


Pages' 


CHAPITRE  r. 
Introduction. 

1 .  Des  fonctions 

'2.  Continuité 2 

3.  Continuité  des  fonctions  imaginaires 6 

4.  Représenlalion  gconiélrique  dos  imaginaires ■j 

5.  Notions  sur  les  infiniment  petits 8 

CHAPITRE  II. 
Théorie  générale  des  séries. 

1.  Définitions 11 

2.  Théorèmes  sur  la  convergence 12 

3.  Règle  de  convergence 20 

4.  Des  calculs  que  l'on  peut  efi'ectuer  sur  les  séries 26 

.5.  Sur  un  théorème  de  Cauchy 00 

G.  Séries  uniformément  convergentes 02 

7.  Théorème  d'Abc! .33 

5.  Théorème  général  sur  les  séries 07 

M).  Développement  des  fonctions  rationnelles 3S 

'  10.  Séries  récurrentes 4o 

'11.  Théorème  d'Kiscnsiein 43 

1"2.  Développements  de  e-^,  s'\nx,  cosx- 4^ 

13.  Généralisation  des  exponentielles  et  des  fonctions  circulaires....  49 

14.  Origine  purement  analytique  du  sinus 5i 

15.  Des  logarithmes 55 

IG.  Fonctions  circulaires  et  hyperboliques  inverses 57 

17.  Digression  sur  la  nature  des  exponentielles 58 

'  IS.  Quelques  théorèmes  concernant  les  séries  doubles 59 

*[[K  Application  destinée  à  faire  comprendre  l'utilité  do  la  théorie  des 

séries  doubles G2 


{ ■  I  Les  matières  traitées  dans  les  paragraphes  et  chapitres  marques  d'un  *  ne  sont 
pas  exigés  des  candidats  n  la  licence. 

L.  —  Traite  d'Analyse,  I.  25 


386  TAULi:     DES    MATltîRES. 

CHAPITRE  m. 
Théorie  des  dérivées. 

l'ages. 

1.  Définition  de  la  dérivée 65 

"2.  Dérivée  d'une  somme, d'un  produit, d'une  diiTcrcnce, d'un  quotient.  (j6 

3.  Dérivée  d'une  fonetion  de  fonction 6ç) 

4.  Dérivée  de  ([uelques  fonctions  simples -r» 

5.  Dérivées  des  fonctions  circulaires < -i 

(j.  Théorème  de  Uolle -3 

7.  Formule  de  Taylor -5 

8.  Théorèmes  déduits  de  la  formule  de  Taylor -S 

9.  Dérivée  d'une  fonction  composée 8i 

10.  Quelques  fonctions  dont  on  peut  calculer  la  dérivée  d'ordre  n  en 

fonction  du  nombre  n S3 

'  10 ^w.  Dérivée  n'*"'  d'une  fonction  de  fonction 84 

11.  Dérivée  n'*"'  d'une  fonction  rationnelle 87 

12.  Formule  de  Maclaurin 88 

13.  Développement  de  arc  tango; 90 

*  14.  De  la  formule  de  Taylor  considérée  comme  formule  d'approxima- 
tion    1)1 

CHAPITRE  IV. 
Différences  des  fonctions  d'une  variable. 

1.  Différences  des  fonctions  d'une  seule  variable ç)- 

2.  Formules  servant  à  calculer  1"/  et  formules  inverses 91 

3.  Examen  du  cas  où  la  différence  de  la  variable  tend  vers  zéro.. . .  loi 

4.  Formules  d'interpolation  de  Lagrange  et  de  Newton io3 

*5.  Formule  d'Ampère 1 06 

*6.  Formule  de  Brassinne 107 

*7.  Formule  de  Caucliy 108 

"8.  Expression  des  dérivées  en  fonction  des  différences  et  vice  versa.  109 

9.  Construction  des  Tables  numériques ni 

lU.  Construction  des  Tables  de  legarilhmes 1 13 

11.  Construction  des  Tables  de  sinus 1 15 

12.  Application  à  la  résolution  des  équations 116 

CHAPITRE  V. 

Théorie  des  différentielles  des  fonctions  d'une  seule  variable. 

1.  Sur  les  divers  ordres  d'infiniment  petits 119 

2.  Définition  des  différentielles l'.ô 

3.  Remarques  au  sujet  de  la  formule  de  Taylor 126 

4.  Comparaison  des  différences  et  des  différentielles 127 


TABLK     DES    MATIÈRES.  887 

Pages, 
j.  Remaniucs  sur  le  Calcul  (lillërenliel.  —  Ses  avanlagos  sur  le  Cal- 
cul tics  dérivccs 127 

G.  Sur  un  mode  de  raisonnement  employé  en  Analyse 129 

CHAPITRE  VI. 

Dérivées,  différences  et  différentielles  des  fonctions  de  plusieurs 
variables. 

1 .  Sur  le  calcul  des  expressions  symboliques i33 

2.  Remarques  au  sujet   des  dérivées  des  fonctions  de  plusieurs  va- 

riables   i38 

3.  Formule  de  Taylor  généralisée i '(  i 

4.  Diiïérences  des  fonctions  de  plusieurs  variables i'|3 

*5.  Formule  d'interpolation i^^» 

G.  Différentielles  totales 1^7 

7.  Calcul  des  dilTérenticIles  partielles iJi 

8.  Principes  fondamentaux i53 

9.  Remarques i.54 

10.  Des  fonctions  dont  la  ilKfércnticlle  est  nulle i55 

CHAPITRE  VH. 
Des  déterminants  fonctionnels  et  des  fonctions  implicites. 

1.  Préliminaires i58 

*2.  Déterminant  du  système  adjoint 1Ô9 

*3.  Déterminants  gauches 162 

4.  Déterminant  d'un  sjstème  de  fonctions i63 

5.  Reconnaître  si  des  fonctions  sont  indépendantes 167 

*6.  Sur  un  théorème  de  Jacobi 170 

7.  Définition  des  fonctions  implicites 172 

8.  Dérivées  et  différentielles  des  fonctions  implicites  d'une  seule  va- 

riable   172 

9.  Dérivées  et  diiïérentielles  des  fonctions  implicites  de  plusieurs  va- 

riables   171 

10.  Caractère  des  solutions  multiples 177 

'11.  Déterminants  des  fonctions  implicites 179 

'  12.  Formule  de  Lagrange 179 

CHAPITRE  VIII. 
Fonctions  de  variables  imaginaires. 

1.  Définition  précise  dune  fonction  de  variables  imaginaires i85 

2.  Calcul  de  quelques  dérivées 18G 

*3.  Formule  de  Taylor 188 

4.  Différentielles  des  fonctions  de  variables  imaginaires 193 


388  TABLK     DES    MATif'llES. 

CHAPITRE  IX. 

Changement  de  variables- 

Pages 

1.  CliangcmciU  de  variable  tlaiis   les  l'onclions  d'une  seule  varialdc 

indépendante n)\ 

2.  Changement  des  variablesdans  les  fonctions  de  plusieurs  variables,  ujt) 

3.  Application.  —  Fonctions  isotropes  de  Cauchy aoi 

4.  Cas  où  l'on  change  à  la   fois  les   fonctions  ol  les  variables  indo- 

pendantes .M)'| 

5.  Autre  méthode  pour  le  changement  de  variable toç) 

*G.  Quelques  changements  de  variables  effectués  au  moyen  d'artilices 

particuliers an 

"7.  Sur  quelques  formules  destinées  à  simplilier  le  changement  de  va- 
riables   9.\?. 

*8.  Variables  ellijitiqucs tîo 

9.  Théorème  des  fonctions  homogènes .'.;?  i 

CHAPITRE  X. 

*Théorie  des  substitutions  linéaires. 

1.  Définitions '.>:?.- 

2.  Application'dcs  substitutions  linéaires  au\  fonctions  homogènes  du 

premier  degré 2.3 1 

3.  Application  aux  fonctions  homogènes  du  second  degré 232 

■1.  Transformation  d'une  fonction  du  second  degré 235 

.j.  Réduction  à  une  somme  de  carrés  au  moyen  d'une  substilulion  or- 
thogonale    23G 

G.  Discussion  des  résultats  précéilents 208 

7.  Réduction  simultanée  de  deux    fonctions  du    second  degré  à  des 

sommes  de  carrés 242 

8.  Discussion  de  la  théorie  précédente 2^4 

9.  Invariants  et  covarianls 2'(8 

10.  Émanants 25o 

11.  Contrevariants  et  divariants 253 

12.  Évectants 255 

13.  Recherche  des  invariants 256 

l'i.  Méthodes  générales  pour  former  des   covariants  et  des  contreva- 
riants   259 

15.  Invariants  des  formes  quadratiques 2G1 

16.  Contrevariants  et  divariants  des  formes  cpiadiatiqucs 262 

17.  Combinants 2G6 

18.  Sur  une  propriété  générale  des  formes 2G7 

19.  Démonstration  d'un  lemme 2G8 

20.  Recherche  des  covariants  et  des  contrevariants  des  formes   li- 


néaires . 


2T2 


TABLE     DES     MATIËHES.  SSq 

l'ages. 

21.  Rccliciclics  tics  conlrevurianls  des  rurnics  quelconques 275 

2-2.  Mclhoiic  tic  M.  Caj  ley 277 

23.  Application  aux  formes  binaires 279 

CIIAriTUK  XI. 
*Sur  l'élimination. 

1.  Délinilions aS'i 

2.  Coefficients,  arjjumcnls,  poids 287 

3.  Fonctions  symétriques  des  racines  d'une  é(|ualiôn 2% 

A.  Résultante  de  dcu\  é(|uations 292 

5.  Transformation  de  la  résultante 294 

6.  Méthode  de  .M.  Cayley,  racine  commune 297 

7.  Résolution  de  deux  équations  à  deux  inconnues 298 

8.  Théorème  de  Bézout 3oo 

9.  Sur  l'équivalence  des  polynômes 3o4 

10.  Démonstration  d'un  lemme 3o5 

11.  Résolution  de  quelques  problèmes  sur  les  polynômes  réduits.  . . .  3o6 

12.  Calcul  de  la  résultante  de  plusieurs  équations Sic 

13.  Nouvelle  manière  de  former  la  résultante,  résolution 3i3 

14.  Sur  les  polynômes  multiplicateurs 317 

15.  Cas  où  la  résultante  a  des  solutions  infinies 3i8 

16.  Calcul  des  fonctions  symétriques.  —  Formule  de  Jacobi 3i9 

17.  Formule  de  M.  Enrico  Betti 322 

18.  Remarque  sur  les  solutions  communes 325 

19.  Propriétés  de  la  résultante 326 

20.  Résultants 328 

21.  Discriminants 332 

22.  Théorème  propre  à  faciliter  l'élimination 334 

23.  Sur  une  élimination  remarquable 336 

24.  Principe  de  correspondance 337 

ClIAPITRli  XII. 
Résolution  des  questions  de  maximum  et  de  minimum. 

1.  Règle  générale  pour  trouver  les  maxiniaelles  miniiiia  des  fonctions 

explicites 347 

2.  Quelques  exemples 347 

3.  Sur  le  maximum  des  fonctions  de  plusieurs  variables  liées  entre 

elles 35o 

4.  \pplications  des  théories  précédentes 353 

5.  Digression  sur  la  plus  courte  dislance  de  deux  droites 357 

6.  Axes  de  l'ellipsoïde 359 

7.  Axes  d'une  section  plane  de  l'ellipsoïde 36o 

8.  Propriété  des  polynômes  du  second  degré 362 

9.  Réflexions  au  sujet  des  théories  précédentes 364 


SgO  TABLE     DES    MATIÈnES. 


CHAPITRE  XIII. 

Sur  les  valeurs  des  fonctions  qui  se  présentent 
sous  une  forme  singulière. 

Pases. 

1 .  Préliminaires 3-0 

"2.  Valeur  d'une  fonction  qui  se  présente  sous  la  forme  - 3-i 

o  ' 

;3.  Valeur  d'une  fonction  qui  se  présente  sous  la  forme  ~ 374 

4.  De  quelques  autres  cas  d'indétermination  apparente ^-d 

5.  Théorème  de  Cauchy ?,-j 

Note  1 38 1 

Note  II 383 


IIN    DE    I.V    TVBI.r    DU    TOME    PREMIER. 


ERRATA. 


l>ages.  Lignes.  Au  lieu  de  .nettes 


3o 

1: 

a  clans  les  2°  facteurs 

0 
f 

% 

i3  cl  iH 

/i             a- 

a           a' 

x"^--  '     x'"-^ 

X'"       a?"*"*"' 

'4  fl  '7 

a" 

rt" 

x'"-"-' 

x""'"-' 

43 

10  cl    II 

X. 

X' 

46 

12 

e-n-, 

6„,_, 

5fi 

2  par  le  bas 

=  \o^{x-i-y) 

=  iogxy 

7« 

3  par  le  bas 

/"-'(x)  p/t' 

/"-'(^)  — P/i' 

85 

.1 

l},«",  Bjf"-' 

B,M"-',  B^«"-^ 

9i 

2 

eus  (  j;  +  6A  )  cos  {x~b') 

sin  (J7  -T-  6/i  )  sin  (J7  -f-  f 

94 

4 

cos'(a7+  10') 

sin^^^  -4-  10") 

94 

5 

arcs  moindres  que  88° 

arcs  supérieurs  à  2" 

9° 

.5  par  le  bas 

y  =  lans-T 

y  =  arc  tanga; 

x'-f-  f)x' 

x—fix- 

90 

II) 

1  -T-bx' 

i-bx- 

102 

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